21.1 : L'utilisation des mathématiques dans les principes de l'économie
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(Cette annexe doit être consultée après la première lecture Welcome to Economics ! ) L'économie n'est pas une maths. Il n'y a aucun concept important dans ce cours qui ne puisse être expliqué sans mathématiques. Cela dit, les mathématiques sont un outil qui peut être utilisé pour illustrer des concepts économiques. Vous vous souvenez du dicton qui dit qu'une image vaut mille mots ? Au lieu d'une image, pensez à un graphique. C'est la même chose. Les économistes utilisent les modèles comme principal outil pour obtenir des informations sur les questions et les problèmes économiques. Les mathématiques sont une façon de travailler avec (ou de manipuler) des modèles économiques.
Il existe d'autres manières de représenter les modèles, comme le texte ou la narration. Mais pourquoi utiliseriez-vous votre poing pour cogner un clou, si vous aviez un marteau ? Les mathématiques présentent certains avantages par rapport au texte. Il discipline votre pensée en vous obligeant à spécifier exactement ce que vous voulez dire. Vous pouvez vous en sortir avec des pensées floues dans votre tête, mais vous ne pouvez pas le faire si vous réduisez un modèle à des équations algébriques. Dans le même temps, les mathématiques présentent également des inconvénients. Les modèles mathématiques sont nécessairement basés sur des hypothèses simplificatrices, de sorte qu'ils ne sont probablement pas parfaitement réalistes. Les modèles mathématiques ne présentent pas non plus les nuances que l'on peut trouver dans les modèles narratifs. Le fait est que les mathématiques sont un outil, mais ce n'est pas le seul outil ou même toujours le meilleur outil que les économistes puissent utiliser. Alors, de quelles mathématiques aurez-vous besoin pour ce livre ? La réponse est : rien de plus que de l'algèbre et des graphes au lycée. Vous aurez besoin de savoir :
- Qu'est-ce qu'une fonction
- Comment interpréter l'équation d'une droite (c'est-à-dire pente et intersection)
- Comment manipuler une ligne (c'est-à-dire modifier la pente ou l'intersection)
- Comment calculer et interpréter un taux de croissance (c'est-à-dire une variation en pourcentage)
- Comment lire et manipuler un graphique
Dans ce texte, nous utiliserons les calculs les plus simples possibles et nous les présenterons dans cette annexe. Donc, si vous trouvez des mathématiques dans le livre que vous ne pouvez pas suivre, revenez à cette annexe pour les revoir. Comme la plupart des choses, les mathématiques ont des rendements décroissants. Une petite capacité en mathématiques suffit ; plus vous apportez des mathématiques avancées, moins vous aurez de connaissances supplémentaires. Cela dit, si vous allez vous spécialiser en économie, vous devriez envisager d'apprendre un peu de calcul. Cela vaudra la peine de vous aider à apprendre l'économie avancée plus rapidement.
Modèles algébriques
Les modèles économiques (ou parties de modèles) sont souvent exprimés en termes de fonctions mathématiques. Qu'est-ce qu'une fonction ? Une fonction décrit une relation. Parfois, la relation est une définition. Par exemple (en utilisant des mots), votre professeur est Adam Smith. Cela pourrait être exprimé comme professeur = Adam Smith. Ou amis = Bob + Shawn + Margaret.
Souvent, en économie, les fonctions décrivent les causes et les effets. La variable sur le côté gauche est ce qui est expliqué (« l'effet »). Sur le côté droit se trouve ce qui explique (« les causes »). Par exemple, supposons que votre GPA ait été déterminé comme suit :
\ [
\ mathrm {GPA} =0,25 \ fois \ text {Combined_SAT} +0,25 \ fois \ text {class_attendance} +0,50 \ times \ text {hours_spent_study}
\]
Cette équation indique que votre GPA dépend de trois facteurs : votre score SAT combiné, votre présence aux cours et le nombre d'heures que vous passez à étudier. Il indique également que le temps d'étude est deux fois plus important (0,50) que le score Combined_SAT (0,25) ou class_attendance (0,25). Si cette relation est vraie, comment pourriez-vous augmenter votre GPA ? En ne sautant pas les cours et en étudiant davantage. Notez que vous ne pouvez rien faire concernant votre score au SAT, car si vous êtes à l'université, vous avez (probablement) déjà passé les SAT.
Bien entendu, les modèles économiques expriment des relations à l'aide de variables économiques, comme Budget = money_spent_on_econ_books + money_spent_on_music, en supposant que les seules choses que vous achetez sont des livres d'économie et de la musique.
La plupart des relations que nous utilisons dans ce cours sont exprimées sous forme d'équations linéaires de la forme suivante :
\ [
\ mathrm {y} = \ mathrm {b} + \ mathrm {mx}
\]
Exprimer des équations
Les graphiques sont utiles à deux fins. La première consiste à exprimer des équations visuellement et la seconde à afficher des statistiques ou des données. Cette section traite de l'expression visuelle des équations.
