11.4 : Fractions partielles
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Décomposer\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où
- \(Q(x)\)ne comporte que des facteurs linéaires non répétés.
- \(Q(x)\)possède des facteurs linéaires répétés.
- \(Q(x)\)possède un facteur quadratique irréductible non répété.
- \(Q(x)\)possède un facteur quadratique irréductible répété.
Plus tôt dans ce chapitre, nous avons étudié des systèmes de deux équations à deux variables, des systèmes de trois équations à trois variables et des systèmes non linéaires. Nous présentons ici une autre façon d'utiliser les systèmes d'équations : la décomposition d'expressions rationnelles. Les fractions peuvent être compliquées ; l'ajout d'une variable au dénominateur les rend encore plus complexes. Les méthodes étudiées dans cette section aideront à simplifier le concept d'expression rationnelle.
Décomposition\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) où il n'y\(Q(x)\) a que des facteurs linéaires non répétés
Rappelez-vous l'algèbre concernant l'ajout et la soustraction d'expressions rationnelles. Ces opérations dépendent de la recherche d'un dénominateur commun afin que nous puissions écrire la somme ou la différence sous la forme d'une expression rationnelle unique et simplifiée. Dans cette section, nous allons examiner la décomposition des fractions partielles, qui est l'annulation de la procédure d'ajout ou de soustraction d'expressions rationnelles. En d'autres termes, il s'agit d'un retour de l'expression rationnelle simplifiée unique aux expressions originales, appelées fractions partielles.
Supposons, par exemple, que nous ajoutions les fractions suivantes :
\[\dfrac{2}{x−3}+\dfrac{−1}{x+2} \nonumber\]
Il faudrait d'abord trouver un dénominateur commun :\((x+2)(x−3)\).
Ensuite, nous écrirons chaque expression avec ce dénominateur commun et trouverons la somme des termes.
\[\begin{align*} \dfrac{2}{x-3}\left(\dfrac{x+2}{x+2}\right)+\dfrac{-1}{x+2}\left(\dfrac{x-3}{x-3}\right)&= \dfrac{2x+4-x+3}{(x+2)(x-3)}\\[4pt] &= \dfrac{x+7}{x^2-x-6} \end{align*}\]
La décomposition par fraction partielle est l'inverse de cette procédure. Nous commencerions par la solution et la réécririons (décomposerions) comme la somme de deux fractions.
\[ \underbrace{\dfrac{x+7}{x^2-x-6}}_{\text{Simplified sum}} = \underbrace{\dfrac{2}{x-3}+\dfrac{-1}{x+2}}_{\text{Partial fraction decomposition }} \nonumber\]
Nous étudierons les expressions rationnelles avec des facteurs linéaires et des facteurs quadratiques dans le dénominateur où le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur. Quel que soit le type d'expression que nous sommes en train de décomposer, la première et la plus importante chose à faire est de prendre en compte le dénominateur.
Lorsque le dénominateur de l'expression simplifiée contient des facteurs linéaires distincts, il est probable que chacune des expressions rationnelles d'origine, qui ont été ajoutées ou soustraites, avait l'un des facteurs linéaires comme dénominateur. En d'autres termes, en utilisant l'exemple ci-dessus, les facteurs de\(x^2−x−6\) sont\((x−3)(x+2)\) les dénominateurs de l'expression rationnelle décomposée. Nous allons donc réécrire la forme simplifiée comme la somme des fractions individuelles et utiliser une variable pour chaque numérateur. Ensuite, nous allons résoudre pour chaque numérateur en utilisant l'une des nombreuses méthodes disponibles pour la décomposition des fractions partielles.
La décomposition par fraction partielle de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) lorsque\(Q(x)\) comporte des facteurs linéaires non répétés et que le degré de\(P(x)\) est inférieur au degré de\(Q(x)\) est
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Utilisez généralement une variable pour les numérateurs d'origine ou\(A\)\(B\)\(C\), selon le nombre de facteurs, placez chaque variable au-dessus d'un seul facteur. Aux fins de cette définition, nous utilisons\(A_n\) pour chaque numérateur
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\)
- Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
- Développez le côté droit de l'équation et collectez les termes similaires.
- Définissez des coefficients de termes similaires du côté gauche de l'équation égaux à ceux du côté droit afin de créer un système d'équations à résoudre pour les numérateurs.
Décomposez l'expression rationnelle donnée avec des facteurs linéaires distincts.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}\)
Solution
Nous allons séparer les facteurs du dénominateur et attribuer à chaque numérateur une étiquette symbolique\(A\), comme\(B\), ou\(C\).
