5.9: 章节回顾

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5.1 连续概率密度函数的属性

概率密度函数 (pdf) 用于描述连续随机变量的概率。两点之间的密度曲线下方的面积对应于变量落在这两个值之间的概率。换句话说，点 a 和 b 之间的密度曲线下的面积等于\(P(a < x < b)\)。累积分布函数 (cdf) 以面积形式给出概率。如果\(X\)是连续随机变量，则使用概率密度函数 (pdf) 绘制概率分布图。\(f(x)\) 图表下方的总面积\(f(x)\)为一。图形下方\(f(x)\)\(a\)和值之间的区域，\(b\)给出概率\(P(a < x < b)\)。

左边的图表显示了一条一般密度曲线，y = f (x)。曲线下方和 x 轴上方的区域采用阴影处理。阴影区域的面积等于 1。这表明所有可能的结果都由曲线表示。右边的图表显示了相同的密度曲线。垂直线 x = a 和 x = b 从轴延伸到曲线，两条线之间的区域呈阴影。阴影区域的面积表示 x 值介于 a 和 b 之间的概率。 — 图\(\PageIndex{21}\)

的累积分布函数 (cdf)\(X\) 由定义\(P(X \leq x)\)。它是 x 的函数，给出随机变量小于或等于 x 的概率。

5.2 均匀分布

如果在其中\(X\)具有均匀分布\(a \leq x \leq b\)，\(a < x < b\)则\(X\)取介于\(a\)和之间的值\(b\)（可能包括\(a\)和\(b\)）。所有值的可能性\(x\)都相同。我们写\(X \sim U(a, b)\)。的意思\(X\)是\(\mu=\frac{a+b}{2}\)。的标准差\(X\)为\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\)。的概率密度函数\(X\)为 f\(f(x)=\frac{1}{b-a}\) or\(a \leq x \leq b\)。的累积分布函数\(X\)为\(P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}\)。 \(X\)是连续的。

该图显示了一个总面积等于 1 的矩形。矩形在 x 轴上从 x = a 延伸到 x = b，高度为 1/ (b-a)。 — 图\(\PageIndex{22}\)

概率\(P(c < X < d)\)可以通过计算下方\(f(x)\)、\(c\)和之间的面积来找出\(d\)。由于相应的区域是矩形，因此只需将宽度和高度相乘即可找到该区域。

5.3 指数分布

如果\(X\)指数分布为平均值\(\mu\)，则衰减参数为\(m=\frac{1}{\mu}\)。的概率密度函数\(X\)为\(f(x) = me^{-mx}\)（或等效函数\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}\)。的累积分布函数\(X\)为\(P(X \leq x)=1-e^{-m x}\)。