Pour un mathématicien ou un économiste, une variable est le nom donné à une quantité qui peut prendre une plage de valeurs. Dans l'équation d'une droite présentée ci-dessus, x et y sont les variables, avec x sur l'axe horizontal et y sur l'axe vertical, et b et m représentant les facteurs qui déterminent la forme de la droite. Pour voir comment fonctionne cette équation, prenons un exemple numérique :
\ [
y=9+3 x
\]
Dans cette équation pour une droite spécifique, le terme b a été défini comme étant égal à 9 et le terme m a été défini comme égal à 3. Le tableau\(\PageIndex{A1}\) montre les valeurs de x et y pour cette équation donnée. La figure\(\PageIndex{A1}\) montre cette équation et ces valeurs dans un graphique. Pour construire la table, il suffit de connecter une série de valeurs différentes pour x, puis de calculer la valeur de y qui en résulte. Sur la figure, ces points sont tracés et une ligne est tracée à travers eux.
x | y |
---|---|
0 | 9 |
1 | 12 |
2 | 15 |
3 | 18 |
4 | 21 |
5 | 24 |
6 | 27 |
\(\PageIndex{A1}\)Valeurs du tableau pour l'équation d'interception de la pente
Cet exemple montre comment les termes b et m d'une équation pour une ligne droite déterminent la forme de la droite. Le terme b est appelé intersection y. La raison de ce nom est que, si x = 0, le terme b révélera où la ligne intercepte ou croise l'axe Y. Dans cet exemple, la ligne atteint l'axe vertical à 9. Le terme m dans l'équation de la droite est la pente. N'oubliez pas que la pente est définie comme une montée au-dessus d'une course ; plus précisément, la pente d'une ligne d'un point à un autre est le changement de l'axe vertical divisé par le changement de l'axe horizontal. Dans cet exemple, chaque fois que le terme x augmente d'un (la série), le terme y augmente de trois. Ainsi, la pente de cette ligne est de trois. La spécification d'une intersection y et d'une pente, c'est-à-dire la spécification de b et de m dans l'équation d'une droite, permet d'identifier une droite spécifique. Bien qu'il soit rare que les points de données du monde réel s'organisent en ligne droite exacte, il s'avère souvent qu'une ligne droite peut fournir une approximation raisonnable des données réelles.
Interpréter la pente
Le concept de pente est très utile en économie, car il mesure la relation entre deux variables. Une pente positive signifie que deux variables sont liées positivement ; c'est-à-dire que lorsque x augmente, y augmente également, ou lorsque x diminue, y diminue également. Graphiquement, une pente positive signifie qu'au fur et à mesure qu'une ligne du graphique linéaire se déplace de gauche à droite, la ligne s'élève. La relation longueur-poids, illustrée à la figure\(\PageIndex{A3}\) plus loin dans cette annexe, présente une pente positive. Nous verrons dans d'autres chapitres que le prix et la quantité fournis ont une relation positive, c'est-à-dire que les entreprises fourniront davantage lorsque le prix est plus élevé.
Une pente négative signifie que deux variables sont liées négativement, c'est-à-dire que lorsque x augmente, y diminue ou lorsque x diminue, y augmente. Graphiquement, une pente négative signifie que, lorsque la ligne du graphique linéaire se déplace de gauche à droite, elle tombe. La relation altitude-densité de l'air, illustrée dans la figure\(\PageIndex{A4}\) plus loin dans cette annexe, présente une pente négative. Nous apprendrons que le prix et la quantité demandés ont une relation négative, c'est-à-dire que les consommateurs achèteront moins lorsque le prix est plus élevé.
Une pente nulle signifie qu'il n'existe aucune relation entre x et y. Graphiquement, la droite est plate, c'est-à-dire qu'elle n'augmente pas au cours de la course. La figure\(\PageIndex{A5}\) du taux de chômage, présentée plus loin dans cette annexe, illustre un schéma commun à de nombreux graphiques linéaires : certains segments où la pente est positive, d'autres segments où la pente est négative et d'autres segments où la pente est proche de zéro.
La pente d'une droite entre deux points peut être calculée en termes numériques. Pour calculer la pente, commencez par désigner un point comme « point de départ » et l'autre point comme « point final », puis calculez le dépassement entre ces deux points. Prenons l'exemple de la pente du graphe de densité de l'air entre les points représentant une altitude de 4 000 mètres et une altitude de 6 000 mètres :
Hausse : variation de la variable sur l'axe vertical (point final moins point d'origine)
\ [
\ begin {aligné}
&=0,10-0,307 \ \
&=-0,207
\ end {aligné}
\]
Exécuter : Modification de la variable sur l'axe horizontal (point final moins point d'origine)
\ [
\ begin {aligné}
&=6 000-4 000 \ \
&=2 000
\ end {aligné}
\]
Ainsi, la pente d'une ligne droite entre ces deux points serait qu'à partir de 4 000 mètres d'altitude jusqu'à 6 000 mètres, la densité de l'air diminue d'environ 0,1 kilogramme/mètre cube pour chacun des 1 000 mètres suivants.
