13.3: 线性方程

两个变量的线性回归基于具有一个自变量的线性方程。 方程的形式为：

$$y=a+b x\nonumber$$

其中$a$，和$b$是常数。

变量$\bf x$是自变量，$\bf y$是因变量。 思考这个方程式的另一种方法是陈述因果关系。 $X$变量是原因，$Y$变量是假设的效应。 通常，选择一个值来替代自变量，然后求解因变量。

示例$\PageIndex{1}$

以下示例是线性方程。

$y=3+2x$

$y=–0.01+1.2x$

这种形式的线性方程的图形$y = a + bx$是一条直线。 任何不垂直的直线都可以用这个方程来描述

示例$\PageIndex{2}$

绘制方程图$y = –1 + 2x$。

图$\PageIndex{3}$

练习$\PageIndex{2}$

以下是线性方程的例子吗？ 为什么或者为什么不呢？

图$\PageIndex{4}$

示例$\PageIndex{3}$

Aaron 的文字处理服务 (AWPS) 进行文字处理。 服务费为每小时32美元，外加31.50美元的一次性费用。 客户的总成本取决于完成工作所花费的小时数。

找到用完成工作所需的小时数表示总成本的方程式。

回答

解决方案 13.3

Let$x$ = 完成工作所花费的小时数。
让$y$ = 客户的总成本。

31.50美元是固定成本。 如果完成任务需要$x$几个小时，那么 (32) ($x$) 仅是文字处理的成本。 总成本为：$y = 31.50 + 32x$

线性方程的斜率和 Y 截距

对于线性方程$y = a + bx$，$b$= 斜率和$a = y$-截距。 从代数来看，斜率是一个描述直线陡度的数字，而$y$-intercept是直线与y轴$(0, a)$交叉点的$y$坐标。 从微积分来看，斜率是函数的一阶导数。 对于线性函数，斜率是我们可以将数学表达式理解为 “由变化引起的 y (dy) 的变化$x (dx) = b * dx$”$dy / dx = b$ 的地方。

0，因此该线向右向上倾斜。 对于第二个，b = 0，方程的图形是一条水平线。 在第三张图中，(c)，b < 0 and the line slopes downward to the right.” data-media-type="image/jpg” style="width: 856px; height: 203px;” width="856px” height="203px” src=”/@api /deki/files/8169/7096285f5e75a2c46961f54cfccefea4e79baaef “>

图$\PageIndex{5}$三张可能的图表$y = a + bx$. (a) 如果$b > 0$，则线向右向上倾斜。 (b) 如果$b = 0$，则直线是水平的。 (c) 如果$b < 0$，则线向右向下倾斜。

示例$\PageIndex{4}$

斯韦特兰娜导师为大学赚额外的钱。 对于每次辅导课程，她一次性收取25美元加上每小时15美元的辅导费。 表示斯韦特拉娜每节课的总收入的线性方程是$y = 25 + 15x$。

自变量和因变量是什么？ y 截距是多少，斜率是多少？ 用完整的句子解释它们。

回答

解决方案 13.4

自变量 ($x$) 是 Svetlana 每节课导师的小时数。 因变量 ($y$) 是 Svetlana 在每次会话中获得的金额，以美元为单位。

y 截距为$25 (a = 25$）。 在辅导课程开始时，Svetlana一次性收取25美元（这是时候$x= 0$）的费用。 斜率是$15 (b = 15)$。 每节课，Svetlana 每辅导一小时可赚取 15 美元。