8.10: 章节回顾

8.2 总体标准差的置信区间未知、小样本案例

在许多情况下，研究人员不知道正在研究的测量值的总体标准差。\(\sigma\) 在这些情况下，通常使用样本标准差 s 作为\ sigma 的估计值。 当已知时，正态分布会创建精确的置信区间，但是当\(\sigma\)使用 s 作为估计值时，正态分布会创建精确的置信区间。 在这种情况下，学生的 t 分布要好得多。 使用以下公式定义 t 分数：

\(t=\frac{\overline{x}-\mu}{s / \sqrt{n}}\)

t 分数遵循学生的 t 分布和自由\(n – 1\)度。 此分布下的置信区间是使用以下方法计算\(t_{\frac{\alpha}{2}}\)的：其\(\overline{x} \pm\left(t_{\frac{\alpha}{2}}\right) \frac{s}{\sqrt{n}}\)中 t 分数是右边面积等于\(\frac{\alpha}{2}\)，\(s\)是样本标准差，\(n\)是样本数量。 使用表格、计算器或计算机来查找\(t_{\frac{\alpha}{2}}\)给定内容\(\alpha\)。

8.3 总体比例的置信区间

一些统计衡量标准，例如许多调查问题，是衡量定性而不是定量数据。 在这种情况下，估计的总体参数是一个比例。 可以按照与创建总体均值置信区间时使用的程序相似的过程为真实总体比率创建置信区间。 公式略有不同，但它们遵循相同的推理。

让我们\(p^{\prime}\)表示样本比例\(x/n\)，其中\(x\)表示成功次数，\(n\)代表样本数量。 让\(q^{\prime}=1-p^{\prime}\)。 然后，总体比率的置信区间由以下公式给出：

\(\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\)

8.4 计算样本数量 n：连续和二进制随机变量

有时，研究人员事先知道他们想在给定置信度下估计特定误差范围内的总体均值。 在这种情况下，求解 n 的相关置信区间公式，以发现实现此目标所需的样本大小：

\(n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \sigma^{2}}{(\overline{x}-\mu)^{2}}\)

如果随机变量是二进制，则在特定容差水平下保持特定置信水平的相应样本数量的公式由下式给出

\(n=\frac{Z_{\alpha}^{2} \mathrm{pq}}{e^{2}}\)