Supposons que la pente d'une ligne augmente. Graphiquement, cela signifie que cela deviendrait plus raide. Supposons que la pente d'une ligne diminue. Alors ça deviendrait plus plat. Ces conditions sont vraies, que la pente soit positive ou négative au départ. Une pente positive plus élevée signifie une inclinaison plus prononcée vers le haut par rapport à la ligne, tandis qu'une pente positive plus faible signifie une inclinaison ascendante plus plate par rapport à la ligne. Une pente négative plus grande en valeur absolue (c'est-à-dire plus négative) signifie une inclinaison plus prononcée vers le bas par rapport à la ligne. Une pente nulle est une ligne plane horizontale. Une ligne verticale possède une pente infinie.
Supposons qu'une ligne ait une plus grande intersection. Graphiquement, cela signifie qu'elle s'éloignerait (ou augmenterait) de l'ancienne origine, parallèlement à l'ancienne ligne. Si une ligne a une intersection plus petite, elle se déplacera vers l'avant (ou vers le bas), parallèlement à l'ancienne ligne.
Résoudre des modèles avec l'algèbre
Les économistes utilisent souvent des modèles pour répondre à une question précise, par exemple : quel sera le taux de chômage si l'économie croît de 3 % par an ? Pour répondre à des questions spécifiques, il faut résoudre le « système » d'équations qui représente le modèle.
Supposons que la demande de pizzas personnelles soit donnée par l'équation suivante :
\ [
\ mathrm {Qd} =16-2 \ mathrm {P}
\]
où Qd est la quantité de pizzas personnelles que les consommateurs souhaitent acheter (c'est-à-dire la quantité demandée) et P est le prix des pizzas. Supposons que la fourniture de pizzas personnelles soit :
\ [
\ mathrm {Qs} =2+5 \ mathrm {P}
\]
où Qs est la quantité que les producteurs de pizza fourniront (c'est-à-dire la quantité fournie).
Enfin, supposons que le marché de la pizza personnelle fonctionne où l'offre est égale à la demande, ou
\ [
\ mathrm {Qd} = \ mathrm {Qs}
\]
Nous avons maintenant un système de trois équations et de trois inconnues (Qd, Qs et P), que nous pouvons résoudre par algèbre :
Puisque Qd = Qs, nous pouvons définir les équations de l'offre et de la demande égales l'une à l'autre :
\ [
\ begin {aligné}
\ mathrm {Qd} &= \ mathrm {Qs} \ \
16-2 \ mathrm {P} &=2+5 \ mathrm {P}
\ end {aligné}
\]
En soustrayant 2 des deux côtés et en ajoutant 2P des deux côtés, on obtient :
\ [
\ begin {aligné}
16-2 \ mathrm {P} -2 &=2+5 \ mathrm {P} -2 \ \
14-2 \ mathrm {P} &=5 \ mathrm {P} \
14-2 \ mathrm {P} +2 \ mathrm {P} &=5 \ mathrm {P} +2 \ mathrm {P} \ \
14 &=7 \ mathrm {P} thrm {P} \
\ \ frac {14} {7} &= \ frac {7 \ mathrm {P}} {7} \ \
2 &= \ mathrm {P}
\ end {aligné}
\]
En d'autres termes, le prix de chaque pizza personnelle sera de 2$. Combien les consommateurs achèteront-ils ?
En prenant le prix de 2$ et en l'intégrant à l'équation de la demande, nous obtenons :
\ [
\ begin {aligné}
\ mathrm {Qd} &=16-2 \ mathrm {P} \ \
&=16-2 (2) \ \
&=16-4 \ \
&=12
\ end {aligné}
\]
Donc, si le prix est de 2$ chacun, les consommateurs en achèteront 12. Quelle quantité les producteurs fourniront-ils ? En prenant le prix de 2$ et en l'intégrant à l'équation de l'offre, nous obtenons :
\ [
\ begin {aligné}
\ mathrm {Qs} &=2+5 \ mathrm {P} \ \
&=2+5 (2) \ \
&=2+10 \ \
&=12
\ end {aligné}
\]
Donc, si le prix est de 2$ chacun, les producteurs fourniront 12 pizzas personnelles. Cela signifie que nous avons fait nos calculs correctement, puisque Qd = Qs.
Résolution de modèles avec des graphes
Si l'algèbre n'est pas votre point fort, vous pouvez obtenir la même réponse en utilisant des graphiques. Prenez les équations pour Qd et Qs et représentez-les graphiquement sur le même ensemble d'axes, comme indiqué sur la figure\(\PageIndex{A2}\). Puisque P est sur l'axe vertical, il est plus facile de résoudre chaque équation pour P. La courbe de demande est alors P = 8 — 0,5 Qd et la courbe d'offre est P = —0,4 + 0,2 Qs. Notez que les points d'intersection verticaux sont de 8 et —0,4, et que les pentes sont de —0,5 pour la demande et de 0,2 pour l'offre. Si vous dessinez les graphiques avec soin, vous verrez que là où ils se croisent (Qs = Qd), le prix est de 2$ et la quantité est de 12, comme l'avait prédit l'algèbre.
