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31.3: 科学记数法(附录 C)

在天文学(和其他科学)中,通常需要处理非常大或非常小的数字。 事实上,当日常生活中的数字变得非常庞大时,例如美国的国债,我们称之为天文数字。 天文学家必须经常处理的想法之一是,地球距离太阳15万米,氢原子的质量为0.000000000000000000000000167千克。 在他或她的右脑中,没有人愿意继续写这么多零!

相反,科学家们已经商定了一种速记符号,它不仅更容易书写,而且(正如我们将看到的)使大小数的乘法和除法变得不那么困难。 如果你从未使用过这种十次方数或科学记数法,可能需要一点时间才能习惯它,但是你很快就会发现它比跟踪所有这些零要容易得多。

写大数字

在科学记数法中,我们通常同意小数点左边只有一个数字。 如果数字不是这种格式,则必须对其进行更改。 数字 6 的格式已经是正确的了,因为对于整数,我们知道它们的右边有一个小数点。 所以 6 实际上是 6。,小数点左边确实只有一个数字。 但是数字 965(即 965。)的小数点左边有三个数字,因此转换的时机已经成熟。

要将 965 更改为正确的格式,我们必须将其设为 9.65,然后跟踪我们所做的更改。 (把这个数字想象成每周工资,突然之间,无论我们有965美元还是9.65美元,它都有很大的不同。) 我们通过将小数点表示为十的幂来记录移动小数点的位数。 因此,965 变成 9.65×10 2 或 9.65 乘以十得出第二个乘方。 小数点的 2 被称为指数,它告诉我们小数点向左移动了多少次。

请注意,10 2 也表示 10 平方或 10×10,等于 100。 而9.65×100仅为965,这是我们一开始使用的数字。 另一种看待科学记数法的方法是,我们将前面混乱的数字分开,然后将平滑的十个单位留给指数来表示。 因此,像 1,372,568 这样的数字变成 1.372568 乘以一百万(10 6)或 1.372568 乘以 10 乘以自身 6 倍。 我们必须将小数点向左移动六位(从 8 之后的位置开始),才能使数字变成小数点左边只有一个数字的形式。

我们之所以称之为十次方表示法,是因为我们的计数系统基于十的增加;我们编号系统中的每个位比其右边的位置大十倍。 你可能已经了解到,这是因为人类有十根手指,我们开始用它们计数。 (有趣的是,如果我们只用八根手指遇见智能生命形式,它们的计数系统可能就是八次方表示法!)

因此,在我们开始的示例中,从地球到太阳的米数为1.5×10 11。 在本书的其他地方,我们提到,一根长达1光年的绳子可以在地球赤道周围放置2.36亿次或2.36亿次。 在科学记数法中,这将变成2.36×10 8。 现在,如果你喜欢用百万来表达事物,就像成功公司的年度报告一样,你可能想把这个数字写成236×10 6。 但是,通常的惯例是小数点左边只有一个数字。

写小数字

现在取一个像 0.00347 这样的数字,它也不是科学记数法的标准(同意)格式。 要将其转换为这种格式,我们必须将小数点向移动三位,将其第一部分设为 3.47。 请注意,右边的动作与上面讨论的向左的动作相反。 为了追踪,我们将此变化称为负数,并在指数中加上负号。 因此,0.00347 变成 3.47×10 −3

在我们开头给出的例子中,氢原子的质量将写成 1.67×10 −27 kg。 在这个系统中,一个写成 10 0,十分之一写成 10 −1,百分之一写成 10 −2,依此类推。 请注意,任何数字,无论多大或多小,都可以用科学记数法表示。

乘法和除法

科学记数法不仅紧凑方便,而且还简化了算术。 要将两个以十的幂表示的数字相乘,您只需要将前面的数字相乘,然后将指数相加即可。 如果前面没有数字,比如100×100,000,那么你只需将指数相加(在我们的表示法中,10 2 ×10 5 = 10 7)。 当前面有数字时,你必须将它们相乘,但是它们比其中有许多零的数字更容易处理。

下面是一个例子:

(3×105)×(2×109)=6×1014

还有另一个例子:

0.04×6,000,000=(4×102)×(6×106)=24×104=2.4×105

请注意,在第二个示例中,当我们添加指数时,我们像处理正则算术一样处理负指数(−2 加 6 等于 4)。 另外,请注意,我们的第一个结果中有 24,这不是可接受的形式,小数点左边有两位,因此我们将其更改为 2.4 并相应地更改了指数。

