31.3 : Notation scientifique (Annexe C)

En astronomie (et dans d'autres sciences), il est souvent nécessaire de traiter de très grands ou de très petits nombres. En fait, lorsque les chiffres deviennent vraiment importants dans la vie de tous les jours, comme la dette nationale aux États-Unis, nous les appelons astronomiques. Parmi les idées auxquelles les astronomes doivent faire face régulièrement, il y a le fait que la Terre se trouve à 150 000 000 000 mètres du Soleil et que la masse de l'atome d'hydrogène est de 0,000000000000000000000000167 kilogrammes. Personne sensé ne voudrait continuer à écrire autant de zéros !

Au lieu de cela, les scientifiques se sont mis d'accord sur une sorte de notation abrégée, qui est non seulement plus facile à écrire, mais qui (comme nous le verrons) rend la multiplication et la division de grands et de petits nombres beaucoup moins difficiles. Si vous n'avez jamais utilisé cette notation ou cette notation scientifique aux pouvoirs des dix, cela peut prendre un peu de temps pour vous y habituer, mais vous la trouverez bientôt beaucoup plus facile que de suivre tous ces zéros.

Écrire de grands nombres

En notation scientifique, nous sommes généralement d'accord pour n'avoir qu'un seul chiffre à gauche de la virgule décimale. Si un numéro n'est pas dans ce format, il doit être modifié. Le chiffre 6 est déjà dans le bon format, car pour les entiers, nous comprenons qu'il y ait un point décimal à leur droite. Donc 6 est vraiment 6., et il n'y a en effet qu'un seul chiffre à gauche de la virgule décimale. Mais le nombre 965 (qui est 965) comporte trois chiffres à gauche de la virgule décimale, et est donc mûr pour la conversion.

Pour que le format 965 soit correct, nous devons le mettre à 9,65 et suivre ensuite les modifications que nous avons apportées. (Considérez ce chiffre comme un salaire hebdomadaire et tout à coup, cela fait une grande différence que nous ayons 965$ ou 9,65$.) Nous enregistrons le nombre de positions où nous avons déplacé la virgule décimale en l'exprimant sous la forme d'une puissance de dix. Ainsi, 965 devient 9,65 × 10 ² ou 9,65 multiplié par dix à la deuxième puissance. Le petit 2 surélevé est appelé exposant, et il nous indique combien de fois nous avons déplacé la virgule décimale vers la gauche.

Notez que 10 ² désigne également 10 carrés, ou 10 × 10, ce qui équivaut à 100. Et 9,65 × 100, c'est juste 965, le chiffre avec lequel nous avons commencé. Une autre façon d'envisager la notation scientifique est de séparer les nombres désordonnés à l'avant et de laisser les unités lisses de dix à l'exposant. Ainsi, un nombre comme 1 372 568 devient 1,372568 fois par million (10 ⁶) ou 1,372568 fois 10 multiplié par lui-même 6 fois. Nous avons dû déplacer la virgule décimale de six places vers la gauche (à partir de sa position après le 8) pour que le nombre prenne la forme où il n'y a qu'un seul chiffre à gauche de la virgule décimale.

La raison pour laquelle nous appelons cette notation des puissances de dix est que notre système de comptage est basé sur des augmentations de dix ; chaque place de notre système de numérotation est dix fois plus grande que la place située à sa droite. Comme vous l'avez probablement appris, cela a commencé parce que les êtres humains ont dix doigts et que nous avons commencé à compter avec eux. (Il est intéressant de penser que si jamais nous rencontrons des formes de vie intelligentes à huit doigts seulement, leur système de comptage serait probablement une notation de huit puissances !)

Ainsi, dans l'exemple avec lequel nous avons commencé, le nombre de mètres entre la Terre et le Soleil est de 1,5 × 10 ¹¹. Ailleurs dans le livre, nous mentionnons qu'une ficelle d'une année-lumière pourrait faire 236 millions de tours autour de l'équateur de la Terre, soit 236 000 000 de fois. En notation scientifique, cela deviendrait 2,36 × 10 ⁸. Maintenant, si vous aimez exprimer les choses en millions, comme le font les rapports annuels des entreprises prospères, vous pouvez écrire ce chiffre 236 × 10 ⁶. Cependant, la convention habituelle est de n'avoir qu'un seul chiffre à gauche de la virgule décimale.

Écrire de petits nombres

Maintenant, prenez un nombre comme 0,00347, qui n'est pas non plus dans la forme standard (convenue) pour la notation scientifique. Pour le mettre dans ce format, nous devons faire en sorte que la première partie soit 3,47 en déplaçant la virgule décimale de trois places vers la droite. Notez que ce mouvement vers la droite est l'opposé du mouvement vers la gauche dont nous avons parlé plus haut. Pour suivre ce changement, nous appelons ce changement négatif et ajoutons un signe moins dans l'exposant. Ainsi, 0,00347 devient 3,47 × 10 ^-3.

Dans l'exemple que nous avons donné au début, la masse de l'atome d'hydrogène s'écrirait alors comme suit : 1,67 × 10 ⁻²⁷ kg. Dans ce système, un est écrit comme 10 ⁰, un dixième comme 10 ^-1, un centième comme 10 ^-2, et ainsi de suite. Notez que n'importe quel nombre, qu'il soit grand ou petit, peut être exprimé en notation scientifique.

Multiplication et division

La notation scientifique n'est pas seulement compacte et pratique, elle simplifie également l'arithmétique. Pour multiplier deux nombres exprimés en puissances de dix, il suffit de multiplier les nombres à l'avant, puis d'ajouter les exposants. S'il n'y a pas de nombres à l'avant, comme dans 100 × 100 000, il suffit d'ajouter les exposants (dans notre notation, 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). Lorsqu'il y a des nombres à l'avant, vous devez les multiplier, mais ils sont beaucoup plus faciles à gérer que des nombres contenant de nombreux zéros.