Nous utiliserons des graphiques plus fréquemment dans ce livre que de l'algèbre, mais vous connaissez maintenant les mathématiques qui sous-tendent les graphiques.
Taux de croissance
Les taux de croissance sont fréquemment rencontrés dans l'économie du monde réel. Un taux de croissance est simplement la variation en pourcentage d'une certaine quantité. Cela pourrait être votre revenu. Il peut s'agir des ventes d'une entreprise. Il peut s'agir du PIB d'un pays. La formule pour calculer un taux de croissance est simple :
\ [
\ text {Variation en pourcentage} = \ dfrac {\ text {Modification de la quantité}} {\ text {Quantité}}
\]
Supposons que votre travail rapporte 10$ de l'heure. Cependant, votre patron est tellement impressionné par votre travail qu'il vous donne une augmentation de 2$ de l'heure. La variation en pourcentage (ou taux de croissance) de votre salaire est de 2 $/10 $ = 0,20 ou 20 %.
Pour calculer le taux de croissance des données sur une période prolongée, par exemple la croissance annuelle moyenne du PIB sur une décennie ou plus, le dénominateur est généralement défini de manière légèrement différente. Dans l'exemple précédent, nous avons défini la quantité comme étant la quantité initiale, ou la quantité lorsque nous avons commencé. C'est bien pour un calcul unique, mais lorsque nous calculons la croissance encore et encore, il est plus logique de définir la quantité comme la quantité moyenne sur la période en question, qui est définie comme la quantité à mi-chemin entre la quantité initiale et la quantité suivante. C'est plus difficile à expliquer avec des mots qu'à montrer par un exemple. Supposons que le PIB d'un pays était de 1 billion de dollars en 2005 et de 1,03 billion de dollars en 2006. Le taux de croissance entre 2005 et 2006 serait la variation du PIB (1,03 billion de dollars — 1 000 milliards de dollars) divisée par le PIB moyen entre 2005 et 2006 (1,03 billion de dollars + 1 000 milliards de dollars) /2. En d'autres termes :
\ [
\ begin {aligné}
&= \ dfrac {\ $1,03 \ text {billion} - \ $1,00 \ text {billion}} {(\ $1,03 \ text {billion} + \ $1,00 \ text {billion})/2} \ \ &= \ dfrac {0,03} {1,015} \ \ &=0,0296 \ \ \
&=2,96 \ % \ % \ &= \ \ \
&= \ dfrac {0,03} {1,015} \ \ &=0,0296 \ \ % \ % \ text {croissance}
\ end {aligné}
\]
Notez que si nous utilisions la première méthode, le calcul serait (1,03 billion de dollars — 1 000 milliards de dollars)/1 000 milliards de dollars = 3 % de croissance, ce qui est à peu près le même que la deuxième méthode, plus complexe. Si vous avez besoin d'une approximation approximative, utilisez la première méthode. Si vous avez besoin de précision, utilisez la deuxième méthode.
Quelques points à retenir : un taux de croissance positif signifie que la quantité augmente. Un taux de croissance plus faible signifie que la quantité augmente plus lentement. Un taux de croissance plus élevé signifie que la quantité augmente plus rapidement. Un taux de croissance négatif signifie que la quantité diminue.
La même évolution au fil du temps se traduit par un taux de croissance plus faible. Si vous obteniez une augmentation de 2$ par an, la première année, le taux de croissance serait de 2 $/10 $ = 20 %, comme indiqué ci-dessus. Mais la deuxième année, le taux de croissance serait de 2 $/12 dollars = 0,167 ou 16,7 % de croissance. La troisième année, la même augmentation de 2$ correspondrait à 2$ à 14$ = 14,2 %. La morale de l'histoire est la suivante : pour maintenir le même taux de croissance, le changement doit augmenter à chaque période.
Affichage graphique des données et interprétation du graphique
Les graphiques sont également utilisés pour afficher des données ou des preuves. Les graphes sont une méthode de présentation de modèles numériques. Ils condensent des informations numériques détaillées sous une forme visuelle dans laquelle les relations et les modèles numériques peuvent être vus plus facilement. Par exemple, quels sont les pays dont la population est plus ou moins nombreuse ? Un lecteur attentif pourrait examiner une longue liste de chiffres représentant les populations de nombreux pays, mais comme le monde compte plus de 200 pays, il faudrait de la concentration et du temps pour parcourir une telle liste. Le fait de placer ces mêmes chiffres sur un graphique peut rapidement révéler les tendances de la population. Les économistes utilisent des graphiques à la fois pour une présentation compacte et lisible de groupes de nombres et pour acquérir une compréhension intuitive des relations et des connexions.