要进行除法,请将前面的数字除以并减去指数。 以下是几个示例:

1,000,0001000=106103=10(63)=1039×10122×103=4.5×1092.8×1026.2×105=4.52×104

在最后一个示例中,我们的第一个结果不是标准格式,因此我们必须将 0.452 更改为 4.52,然后相应地更改指数。

如果这是你第一次遇到科学记数法,我们强烈建议你用它来练习很多例子。 你可以从解决以下练习开始。 像任何新语言一样,这种符号起初看起来很复杂,但是当你练习时会变得更容易。

练习

  1. 2015年9月底,“新视野” 号航天器(2015年7月首次遇见冥王星)距离地球48.98亿公里。 将此数字转换为科学记数法。 这是多少个天文单位? (天文单位是从地球到太阳的距离,约为1.5亿千米。)
  2. 在运行的头六年中,哈勃太空望远镜在地球上盘旋了3.7万次,总长达12.8亿千米。 使用科学记数法求出一个轨道上的千米数。
  3. 在大型大学食堂里,提供大豆蔬菜汉堡作为普通汉堡包的替代品。 如果在一个学年中吃了889,875个汉堡,其中997个是素食汉堡,那么这占汉堡的比例和百分比是多少?
  4. 在 2012 年 Kelton Research 的一项民意调查中,36% 的成年美国人认为外星生物实际上已经降落在地球上。 2012 年,美国的成年人数约为 2.22 亿。 使用科学记数法来确定有多少成年人认为外星人访问过地球。
  5. 在2009-2010学年,美国学院和大学授予了2,354,678个学位。 其中有48,069个博士学位。 博士学位的比例是多少? 用百分比表示这个数字。 (现在去为所有这些博士找一份工作吧!)
  6. 人们发现 60 光年以外的一颗恒星有一颗大型行星绕着它运行。 你叔叔想知道以老式英里为单位到这个星球的距离。 假设光每秒行驶 186,000 英里,一分钟有 60 秒,一小时 60 分钟,一天 24 小时,一年中 365 天。 那颗星在多少英里之外?

答案

  1. 48.98 亿等于 4.898 × 10 9 千米。 一个天文单位 (AU) 为 1.5 亿千米 = 1.5 × 10 8 千米。 将第一个数字除以第二个数字,我们得到 3.27×10 (9 — 8) = 3.27×10 1 AU。
  2. 1.28×109 km3.7×104 orbits=0.346×10(94)=0.346×105=3.46×104 km per orbit
  3. 9.97×102 veggie burgers8.90×105 total burgers=1.12×10(25)=1.12×10(25)=1.12×103(或大约千分之一)的汉堡是素食主义者。 百分比表示每百。 所以1.12×103102=1.12×10(3(2))=1.12×101 percent(大约是百分之一的十分之一)。
  4. 36% 等于 36 百分比或 0.36 或 3.6×10 −1。 将其乘以 2.22×10 8,你会得到大约 7.99×10 (−1 + 8) = 7.99×10 7 或者将近 8000 万人相信外星人已经降落在我们的星球上。 我们需要更多的天文学课程来教育所有这些人。
  5. 4.81×1042.35×106=2.05×10(46)=2.05×102= about2%。 (请注意,在这些示例中,我们将一些数字四舍五入,这样小数点后面的位数就不会超过 2 位。)
  6. 一光年是光在一年内传播的距离。 (通常,我们使用公制单位,而不是美国仍在使用的旧英国系统,但我们会幽默你叔叔并坚持使用里程。) 如果光每秒传播186,000英里,那么它将在一分钟内传播60倍,在一小时内行驶60倍,一天行驶24倍,一年内为365倍。 所以我们有 1.86×10 5 ×6.0×10 1 ×6.0×10 1 ×2.4×10 1 ×3.65×10 2。 因此,我们将前面的所有数字相乘,然后将所有指数相加。 我们在一光年内行驶 586.57× 10 10 = 5.86×10 12 英里(大约为 6 万亿英里,差不多英里)。 因此,如果恒星距离60光年,则其距离为6×10 1 ×5.86×10 12 = 35.16×10 13 = 3.516×10 14 英里。