11.6 : Résolution de systèmes par élimination gaussienne
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- 195087
- Ecrivez la matrice augmentée d'un système d'équations.
- Ecrivez le système d'équations à partir d'une matrice augmentée.
- Effectuez des opérations de ligne sur une matrice.
- Résolvez un système d'équations linéaires en utilisant des matrices.
Carl Friedrich Gauss a vécu à la fin\(18^{th}\) du siècle et au début\(19^{th}\) du siècle, mais il est toujours considéré comme l'un des mathématiciens les plus prolifiques de l'histoire. Ses contributions aux sciences des mathématiques et de la physique couvrent des domaines tels que l'algèbre, la théorie des nombres, l'analyse, la géométrie différentielle, l'astronomie et l'optique, entre autres. Ses découvertes concernant la théorie des matrices ont changé la façon dont les mathématiciens ont travaillé au cours des deux derniers siècles.
Nous avons rencontré pour la première fois l'élimination gaussienne dans Systèmes d'équations linéaires : deux variables. Dans cette section, nous allons revenir sur cette technique de résolution de systèmes, cette fois à l'aide de matrices.
Écrire la matrice augmentée d'un système d'équations
Une matrice peut servir de dispositif pour représenter et résoudre un système d'équations. Pour exprimer un système sous forme matricielle, nous extrayons les coefficients des variables et des constantes, qui deviennent les entrées de la matrice. Nous utilisons une ligne verticale pour séparer les entrées des coefficients des constantes, en remplaçant essentiellement les signes égaux. Lorsqu'un système est écrit sous cette forme, nous l'appelons matrice augmentée.
Par exemple, considérez le\(2 × 2\) système d'équations suivant.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 7\\ 4x-2y&= 5 \end{align*}\]
Nous pouvons écrire ce système sous la forme d'une matrice augmentée :
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&7\\4&-2&5\end{array} \right]\)
Nous pouvons également écrire une matrice contenant uniquement les coefficients. C'est ce qu'on appelle la matrice des coefficients.
\(\begin{bmatrix}3&4\\4&−2\end{bmatrix}\)
Un système d'équations trois par trois tel que
\[\begin{align*} 3x-y-z&= 0\\ x+y&= 5\\ 2x-3z&= 2 \end{align*}\]
possède une matrice de coefficients
\(\begin{bmatrix}3&−1&−1\\1&1&0\\2&0&−3\end{bmatrix}\)
et est représenté par la matrice augmentée
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}3&−1&−1&0\\1&1&0&5\\2&0&−3&2\end{array} \right]\)
Notez que la matrice est écrite de telle sorte que les variables s'alignent dans leurs propres colonnes :\(x\) -terms dans la première colonne,\(y\) -terms dans la deuxième colonne et\(z\) -terms dans la troisième colonne. Il est très important que chaque équation soit écrite sous une forme standard\(ax+by+cz=d\) afin que les variables s'alignent. Lorsqu'il manque un terme variable dans une équation, le coefficient est\(0\).
- Écrivez les coefficients des\(x\) termes sous forme de chiffres dans la première colonne.
- Écrivez les coefficients des\(y\) termes sous forme de chiffres dans la deuxième colonne.
- S'il existe des\(z\) termes, écrivez les coefficients sous forme de nombres dans la troisième colonne.
- Tracez une ligne verticale et écrivez les constantes à droite de la ligne.
Ecrivez la matrice augmentée pour le système d'équations donné.
\[\begin{align*} x+2y-z&= 3\\ 2x-y+2z&= 6\\ x-3y+3z&= 4 \end{align*}\]
Solution
La matrice augmentée affiche les coefficients des variables et une colonne supplémentaire pour les constantes.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&2&−1&3\\2&−1&2&6\\1&−3&3&4\end{array} \right]\)
Ecrivez la matrice augmentée du système d'équations donné.
\[\begin{align*} 4x-3y&= 11\\ 3x+2y&= 4 \end{align*}\]
- Réponse
-
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 4&−3&11\\3&2&4\end{array} \right]\)
Écrire un système d'équations à partir d'une matrice augmentée
Nous pouvons utiliser des matrices augmentées pour nous aider à résoudre des systèmes d'équations, car elles simplifient les opérations lorsque les systèmes ne sont pas encombrés par les variables. Cependant, il est important de comprendre comment passer d'un format à l'autre afin de rendre la recherche de solutions plus fluide et plus intuitive. Ici, nous utiliserons les informations d'une matrice augmentée pour écrire le système d'équations sous forme standard.
