4.3: 几何分布

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Nov 1, 2022
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- 4.2: 二项式分布
- 4.4: 泊松分布

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几何概率密度函数建立在我们从二项式分布中学到的知识之上。在这种情况下，实验将持续到成功或失败为止，而不是进行一定数量的试验。几何实验有三个主要特征。

有一次或多次伯努利试验都失败了，最后一次是成功的。换句话说，你一直在重复你正在做的事情，直到第一次成功。然后你停下来。例如，你向靶心投掷飞镖，直到你击中靶心。你第一次击中靶心是 “成功”，所以你停止投掷飞镖了。可能需要六次尝试才能击中靶心。你可以将试验看作失败、失败、失败、失败、失败、成功、停止。
从理论上讲，试验的数量可能会永远持续下去。
每次试验的成功概率和失败的概率是相同的。 $p$ $q$ $p + q = 1$ 和 $q = 1 − p$ 。例如，当你投出一枚公平骰子时掷出三分的概率为 $\frac{1}{6}$ 。不管你掷多少次骰子都是如此。假设你想知道在第五轮中获得前三名的概率。在滚动一到四时，你不会得到一张带三的脸。每轮的概率为 q = $\frac{5}{6}$ ，即失败的概率。在第五轮中获得三分的概率是 $\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804$
$X$ = 第一次成功之前的独立试验次数。

示例 $\PageIndex{5}$

你玩的是一场机会游戏，你可以赢或输（没有其他可能性），直到你输了。你输的概率是 $p = 0.57$ 。你输掉比赛需要五场比赛的概率是多少？ Let $X$ = 你输掉之前玩的游戏数量（包括输掉的游戏）。然后 X 取值 1、2、3、... （可能会无限期地持续下去）。概率问题是 $P (x = 5)$ 。

练习 $\PageIndex{5}$

你向棋盘投掷飞镖，直到你击中中心区域。你击中中心区域的概率是 $p = 0.17$ 。你想找出在击中中心之前需要八次投掷的概率。它 $X$ 具有什么价值观？

示例 $\PageIndex{6}$

安全工程师认为，其工厂中所有工业事故中有35％是由于员工不遵守指示造成的。她决定查看事故报告（随机选择并在阅读后在堆中替换），直到找到一份显示员工不遵守指示造成事故的报告。平均而言，安全工程师在找到显示员工未遵守指示造成事故的报告之前，她期望查看多少报告？安全工程师必须检查至少三份报告，直到发现一份报告显示员工未按指示造成事故的报告为止？

Let $X$ = 安全工程师必须检查的事故数量，直到她找到一份报告显示员工不遵守指示而造成的事故。 X 取值 1、2、3、... 第一个问题要求你找到预期值或均值。第二个问题要求你找到 $P (x \geq 3)$ 。（“至少” 转换为 “大于或等于” 符号）。

练习 $\PageIndex{6}$

教师认为 15% 的学生在期末考试中成绩低于 C。她决定看期末考试（随机选择，阅读后在堆中替换），直到找到分数低于 C 的期末考试。我们想知道教师在找到分数低于 C 的考试之前必须至少考十次考试的概率是什么用数学说的？

示例 $\PageIndex{7}$

假设你在大学里找一个住在你五英里以内的学生。你知道，在25,000名学生中，有55％生活在你五英里以内。你随机联系大学的学生，直到有人说他或她住在离你五英里以内。你需要联系四个人的概率是多少？

这是一个几何问题，因为在获得你想要的成功之前，你可能会遇到很多失败。此外，每当你询问学生是否住在离你五英里以内时，成功的概率大致相同。没有确定的试用次数（你问学生的次数）。

a. 让 $X$ = 你必须问 ____________ 的数目 ____________ 有人说是。

回答: a. Let $X$ = 在有人回答 “是” 之前你必须询问的学生人数。

b. 具有什么 $X$ 价值观？

回答: b. 1、2、3、...（学生总数）

c. 什么是 $p$ 和 $q$ ？

回答: c。 $p = 0.55; q = 0.45$

d. 概率问题是 $P$ (_______)。

回答: d。 $P (x = 4)$

几何表示法：G = 几何概率分布函数

$X \sim G (p)$

读作 “ $X$ 是具有几何分布的随机变量”。参数为 $p$ ; $p$ = 每次试验的成功概率。

Geometry Pdf 告诉我们第一次成功需要 $x$ 多次独立试验的概率，每个试验的成功概率为 p。如果每项试验的成功概率为 p，则 $x$ 第 th 次试验（不在 $x$ 试验中）是第一次成功的概率是：

