4.10: 章节回顾

导言

概率分布或密度函数 (PDF) 的特征如下：

1. 每个概率介于零和一之间（包括意味着包括零和一）。
2. 概率之和为一。

4.1 超几何分布

组合公式可以提供可以从唯一对象创建的\(n\)唯一大小\(x\)子集的数量，以帮助我们计算概率。 组合公式是\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

超几何实验是具有以下属性的统计实验：

1. 你从两组中采集样本。
2. 你关心的是一个兴趣群体，称为第一组。
3. 您可以从组合组中抽样，无需替换。
4. 每个采样都不是独立的，因为采样无需替换。

超几何实验的结果拟合超几何概率分布。 随机变量\(X =\)，表示感兴趣组中的项目数量。 \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\)。

二项分布

如果满足以下条件，则可以将统计实验归类为二项式实验：

1. 试用次数是固定的，\(n\)。
2. 每项试验只有两种可能的结果，分别是 “成功” 和 “失败”。 字母\(p\)表示一次试验成功的概率，\(q\)表示一次试验失败的概率。
3. \(n\)试验是独立的，使用相同的条件重复进行。

二项式实验的结果与二项式概率分布相吻合。 随机变量\(X =\)是在\(n\)独立试验中获得的成功次数。 的均值\(X\)可以使用公式计算\(\mu = np\)，标准差由公式给出\(\sigma=\sqrt{n p q}\)。

二项式概率密度函数的公式为

\[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

几何分布

几何实验有三个特征：

1. 有一次或多次伯努利试验都失败了，最后一次是成功的。
2. 从理论上讲，试验的数量可能会永远持续下去。 必须至少进行一次试验。
3. 每次试验的成功概率和失败的概率是相同的。\(p\)\(q\)

在几何实验中，将离散随机变量定义\(X\)为第一次成功之前的独立试验次数。 我们说\(X\)它具有几何分布，然后写下单次试验中成功的概率在\(X \sim G(p)\)哪里\(p\)。

几何分布的平均值\(X \sim G(p)\)是公式\(\mu = 1/p\)在\(x =\)首次成功之前的试验次数，\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\)其中试验次数增加，包括第一次成功的试验。

另一种几何分布公式提出了一个问题：在第一次成功之前，x 失效的概率是多少？ 在此公式中，不计算取得第一次成功的试验。 这种几何图形表示的公式是：

\[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

这种形式的几何分布的预期值为

\[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

保持这两种形式的几何分布直线的最简单方法是记住\(p\)这是成功的概率，\((1−p)\)也是失败的概率。 在公式中，指数仅计算预期实验结果的成功次数和失败次数。 当然，这两个数字的总和必须与实验中的试验次数相加。

泊松分布

离散随机变量的泊松概率分布给出了在固定的时间或空间间隔内发生的许多事件的概率，前提是这些事件以已知的平均速率发生，并且与上次事件以来的时间无关。 如果成功概率为 “小”（小于或等于 0.01）且试验次数 “大”（大于或等于 25），则泊松分布可用于近似二项式。 不同的作者也提出了其他经验法则，但所有人都认识到，随着二项式的\(n\)增加和\(p\)接近零，泊松分布是二项式的极限分布。

计算来自泊松过程的概率的公式是：

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

其中\(P(X)\)是成功概率，\(\mu\)（发音为 mu）是预期的成功次数，\(e\)自然对数大致等于\(2.718\)，\(X\)是每个单位的成功次数，通常是每单位时间。