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{A}{(x+2)}+\dfrac{B}{(x−1)}\)
Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions :
\((x+2)(x−1)\left[ \dfrac{3x}{(x+2)(x−1)} \right]=(x+2)(x−1)\left[\dfrac{A}{(x+2)} \right]+(x+2)(x−1)\left[\dfrac{B}{(x−1)} \right]\)
L'équation qui en résulte est
\(3x=A(x−1)+B(x+2)\)
Développez le côté droit de l'équation et collectez les termes similaires.
\[\begin{align*} 3x&= Ax-A+Bx+2B\\[4pt] 3x&= (A+B)x-A+2B \end{align*}\]
Établissez un système d'équations associant les coefficients correspondants.
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] 0&= -A+2B \end{align*}\]
Ajoutez les deux équations et résolvez pour\(B\).
\[\begin{align*} 3&= A+B\\[4pt] \underline{0}&= \underline{-A+2B}\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
\(B=1\)Remplacez par l'une des équations d'origine du système.
\[\begin{align*} 3&= A+1\\[4pt] 2&= A \end{align*}\]
Ainsi, la décomposition des fractions partielles est
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Une autre méthode à utiliser pour résoudre\(A\) ou\(B\) consiste à examiner l'équation résultant de l'élimination des fractions et à y substituer une valeur pour\(x\) laquelle le\(B-\) terme\(A-\) ou sera égal à 0. Si nous le laissons faire\(x=1\),
\(A-\)le terme devient 0 et nous pouvons simplement résoudre pour\(B\).\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(1)&= A[(1)-1]+B[(1)+2]\\[4pt] 3&= 0+3B\\[4pt] 1&= B \end{align*}\]
Ensuite, vous pouvez soit le remplacer\(B=1\) dans l'équation et le résoudre\(A\), soit créer le\(B-\) terme\(0\) en le remplaçant\(x=−2\) dans l'équation.
\[\begin{align*} 3x&= A(x-1)+B(x+2)\\[4pt] 3(-2)&= A[(-2)-1]+B[(-2)+2]\\[4pt] -6&= -3A+0\\[4pt] \dfrac{-6}{-3}&= A\\[4pt] 2&=A \end{align*}\]
Nous obtenons les mêmes valeurs pour\(A\) et\(B\) en utilisant les deux méthodes, de sorte que les décompositions sont les mêmes avec l'une ou l'autre méthode.
\(\dfrac{3x}{(x+2)(x−1)}=\dfrac{2}{(x+2)}+\dfrac{1}{(x−1)}\)
Bien que cette méthode ne soit pas très courante dans les manuels, nous la présentons ici comme une alternative qui pourrait faciliter certaines décompositions par fractions partielles. Elle est connue sous le nom de méthode Heaviside, du nom de Charles Heaviside, un pionnier de l'étude de l'électronique.
Déterminez la décomposition en fractions partielles de l'expression suivante.
\(\dfrac{x}{(x−3)(x−2)}\)
- Réponse
-
\(\dfrac{3}{x−3}−\dfrac{2}{x−2}\)
Décomposition\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) où se trouvent\(Q(x)\) des facteurs linéaires répétés
Certaines fractions que nous pouvons rencontrer sont des cas particuliers que nous pouvons décomposer en fractions partielles avec des facteurs linéaires répétés. Nous devons nous rappeler que nous prenons en compte les facteurs répétés en écrivant chaque facteur dans des puissances croissantes.
La décomposition par fraction partielle de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), lorsqu'\(Q(x)\)un facteur linéaire répété se produit n fois et que le degré de\(P(x)\) est inférieur au degré de\(Q(x)\), est
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
Écrivez les puissances du dénominateur par ordre croissant.
- Utilisez une variable comme\(A\)\(B\), ou\(C\) pour les numérateurs et tenez compte de la puissance croissante des dénominateurs. \[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{(a_1x+b_1)}+\dfrac{A_2}{(a_2x+b_2)}+\dfrac{A_3}{(a_3x+b_3)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_n}{(a_nx+b_n)}\]
- Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
- Développez le côté droit de l'équation et collectez les termes similaires.
- Définissez des coefficients de termes similaires du côté gauche de l'équation égaux à ceux du côté droit afin de créer un système d'équations à résoudre pour les numérateurs.
Décomposez l'expression rationnelle donnée à l'aide de facteurs linéaires répétés.
