4.9 : Composition de la fonction

Le graphique suivant est à nouveau extrait du manuel OER Business Calculus de Calaway, Hoffman et Lippman, 2013 et est utilisé avec autorisation (licence Creative Commons Attribution 3.0 United States License).

Figure Template:index

La notation\(f(g(x))\) et\(g(f(x))\) peuvent être plus faciles à comprendre que l'utilisation de l'opérateur de composition. \(f(g(x))\)En effet, pensez à emballer un colis. Le cadeau est mis dans la boîte (le cadeau est\(g(x)\), la boîte est\(f(x)\)) et le cadeau emballé contient le cadeau\(g(x)\).\(f(x)\)

Exemple Template:index

Si tel\(f(x) = x^2 − 2\) est le cas\(g(x) =\sqrt{x}\), trouvez :

1. \(f(g(x))\)et le domaine de la fonction composite
2. \(g(f(x))\)et le domaine de la fonction composite

Solution

1. La composition des fonctions\(f(g(x))\) est la suivante :

\(\begin{aligned} f(g(x)) &&\text{ Function composition, }f \text{ of }g\text{ of }x \\ f(\sqrt{x}) &&\text{ Replace } g(x)\text{ with }\sqrt{x} \\ ( \sqrt{x})^2 − 2 && \text{ In the function } f(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } g(x) =\sqrt{x} \\ x − 2 && f(g(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

Le domaine de la fonction composite contient les restrictions du domaine de la fonction interne, ainsi que les restrictions de la fonction composite.

Le domaine de la fonction interne,\(g(x) = \sqrt{x}\) est celui qui\(x\) doit être non négatif, ou en notation par intervalles\([0, \infty )\)

Le domaine de la fonction composite\(x − 2\) est constitué de nombres réels,\((−\infty , \infty )\)

Par conséquent, le domaine de\(f(g(x))\) est\([0, \infty )\).

2. La composition des fonctions\(g(f(x))\) est la suivante :

\(\begin{aligned} g(f(x)) &&\text{ Function composition, }g \text{ of } f \text{ of } x \\ g(x^2 − 2)&& \text{ Replace }f(x)\text{ with } x^2 − 2 \\ \sqrt{x^2 − 2} &&\text{ In the function } g(x)\text{, every }x \text{ is replaced with } f(x) = x^2−2 \\ x^2 − 2 && g(f(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

Le domaine de la fonction composite contient les restrictions du domaine de la fonction interne, ainsi que de la fonction composite.

Le domaine de la fonction interne\(f(x) = x^2 − 2\) est composé uniquement de nombres réels, ou en notation par intervalles\((−\infty , \infty )\)

Le domaine de la fonction composite\(\sqrt{x^2} − 2\) est que la quantité\(x^2 −2\) doit être non négative, ou\(x^2 −2 \geq 0\).

Résoudre\(x^2 − 2 \geq 0\) pour\(x\),\(x \geq 2\) et\(x \leq −2\). En notation par intervalles,\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\)

Par conséquent, le domaine de la fonction composite, g (f (x)) est le domaine le plus restrictif\((−\infty , −2] \cup [2, \infty )\).

Exemple Template:index

Si tel\(f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\) est le cas\(g(x) = \dfrac{5 }{x} + 4\), trouvez :

1. \(f(g(x))\)et le domaine de la fonction composite
2. \(g(f(x))\)et le domaine de la fonction composite

Solution

1. La composition des fonctions\(f(g(x))\) est la suivante :

\(\begin{aligned} f(g(x)) \text{ Function composition, } f\text{ of }g \text{ of }x\\ f\left( \dfrac{5}{ x} + 4\right) && \text{ Replace }g(x)\text{ with }\dfrac{5 }{x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\left(5 x + 4\right)− 4} && \text{ In the function } f(x)\text{, every x is replaced with } g(x) = \dfrac{5}{ x} + 4 \\ \dfrac{1 }{\dfrac{5 }{x}}&&\text{ Simplify} \\ \dfrac{x }{5} && f(g(x))\text{, answer simplified. }\end{aligned}\)

Le domaine de la fonction composite contient les restrictions du domaine de la fonction interne, ainsi que les restrictions de la fonction composite.

Le domaine de la fonction interne\(g(x) = 5 x + 4\) est constitué de toutes les valeurs\(x\) qui ne\(x\) doivent pas être 0, ou en notation par intervalles\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

Le domaine de la fonction composite\(\dfrac{x }{5}\) est composé uniquement de nombres réels.\((−\infty , \infty )\) Par conséquent, le domaine de\(f(g(x))\) est\((−\infty , 0) \cup (0, \infty )\)

2. La composition des fonctions,\(g(f(x))\) est

\(\begin{aligned} g(f(x))&&\text{Function composition, } g \text{ of } f\text{ of }x \\ g\left( \dfrac{1 }{x −4}\right) &&\text{Replace } f(x) \text{ with }\dfrac{1}{ x − 4}\\ \dfrac{5 }{\dfrac{1 }{x − 4}} + 4 &&\text{In the function } g(x)\text{, every x is replaced with } f(x) = \dfrac{1 }{x − 4}\\ 5(x − 4) + 4 && \text{ Simplify the fraction} \\ 5x − 20 + 4 &&\text{ Simplify more}\\ 5x − 16 && g(f(x))\text{, answer simplified.} \end{aligned}\)

Le domaine de la fonction composite contient les restrictions du domaine de la fonction interne, ainsi que de la fonction composite.

Le domaine de la fonction interne,\(f(x) = \dfrac{1}{ x − 4 }\) c'est cela\(x\neq 4\), ou en notation par intervalles\((−\infty , 4) \cup (4, \infty )\)

Le domaine de la fonction composite,\(5x − 16\) est composé de nombres réels,\((−\infty , \infty )\).

Par conséquent, le domaine de la fonction composite\(g(f(x))\) est le domaine le plus restrictif,\((−\infty , 4) \cup (4, \infty)\).

Exercice Template:index

Pour les fonctions données, recherchez à la fois\(f(g(x))\) et\(g(f(x))\) et trouvez le domaine de la fonction composite.

1. \(f(x) = 3x^ 2 + x − 10\),\(g(x) = 1 − 20x\)
2. \(f(x) = 3x − 2\),\(g(x) = \dfrac{1}{ 3} x + \dfrac{2 }{3}\)
3. \(f(x) = 4x − 1\),\(g(x) = \sqrt{6 + 7x}\)
4. \(f(x) = 5x + 2\),\(g(x) = x^2 − 14x\)
5. \(f(x) = x^ 2 − 2x + 1\),\(g(x) = 8 − 3x ^2\)
6. \(f(x) = x ^2 + 3\),\(g(x) = \sqrt{5 + x^2} \)