Trouvez le système d'équations à partir de la matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−3&−5&-2\\2&−5&−4&5\\−3&5&4&6 \end{array} \right]\)
Solution
Lorsque les colonnes représentent les variables\(x\)\(y\), et\(z\),
\[\left[ \begin{array}{ccc|c}1&-3&-5&-2\\2&-5&-4&5\\-3&5&4&6 \end{array} \right] \rightarrow \begin{align*} x-3y-5z&= -2\\ 2x-5y-4z&= 5\\ -3x+5y+4z&= 6 \end{align*}\]
Ecrivez le système d'équations à partir de la matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c}1&−1& 1&5\\2&−1&3&1\\0&1&1&-9\end{array}\right]\)
- Réponse
-
\(\begin{align*} x-y+z&= 5\\ 2x-y+3z&= 1\\ y+z&= -9 \end{align*}\)
Exécution d'opérations de ligne sur une matrice
Maintenant que nous pouvons écrire des systèmes d'équations sous forme de matrice augmentée, nous allons examiner les différentes opérations de ligne qui peuvent être effectuées sur une matrice, telles que l'addition, la multiplication par une constante et l'échange de lignes.
L'exécution d'opérations de ligne sur une matrice est la méthode que nous utilisons pour résoudre un système d'équations. Afin de résoudre le système d'équations, nous voulons convertir la matrice en échelons de lignes, dans laquelle il y a des uns sur la diagonale principale, du coin supérieur gauche au coin inférieur droit, et des zéros dans chaque position en dessous de la diagonale principale, comme indiqué.
Forme Row Echelon\(\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&d\\0&0&1\end{bmatrix}\)
Nous utilisons des opérations de ligne correspondant aux opérations d'équation pour obtenir une nouvelle matrice qui est équivalente aux lignes sous une forme plus simple. Voici les directives pour obtenir une forme à plusieurs niveaux.
- Dans toute ligne différente de zéro, le premier nombre non nul est\(1\) a. C'est ce qu'on appelle un leader\(1\).
- Toutes les lignes entièrement nulles sont placées en bas de la matrice.
- Toute piste\(1\) se trouve en dessous et à droite d'une piste précédente\(1\).
- Toute colonne contenant un en-tête\(1\) comporte des zéros dans toutes les autres positions de la colonne.
Pour résoudre un système d'équations, nous pouvons effectuer les opérations de ligne suivantes pour convertir la matrice de coefficients en une forme d'échelon de ligne et effectuer une rétrosubstitution pour trouver la solution.
- Échangez les lignes. (Notation :\(R_i ↔ R_j\))
- Multipliez une ligne par une constante. (Notation :\(cR_i\))
- Ajoutez le produit d'une ligne multipliée par une constante à une autre ligne. (Notation :\(R_i+cR_j\))
Chacune des opérations de ligne correspond aux opérations que nous avons déjà apprises pour résoudre des systèmes d'équations à trois variables. Avec ces opérations, certaines étapes clés permettront d'atteindre rapidement l'objectif d'écrire une matrice sous forme d'échelons de ligne. Pour obtenir une matrice sous forme d'échelons de lignes permettant de trouver des solutions, nous utilisons l'élimination gaussienne, une méthode qui utilise des opérations sur les lignes pour obtenir a\(1\) comme première entrée afin que la ligne\(1\) puisse être utilisée pour convertir les lignes restantes.
La méthode d'élimination gaussienne fait référence à une stratégie utilisée pour obtenir la forme en échelons d'une matrice. L'objectif est d'écrire\(A\) une matrice avec le nombre\(1\) comme entrée en bas de la diagonale principale et d'avoir tous les zéros en dessous.
\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\xrightarrow{After\space Gaussian\space elimination} A=\begin{bmatrix}1&b_{12}& b_{13}\\0&1&b_{23}\\0&0&1\end{bmatrix}\)
La première étape de la stratégie gaussienne consiste à obtenir a\(1\) comme première entrée, de sorte que la ligne\(1\) puisse être utilisée pour modifier les lignes ci-dessous.
- La première équation doit avoir un coefficient principal de\(1\). Échangez les lignes ou multipliez par une constante, si nécessaire.
