2.2 : Mesures de localisation des données

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Les mesures courantes de localisation sont les quartiles et les percentiles

Les quartiles sont des percentiles spéciaux. Le premier quartile\(Q_1\),, est identique au\(25^{th}\) percentile, et le troisième quartile est identique au\(75^{th}\) centile.\(Q_3\) La médiane, M, est appelée à la fois le deuxième quartile et le 50e percentile.

Pour calculer les quartiles et les percentiles, les données doivent être classées du plus petit au plus grand. Les quartiles divisent les données ordonnées en trimestres. Les percentiles divisent les données ordonnées en centièmes. Obtenir un score au\(90^{th}\) centile d'un examen ne signifie pas nécessairement que vous avez obtenu 90 % à un test. Cela signifie que 90 % des résultats des tests sont identiques ou inférieurs à votre score et que 10 % des résultats des tests sont identiques ou supérieurs à votre score de test.

Les percentiles sont utiles pour comparer des valeurs. C'est pourquoi les universités et les collèges utilisent largement les percentiles. L'un des cas dans lesquels les collèges et les universités utilisent des percentiles est celui où les résultats du SAT sont utilisés pour déterminer un score minimum aux tests qui sera utilisé comme facteur d'acceptation. Supposons, par exemple, que Duke accepte des scores SAT égaux ou supérieurs au\(75^{th}\) centile. Cela se traduit par un score d'au moins 1220.

Les percentiles sont principalement utilisés avec de très grandes populations. Par conséquent, si vous deviez dire que 90 % des résultats des tests sont inférieurs (et non identiques ou inférieurs) à votre score, cela serait acceptable car la suppression d'une valeur de données en particulier n'est pas significative.

La médiane est un nombre qui mesure le « centre » des données. Vous pouvez considérer la médiane comme la « valeur moyenne », mais il n'est pas nécessaire qu'elle fasse partie des valeurs observées. Il s'agit d'un nombre qui sépare les données ordonnées en moitiés. La moitié des valeurs sont égales ou inférieures à la médiane, et la moitié des valeurs sont égales ou supérieures. Par exemple, considérez les données suivantes.
\(1; 11.5; 6; 7.2; 4; 8; 9; 10; 6.8; 8.3; 2; 2; 10; 1\)
Trié du plus petit au plus grand :
\(1; 1; 2; 2; 4; 6; 6.8; 7.2; 8; 8.3; 9; 10; 10; 11.5\)

Comme il y a 14 observations, la médiane se situe entre la septième valeur, 6,8, et la huitième valeur, 7,2. Pour trouver la médiane, additionnez les deux valeurs et divisez-les par deux.

\[\frac{6.8+7.2}{2}=7\nonumber\]

La médiane est de sept. La moitié des valeurs sont inférieures à sept et la moitié des valeurs sont supérieures à sept.

Les quartiles sont des nombres qui séparent les données en trimestres. Les quartiles peuvent ou non faire partie des données. Pour trouver les quartiles, trouvez d'abord la médiane ou le deuxième quartile. Le premier quartile\(Q_1\),, est la valeur médiane de la moitié inférieure des données, et le troisième quartile est la valeur médiane, ou médiane, de la moitié supérieure des données.\(Q_3\) Pour vous faire une idée, considérez le même ensemble de données :
1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 2 ; 4 ; 6 ; 6,8 ; 7,2 ; 8 ; 8,3 ; 9 ; 10 ; 10 ; 11,5

La médiane ou deuxième quartile est de sept. La moitié inférieure des données est 1, 1, 2, 2, 4, 6, 6,8. La valeur moyenne de la moitié inférieure est de deux.
1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 4 ; 6 ; 6,8

Le chiffre deux, qui fait partie des données, est le premier quartile. Un quart de l'ensemble des ensembles de valeurs sont identiques ou inférieurs à deux et les trois quarts des valeurs sont supérieures à deux.

La moitié supérieure des données est de 7,2, 8, 8,3, 9, 10, 10, 11,5. La valeur moyenne de la moitié supérieure est neuf.

Le troisième quartile,\(Q_3\), est neuf. Les trois quarts (75 %) de l'ensemble de données commandé sont inférieurs à neuf. Un quart (25 %) de l'ensemble de données commandé est supérieur à neuf. Le troisième quartile fait partie de l'ensemble de données de cet exemple.

L'intervalle interquartile est un nombre qui indique la répartition de la moitié médiane ou de la moitié médiane des données. C'est la différence entre le troisième quartile (\(Q_3\)) et le premier quartile (\(Q_1\)).

