13.5：回归系数的解释-弹性和对数变换

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如我们所见，使用 OLS 回归分析估算的方程系数提供了直线斜率的估计值，假定该直线是因变量与至少一个自变量之间的关系。从微积分来看，直线的斜率是一阶导数，它告诉我们变量中一个单位的变化对以\(X\)变量单位测量的\(Y\)变量值的\(Y\)影响幅度。正如我们在虚拟变量中看到的那样，这可能显示为估计线的平行偏移，甚至是交互式变量中直线的斜率变化。在这里，我们希望探讨弹性的概念，以及如何使用回归分析来估计经济学家感兴趣的各种弹性。

弹性的概念是从工程和物理学中借来的，它用于测量材料对力（通常是拉伸/拉力等物理力）的响应能力。正是从这里我们得到 “弹性” 带这个词。在经济学中，所讨论的力量是某种市场力量，例如价格或收入的变化。在工程应用和经济学中，弹性以百分比变化/响应来衡量。以百分比表示的测量值是测量单位在测量值中不起作用，因此可以直接比较弹性。例如，如果汽油价格从最初的3.00美元上涨了50美分，并导致消费者的月消费量从50加仑下降到48加仑，我们计算弹性为0.25。价格弹性是由于价格的某个百分比变化而导致的数量的百分比变化。价格上涨16％仅导致需求减少了4％：16％的价格变动\(\rightarrow\) 4％数量变动或\(.04/.16 = .25\)。这被称为非弹性需求，这意味着对价格变动的反应很小。之所以出现这种情况，是因为汽油的真正替代品很少；可能是公共交通、自行车或步行。当然，从技术上讲，价格上涨导致需求的百分比变化是需求的下降，因此价格弹性是一个负数。但是，常见的惯例是将弹性视为数字的绝对值。有些商品有许多替代品：用梨代替苹果换李子，用梨代替葡萄等。此类商品的弹性大于一，被称为需求弹性。在这里，价格的微小变化将导致需求量发生较大的百分比变化。消费者很容易将需求转移到接近的替代品上。

虽然本次讨论是关于价格变动的，但需求方程中的任何自变量都将具有相关的弹性。因此，存在一种收入弹性来衡量需求对收入变化的敏感性：对食品需求的敏感性不多，但对游艇非常敏感。如果需求方程包含替代品的术语，比如饼干需求方程中的糖棒，则可以衡量糖棒价格变化对饼干需求的响应程度。这被称为需求的交叉价格弹性，从营销的角度来看，在一定程度上可以将其视为品牌忠诚度。对可口可乐的需求对百事可乐价格变化的反应如何？

现在想象一下对非常昂贵的产品的需求。同样，弹性是用百分比来衡量的，因此可以直接将弹性与汽油的弹性进行比较：汽油弹性为0.25所传达的信息与25,000美元汽车0.25的弹性相同。消费者认为这两种商品几乎没有替代品，因此需求曲线没有弹性，弹性小于一。

各种弹性的数学公式是：

\[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

用来表示弹性的希腊小写字母 eta 在哪里\(\eta\)。被理解为 “变化”。

\[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

\(Y\)哪里用作收入的象征。

\[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

其中 P2 是替代品的价格。

仔细观察价格弹性，我们可以将公式写成：

\[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

其中\(b\) OLS 回归中的估计价格系数。

方程的第一种形式演示了弹性以百分比表示的原理。当然，普通最小二乘系数可以估计自变量的单位变化对以单位为测量的因变量的影响\(Y\)。\(X\) 但是，这些系数不是弹性，在编写弹性公式的第二种方式中显示为估计需求函数的导数\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\)，即回归线的斜率。将斜率乘以\(\frac{P}{Q}\)可得出以百分比表示的弹性。

沿直线需求曲线，百分比变化（即弹性）会随着比例的变化而不断变化，而斜率（估计的回归系数）保持不变。回到对汽油的需求。价格从3.00美元变为3.50美元，价格上涨了16％。如果起始价格为5.00美元，那么同样的50美分涨幅将仅为10％的涨幅，从而产生不同的弹性。每条直线需求曲线都有一系列弹性，从左上角开始，价格居高不下，弹性数字大，需求具有弹性，需求随着需求曲线的下降而减少，需求没有弹性。

