6.10 : Chapitre 6 : Exercices de révision

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1) La quantité de travail nécessaire pour pomper l'eau d'un cylindre à moitié plein est la moitié de la quantité de travail nécessaire pour pomper l'eau hors du cylindre plein.

Réponse: Faux

2) Si la force est constante, la quantité de travail nécessaire pour déplacer un objet de$x=a$ à$x=b$ est de$F(b−a)$.

3) La méthode du disque peut être utilisée dans toutes les situations où la méthode du laveur parvient à trouver le volume d'un solide en révolution.

Réponse: Faux

4) Si la demi-vie de$seaborgium-266$ est de$360$ ms, alors$k=\dfrac{\ln 2}{360}.$

Pour les exercices 5 à 8, utilisez la méthode demandée pour déterminer le volume du solide.

5) Le volume qui a la base de l'ellipse$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ et les sections transversales d'un triangle équilatéral perpendiculaire à l'$y$axe. Utilisez la méthode de tranchage.

Réponse: $V = 32\sqrt{3}\, \text{units}^3$

6)$y=x^2−x$, de$x=1$ à$x=4$, pivoté autour de l'$y$axe Y selon la méthode de la rondelle

7)$x=y^2$ et$x=3y$ pivoté autour de l'$y$axe en utilisant la méthode de la rondelle

Réponse: $V = \frac{162π}{5}\, \text{units}^3$

8)$x=2y^2−y^3,\; x=0$, et$y=0$ pivoté autour de l'$x$axe -à l'aide de coques cylindriques

Pour les exercices 9 à 14, trouvez

a. la superficie de la région,

b. le volume du solide lorsqu'il est tourné autour de l'$x$axe Y, et

c. le volume du solide lorsqu'il est tourné autour de l'$y$axe. Utilisez la méthode qui vous semble la plus appropriée.

9)$y=x^3,x=0,y=0$, et$x=2$

Réponse: a.$A = 4$ unités ²
b.$V = \frac{128π}{7}$ unités ³
c.$V = \frac{64π}{5}$ unités ³

10)$y=x^2−x$ et$x=0$

11) [T]$y=\ln(x)+2$ et$y=x$

Réponse: a.$A \approx 1.949$ unités ²
b.$V \approx 21.952$ unités ³
c.$V = \approx 17.099$ unités ³

12)$y=x^2$ et$y=\sqrt{x}$

13)$y=5+x, y=x^2, x=0$, et$x=1$

Réponse: a.$A = \frac{31}{6}$ unités ²
b.$V = \frac{452π}{15}$ unités ³
c.$V = \frac{31π}{6}$ unités ³

14) En dessous$x^2+y^2=1$ et au-dessus$y=1−x$

15) Détermine la masse de$ρ=e^{−x}$ sur un disque centré à l'origine avec un rayon$4$.

Réponse: $m \approx 245.282$

16) Trouvez le centre de gravité pour$ρ=\tan^2x$$x\in (−\frac{π}{4},\frac{π}{4})$.

17) Trouvez la masse et le centre de gravité de$ρ=1$ la région délimitée par$y=x^5$ et$y=\sqrt{x}$.

Réponse: Messe :$\frac{1}{2},$
Centre de gravité :$(\frac{18}{35},\frac{9}{11})$

Pour les exercices 18 à 19, trouvez les longueurs d'arc souhaitées.

18) La longueur de$x$ pour$y=\cosh(x)$ de$x=0$ à$x=2$.

19) La longueur$y$$x=3−\sqrt{y}$ de quatre$y=0$ à$y=4$

Réponse: $s = \big[\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln(33+8\sqrt{17})\big]$unités

Pour les exercices 20 à 21, déterminez la surface et le volume lorsque les courbes données tournent autour de l'axe spécifié.

20) La forme créée en faisant tourner la région située entre l'$y$axe$y=4+x, \;y=3−x, \;x=0,$ et en la faisant$x=2$ pivoter autour de celui-ci.

21) Le haut-parleur créé en tournant$y=\dfrac{1}{x}$ de$x=1$ vers$x=4$ autour de l'$x$axe.

Réponse: Volume :$V = \frac{3π}{4}$ unités ³
Surface :$A = π\left(\sqrt{2}−\sinh^{−1}(1)+\sinh^{−1}(16)−\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$ unités ²

Pour l'exercice 22, pensez au barrage Karun-3 en Iran. Sa forme peut être approximée comme un triangle isocèle de hauteur$205$ m et de largeur$388$ m. Supposons que la profondeur actuelle de l'eau soit de$180$ m. La densité de l'eau est de$1000$ kg/m ³.

22) Déterminez la force totale exercée sur la paroi du barrage.

23) Vous êtes un enquêteur sur les lieux d'un crime qui tente de déterminer l'heure du décès d'une victime. Il est midi et$45$ °F à l'extérieur et la température du corps est de$78$ °F. Vous savez que la constante de refroidissement est de$k=0.00824$ °F/min. Quand la victime est-elle morte, en supposant que la température humaine est de$98$ °F ?

Réponse: 11 h 02

Pour l'exercice suivant, considérez le krach boursier de 1929 aux États-Unis. Le tableau indique la moyenne industrielle du Dow Jones par année avant le krach.

Année après 1920	Valeur ($)
1	63,90
3	100
5	110
7	160
9	381,17

Une source : http:/stockcharts.com/freecharts/hi...a19201940.html

24) [T] La courbe exponentielle la mieux adaptée à ces données est donnée par$y=40.71+1.224^x$. Pourquoi pensez-vous que les gains du marché n'étaient pas durables ? Utilisez la première et la deuxième dérivée pour justifier votre réponse. Quelle serait la moyenne industrielle du Dow Jones en 2014 selon ce modèle ?

Pour les exercices 25 à 26, considérez le caténoïde, le seul solide de révolution dont la surface est minimale ou dont la courbure moyenne est nulle. Un caténoïde dans la nature peut être trouvé en étirant du savon entre deux anneaux.

25) Déterminez le volume du caténoïde$y=\cosh(x)$ de$x=−1$ à$x=1$ créé en faisant pivoter cette courbe autour de l'$x$axe -, comme indiqué ici.

$Cette figure est l'image d'un caténoïde. Il a été formé en faisant tourner une courbe caténaire autour d'un axe vertical.$

Réponse: $V = π\big(1+\sinh(1)\cosh(1)\big)$unités ³

26) Trouvez la surface du caténoïde$y=\cosh(x)$ de$x=−1$ à$x=1$ créée en faisant pivoter cette courbe autour de l'$x$axe.