\(IQR = Q_3 – Q_1\)

Ils\(IQR\) peuvent aider à déterminer les valeurs aberrantes potentielles. Une valeur est considérée comme une valeur potentiellement aberrante si elle est\(\bf{(1.5)(IQR)\) inférieure au premier quartile ou\(\bf{(1.5)(IQR)}\) supérieure au troisième quartile. Les valeurs aberrantes potentielles nécessitent toujours une enquête plus approfondie.

valeur aberrante potentielle

Une valeur aberrante potentielle est un point de données qui est significativement différent des autres points de données. Ces points de données spéciaux peuvent être des erreurs ou une sorte d'anomalie, ou ils peuvent être essentiels à la compréhension des données.

Exemple\(\PageIndex{14}\)

Pour les 13 prix immobiliers suivants, calculez\(IQR\) et déterminez si certains prix sont des valeurs potentiellement aberrantes. Les prix sont en dollars.
\(389,950; 230,500; 158,000; 479,000; 639,000; 114,950; 5,500,000; 387,000; 659,000; 529,000; 575,000; 488,800; 1,095,000\)

Réponse

Solution 2.14

Classez les données de la plus petite à la plus grande.

\(114,950; 158,000; 230,500; 387,000; 389,950; 479,000; 488,800; 529,000; 575,000; 639,000; 659,000; 1,095,000; 5,500,000\)

\(M = 488,800\)

\(Q_{1}=\frac{230,500+387,000}{2}=308,750\)

\(Q_{3}=\frac{639,000+659,000}{2}=649,000\)

\(IQR = 649,000 – 308,750 = 340,250\)

\((1.5)(IQR) = (1.5)(340,250) = 510,375\)

\(Q_1 – (1.5)(IQR) = 308,750 – 510,375 = –201,625\)

\(Q_3 + (1.5)(IQR) = 649,000 + 510,375 = 1,159,375\)

Le prix d'une maison n'est pas inférieur à\(–201,625\). Cependant,\(5,500,000\) c'est plus que\(1,159,375\). Il s'\(5,500,000\)agit donc d'une valeur aberrante potentielle.

Exemple\(\PageIndex{15}\)

Pour les deux ensembles de données de l'exemple de résultats de test, trouvez ce qui suit :

L'intervalle interquartile. Comparez les deux plages interquartiles.
Toute valeur aberrante dans l'un ou l'autre ensemble

Réponse

Solution 2.15

Le résumé en cinq chiffres pour les cours de jour et de nuit est

\ (\ Index de page {21} \) « >

Tableau\(\PageIndex{21}\)
	Minimal	\(Q_1\)	Médiane	\(Q_3\)	Maximum
Journée	32	\ (Q_1 \) » class="lt-stats-4548">56	74,5	\ (Q_3 \) » class="lt-stats-4548">82,5	99
Nuit	25,5	\ (Q_1 \) » class="lt-stats-4548">78	81	\ (Q_3 \) » class="stats-4548">89	98

a. Le groupe\(IQR\) pour la journée est\(Q_3 – Q_1 = 82.5 – 56 = 26.5\)

\(IQR\)Pour le groupe de nuit, c'est\(Q_3 – Q_1 = 89 – 78 = 11\)

La plage interquartile (la dispersion ou la variabilité) pour la classe de jour est plus grande que pour la classe de nuit\(IQR\). Cela suggère qu'une plus grande variation sera constatée dans les résultats des tests de classe de la classe de jour.

b. Les valeurs aberrantes des classes de jour sont déterminées à l'aide de la règle des\(IQR\) temps 1,5. Donc,

\(Q_1 - IQR(1.5) = 56 – 26.5(1.5) = 16.25\)
\(Q_3 + IQR(1.5) = 82.5 + 26.5(1.5) = 122.25\)

Comme les valeurs minimale et maximale de la classe de jour sont supérieures\(16.25\) et inférieures à\(122.25\), il n'y a pas de valeurs aberrantes.

Les valeurs aberrantes des cours de nuit sont calculées comme suit :

\(Q_1 – IQR (1.5) = 78 – 11(1.5) = 61.5\)
\(Q_3 + IQR(1.5) = 89 + 11(1.5) = 105.5\)

Pour cette classe, tout résultat de test inférieur à\(61.5\) est une valeur aberrante. Par conséquent, les scores de\(45\) et\(25.5\) sont des valeurs aberrantes. Comme aucun score de test n'est supérieur à 105,5, il n'y a pas de valeur aberrante supérieure.