为了对需求弹性提供有意义的估计，惯例是估计均值点的弹性。请记住，所有 OLS 回归线都将经过均值点。此时是用于估计系数的数据的最大权重。估计 OLS 需求曲线时估计弹性的公式变为：

\[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

其中\(\overline{\mathrm{P}}\)和\(\overline{\mathrm{Q}}\)是用于估算的这些数据的平均值\(b\)，即价格系数。

通过使用其他变量（例如替代商品的收入和价格）的相应平均值，可以使用相同的方法来估计需求函数的其他弹性。

数据的对数变换

普通最小二乘估计值通常假设变量之间的总体关系是线性的，因此形式如回归方程所示。在这种形式中，对系数的解释如上所述；很简单，系数提供了一个单位变化对以单位为单位\(Y\)测量的影响的估计值\(Y\)。\(X\) 人们希望沿线的哪个位置进行测量并不重要，因为它是一条直线，斜率恒定，因此每单位变化估计的影响水平是恒定的。但是，分析师可能希望估计的不是简单的单位测量对变量的影响，而是要估计\(Y\)变量中一个单位变化\(Y\)所产生的百分比影响的幅度。\(X\) 这样的例子可能是单位经验的变化（比如一年）如何影响工人的工资的绝对金额，而是影响对工人工资的百分比影响。或者，可能提出的问题是 X 的特定百分比增长\(Y\)对单位衡量的影响。例如，“如果公司在广告上的支出增加\(X\)百分比，销售额将增加多少美元？” 第三种可能性是上面讨论的弹性案例。在这里，我们感兴趣的是价格或收入或替代品价格的给定百分比变化对需求量的百分比影响。所有这三种情况都可以通过在运行回归之前将数据转换为对数来估算。然后，生成的系数将提供相关变量的百分比变化测量值。

总而言之，有四种情况：

\(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)（标准 OLS 保护壳）
\(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
\(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
\(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)（弹性外壳）

案例 1：普通最小二乘案例从上面开发的线性模型开始：

\[Y=a+b X\nonumber\]

其中，自变量的系数\(b=\frac{d Y}{d X}\)是直线的斜率，因此\(Y\)衡量单位变化的影响，单位为单位\(Y\)。\(X\)

案例 2：基础估计方程为：

\[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

方程是通过将\(Y\)值转换为对数并使用 OLS 技术来估计\(X\)变量的系数来估算的\(b\)。这称为半对数估计。同样，对方程的两边进行微分可以让我们得出对\(X\)系数的解释\(b\)：

\[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

\[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

乘以 100 即可转换为百分比，重新排列术语得出：

\[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

\(100b\)因此，是单位变化\(Y\)所产生的百分比变化\(X\)。

案例 3：在这种情况下，问题是 “百分比变化\(Y\)导致的单位变化是\(X\)多少？” 价格上涨5％的美元收入损失是多少，或者劳动力成本上涨5％的总美元成本影响是多少？这种情况下的估计方程为：

\[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

这里估计方程的微积分微分为：

\[dY=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

除以 100 得出百分比，重新排列术语得出：

\[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

因此，\(\frac{b}{100}\)是以单位为\(Y\)单位的增加幅度是从增加百分之一开始的\(X\)。

案例 4：这是弹性案例，在 OLS 估计之前，因变量和自变量都被转换为对数。这被称为 log-log case 或 double log case，它为我们提供了自变量弹性的直接估计。估计的方程为：

\[logY=a+blogX\nonumber\]

与众不同的是，我们有：

\[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

因此：

\[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

以及\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\)我们对弹性的定义。我们得出结论，我们可以通过数据的双对数转换直接估计变量的弹性。估计系数是弹性。在估计需求函数时，通常使用所有变量的双对数变换来估计需求曲线的所有各种弹性。