- Utilisez les opérations de ligne pour obtenir des zéros dans la première colonne sous la première entrée de\(1\).
- Utilisez les opérations de ligne pour obtenir un\(1\) dans la ligne 2, colonne 2.
- Utilisez les opérations de ligne pour obtenir des zéros dans la colonne 2, en dessous de l'entrée de 1.
- Utilisez les opérations de ligne pour obtenir un\(1\) dans la ligne 3, colonne 3.
- Continuez ce processus pour toutes les lignes jusqu'à ce qu'il y ait un \ (1) dans chaque entrée de la diagonale principale et qu'il n'y ait que des zéros en dessous.
- Si des lignes contiennent tous des zéros, placez-les en bas.
Résolvez le système donné par élimination gaussienne.
\[\begin{align*} 2x+3y&= 6\\ x-y&= \dfrac{1}{2} \end{align*}\]
Solution
Tout d'abord, nous l'écrivons sous la forme d'une matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&3&6\\1&−1&12\end{array} \right]\)
Nous voulons un\(1\) dans la ligne 1, colonne 1. Cela peut être fait en échangeant la ligne 1 et la ligne 2.
\(R_1\leftrightarrow R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\2&3&6\end{array} \right]\)
Nous avons maintenant un\(1\) comme première entrée dans la ligne 1, colonne 1. Maintenant, obtenons un\(0\) dans la ligne 2, colonne 1. Cela peut être fait en multipliant la ligne 1 par\(−2\), puis en ajoutant le résultat à la ligne 2.
\(-2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&5&5\end{array} \right]\)
Il ne nous reste plus qu'une étape, pour multiplier la ligne 2 par\(\dfrac{1}{5}\).
\(\dfrac{1}{5}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&−1&12\\0&1&1\end{array} \right]\)
Utilisez la rétrosubstitution. La deuxième ligne de la matrice représente\(y=1\). Remplacez le\(y=1\) texte dans la première équation.
\[\begin{align*} x-(1)&= \dfrac{1}{2}\\ x&= \dfrac{3}{2} \end{align*}\]
La solution, c'est le but\(\left(\dfrac{3}{2},1\right)\).
Résolvez le système donné par élimination gaussienne.
\[\begin{align*} 4x+3y&= 11\\ x-3y&= -1 \end{align*}\]
- Réponse
-
\((2, 1)\)
Utilisez l'élimination gaussienne pour résoudre le\(2 × 2\) système d'équations donné.
\[\begin{align*} 2x+y&= 1\\ 4x+2y&= 6 \end{align*}\]
Solution
Écrivez le système sous la forme d'une matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 2&1&1\\4&2&6\end{array} \right]\)
Obtenez un\(1\) dans la ligne 1, colonne 1. Cela peut être fait en multipliant la première ligne par\(\dfrac{1}{2}\).
\(\dfrac{1}{2} R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\4&2&6\end{array} \right]\)
Ensuite, nous voulons un\(0\) dans la ligne 2, colonne 1. Multipliez la ligne 1 par\(−4\) et ajoutez la ligne 1 à la ligne 2.
\(-4R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 1&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{2}\\0&0&4\end{array} \right]\)
La deuxième ligne représente l'équation\(0=4\). Par conséquent, le système est incohérent et n'a pas de solution.
Résolvez le système d'équations.
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 6x+8y&= 24 \end{align*}\]
Solution
Effectuez des opérations de ligne sur la matrice augmentée pour essayer d'obtenir une forme en niveaux de ligne.
\(A=\left[ \begin{array}{cc|c} 3&4&12\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(-\dfrac{1}{2}R_2+R_1=R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{cc|c} 0&0&0\\6&8&24\end{array} \right]\)
\(R_1\leftrightarrow R_2=\left[ \begin{array}{cc|c} 6&8&24\\0&0&0\end{array} \right]\)
La matrice se termine avec tous les zéros dans la dernière ligne :\(0y=0\). Il existe donc une infinité de solutions et le système est classé comme dépendant. Pour trouver la solution générique, revenez à l'une des équations d'origine et résolvez pour\(y\).
\[\begin{align*} 3x+4y&= 12\\ 4y&= 12-3x\\ y&= 3-\dfrac{3}{4}x \end{align*}\]
La solution à ce système est donc\(\left(x,3−\dfrac{3}{4}x\right)\).