Exemple\(\PageIndex{16}\)

On a demandé à 50 étudiants en statistiques combien de temps ils dormaient par nuit de classe (arrondi à l'heure la plus proche). Les résultats étaient les suivants :

\ (\ Index de page {22} \) « >

Tableau\(\PageIndex{22}\)
Nombre de sommeil par nuit de classe (heures)	Fréquence	Fréquence relative	Fréquence relative cumulée
4	2	0,04	0,04
5	5	0,10	0,14
6	7	0,14	0,28
7	12	0,24	0,52
8	14	0,28	0,80
9	7	0,14	0,94
10	3	0,06	1,00

Détermine le ^28e percentile. Notez le 0,28 dans la colonne « fréquence relative cumulée ». Vingt-huit pour cent des 50 valeurs de données correspondent à 14 valeurs. Il y a 14 valeurs inférieures au ^28e percentile. Ils incluent les deux 4, les cinq 5 et les sept 6. Le ^28e percentile se situe entre les six derniers et les sept premiers. Le ^28e percentile est de 6,5.

Trouve la médiane. Examinez à nouveau la colonne « fréquence relative cumulée » et trouvez 0,52. La médiane est le ^50e percentile ou le deuxième quartile. 50 % de 50 est 25. Il y a 25 valeurs inférieures à la médiane. Ils comprennent les deux 4, les cinq 5, les sept 6 et onze des 7. La médiane ou le ^50e percentile se situe entre le ^25e, ou le sept, et ^{le 26e}, soit le sept. La médiane est de sept.

Déterminez le troisième quartile. Le troisième quartile est identique au\(75^{th}\) percentile. Vous pouvez « regarder » cette réponse. Si vous regardez la colonne « fréquence relative cumulée », vous trouverez 0,52 et 0,80. Lorsque vous avez les quatre, cinq, six et sept, vous avez 52 % des données. Lorsque vous incluez tous les 8, vous obtenez 80 % des données. Le\(bf{75^{th}}\) percentile doit donc être un huit. Une autre façon d'examiner le problème est de trouver 75 % de 50, soit 37,5, et d'arrondir à 38. Le troisième quartile,\(Q_3\), est la ^38e valeur, qui est un huit. Vous pouvez vérifier cette réponse en comptant les valeurs. (Il y a 37 valeurs en dessous du troisième quartile et 12 valeurs au-dessus.)

Exercice\(\PageIndex{16}\)

Quarante conducteurs d'autobus ont été invités à indiquer le nombre d'heures qu'ils passent chaque jour à effectuer leur trajet (arrondi à l'heure la plus proche). Détermine le 65 ^e percentile.

\ (\ PageIndex {23} \) « >

Tableau\(\PageIndex{23}\)
Temps passé sur le trajet (heures)	Fréquence	Fréquence relative	Fréquence relative cumulée
2	12	0,30	0,30
3	14	0,35	0,65
4	10	0,25	0,90
5	4	0,10	1,00

Exemple\(\PageIndex{17}\)

Utilisation du tableau\(\PageIndex{22}\) :

Trouve le\(80^{th}\) percentile.
Trouve le\(90^{th}\) percentile.
Trouvez le premier quartile. Quel est l'autre nom du premier quartile ?

Réponse

Solution 2.17

À l'aide des données du tableau de fréquences, nous avons :

a. Le\(80^{th}\) percentile se situe entre les huit derniers et les neuf premiers du tableau (entre les\(41^{st}\) valeurs\(40^{th}\) et). Par conséquent, nous devons prendre la moyenne des\(41^{st}\) valeurs de\(40^{th}\) an. Le\(80^{th}\) percentile\(=\frac{8+9}{2}=8.5\)

b. Le\(90^{th}\) percentile sera la valeur\(45^{th}\) des données (l'emplacement est\(0.90(50) = 45\)) et la 45e valeur de données sera neuf.

c.\(Q_1\) est également le 25e percentile. Le calcul de la position\(25^{th}\) percentile :\(P_{25}=0.25(50)=12.5 \approx 13\) la valeur\(13^{th}\) des données. Le\(25^{th}\) percentile est donc de six.

Une formule pour déterminer le\(k\) e percentile

Si vous faisiez quelques recherches, vous trouverez plusieurs formules pour calculer le\(k^{th}\) percentile. Voici l'un d'entre eux.

\(k =\)le\(k^{th}\) percentile. Cela peut faire partie des données ou ne pas le faire.

