7.0：中心极限定理简介

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我们为什么这么关心手段？两个原因是：它们为我们提供了比较的中间立场，而且很容易计算。在本章中，您将学习均值和中心极限定理。

中心极限定理是所有统计学中最有力和最有用的思想之一。中心极限定理是一个定理，这意味着它不是一个理论，也不是一个人对事物运作方式的看法。作为一个定理，它与毕达哥拉斯定理或告诉我们三角形角度之和必须相加为180的定理进行排名。这些是用数学精度和逻辑严格证明的世界方式的事实。正如我们将看到的那样，这个强大的定理将决定我们在推理统计中能说什么和不能说什么。中心极限定理涉及 $n$ 从具有已知平均值和已知标准差的总体中抽取大小的有限样本 $\sigma$ 。 $\mu$ 结论是，如果我们采集大小 $n$ 为 “足够大” 的样本 $n$ ，计算每个样本的平均值，然后创建这些均值的直方图（分布），则生成的分布往往具有近似的正态分布。

令人震惊的结果是，无论原始人口的分布如何，或者你是否需要知道。重要的事实是，样本均值的分布往往遵循正态分布。

这是一张换成堆的钥匙的照片。似乎有五便士、四分之三、四角钱和两分钱。钥匙圈上有一只青铜鲸鱼，可容纳 11 把钥匙。 — 图 $\PageIndex{1}$ 如果你想计算人们口袋里随身携带的零钱的分布，使用中心极限定理并假设你的样本足够大，你会发现分布是正态概率密度函数。（来源：约翰·洛德）

“足够大” 所需的样本大小取决于抽取样本的原始总体（样本数量应至少为 30 或者数据应来自正态分布）。 $n$ 如果原始总体远离正态值，则需要更多的观测值才能获得样本均值。 采样是随机进行的，并在理论模型中进行替换。