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}\)
Solution
Les facteurs dénominateurs sont\(x{(x−2)}^2\). Pour tenir compte du facteur répété de\((x−2)\), la décomposition inclura trois dénominateurs :\(x\),\((x−2)\), et\({(x−2)}^2\). Ainsi,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x−2)}+\dfrac{C}{{(x−2)}^2}\)
Ensuite, nous multiplions les deux côtés par le dénominateur commun.
\[\begin{align*} x{(x-2)}^2\left[ \dfrac{-x^2+2x+4x}{{(x-2)}^2} \right]&= \left[ \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-2)}+\dfrac{C}{{(x-2)}^2} \right]x{(x-2)}^2\\[4pt] -x^2+2x+4&= A{(x-2)}^2+Bx(x-2)+Cx \end{align*}\]
Sur le côté droit de l'équation, nous développons et collectons des termes similaires.
\[\begin{align*} -x^2+2x+4&= A(x^2-4x+4)+B(x^2-2x)+Cx\\[4pt] &= Ax^2-4Ax+4A+Bx^2-2Bx+Cx\\[4pt] &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \end{align*}\]
Ensuite, nous comparons les coefficients des deux côtés. Cela donnera le système d'équations en trois variables :
\[\begin{align} -x^2+2x+4 &= (A+B)x^2+(-4A-2B+C)x+4A \\[4pt] A+B &= -1 \label{2.1} \\[4pt] -4A-2B+C &= 2 \label{2.2} \\[4pt] 4A&= 4 \label{2.3} \end{align}\]
En résolvant\(A\) dans l'équation \ ref {2.3}, nous avons
\[\begin{align*} 4A&= 4\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Substituer\(A=1\) dans l'équation \ ref {2.1}.
\[\begin{align*} A+B&= -1\\[4pt] (1)+B&= -1\\[4pt] B&= -2 \end{align*}\]
Ensuite, pour résoudre\(C\), remplacez les valeurs par\(A\) et\(B\) dans l'équation \ ref {2.2}.
\[\begin{align*} -4A-2B+C&= 2\\[4pt] -4(1)-2(-2)+C&= 2\\[4pt] -4+4+C&= 2\\[4pt] C&= 2 \end{align*}\]
Ainsi,
\(\dfrac{−x^2+2x+4}{x^3−4x^2+4x}=\dfrac{1}{x}−\dfrac{2}{(x−2)}+\dfrac{2}{{(x−2)}^2}\)
Déterminez la décomposition en fractions partielles de l'expression à l'aide de facteurs linéaires répétés.
\(\dfrac{6x−11}{{(x−1)}^2}\)
- Réponse
-
\[\dfrac{6}{x−1}−\dfrac{5}{{(x−1)}^2} \nonumber\]
Décomposition\(\frac{P(x)}{Q(x)}\), où\(Q(x)\) a un facteur quadratique irréductible non répété
Jusqu'à présent, nous avons effectué une décomposition de fractions partielles avec des expressions dont le dénominateur comportait des facteurs linéaires, et nous avons appliqué des numérateurs\(A\)\(B\), ou des constantes\(C\) représentant des constantes. Nous allons maintenant examiner un exemple où l'un des facteurs du dénominateur est une expression quadratique qui ne prend pas en compte. C'est ce que l'on appelle un facteur quadratique irréductible. Dans de tels cas, nous utilisons un numérateur linéaire tel que\(Ax+B\)\(Bx+C\),, etc.
La décomposition en fraction partielle de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) ce qui\(Q(x)\) présente un facteur quadratique irréductible non répété et dont le degré\(P(x)\) est inférieur au degré de\(Q(x)\) s'écrit comme suit :
\[\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\]
La décomposition peut contenir des expressions plus rationnelles s'il existe des facteurs linéaires. Chaque facteur linéaire aura un numérateur constant différent :\(A\),,\(B\)\(C\), et ainsi de suite.
- Utilisez des variables telles que\(A\)\(B\), ou\(C\) pour les numérateurs constants plutôt que des facteurs linéaires, et des expressions linéaires telles que\(A_1x+B_1\)\(A_2x+B_2\),, etc., pour les numérateurs de chaque facteur quadratique du dénominateur.
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(a_1x^2+b1_x+c_1)}+\dfrac{A_2x+B_2}{(a_2x^2+b_2x+c_2)}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(a_nx^2+b_nx+c_n)}\)
- Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
- Développez le côté droit de l'équation et collectez les termes similaires.
- Définissez des coefficients de termes similaires du côté gauche de l'équation égaux à ceux du côté droit afin de créer un système d'équations à résoudre pour les numérateurs.
Trouve une décomposition en fraction partielle de l'expression donnée.