\(i =\)l'indice (classement ou position d'une valeur de données)

\(n =\)le nombre total de points de données ou d'observations

Classez les données de la plus petite à la plus grande.
Calculer\(i=\frac{k}{100}(n+1)\)
Si i est un entier, le\(k^{th}\) percentile est la valeur de données à la\(i^{th}\) position dans l'ensemble de données ordonné.
Si i n'est pas un entier, arrondissez i vers le haut et arrondissez i au nombre entier inférieur le plus proche. Faites la moyenne des deux valeurs de données à ces deux positions dans l'ensemble de données ordonné. Cela est plus facile à comprendre dans un exemple.

Exemple\(\PageIndex{18}\)

Vous trouverez 29 âges pour les meilleurs acteurs primés aux Oscars, du plus petit au plus grand.
\(18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77\)

Trouve le\(70^{th}\) percentile.
Trouve le\(83^{rd}\) percentile.

Réponse

Solution 2.18

\(k = 70\)
\(i\)= l'indice
\(n = 29\)

\(i=\frac{k}{100}(n+1)=\left(\frac{70}{100}\right)(29+1)=21\). Vingt et un est un entier et la valeur de données en 21e position dans l'ensemble de données ordonné est 64. Le 70e percentile est de 64 ans.

\(k = 83^{rd}\)percentile
\(i\)= l'indice
\(n = 29\)

\(i=\frac{k}{100}(n+1)=( \frac{83}{100} )(29+1)=24.9\), qui n'est PAS un entier. Arrondissez-le à 24 et à 25. L'âge du\(24^{th}\) poste est de 71 ans et l'âge du\(25^{th}\) poste est de 72 ans. Moyenne 71 et 72. Le\(83^{rd}\) percentile est de 71,5 ans.

Exercice\(\PageIndex{18}\)

Vous trouverez 29 âges pour les meilleurs acteurs primés aux Oscars, du plus petit au plus grand.

\(18; 21; 22; 25; 26; 27; 29; 30; 31; 33; 36; 37; 41; 42; 47; 52; 55; 57; 58; 62; 64; 67; 69; 71; 72; 73; 74; 76; 77\)
Calculez le 20 ^e percentile et le 55 ^e percentile.

Une formule pour déterminer le percentile d'une valeur dans un ensemble de données

Classez les données de la plus petite à la plus grande.
\(x\)= le nombre de valeurs de données comptabilisées depuis le bas de la liste de données jusqu'à la valeur de données pour laquelle vous souhaitez trouver le centile, mais sans inclure la valeur de données pour laquelle vous souhaitez trouver le centile.
\(y\)= le nombre de valeurs de données égales à la valeur de données pour laquelle vous souhaitez trouver le percentile.
\(n\)= le nombre total de données.
Calculez\(\frac{x+0.5 y}{n}(100)\). Puis arrondissez à l'entier le plus proche.

Exemple\(\PageIndex{19}\)

Détermine le percentile pour 58.
Détermine le percentile pour 25.

Réponse

Solution 2.19

1. En commençant par le bas de la liste, 18 valeurs de données sont inférieures à 58. Il existe une valeur de 58.

\(x = 18\)et\(y=1 . \frac{x+0.5 y}{n}(100)=\frac{18+0.5(1)}{29}(100)=63.80\). 58 est le\(64^{th}\) percentile.

2. En partant du bas de la liste, trois valeurs de données sont inférieures à 25. Il existe une valeur de 25.

\(x = 3\)et\(y=1 . \frac{x+0.5 y}{n}(100)=\frac{3+0.5(1)}{29}(100)=12.07\). Vingt-cinq, c'est\(12^{th}\) le centile.

Interprétation des percentiles, des quartiles et de la médiane

Un percentile indique la position relative d'une valeur de données lorsque les données sont triées par ordre numérique du plus petit au plus grand. Les pourcentages des valeurs de données sont inférieurs ou égaux au pème percentile. Par exemple, 15 % des valeurs de données sont inférieures ou égales au 15 ^e percentile.

Les percentiles faibles correspondent toujours à des valeurs de données inférieures.
Les percentiles élevés correspondent toujours à des valeurs de données plus élevées.

Un percentile peut correspondre ou non à un jugement de valeur visant à déterminer s'il est « bon » ou « mauvais ». L'interprétation du caractère « bon » ou « mauvais » d'un certain percentile dépend du contexte de la situation à laquelle les données s'appliquent. Dans certaines situations, un percentile faible serait considéré comme « bon » ; dans d'autres contextes, un percentile élevé pourrait être considéré comme « bon ». Dans de nombreuses situations, aucun jugement de valeur ne s'applique.

Il est important de comprendre comment interpréter correctement les percentiles, non seulement pour décrire des données, mais également pour calculer les probabilités dans les chapitres suivants de ce texte.