Trois types de graphiques sont utilisés dans ce livre : des graphiques linéaires, des graphiques à secteurs et des graphiques à barres. Chacune d'elles est abordée ci-dessous. Nous fournissons également des avertissements sur la manière dont les graphiques peuvent être manipulés pour modifier la perception qu'ont les spectateurs des relations entre les données.
Graphiques linéaires
Les graphiques dont nous avons parlé jusqu'à présent sont appelés graphiques linéaires, car ils montrent une relation entre deux variables : l'une mesurée sur l'axe horizontal et l'autre mesurée sur l'axe vertical.
Il est parfois utile d'afficher plusieurs ensembles de données sur les mêmes axes. Les données du tableau\(\PageIndex{A2}\) sont affichées dans la figure\(\PageIndex{A3}\) qui montre la relation entre deux variables : la longueur et le poids médian des bébés garçons et filles américains au cours des trois premières années de vie. (La médiane signifie que la moitié des bébés pèsent plus que ce poids et que l'autre moitié pèsent moins.) Le graphique linéaire mesure la longueur en pouces sur l'axe horizontal et le poids en livres sur l'axe vertical. Par exemple, le point A de la figure montre qu'un garçon de 28 pouces de long aura un poids médian d'environ 19 livres. Une ligne du graphique montre la relation entre la longueur et le poids pour les garçons et l'autre ligne montre la relation pour les filles. Ce type de graphique est largement utilisé par les professionnels de santé pour vérifier si le développement physique d'un enfant est à peu près sur la bonne voie.
Garçons de la naissance à 36 mois | Filles de la naissance à 36 mois | ||
---|---|---|---|
Longueur (pouces) | Poids (livres) | Longueur (pouces) | Poids (livres) |
20,0 | 8,0 | 20,0 | 7,9 |
2,0 | 10,5 | 2,0 | 10,5 |
24,0 | 13,5 | 24,0 | 13,2 |
26,0 | 16,4 | 26,0 | 16,0 |
28,0 | 19,0 | 28,0 | 18,8 |
30,0 | 21,8 | 30,0 | 21,2 |
32,0 | 24,3 | 32,0 | 24,0 |
34,0 | 27,0 | 34,0 | 26,2 |
36,0 | 29,3 | 36,0 | 28,9 |
38,0 | 32,0 | 38,0 | 31,3 |
Rapport entre\(\PageIndex{A2}\) la longueur et le poids du tableau pour les garçons et les filles américains
Toutes les relations en économie ne sont pas linéaires. Parfois, ce sont des courbes. La figure\(\PageIndex{A4}\) présente un autre exemple de graphique linéaire représentant les données du tableau\(\PageIndex{A3}\). Dans ce cas, le graphique linéaire montre à quel point l'air devient mince lorsque vous gravissez une montagne. L'axe horizontal de la figure indique l'altitude, mesurée en mètres au-dessus du niveau de la mer. L'axe vertical mesure la densité de l'air à chaque altitude. La densité de l'air est mesurée par le poids de l'air dans un mètre cube d'espace (c'est-à-dire une boîte mesurant un mètre de hauteur, de largeur et de profondeur). Comme le montre le graphique, la pression de l'air est maximale au niveau du sol et diminue au fur et à mesure que vous montez. La figure\(\PageIndex{A4}\) montre qu'un mètre cube d'air à une altitude de 500 mètres pèse environ un kilogramme (environ 2,2 livres). Cependant, à mesure que l'altitude augmente, la densité de l'air diminue. Un mètre cube d'air au sommet du mont Everest, à environ 8 828 mètres, ne pèserait que 0,023 kilogramme. La rareté de l'air à haute altitude explique pourquoi de nombreux alpinistes ont besoin d'utiliser des réservoirs d'oxygène lorsqu'ils atteignent le sommet d'une montagne.
Altitude (mètres) | Densité de l'air (kg/mètres cubes) |
---|---|
0 | 1 200 |
500 | 1,093 |
1 000 | 0,831 |
1 500 | 0,678 |
2 000 | 0,569 |
2 500 | 0,484 |
3 000 | 0,415 |
3 500 | 0,357 |
4 000 | 0,307 |
4 500 | 0,231 |
5 000 | 0,182 |
5 500 | 0,142 |
6 000 | 0,100 |
6 500 | 0,085 |
7 000 | 0,066 |
7 500 | 0,051 |
8 000 | 0,041 |
8 500 | 0,025 |
9 000 | 0,022 |
9 500 | 0,019 |
10 000 | 0,014 |
Tableau : relation entre\(\PageIndex{A3}\) altitude et densité de l'air
La relation longueur-poids et la relation altitude-densité de l'air dans ces deux figures représentent des moyennes. Si vous deviez collecter des données réelles sur la pression atmosphérique à différentes altitudes, la densité de l'air sera légèrement différente à une même altitude dans différents lieux géographiques, en fonction de facteurs tels que la distance à laquelle vous vous trouvez par rapport à l'équateur, les conditions météorologiques locales et l'humidité de l'air. De même, en mesurant la taille et le poids des enfants pour le graphique linéaire précédent, les enfants d'une taille donnée auraient différents poids, certains supérieurs à la moyenne et d'autres inférieurs. Dans le monde réel, ce type de variation des données est courant. La tâche d'un chercheur est d'organiser ces données de manière à aider à comprendre les modèles typiques. L'étude des statistiques, en particulier lorsqu'elle est combinée à des statistiques informatiques et à des tableurs, est d'une grande aide pour organiser ce type de données, tracer des graphiques linéaires et rechercher des relations sous-jacentes typiques. Pour la plupart des majeures en économie et en sciences sociales, un cours de statistiques sera requis à un moment donné.