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}\)
Solution
Nous avons un facteur linéaire et un facteur quadratique irréductible dans le dénominateur, donc un numérateur sera une constante et l'autre numérateur sera une expression linéaire. Ainsi,
\(\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\)
Nous suivons les mêmes étapes que pour les problèmes précédents. Tout d'abord, éliminez les fractions en multipliant les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun.
\[\begin{align*} (x+3)(x^2+x+2)\left[\dfrac{8x^2+12x-20}{(x+3)(x^2+x+2)}\right]&= \left[\dfrac{A}{(x+3)}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+x+2)}\right](x+3)(x^2+x+2)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3) \end{align*}\]
Notez que nous pouvons facilement le résoudre\(A\) en choisissant une valeur\(x\) qui rendra le\(Bx+C\) terme égal\(0\). Laissez-le\(x=−3\) et remplacez-le dans l'équation.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= A(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8{(-3)}^2+12(-3)-20&= A({(-3)}^2+(-3)+2)+(B(-3)+C)((-3)+3)\\[4pt] 16&= 8A\\[4pt] A&= 2 \end{align*}\]
Maintenant que nous connaissons la valeur de\(A\), remplacez-la à nouveau dans l'équation. Ensuite, élargissez le côté droit et collectez des termes similaires.
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= 2(x^2+x+2)+(Bx+C)(x+3)\\[4pt] 8x^2+12x-20&= 2x^2+2x+4+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (2+B)x^2+(2+3B+C)x+(4+3C) \end{align*}\]
Le fait de définir les coefficients des termes du côté droit égaux aux coefficients des termes du côté gauche donne le système d'équations.
\[\begin{align} 2+B&= 8 \label{3.1} \\[4pt] 2+3B+C&= 12 \label{3.2} \\[4pt] 4+3C&= -20 \label{3.3} \end{align}\]
Résolvez\(B\) en utilisant l'équation \ ref {3.1}
\ [\ begin {align*} 2+B&= 8 \ label {1} \ \ [4 points] B&= 6 \ end {align*}
et résolvez pour\(C\) utiliser l'équation \ ref {3.3}.
\[\begin{align*} 4+3C &= -20 \label{3} \\[4pt] 3C&= -24\\[4pt] C&= -8 \end{align*}\]
Ainsi, la décomposition en fraction partielle de l'expression est
\[\dfrac{8x^2+12x−20}{(x+3)(x^2+x+2)}=\dfrac{2}{(x+3)}+\dfrac{6x−8}{(x^2+x+2)} \nonumber\]
Oui, nous aurions pu le résoudre en mettant en place un système d'équations sans le résoudre au\(A\) préalable. L'extension sur la droite serait :
\[\begin{align*} 8x^2+12x-20&= Ax^2+Ax+2A+Bx^2+3B+Cx+3C\\[4pt] 8x^2+12x-20&= (A+B)x^2+(A+3B+C)x+(2A+3C) \end{align*}\]
Le système d'équations serait donc le suivant :
\[\begin{align*} A+B&= 8\\[4pt] A+3B+C&= 12\\[4pt] 2A+3C&= -20 \end{align*}\]
Déterminez la décomposition fractionnelle partielle de l'expression à l'aide d'un facteur quadratique irréductible non répétitif.
\[\dfrac{5x^2−6x+7}{(x−1)(x^2+1)} \nonumber\]
- Réponse
-
\(\dfrac{3}{x−1}+\dfrac{2x−4}{x^2+1}\)
Décomposition\(\frac{P(x)}{Q(x)}\) lorsqu'\(Q(x)\)un facteur quadratique irréductible est répété
Maintenant que nous pouvons décomposer une expression rationnelle simplifiée avec un facteur quadratique irréductible, nous allons apprendre comment procéder à une décomposition partielle lorsque l'expression rationnelle simplifiée contient des facteurs quadratiques irréductibles répétés. La décomposition sera constituée de fractions partielles avec des numérateurs linéaires sur chaque facteur quadratique irréductible représenté par des puissances croissantes.
La décomposition en fraction partielle de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), lorsque\(Q(x)\) présente un facteur quadratique irréductible répété et que le degré de\(P(x)\) est inférieur au degré de\(Q(x)\), est
\[\dfrac{P(x)}{{(ax^2+bx+c)}^n}=\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+\dfrac{A_3x+B_3}{{(ax^2+bx+c)}^3}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\]
Écrivez les dénominateurs en puissances croissantes.
- Utilisez des variables telles que\(A\)\(B\), ou\(C\) pour les numérateurs constants plutôt que des facteurs linéaires, et des expressions linéaires telles que\(A_1x+B_1\)\(A_2x+B_2\),, etc., pour les numérateurs de chaque facteur quadratique du dénominateur écrit en puissances croissantes, telles que
\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A}{ax+b}+\dfrac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)}+\dfrac{A_2x+B_2}{{(ax^2+bx+c)}^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{{(ax^2+bx+c)}^n}\)
- Multipliez les deux côtés de l'équation par le dénominateur commun pour éliminer les fractions.