$\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber$

对于 $x = 1, 2, 3$ ，...
的预期值（此分布的平均值）为 $1/p$ 。 $X$ 这告诉我们，在获得第一次成功之前，我们需要进行多少次试验，包括成功的试验。以上形式的几何分布用于对试验次数进行建模，直到第一次成功。试验次数包括成功的试验： $x$ = 所有试验，包括成功的试验。这可以从公式的形式看出。如果 $X$ = 包括成功的试验次数，那么我们必须将失败概率乘以失败次数 $X-1$ 。 $(1-p)$

相比之下，以下形式的几何分布用于对首次成功之前的失效次数进行建模：

$\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber$

对于 $x = 0, 1, 2, 3$ ，...
在这种情况下，成功的试验不算作公式中的试验： $x$ = 失败次数。此分布的预期值（均值）为 $\mu=\frac{(1-p)}{p}$ 。这告诉我们在取得成功之前预计会有多少失败。无论哪种情况，概率序列都是几何序列。

示例 $\PageIndex{8}$

假设计算机组件出现缺陷的概率为 0.02。组件是随机选择的。找出第一个缺陷由测试的第七个组件引起的概率。在发现一个组件有缺陷之前，你预计要测试多少组件？

Let $X$ = 在发现第一个缺陷之前测试的计算机组件的数量。

X 取值 $1, 2, 3$ ，... 其中 $p = 0.02. X \sim G(0.02)$

查找 $P (x = 7)$ 。回答： $P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177$ 。

第七个分量是第一个缺陷的概率为 0.0177。

的图表 $X \sim G(0.02)$ 是：

此图显示了几何概率分布。它由左侧的峰值和向下倾斜的柱线组成，每个连续的柱线在右边。 x 轴上的值计算在发现缺陷之前测试的计算机组件的数量。 y 轴以 0.005 为增量从 0 缩放到 0.02。 — 图 $\PageIndex{2}$

$y$ -axis 包含概率 $x$ ，其中 $X$ = 测试的计算机组件的数量。请注意，概率以常见的增量下降。该增量是每个数字之间的相同比率，被称为几何级数，因此是此概率密度函数的名称。

在找到第一个缺陷组件之前，您预计要测试的组件数量是平均值 $\mu = 50$ 。

定义为第一次成功之前的失败次数的随机变量的均值的公式为 $\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50$

有关将几何随机变量定义 $\PageIndex{9}$ 为首次成功之前的试验次数的示例，请参阅示例。此几何公式的预期值将与此版本的分布不同。

方差的公式是 $\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450$

标准差为 $\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5$

终身患胰腺癌的风险约为78分之一（1.28％）。假设 X = 在有人说自己患有胰腺癌之前你问过的人数。本例中的随机变量 X 仅包括失败的试验数量，不包括成功找到患有该疾病的人的试验。这个随机变量的相应公式是上面给出的第二个公式。那么 X 是一个具有几何分布的离散随机变量：X ~ G $\left(\frac{1}{78}\right)$ 或 X ~ G (0.0128)。

在有人说他或她患有胰腺癌之前，你问9个人的概率是多少？这是在问，你问9个人失败而第10个人成功的概率是多少？
你必须问20个人的概率是多少？
找出 X 的 (i) 均值和 (ii) 标准差。

回答

一个。 $P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114$

b。 $P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01$

意思是 = $\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12$
标准差 = $\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62$

练习 $\PageIndex{9}$

一个国家的识字率衡量的是15岁及以上能读写的人的比例。独立联合殖民地的女性识字率为12％。让 $X$ = 你问的女性人数，直到有人说她有读写能力。

的概率分布是多 $X$ 少？
你问五个女人然后一个人说她有读写能力的概率是多少？
你必须问十个女人的概率是多少？

示例 $\PageIndex{10}$

棒球运动员的平均击球率为 0.320。这是他每次击球时被击中的一般概率。

他在第三次击球之旅中获得第一击的概率是多少？

回答: $P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480$

在这种情况下，顺序是失败，失败成功。

你预计击球手需要多少次击球才能被击中？

回答

$\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3$

这只是成功的预期值，因此也是分布的平均值。

示例 $\PageIndex{11}$

达尔马提亚犬有 80% 的概率有 13 个黑点。你去看狗展，数点达尔马提亚犬的斑点。在你找到一只有 13 个黑点的狗之前，你检查一只狗身上的斑点的概率是多少？

回答: $P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064$

脚注

1 “艾滋病毒感染率，总数（15-49岁人口的百分比）”，世界银行，2013年。可通过 http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc 在线获得（2013 年 5 月 15 日访问）。