31.3: 科学记数法（附录 C）

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在天文学（和其他科学）中，通常需要处理非常大或非常小的数字。事实上，当日常生活中的数字变得非常庞大时，例如美国的国债，我们称之为天文数字。天文学家必须经常处理的想法之一是，地球距离太阳15万米，氢原子的质量为0.000000000000000000000000167千克。在他或她的右脑中，没有人愿意继续写这么多零！

相反，科学家们已经商定了一种速记符号，它不仅更容易书写，而且（正如我们将看到的）使大小数的乘法和除法变得不那么困难。如果你从未使用过这种十次方数或科学记数法，可能需要一点时间才能习惯它，但是你很快就会发现它比跟踪所有这些零要容易得多。

写大数字

在科学记数法中，我们通常同意小数点左边只有一个数字。如果数字不是这种格式，则必须对其进行更改。数字 6 的格式已经是正确的了，因为对于整数，我们知道它们的右边有一个小数点。所以 6 实际上是 6。，小数点左边确实只有一个数字。但是数字 965（即 965。）的小数点左边有三个数字，因此转换的时机已经成熟。

要将 965 更改为正确的格式，我们必须将其设为 9.65，然后跟踪我们所做的更改。（把这个数字想象成每周工资，突然之间，无论我们有965美元还是9.65美元，它都有很大的不同。）我们通过将小数点表示为十的幂来记录移动小数点的位数。因此，965 变成 9.65×10 ² 或 9.65 乘以十得出第二个乘方。小数点的 2 被称为指数，它告诉我们小数点向左移动了多少次。

请注意，10 ² 也表示 10 平方或 10×10，等于 100。而9.65×100仅为965，这是我们一开始使用的数字。另一种看待科学记数法的方法是，我们将前面混乱的数字分开，然后将平滑的十个单位留给指数来表示。因此，像 1,372,568 这样的数字变成 1.372568 乘以一百万（10 ⁶）或 1.372568 乘以 10 乘以自身 6 倍。我们必须将小数点向左移动六位（从 8 之后的位置开始），才能使数字变成小数点左边只有一个数字的形式。

我们之所以称之为十次方表示法，是因为我们的计数系统基于十的增加；我们编号系统中的每个位比其右边的位置大十倍。你可能已经了解到，这是因为人类有十根手指，我们开始用它们计数。（有趣的是，如果我们只用八根手指遇见智能生命形式，它们的计数系统可能就是八次方表示法！）

因此，在我们开始的示例中，从地球到太阳的米数为1.5×10 ¹¹。在本书的其他地方，我们提到，一根长达1光年的绳子可以在地球赤道周围放置2.36亿次或2.36亿次。在科学记数法中，这将变成2.36×10 ⁸。现在，如果你喜欢用百万来表达事物，就像成功公司的年度报告一样，你可能想把这个数字写成236×10 ⁶。但是，通常的惯例是小数点左边只有一个数字。

写小数字

现在取一个像 0.00347 这样的数字，它也不是科学记数法的标准（同意）格式。要将其转换为这种格式，我们必须将小数点向右移动三位，将其第一部分设为 3.47。请注意，右边的动作与上面讨论的向左的动作相反。为了追踪，我们将此变化称为负数，并在指数中加上负号。因此，0.00347 变成 3.47×10 ⁻³。

在我们开头给出的例子中，氢原子的质量将写成 1.67×10 ⁻²⁷ kg。在这个系统中，一个写成 10 ⁰，十分之一写成 10 ⁻¹，百分之一写成 10 ⁻²，依此类推。请注意，任何数字，无论多大或多小，都可以用科学记数法表示。

乘法和除法

科学记数法不仅紧凑方便，而且还简化了算术。要将两个以十的幂表示的数字相乘，您只需要将前面的数字相乘，然后将指数相加即可。如果前面没有数字，比如100×100,000，那么你只需将指数相加（在我们的表示法中，10 ² ×10 ⁵ = 10 ⁷）。当前面有数字时，你必须将它们相乘，但是它们比其中有许多零的数字更容易处理。