Un graphique linéaire courant est appelé série chronologique, dans laquelle l'axe horizontal indique le temps et l'axe vertical affiche une autre variable. Ainsi, un graphique de série chronologique montre l'évolution d'une variable dans le temps. La figure\(\PageIndex{A5}\) montre le taux de chômage aux États-Unis depuis 1975, où le chômage est défini comme le pourcentage d'adultes qui veulent un emploi et recherchent un emploi, mais n'en trouvent pas. Les points du taux de chômage pour chaque année sont tracés sur le graphique, puis une ligne relie les points, montrant comment le taux de chômage a augmenté et diminué depuis 1975. Le graphique linéaire permet de voir facilement, par exemple, que le taux de chômage le plus élevé au cours de cette période était légèrement inférieur à 10 % au début des années 1980 et en 2010, alors que le taux de chômage a diminué du début des années 1990 à la fin des années 1990, avant d'augmenter puis de redescendre au début des années 2000, puis en forte hausse pendant la récession de 2008 à 2009.
Graphiques à secteurs
Un graphique circulaire (parfois appelé graphique circulaire) est utilisé pour montrer comment un total global est divisé en parties. Un cercle représente un groupe dans son ensemble. Les tranches de ce « gâteau » circulaire indiquent la taille relative des sous-groupes.
La figure\(\PageIndex{A6}\) montre comment la population américaine était divisée entre les enfants, les adultes en âge de travailler et les personnes âgées en 1970, 2000, et ce qui est prévu pour 2030. Les informations sont d'abord transmises sous forme de chiffres dans un tableau\(\PageIndex{A4}\), puis sous forme de trois diagrammes à secteurs. La première colonne du tableau\(\PageIndex{A4}\) indique la population totale des États-Unis pour chacune des trois années. Les colonnes 2 à 4 classent le total en fonction des groupes d'âge : de la naissance à 18 ans, de 19 à 64 ans et 65 ans et plus. Dans les colonnes 2 à 4, le premier chiffre indique le nombre réel de personnes dans chaque catégorie d'âge, tandis que le chiffre entre parenthèses indique le pourcentage de la population totale comprise dans ce groupe d'âge.
Année | Population totale | 19 ans et moins | 20 à 64 ans | Plus de 65 ans |
---|---|---|---|---|
1970 | 205,0 millions | 77,2 (37,6 %) | 107,7 (52,5 %) | 20,1 (9,8 %) |
2000 | 275,4 millions | 78,4 (28,5 %) | 162,2 (58,9 %) | 34,8 (12,6 %) |
2030 | 351,1 millions | 92,6 (26,4 %) | 188,2 (53,6 %) | 70,3 (20,0 %) |
Tableau Répartition par âge\(\PageIndex{A4}\) aux États-Unis, 1970, 2000 et 2030 (projection)
Dans un graphique circulaire, chaque tranche du graphique représente une part du total, ou un pourcentage. Par exemple, 50 % correspondraient à la moitié du gâteau et 20 % à un cinquième du gâteau. Les trois diagrammes circulaires de\(\PageIndex{A6}\) la figure montrent que la part de la population américaine âgée de 65 ans et plus augmente. Les graphiques à secteurs vous permettent de vous faire une idée de la taille relative des différents groupes d'âge entre 1970 et 2000 et 2030, sans avoir à parcourir les chiffres et les pourcentages spécifiques du tableau. Parmi les exemples courants d'utilisation des graphiques à secteurs, citons la division de la population en groupes par âge, niveau de revenu, origine ethnique, religion, profession ; la division des différentes entreprises en catégories selon la taille, le secteur d'activité et le nombre d'employés ; et la division des dépenses publiques ou des impôts en catégories principales.
Graphiques à barres
Un graphique à barres utilise la hauteur de différentes barres pour comparer des quantités. Le tableau\(\PageIndex{A5}\) répertorie les 12 pays les plus peuplés du monde. La figure\(\PageIndex{A7}\) fournit ces mêmes données dans un graphique à barres. La hauteur des barres correspond à la population de chaque pays. Bien que vous sachiez peut-être que la Chine et l'Inde sont les pays les plus peuplés du monde, le fait de voir les barres sur la tour graphique au-dessus des autres pays permet d'illustrer l'ampleur de la différence entre les tailles des populations nationales.