Effectuez des opérations de ligne sur la matrice donnée pour obtenir une forme en échelons de ligne.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\2&-5&6&6\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Solution
La première ligne comporte déjà un élément\(1\) dans la ligne 1, colonne 1. L'étape suivante consiste à multiplier la ligne 1 par\(−2\) et à l'ajouter à la ligne 2. Remplacez ensuite la ligne 2 par le résultat.
\(-2R_1+R_2=R_2 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\-3&3&4&6\end{array} \right]\)
Ensuite, obtenez un zéro dans la ligne 3, colonne 1.
\(3R_1+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&-6&16&15\end{array} \right]\)
Ensuite, obtenez un zéro dans la ligne 3, colonne 2.
\(6R_2+R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&4&15\end{array} \right]\)
La dernière étape consiste à obtenir un 1 dans la ligne 3, colonne 3.
\(\dfrac{1}{3}R_3=R_3 \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-3&4&3\\0&1&-2&0\\0&0&1&\dfrac{21}{2}\end{array} \right]\)
Écrivez le système d'équations sous forme d'échelons de ligne.
\[\begin{align*} x−2y+3z &= 9 \\ −x+3y &= −4 \\ 2x−5y+5z &= 17 \end{align*}\]
- Réponse
-
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-\dfrac{5}{2}&\dfrac{5}{2}&\dfrac{17}{2}\\0&1&5&9\\0&0&1&2\end{array} \right]\)
Résolution d'un système d'équations linéaires à l'aide de matrices
Nous avons vu comment écrire un système d'équations avec une matrice augmentée, puis comment utiliser les opérations de ligne et la rétrosubstitution pour obtenir la forme d'échelons de ligne. Maintenant, nous allons aller plus loin dans la forme d'un échelon de ligne pour résoudre un\(3\) par\(3\) système d'équations linéaires. L'idée générale est d'éliminer toutes les variables sauf une à l'aide d'opérations sur les lignes, puis de les remplacer par des opérations de remplacement pour les autres variables.
Résolvez le système d'équations linéaires en utilisant des matrices.
\[\begin{align*} x-y+z&= 8\\ 2x+3y-z&= -2\\ 3x-2y-9z&= 9 \end{align*}\]
Solution
Nous écrivons d'abord la matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\2&3&-1&-2\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
Ensuite, nous effectuons des opérations de ligne pour obtenir une forme en échelons de ligne.
\(−2R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\3&-2&-9&9\end{array} \right]\)
\(−3R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&5&-3&-18\\0&1&-12&-15\end{array} \right]\)
Le moyen le plus simple d'obtenir un\(1\) dans la ligne 2 de la colonne 1 est d'échanger\(R_2\) et\(R_3\).
\(Interchange\space R_2\space and\space R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&5&-3&-18\end{array} \right]\)
Alors
\(−5R_2+R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&57&57\end{array} \right]\)
\(−\dfrac{1}{57}R_3=R_3\rightarrow\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&-1&1&8\\0&1&-12&-15\\0&0&1&1\end{array} \right]\)
La dernière matrice représente le système équivalent.
\[\begin{align*} x−y+z &= 8 \\ y−12z &= −15 \\ z &= 1 \end{align*}\]
En utilisant la rétrosubstitution, nous obtenons la solution sous forme de\((4,−3,1)\).
Résolvez le système d'équations linéaires suivant à l'aide de matrices.
\[\begin{align*} −x−2y+z &= −1 \\ 2x+3y &= 2 \\ y−2z &= 0 \end{align*}\]
Solution
Écrivez la matrice augmentée.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} -1&-2&1&-1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
Tout d'abord, multipliez la ligne 1 par\(−1\) pour obtenir un\(1\) dans la ligne 1, colonne 1. Ensuite, effectuez des opérations de ligne pour obtenir une forme en niveaux de ligne.
\(-R_1\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\2&3&0&2\\0&1&-2&0\end{array} \right]\)
\(R_2\leftrightarrow R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\2&3&0&2\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&-1&2&0\end{array} \right]\)
\(R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&1\\0&1&-2&0\\0&0&0&0\end{array} \right]\)
La dernière matrice représente le système suivant.