下面是一个例子：

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

还有另一个例子：

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

请注意，在第二个示例中，当我们添加指数时，我们像处理正则算术一样处理负指数（−2 加 6 等于 4）。另外，请注意，我们的第一个结果中有 24，这不是可接受的形式，小数点左边有两位，因此我们将其更改为 2.4 并相应地更改了指数。

要进行除法，请将前面的数字除以并减去指数。以下是几个示例：

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

在最后一个示例中，我们的第一个结果不是标准格式，因此我们必须将 0.452 更改为 4.52，然后相应地更改指数。

如果这是你第一次遇到科学记数法，我们强烈建议你用它来练习很多例子。你可以从解决以下练习开始。像任何新语言一样，这种符号起初看起来很复杂，但是当你练习时会变得更容易。

练习

2015年9月底，“新视野” 号航天器（2015年7月首次遇见冥王星）距离地球48.98亿公里。将此数字转换为科学记数法。这是多少个天文单位？（天文单位是从地球到太阳的距离，约为1.5亿千米。）
在运行的头六年中，哈勃太空望远镜在地球上盘旋了3.7万次，总长达12.8亿千米。使用科学记数法求出一个轨道上的千米数。
在大型大学食堂里，提供大豆蔬菜汉堡作为普通汉堡包的替代品。如果在一个学年中吃了889,875个汉堡，其中997个是素食汉堡，那么这占汉堡的比例和百分比是多少？
在 2012 年 Kelton Research 的一项民意调查中，36% 的成年美国人认为外星生物实际上已经降落在地球上。 2012 年，美国的成年人数约为 2.22 亿。使用科学记数法来确定有多少成年人认为外星人访问过地球。
在2009-2010学年，美国学院和大学授予了2,354,678个学位。其中有48,069个博士学位。博士学位的比例是多少？用百分比表示这个数字。（现在去为所有这些博士找一份工作吧！）
人们发现 60 光年以外的一颗恒星有一颗大型行星绕着它运行。你叔叔想知道以老式英里为单位到这个星球的距离。假设光每秒行驶 186,000 英里，一分钟有 60 秒，一小时 60 分钟，一天 24 小时，一年中 365 天。那颗星在多少英里之外？

答案

48.98 亿等于 4.898 × 10 ⁹ 千米。一个天文单位 (AU) 为 1.5 亿千米 = 1.5 × 10 ⁸ 千米。将第一个数字除以第二个数字，我们得到 3.27×10 ^{(9 — 8)} = 3.27×10 ¹ AU。
\(\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}\)。
\(\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}\)（或大约千分之一）的汉堡是素食主义者。百分比表示每百。所以\(\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}\)（大约是百分之一的十分之一）。
36% 等于 36 百分比或 0.36 或 3.6×10 ⁻¹。将其乘以 2.22×10 ⁸，你会得到大约 7.99×10 ^{(−1 + 8)} = 7.99×10 ⁷ 或者将近 8000 万人相信外星人已经降落在我们的星球上。我们需要更多的天文学课程来教育所有这些人。
\(\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%\)。（请注意，在这些示例中，我们将一些数字四舍五入，这样小数点后面的位数就不会超过 2 位。）
一光年是光在一年内传播的距离。（通常，我们使用公制单位，而不是美国仍在使用的旧英国系统，但我们会幽默你叔叔并坚持使用里程。）如果光每秒传播186,000英里，那么它将在一分钟内传播60倍，在一小时内行驶60倍，一天行驶24倍，一年内为365倍。所以我们有 1.86×10 ⁵ ×6.0×10 ¹ ×6.0×10 ¹ ×2.4×10 ¹ ×3.65×10 ²。因此，我们将前面的所有数字相乘，然后将所有指数相加。我们在一光年内行驶 586.57× ¹⁰ 10 = 5.86×10 ¹² 英里（大约为 6 万亿英里，差不多英里）。因此，如果恒星距离60光年，则其距离为6×10 ¹ ×5.86×10 ¹² = 35.16×10 ¹³ = 3.516×10 ¹⁴ 英里。