Pays | Population |
---|---|
Chine | 1 369 |
Inde | 1 270 |
États-Unis | 321 |
Indonésie | 255 |
Brésil | 204 |
Pakistan | 190 |
Nigeria | 184 |
Bangladesh | 158 |
Russie | 146 |
Japon | 127 |
Mexico | 121 |
Philippines | 101 |
Tableau\(\PageIndex{A5}\) des 12 principaux pays du monde par population
Les diagrammes à barres peuvent être subdivisés de manière à révéler des informations similaires à celles que nous pouvons obtenir à partir des diagrammes à secteurs. La figure\(\PageIndex{A8}\) propose trois diagrammes à barres basés sur les informations de Figure\(\PageIndex{A6}\) concernant la répartition par âge aux États-Unis en 1970, 2000 et 2030. La figure A8 (a) montre trois barres pour chaque année, représentant le nombre total de personnes dans chaque tranche d'âge pour chaque année. La figure\(\PageIndex{A8}\) (b) montre une seule barre par année, mais les différents groupes d'âge sont désormais ombrés à l'intérieur de la barre. Dans la figure\(\PageIndex{A8}\) (c), toujours sur la base des mêmes données, l'axe vertical mesure les pourcentages plutôt que le nombre de personnes. Dans ce cas, les trois diagrammes à barres ont la même hauteur et représentent 100 % de la population, chaque barre étant divisée en fonction du pourcentage de la population dans chaque groupe d'âge. Il est parfois plus facile pour un lecteur de parcourir plusieurs diagrammes à barres, en comparant les zones ombrées, plutôt que d'essayer de comparer plusieurs diagrammes à secteurs.
La figure\(\PageIndex{A7}\) et\(\PageIndex{A8}\) la figure montrent comment les barres peuvent représenter des pays ou des années, et comment l'axe vertical peut représenter une valeur numérique ou une valeur en pourcentage. Les graphiques à barres peuvent également comparer la taille, la quantité, les taux, les distances et d'autres catégories quantitatives.
Comparaison de graphiques linéaires avec des diagrammes à secteurs et à barres
Maintenant que vous êtes familiarisé avec les graphiques à secteurs, les diagrammes à barres et les graphiques linéaires, comment savoir quel graphique utiliser pour vos données ? Les graphiques circulaires sont souvent plus efficaces que les graphiques linéaires pour montrer comment un groupe global est divisé. Toutefois, si un graphique circulaire comporte trop de tranches, il peut devenir difficile à interpréter.
Les diagrammes à barres sont particulièrement utiles pour comparer des quantités. Par exemple, si vous étudiez les populations de différents pays, comme dans la figure\(\PageIndex{A7}\), des graphiques à barres peuvent montrer les relations entre les tailles de population de plusieurs pays. Non seulement il peut montrer ces relations, mais il peut également montrer la répartition des différents groupes au sein de la population.
Un graphique linéaire est souvent le format le plus efficace pour illustrer une relation entre deux variables qui changent toutes les deux. Par exemple, les graphiques de séries chronologiques peuvent montrer des tendances à mesure que le temps change, comme le taux de chômage au fil du temps. Les graphiques linéaires sont largement utilisés en économie pour présenter des données continues sur les prix, les salaires, les quantités achetées et vendues et la taille de l'économie.
Comment les graphiques peuvent être trompeurs
Les graphiques ne révèlent pas seulement des modèles, ils peuvent également modifier la façon dont les modèles sont perçus. Pour voir comment cela peut être fait, considérez les graphiques linéaires de Figure\(\PageIndex{A9}\), Figure\(\PageIndex{A10}\) et Figure\(\PageIndex{A11}\). Ces graphiques illustrent tous le taux de chômage, mais sous des angles différents.
Supposons que vous souhaitiez un graphique qui donne l'impression que la hausse du chômage en 2009 n'a pas été si importante, ni si extraordinaire par rapport aux normes historiques. Vous pouvez choisir de présenter vos données comme dans la Figure\(\PageIndex{A9}\) (a). La figure\(\PageIndex{A9}\) (a) inclut en grande partie les mêmes données que celles présentées précédemment dans la figure,\(\PageIndex{A5}\) mais étire l'axe horizontal plus longtemps que l'axe vertical. En étalant le graphique de manière large et plate, l'apparence visuelle montre que la hausse du chômage n'est pas si importante et qu'elle est similaire à certaines hausses passées du chômage. Imaginez maintenant que vous vouliez souligner la hausse substantielle du chômage en 2009. Dans ce cas, en utilisant les mêmes données, vous pouvez étirer l'axe vertical par rapport à l'axe horizontal, comme dans la Figure\(\PageIndex{A9}\) (b), ce qui fait apparaître toutes les hausses et les baisses du chômage plus importantes.