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y−2z &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align*}\]
Nous voyons par l'identité\(0=0\) qu'il s'agit d'un système dépendant avec un nombre infini de solutions. Nous trouvons ensuite la solution générique. En résolvant la deuxième équation\(y\) et en la remplaçant dans la première équation, nous pouvons résoudre\(z\) en termes de\(x\).
\[\begin{align*} x+2y−z &= 1 \\ y &= 2z \\ x+2(2z)−z &= 1 \\ x+3z &= 1 \\ z &=\dfrac{1−x}{3} \end{align*}\]
Nous remplaçons maintenant l'expression par\(z\) dans la deuxième équation à résoudre\(y\) en termes de\(x\).
\[\begin{align*} y−2z &= 0 \\ z &= \dfrac{1−x}{3} \\ y−2\left(\dfrac{1−x}{3}\right) &= 0 \\ y &= \dfrac{2−2x}{3} \end{align*}\]
La solution générique est\(\left(x,\dfrac{2−2x}{3},\dfrac{1−x}{3}\right)\).
Résolvez le système en utilisant des matrices.
\[\begin{align*} x+4y-z&= 4\\ 2x+5y+8z&= 1\\ 5x+3y-3z&= 1 \end{align*}\]
- Réponse
-
\((1,1,1)\)
Oui, un système d'équations linéaires de n'importe quelle taille peut être résolu par élimination gaussienne.
- Enregistrer la matrice augmentée en tant que variable matricielle\([A], [B], [C], ….\)
- Utilisez la fonction ref () de la calculatrice, en appelant chaque variable matricielle selon les besoins.
Résolvez le système d'équations.
\[\begin{align*} 5x+3y+9z&= -1\\ -2x+3y-z&= -2\\ -x-4y+5z&= 1 \end{align*}\]
Solution
Ecrivez la matrice augmentée pour le système d'équations.
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Sur la page matricielle de la calculatrice, entrez la matrice augmentée ci-dessus en tant que variable matricielle\([A]\).
\([A]=\left[ \begin{array}{ccc|c} 5&3&9&-1\\-2&3&-1&-2\\-1&-4&5&1\end{array} \right]\)
Utilisez la fonction ref () du calculateur pour appeler la variable matricielle\([A]\).
réf ([A])
Évaluer
\[\begin{array}{cc} {\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&\dfrac{3}{5}&\dfrac{9}{5}&\dfrac{1}{5}\\0&1&\dfrac{13}{21}&-\dfrac{4}{7}\\0&0&1&-\dfrac{24}{187}\end{array} \right] \rightarrow} & {\begin{align*} x+\dfrac{3}{5}y+\dfrac{9}{5}z &= -\dfrac{1}{5} \\ y+\dfrac{13}{21}z &= -\dfrac{4}{7} \\ z &= -\dfrac{24}{187} \end{align*}} \end{array}\]
En utilisant la rétrosubstitution, la solution est\(\left(\dfrac{61}{187},−\dfrac{92}{187},−\dfrac{24}{187}\right)\).
Carolyn investit au total\($12,000\) dans deux obligations municipales, l'une payant des\(10.5%\) intérêts et l'autre des\(12%\) intérêts. L'intérêt annuel gagné sur les deux investissements l'année dernière était de\($1,335\). Quel montant a été investi à chaque taux ?
Solution
Nous avons un système de deux équations à deux variables. Supposons\(x=\) le montant investi à\(10.5%\) intérêt et\(y=\) le montant investi à\(12%\) intérêt.
\[\begin{align*} x+y&= 12,000\\ 0.105x+0.12y&= 1,335 \end{align*}\]
En tant que matrice, nous avons
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0.105&0.12&1,335\end{array} \right]\)
Multipliez la ligne 1 par\(−0.105\) et ajoutez le résultat à la ligne 2.
\(\left[ \begin{array}{cc|c} 1&1&12,000\\0&0.015&75\end{array} \right]\)
Ensuite,
\[\begin{align*} 0.015y &= 75 \\ y &= 5,000 \end{align*}\]
Donc\(12,000−5,000=7,000\).
Ainsi,\($5,000\) a été investi à\(12%\) intérêt et\($7,000\) à\(10.5%\) intérêt.
Ava investit au total\($10,000\) dans trois comptes, l'un payant des\(5%\) intérêts, l'autre payant des\(8%\) intérêts et le troisième payant des\(9%\) intérêts. L'intérêt annuel gagné sur les trois investissements l'année dernière était de\($770\). Le montant investi\(9%\) était le double du montant investi à\(5%\). Quel montant a été investi à chaque taux ?