Voici un exemple :

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

Et voici un autre exemple :

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

Notez dans le deuxième exemple que lorsque nous avons ajouté les exposants, nous avons traité les exposants négatifs comme nous le faisons en arithmétique régulière (−2 plus 6 équivaut à 4). Notez également que notre premier résultat contenait 24, ce qui n'était pas dans la forme acceptable, avec deux places à gauche de la virgule décimale, et nous l'avons donc changé en 2,4 et avons modifié l'exposant en conséquence.

Pour diviser, vous devez diviser les nombres à l'avant et soustraire les exposants. Voici quelques exemples :

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

Dans le dernier exemple, notre premier résultat n'était pas au format standard, nous avons donc dû changer 0,452 en 4,52, et modifier l'exposant en conséquence.

Si c'est la première fois que vous rencontrez la notation scientifique, nous vous invitons à pratiquer de nombreux exemples en l'utilisant. Vous pouvez commencer par résoudre les exercices ci-dessous. Comme toute nouvelle langue, la notation semble compliquée au début, mais elle devient plus facile au fur et à mesure que vous la pratiquez.

Exercices

1. Fin septembre 2015, la sonde New Horizons (qui a rencontré Pluton pour la première fois en juillet 2015) se trouvait à 4,898 milliards de km de la Terre. Convertissez ce nombre en notation scientifique. De combien d'unités astronomiques s'agit-il ? (Une unité astronomique est la distance entre la Terre et le Soleil, soit environ 150 millions de km.)
2. Au cours des six premières années de son fonctionnement, le télescope spatial Hubble a fait 37 000 fois le tour de la Terre, pour un total de 1 280 000 000 km. Utilisez la notation scientifique pour déterminer le nombre de km sur une orbite.
3. Dans une grande cafétéria universitaire, un burger au soja et aux légumes est proposé comme alternative aux hamburgers ordinaires. Si 889 875 hamburgers ont été consommés au cours de l'année scolaire et que 997 d'entre eux étaient des burgers végétariens, quelle fraction et quel pourcentage des hamburgers cela représente-t-il ?
4. Dans un sondage réalisé par Kelton Research en 2012, 36 % des adultes américains pensaient que des extraterrestres avaient réellement atterri sur Terre. Le nombre d'adultes aux États-Unis en 2012 était d'environ 222 000 000. Utilisez la notation scientifique pour déterminer combien d'adultes pensent que des extraterrestres ont visité la Terre.
5. Au cours de l'année scolaire 2009-2010, les collèges et universités américains ont décerné 2 354 678 diplômes. Parmi ceux-ci figuraient 48 069 doctorats. Quelle fraction des diplômes étaient des doctorats ? Exprimez ce nombre en pourcentage. (Maintenant, va chercher un emploi pour tous ces docteurs !)
6. On a découvert qu'une grande planète orbitait autour d'une étoile située à 60 années-lumière. Votre oncle veut connaître la distance qui sépare cette planète en kilomètres traditionnels. Supposons que la lumière parcourt 186 000 miles par seconde, et qu'il y ait 60 secondes par minute, 60 minutes par heure, 24 heures par jour et 365 jours par an. À combien de kilomètres se trouve cette étoile ?

Réponses

1. 4,898 milliards, c'est 4,898 × 10 ⁹ km. Une unité astronomique (UA) est de 150 millions de km = 1,5 × 10 ⁸ km. En divisant le premier nombre par le second, nous obtenons 3,27 × 10 ^{(9 — 8)} = 3,27 × 10 ¹ AU.
2. \(\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}\).
3. \(\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}\)(soit environ un millième) des hamburgers étaient végétariens. Le pourcentage signifie par cent. Donc\(\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}\) (ce qui représente environ un dixième d'un pour cent).
4. 36 % sont 36 centièmes ou 0,36 ou 3,6 × 10 ⁻¹. Multipliez cela par 2,22 × 10 ⁸ et vous obtenez environ 7,99 × 10 ^{(−1 + 8)} = 7,99 × 10 ⁷, soit près de 80 millions de personnes qui pensent que des extraterrestres ont atterri sur notre planète. Nous avons besoin de plus de cours d'astronomie pour éduquer toutes ces personnes.
5. \(\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%\). (Notez que dans ces exemples, nous arrondissons certains nombres afin de ne pas avoir plus de 2 décimales après la virgule.)
6. Une année-lumière est la distance parcourue par la lumière en une année. (D'habitude, nous utilisons des unités métriques et non l'ancien système britannique que les États-Unis utilisent encore, mais nous allons faire de l'humour à votre oncle et nous en tenir à des kilomètres.) Si la lumière parcourt 186 000 miles par seconde, elle parcourra 60 fois plus en une minute, 60 fois plus en une heure, 24 fois plus en une journée et 365 fois plus en un an. Nous avons donc 1,86 × 10 ⁵ × 6,0 × 10 ¹ × 6,0 × 10 ¹ × 2,4 × 10 ¹ × 3,65 × 10 ². Nous multiplions donc tous les nombres à l'avant et additionnons tous les exposants. Nous obtenons 586,57 × ^{10 10} = 5,86 × 10 ¹² miles par année-lumière (soit environ 6 billions de miles, soit un sacré lot de miles). Donc, si l'étoile se trouve à 60 années-lumière, sa distance en miles est de 6 × 10 ¹ × 5,86 × 10 ¹² = 35,16 × 10 ¹³ = 3,516 × 10 ¹⁴ miles.