13.3: 线性方程

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两个变量的线性回归基于具有一个自变量的线性方程。方程的形式为：

\[y=a+b x\nonumber\]

其中\(a\)，和\(b\)是常数。

变量\(\bf x\)是自变量，\(\bf y\)是因变量。 思考这个方程式的另一种方法是陈述因果关系。 \(X\)变量是原因，\(Y\)变量是假设的效应。通常，选择一个值来替代自变量，然后求解因变量。

示例\(\PageIndex{1}\)

以下示例是线性方程。

\(y=3+2x\)

\(y=–0.01+1.2x\)

这种形式的线性方程的图形\(y = a + bx\)是一条直线。任何不垂直的直线都可以用这个方程来描述

示例\(\PageIndex{2}\)

绘制方程图\(y = –1 + 2x\)。

方程图 y = -1 + 2x。这是一条在 -1 处穿过 y 轴的直线，向上和向右倾斜，每运行一个单位上升 2 个单位。

练习\(\PageIndex{2}\)

以下是线性方程的例子吗？为什么或者为什么不呢？

这是一张方程图。 x 轴以 0-14 之间的间隔为 2 进行标记；y 轴以 0-12 之间的间隔为 2 进行标记。方程的图形是一条在 2 处穿过 y 轴并向上和向右弯曲的曲线。

示例\(\PageIndex{3}\)

Aaron 的文字处理服务 (AWPS) 进行文字处理。服务费为每小时32美元，外加31.50美元的一次性费用。客户的总成本取决于完成工作所花费的小时数。

找到用完成工作所需的小时数表示总成本的方程式。

回答

解决方案 13.3

Let\(x\) = 完成工作所花费的小时数。
让\(y\) = 客户的总成本。

31.50美元是固定成本。如果完成任务需要\(x\)几个小时，那么 (32) (\(x\)) 仅是文字处理的成本。总成本为：\(y = 31.50 + 32x\)

线性方程的斜率和 Y 截距

对于线性方程\(y = a + bx\)，\(b\)= 斜率和\(a = y\)-截距。从代数来看，斜率是一个描述直线陡度的数字，而\(y\)-intercept是直线与y轴\((0, a)\)交叉点的\(y\)坐标。从微积分来看，斜率是函数的一阶导数。对于线性函数，斜率是我们可以将数学表达式理解为 “由变化引起的 y (dy) 的变化\(x (dx) = b * dx\)”\(dy / dx = b\) 的地方。

三种可能的方程图 y = a + bx。对于第一张图，(a)，b — 图\(\PageIndex{5}\)三张可能的图表\(y = a + bx\). (a) 如果\(b > 0\)，则线向右向上倾斜。 (b) 如果\(b = 0\)，则直线是水平的。 (c) 如果\(b < 0\)，则线向右向下倾斜。

示例\(\PageIndex{4}\)

斯韦特兰娜导师为大学赚额外的钱。对于每次辅导课程，她一次性收取25美元加上每小时15美元的辅导费。表示斯韦特拉娜每节课的总收入的线性方程是\(y = 25 + 15x\)。

自变量和因变量是什么？ y 截距是多少，斜率是多少？用完整的句子解释它们。

回答

解决方案 13.4

自变量 (\(x\)) 是 Svetlana 每节课导师的小时数。因变量 (\(y\)) 是 Svetlana 在每次会话中获得的金额，以美元为单位。

y 截距为\(25 (a = 25\)）。在辅导课程开始时，Svetlana一次性收取25美元（这是时候\(x= 0\)）的费用。斜率是\(15 (b = 15)\)。每节课，Svetlana 每辅导一小时可赚取 15 美元。