7.1 : Pente d'une ligne

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Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

N'oubliez pas que les paires ordonnées peuvent être représentées graphiquement sous forme de points dans le plan de coordonnées rectangulaire. À travers deux points distincts, tracez une ligne droite,$l$.

Pour décrire une droite de manière$l$ algébrique, considérez d'abord la pente d'une formule linéaire.

Définition : Pente d'une ligne

La pente$m$ d'une ligne$l$ qui passe par des points$(x_1, y_1)$ et$(x_2, y_2)$ est

\[m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} \text{ where } x_2 \neq x_1 \nonumber \]

$clipboard_ef5b30d9d90d175767e807356eeeb09d5.png$

Exemple Template:index

Déterminez la pente de la ligne dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e363ff7b3bb533d1487bf37ba2e55050d.png$

Solution

Selon la définition ci-dessus de la pente de la formule de droite, la pente de la droite peut être écrite comme$m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}}$. Commencez par choisir deux points,$P$ et$Q$, sur la ligne. Choisissez le point$P$ à être$(2, 2)$ et le point$Q$ à être$(1, 0)$.

En commençant par le point$Q$, montez jusqu'au point$P$ en comptant les carrés de la$2$ grille vers le haut, ce qui signifie$\text{rise} = 2$. Maintenant, pour arriver au point$P$,$\text{run}$$1$ quadrillage vers la droite, ce qui signifie que$\text{run} = 1$, comme le montre la figure ci-dessous.

$clipboard_eb782dfab92d784f98c38e932215ff3af.png$

Ainsi,

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(2$et exécutez$1$} \ \ &= 2 \ end {array} \)

Par conséquent, la pente de la ligne sur la figure est$m = 2$.

Exemple Template:index

Déterminez la pente de la ligne illustrée dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e19cd2064387c2c10ad2af63dccc6440d.png$

Solution

Comme dans Exemple$1$, commencez par choisir deux points,$P$ et$Q$, sur la ligne.

Remarque : Comme tous les$2$ points de la ligne peuvent être sélectionnés, il sera plus facile de choisir les deux points qui sont des entiers. Ces points sont situés sur la ligne et également à l'intersection de deux lignes de la grille. Par exemple, sur la figure, il sera plus facile de choisir deux des points suivants sur la ligne donnée :$(2, 0)$,,$(0, 1)$,$(4, −1)$,$(6, −2)$,$(−4, 3)$$(−6, 4)$, et ainsi de suite...

La pente est la même pour deux points$P$ et$Q$ sur la ligne. Choisissez le point$P_1$ à être$(0, 1)$ et le point$Q_1$ à être$(2, 0)$. À partir du point$P_1$, atteignez le point$Q_1$ en faisant d'abord$2$ défiler les cases de la grille vers la droite, ce qui signifie que le$\text{run} = 2$. Maintenant, pour arriver au$Q_1$ nombre de points, carré de la$1$ grille vers le bas. Notez que cela$\text{rise} = -1$ signifie descendre l'$1$unité comme indiqué dans la figure ci-dessous.

$clipboard_eae1964d11eb4f5c0410a5ca79250683d.png$

$\begin{array} &&m = \dfrac{\text{rise}}{\text{run}} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{−1}{2} &\text{rise = \(-1$et exécutez =$2$} \ end {array} \)

Par conséquent, la pente de la ligne dans la figure ci-dessus est$m = −\dfrac{1}{2}$.

Maintenant, choisissez le point$P_2$ à être$(-2, 2)$ et le point$Q_2$ à être$(-6, 4)$ comme indiqué dans la figure ci-dessus. En commençant par des points$P_2$, atteignez le point$Q_2$ en faisant d'abord$4$ défiler les cases de la grille vers la gauche, ce qui signifie que le$\text{run} = -4$. Maintenant, pour arriver à$Q_2$ compter les carrés de la$2$ grille vers le haut, comptez Ainsi, le$\text{rise} = 2$. La pente est$m = \dfrac{2}{−4} = −\dfrac{1}{2}$. Notez que la pente est la même quels que soient les$2$ points que nous considérons sur une ligne donnée.

Exemple Template:index

Déterminez la pente de la ligne qui la traverse$(3, 2)$ et$(4, 4)$ utilisez la formule de pente. Tracez la ligne qui passe par les points donnés.

Remarque : L'ordre dans lequel les points sont étiquetés ne changera pas la pente d'une formule linéaire tant qu'elle est cohérente.

Solution

Laissez$(x_1, y_1) = (3, 2)$ et$(x_2, y_2) = (4, 4)$ ensuite,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{4 − 2}{4 − 3} & \\ &= \dfrac{2}{1} &\text{rise \(= 2$et exécutez$= 1$} \ \ &= 2 & \ end {array} \)

Par conséquent, la pente de la ligne passant par les points$(3, 2)$ et$(4, 4)$ est$m = 2$. La ligne qui passe par les points donnés est illustrée dans la figure ci-dessous.

$clipboard_e274e9e3b46b3eff108909c81ba819a08.png$

Notez que lorsque la ligne s'élève de gauche à droite, elle présente une pente positive.

Exemple Template:index

Déterminez la pente de la ligne qui passe par les points$(−1, 2)$ et$(3, −4)$. Tracez les points et tracez la ligne.

Solution

Laissez$(x_1, y_1) = (-1, 2)$ et$(x_2, y_2) = (3, -4)$ ensuite,

$\begin{array} &&m = \dfrac{y_2 − y_1}{x_2 − x_1} &\text{slope of a line formula} \\ &= \dfrac{-4 − 2}{3 − (-1)} & \\ &= \dfrac{-6}{4} &\text{Simplify} \\ &= -\dfrac{3}{2} & \end{array}$

Définition : pente négative

Maintenant, pour tracer la ligne passant par les points donnés, tracez d'abord les deux points, puis tracez une ligne droite à travers eux, comme le montre la figure ci-dessous.

$clipboard_e8812e320ff1738607c4d0a7b47b2cb52.png$