REMARQUE

Lors de la rédaction de l'interprétation d'un percentile dans le contexte des données données, la phrase doit contenir les informations suivantes.

des informations sur le contexte de la situation considérée
la valeur de données (valeur de la variable) qui représente le percentile
le pourcentage de personnes ou d'éléments dont les valeurs de données sont inférieures au percentile
le pourcentage de personnes ou d'éléments dont les valeurs de données sont supérieures au percentile.

Exemple\(\PageIndex{20}\)

Lors d'un test de mathématiques chronométré, le premier quartile du temps nécessaire pour terminer l'examen était de 35 minutes. Interprétez le premier quartile dans le contexte de cette situation.

Réponse

Solution 2.20

Vingt-cinq pour cent des étudiants ont terminé l'examen en 35 minutes ou moins. Soixante-quinze pour cent des étudiants ont terminé l'examen en 35 minutes ou plus. Un faible percentile peut être considéré comme une bonne chose, car il est souhaitable de terminer plus rapidement un examen chronométré. (Si vous prenez trop de temps, vous ne pourrez peut-être pas terminer.)

Exemple\(\PageIndex{21}\)

Sur un test de mathématiques de 20 questions, le ^70e percentile pour le nombre de bonnes réponses était de 16. Interprétez le 70 ^e percentile dans le contexte de cette situation.

Réponse

Solution 2.21

Soixante-dix pour cent des étudiants ont répondu correctement à 16 questions ou moins. Trente pour cent des étudiants ont répondu correctement à 16 questions ou plus. Un percentile plus élevé peut être considéré comme une bonne chose, car il est souhaitable de répondre correctement à davantage de questions.

Exercice\(\PageIndex{21}\)

Sur un devoir écrit de 60 points,\(80^{th}\) le centile correspondant au nombre de points obtenus était de 49. Interprétez le\(80^{th}\) percentile dans le contexte de cette situation.

Exemple\(\PageIndex{22}\)

Dans un collège communautaire, il a été constaté que\(30^{th}\) le centile des unités de crédit auxquelles les étudiants sont inscrits est de sept unités. Interprétez le\(30^{th}\) percentile dans le contexte de cette situation.

Réponse

Solution 2.2

Trente pour cent des étudiants sont inscrits à sept unités de crédit ou moins.
Soixante-dix pour cent des étudiants sont inscrits à sept unités de crédit ou plus.
Dans cet exemple, aucun jugement de « bonne » ou de « mauvaise » valeur n'est associé à un percentile supérieur ou inférieur. Les étudiants fréquentent le collège communautaire pour des raisons et des besoins variés, et leur charge de cours varie en fonction de leurs besoins.

Exemple\(\PageIndex{23}\)

Le collège Sharpe demande une subvention qui sera utilisée pour ajouter des équipements de fitness au gymnase. Le directeur a interrogé 15 étudiants anonymes afin de déterminer combien de minutes par jour ils passent à faire de l'exercice. Les résultats des 15 étudiants anonymes sont présentés.

0 minutes ; 40 minutes ; 60 minutes ; 30 minutes ; 60 minutes

10 minutes ; 45 minutes ; 30 minutes ; 300 minutes ; 90 minutes ;

30 minutes ; 120 minutes ; 60 minutes ; 0 minute ; 20 minutes

Déterminez les cinq valeurs suivantes.

Minimum = 0
\(Q_1 = 20\)
Med = 40
\(Q_3 = 60\)
Maximum = 300

Si vous étiez le directeur, seriez-vous justifié d'acheter de nouveaux appareils de conditionnement physique ? Étant donné que 75 % des élèves font de l'exercice pendant 60 minutes ou moins par jour et que cela\(IQR\) représente 40 minutes\((60 – 20 = 40)\), nous savons que la moitié des étudiants interrogés font de l'exercice entre 20 minutes et 60 minutes par jour. Cela semble être un temps raisonnable passé à faire de l'exercice, de sorte que le directeur serait justifié d'acheter le nouvel équipement.

Cependant, le directeur doit faire preuve de prudence. La valeur 300 semble être une valeur aberrante potentielle.

\(Q_3 + 1.5(IQR) = 60 + (1.5)(40) = 120\).

La valeur 300 est supérieure à 120, il s'agit donc d'une valeur aberrante potentielle. Si nous le supprimons et calculons les cinq valeurs, nous obtenons les valeurs suivantes :

Minimum = 0
\(Q_1 = 20\)
\(Q_3 = 60\)
Maximum = 120

Nous avons encore 75 % des étudiants qui font de l'exercice pendant 60 minutes ou moins par jour et la moitié des étudiants font de l'exercice entre 20 et 60 ans.