- Développez le côté droit de l'équation et collectez les termes similaires.
- Définissez des coefficients de termes similaires du côté gauche de l'équation égaux à ceux du côté droit afin de créer un système d'équations à résoudre pour les numérateurs.
Décomposez l'expression donnée dont le dénominateur comporte un facteur irréductible répété.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}\)
Solution
Les facteurs du dénominateur sont\(x\)\((x^2+1)\), et\({(x^2+1)}^2\). Rappelons que, lorsqu'un facteur du dénominateur est un quadratique comprenant au moins deux termes, le numérateur doit être de forme linéaire\(Ax+B\). Commençons donc la décomposition.
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(x^2+1)}+\dfrac{Dx+E}{{(x^2+1)}^2}\)
Nous éliminons les dénominateurs en multipliant chaque terme par\(x{(x^2+1)}^2\). Ainsi,
\[\begin{align*} x^4+x^3+x^2-x+1&= A{(x^2+1)}^2+(Bx+C)(x)(x^2+1)+(Dx+E)(x)\\[4pt] x^4+x^3+x^2-x+1&= A(x^4+2x^2+1)+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex\qquad \text{Expand the right side.}\\[4pt] &= Ax^4+2Ax^2+A+Bx^4+Bx^2+Cx^3+Cx+Dx^2+Ex \end{align*}\]
Nous allons maintenant collecter des termes similaires.
\(x^4+x^3+x^2−x+1=(A+B)x^4+(C)x^3+(2A+B+D)x^2+(C+E)x+A\)
Définissez le système d'équations correspondant aux coefficients correspondants de chaque côté du signe égal.
\[\begin{align*} A+B&= 1\\[4pt] C&= 1\\[4pt] 2A+B+D&= 1\\[4pt] C+E&= -1\\[4pt] A&= 1 \end{align*}\]
Nous pouvons utiliser la substitution à partir de ce moment. Substituer\(A=1\) dans la première équation.
\[\begin{align*} 1+B&= 1\\[4pt] B&= 0 \end{align*}\]
\(A=1\)Substituez et\(B=0\) dans la troisième équation.
\[\begin{align*} 2(1)+0+D&= 1\\[4pt] D&= -1 \end{align*}\]
Substituer\(C=1\) dans la quatrième équation.
\[\begin{align*} 1+E&= -1\\[4pt] E&= -2 \end{align*}\]
Nous avons maintenant résolu toutes les inconnues sur le côté droit du signe égal. Nous avons\(A=1\),\(B=0\)\(C=1\),\(D=−1\), et\(E=−2\). Nous pouvons écrire la décomposition comme suit :
\(\dfrac{x^4+x^3+x^2−x+1}{x{(x^2+1)}^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x^2+1)}−\dfrac{x+2}{{(x^2+1)}^2}\)
Déterminez la décomposition fractionnelle partielle de l'expression avec un facteur quadratique irréductible répété.
\[\dfrac{x^3−4x^2+9x−5}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
- Réponse
-
\[\dfrac{x−2}{x^2−2x+3}+\dfrac{2x+1}{{(x^2−2x+3)}^2} \nonumber\]
Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec des fractions partielles.
Concepts clés
- Décomposez\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) en écrivant les fractions partielles sous la forme\[\dfrac{A}{a_1x+b_1}+\dfrac{B}{a_2x+b_2}. \nonumber\] Solve en effaçant les fractions, en développant le côté droit, en collectant des termes similaires et en définissant des coefficients correspondants égaux les uns aux autres, puis en configurant et en résolvant un système d'équations (voir Exemple\(\PageIndex{1}\)).
- La décomposition de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) avec des facteurs linéaires répétés doit tenir compte des facteurs du dénominateur dans les puissances croissantes (voir Exemple\(\PageIndex{2}\)).
- La décomposition de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) avec un facteur quadratique irréductible non répété nécessite un numérateur linéaire sur le facteur quadratique, comme dans\(\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{(ax^2+bx+c)}\) (voir Exemple\(\PageIndex{3}\)).
- Dans la décomposition de\(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où\(Q(x)\) a un facteur quadratique irréductible répété, lorsque les facteurs quadratiques irréductibles sont répétés, les puissances des facteurs dénominateurs doivent être représentées par des puissances croissantes, comme\[\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋅⋅⋅+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n} \nonumber\] voir l'exemple\(\PageIndex{4}\).