Un effet similaire peut être obtenu sans modifier la longueur des axes, mais en modifiant l'échelle sur l'axe vertical. Dans la figure\(\PageIndex{A10}\) (c), l'échelle sur l'axe vertical va de 0 % à 30 %, tandis que dans la figure\(\PageIndex{A10}\) (d), l'axe vertical va de 3 % à 10 %. Par rapport à la figure\(\PageIndex{A5}\), où l'échelle verticale va de 0 % à 12 %, la figure\(\PageIndex{A10}\) (c) réduit la fluctuation du chômage, tandis que la figure\(\PageIndex{A10}\) (d) la fait paraître plus grande.
Une autre façon de modifier la perception du graphique consiste à réduire l'ampleur de la variation en modifiant le nombre de points tracés sur le graphique. La figure\(\PageIndex{A10}\) (e) montre le taux de chômage selon des moyennes quinquennales. En calculant la moyenne de certaines variations d'une année à l'autre, la courbe semble plus lisse et présente moins de hauts et de bas. En réalité, le taux de chômage est communiqué tous les mois, et la figure\(\PageIndex{A11}\) (f) montre les chiffres mensuels depuis 1960, qui fluctuent davantage que la moyenne quinquennale. La figure\(\PageIndex{A11}\) (f) est également une illustration frappante de la façon dont les graphiques peuvent compresser de nombreuses données. Le graphique inclut des données mensuelles depuis 1960, qui, sur près de 50 ans, donnent près de 600 points de données. La lecture de cette liste de 600 points de données sous forme numérique serait hypnotique. Vous pouvez cependant avoir une bonne idée intuitive de ces 600 points de données très rapidement à partir du graphique.
Une dernière astuce pour manipuler la perception des informations graphiques est qu'en choisissant soigneusement les points de départ et d'arrivée, vous pouvez influencer la perception selon laquelle la variable est à la hausse ou à la baisse. Les données originales montrent une tendance générale, le chômage étant faible dans les années 1960, mais il a augmenté au milieu des années 1970, au début des années 1980, au début des années 1990, au début des années 2000 et à la fin des années 2000. La figure\(\PageIndex{A11}\) (g) montre toutefois un graphique qui ne remonte qu'à 1975, ce qui donne l'impression que le chômage a diminué plus ou moins progressivement au fil du temps jusqu'à ce que la récession de 2009 le ramène à son niveau « initial », ce qui est une interprétation plausible si l'on part du point culminant vers 1975.
Ces types d'astuces, ou devons-nous simplement les appeler « choix de présentation », ne se limitent pas aux graphiques linéaires. Dans un diagramme circulaire comportant de nombreuses petites tranches et une grande tranche, quelqu'un doit décider quelles catégories doivent être utilisées pour produire ces tranches en premier lieu, faisant ainsi paraître certaines tranches plus grandes que d'autres. Si vous créez un graphique à barres, vous pouvez agrandir ou raccourcir l'axe vertical, ce qui aura tendance à faire apparaître plus ou moins les variations de hauteur des barres.
Être capable de lire des graphiques est une compétence essentielle, tant en économie que dans la vie. Un graphique n'est qu'une perspective ou un point de vue, façonné par des choix tels que ceux abordés dans cette section. Ne croyez pas toujours à la première impression rapide d'un graphique. Visualisez avec prudence.
Concepts clés et résumé
Les mathématiques sont un outil permettant de comprendre l'économie et les relations économiques peuvent être exprimées mathématiquement à l'aide d'algèbre ou de graphiques. L'équation algébrique d'une droite est y = b + mx, où x est la variable sur l'axe horizontal et y est la variable sur l'axe vertical, le terme b est l'intersection y et le terme m est la pente. La pente d'une ligne est la même en tout point de la ligne et indique la relation (positive, négative ou nulle) entre deux variables économiques.
Les modèles économiques peuvent être résolus de manière algébrique ou graphique. Les graphiques vous permettent d'illustrer les données de manière visuelle. Ils peuvent illustrer des modèles, des comparaisons, des tendances et des répartitions en condensant les données numériques et en donnant une idée intuitive des relations entre les données. Un graphique linéaire montre la relation entre deux variables : l'une est représentée sur l'axe horizontal et l'autre sur l'axe vertical. Un diagramme circulaire montre comment une chose est allouée, comme une somme d'argent ou un groupe de personnes. La taille de chaque tranche du gâteau est dessinée pour représenter le pourcentage correspondant du tout. Un graphique à barres utilise la hauteur des barres pour montrer une relation, où chaque barre représente une certaine entité, comme un pays ou un groupe de personnes. Les barres d'un graphique à barres peuvent également être divisées en segments pour afficher des sous-groupes.
Tout graphique est une perspective visuelle unique sur un sujet. L'impression que cela laissera sera basée sur de nombreux choix, tels que les données ou la période à inclure, la manière dont les données ou les groupes sont divisés, la taille relative des axes verticaux et horizontaux, le fait que l'échelle utilisée sur une verticale commence à zéro. Ainsi, tout graphique doit être considéré avec scepticisme, en gardant à l'esprit que la relation sous-jacente peut être sujette à différentes interprétations.