Solution
Nous avons un système de trois équations en trois variables. \(x\)Soit le montant investi à\(5%\) intérêt,\(y\) soit le montant investi à\(8%\) intérêt et\(z\) soit le montant investi à\(9%\) intérêt. Ainsi,
\[\begin{align*} x+y+z &= 10,000 \\ 0.05x+0.08y+0.09z &= 770 \\ 2x−z &= 0 \end{align*}\]
En tant que matrice, nous avons
\(\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0.05&0.08&0.09&770\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
Maintenant, nous effectuons une élimination gaussienne pour obtenir une forme en niveaux de ligne.
\(−0.05R_1+R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\2&0&-1&0\end{array} \right]\)
\(−2R_1+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&0.03&0.04&270\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(\dfrac{1}{0.03}R_2=R_2\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&-2&-3&-20,000\end{array} \right]\)
\(2R_2+R_3=R_3\rightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&1&10,000\\0&1&\dfrac{4}{3}&9,000\\0&0&-\dfrac{1}{3}&-2,000\end{array} \right]\)
La troisième rangée nous le dit\(−\dfrac{1}{3}z=−2,000\) ; donc\(z=6,000\).
La deuxième rangée nous le dit\(y+\dfrac{4}{3}z=9,000\). \(z=6,000\)En remplaçant, nous obtenons
\[\begin{align*} y+\dfrac{4}{3}(6,000) &= 9,000 \\ y+8,000 &= 9,000 \\ y &= 1,000 \end{align*}\]
La première rangée nous le dit\(x+y+z=10,000\). En remplaçant\(y=1,000\) et\(z=6,000\), nous obtenons
\[\begin{align*} x+1,000+6,000 &= 10,000 \\ x &= 3,000 \end{align*}\]
La réponse est\($3,000\) investie à\(5%\) intérêt,\($1,000\) investie à\(8%\) intérêt et\($6,000\) investie à\(9%\) intérêt.
Une petite entreprise de chaussures a contracté un prêt\($1,500,000\) pour élargir son inventaire. Une partie de l'argent a été empruntée à\(7%\), une partie a été empruntée à\(8%\) et une partie a été empruntée à\(10%\). Le montant emprunté\(10%\) était quatre fois supérieur au montant emprunté\(7%\), et l'intérêt annuel sur les trois prêts l'était\($130,500\). Utilisez des matrices pour trouver le montant emprunté à chaque taux.
- Réponse
-
\($150,000\)à\(7%\),\($750,000\) à\(8%\),\($600,000\) à\(10%\)
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions et des exercices supplémentaires sur la résolution de systèmes d'équations linéaires par élimination gaussienne.
Concepts clés
- Une matrice augmentée est une matrice qui contient les coefficients et les constantes d'un système d'équations. Voir l'exemple\(\PageIndex{1}\).
- Une matrice augmentée par la colonne constante peut être représentée comme le système d'équations d'origine. Voir l'exemple\(\PageIndex{2}\).
- Les opérations de ligne incluent la multiplication d'une ligne par une constante, l'ajout d'une ligne à une autre ligne et l'échange de lignes.
- Nous pouvons utiliser l'élimination gaussienne pour résoudre un système d'équations. Voir Exemple\(\PageIndex{3}\)\(\PageIndex{4}\), Exemple et Exemple\(\PageIndex{5}\).
- Les opérations de ligne sont effectuées sur des matrices pour obtenir une forme en échelons de ligne. Voir l'exemple\(\PageIndex{6}\).
- Pour résoudre un système d'équations, écrivez-le sous forme de matrice augmentée. Effectuez des opérations de ligne pour obtenir une forme en niveaux de ligne. Remplacez la page précédente pour trouver les solutions. Voir Exemple\(\PageIndex{7}\) et Exemple\(\PageIndex{8}\).
- Un calculateur peut être utilisé pour résoudre des systèmes d'équations à l'aide de matrices. Voir l'exemple\(\PageIndex{9}\).
- De nombreux problèmes du monde réel peuvent être résolus à l'aide de matrices augmentées. Voir Exemple\(\PageIndex{10}\) et Exemple\(\PageIndex{11}\).