4.3: 几何分布

几何概率密度函数建立在我们从二项式分布中学到的知识之上。 在这种情况下，实验将持续到成功或失败为止，而不是进行一定数量的试验。 几何实验有三个主要特征。

1. 有一次或多次伯努利试验都失败了，最后一次是成功的。 换句话说，你一直在重复你正在做的事情，直到第一次成功。 然后你停下来。 例如，你向靶心投掷飞镖，直到你击中靶心。 你第一次击中靶心是 “成功”，所以你停止投掷飞镖了。 可能需要六次尝试才能击中靶心。 你可以将试验看作失败、失败、失败、失败、失败、成功、停止。
2. 从理论上讲，试验的数量可能会永远持续下去。
3. 每次试验的成功概率和失败的概率是相同的。\(p\)\(q\) \(p + q = 1\)和\(q = 1 − p\)。 例如，当你投出一枚公平骰子时掷出三分的概率为\(\frac{1}{6}\)。 不管你掷多少次骰子都是如此。 假设你想知道在第五轮中获得前三名的概率。 在滚动一到四时，你不会得到一张带三的脸。 每轮的概率为 q =\(\frac{5}{6}\)，即失败的概率。 在第五轮中获得三分的概率是\(\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804\)
4. \(X\)= 第一次成功之前的独立试验次数。

示例\(\PageIndex{5}\)

你玩的是一场机会游戏，你可以赢或输（没有其他可能性），直到你输了。 你输的概率是\(p = 0.57\)。 你输掉比赛需要五场比赛的概率是多少？ Let\(X\) = 你输掉之前玩的游戏数量（包括输掉的游戏）。 然后 X 取值 1、2、3、... （可能会无限期地持续下去）。 概率问题是\(P (x = 5)\)。

练习\(\PageIndex{5}\)

你向棋盘投掷飞镖，直到你击中中心区域。 你击中中心区域的概率是\(p = 0.17\)。 你想找出在击中中心之前需要八次投掷的概率。 它\(X\)具有什么价值观？

示例\(\PageIndex{6}\)

安全工程师认为，其工厂中所有工业事故中有35％是由于员工不遵守指示造成的。 她决定查看事故报告（随机选择并在阅读后在堆中替换），直到找到一份显示员工不遵守指示造成事故的报告。 平均而言，安全工程师在找到显示员工未遵守指示造成事故的报告之前，她期望查看多少报告？ 安全工程师必须检查至少三份报告，直到发现一份报告显示员工未按指示造成事故的报告为止？

Let\(X\) = 安全工程师必须检查的事故数量，直到她找到一份报告显示员工不遵守指示而造成的事故。 X 取值 1、2、3、... 第一个问题要求你找到预期值或均值。 第二个问题要求你找到\(P (x \geq 3)\)。 （“至少” 转换为 “大于或等于” 符号）。

练习\(\PageIndex{6}\)

教师认为 15% 的学生在期末考试中成绩低于 C。 她决定看期末考试（随机选择，阅读后在堆中替换），直到找到分数低于 C 的期末考试。我们想知道教师在找到分数低于 C 的考试之前必须至少考十次考试的概率是什么用数学说的？

示例\(\PageIndex{7}\)

假设你在大学里找一个住在你五英里以内的学生。 你知道，在25,000名学生中，有55％生活在你五英里以内。 你随机联系大学的学生，直到有人说他或她住在离你五英里以内。 你需要联系四个人的概率是多少？

这是一个几何问题，因为在获得你想要的成功之前，你可能会遇到很多失败。 此外，每当你询问学生是否住在离你五英里以内时，成功的概率大致相同。 没有确定的试用次数（你问学生的次数）。

a. 让\(X\) = 你必须问 ____________ 的数目 ____________ 有人说是。

回答

a. Let\(X\) = 在有人回答 “是” 之前你必须询问的学生人数。

b. 具有什么\(X\)价值观？

回答

b. 1、2、3、...（学生总数）

c. 什么是\(p\)和\(q\)？

回答

c。\(p = 0.55; q = 0.45\)

d. 概率问题是\(P\) (_______)。

回答

d。\(P (x = 4)\)

几何表示法：G = 几何概率分布函数

\(X \sim G (p)\)

读作 “\(X\)是具有几何分布的随机变量”。 参数为\(p\);\(p\) = 每次试验的成功概率。

Geometry Pdf 告诉我们第一次成功需要\(x\)多次独立试验的概率，每个试验的成功概率为 p。如果每项试验的成功概率为 p，则\(x\)第 th 次试验（不在\(x\)试验中）是第一次成功的概率是：

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber\]

对于\(x = 1, 2, 3\)，...
的预期值（此分布的平均值）为\(1/p\)。\(X\) 这告诉我们，在获得第一次成功之前，我们需要进行多少次试验，包括成功的试验。 以上形式的几何分布用于对试验次数进行建模，直到第一次成功。 试验次数包括成功的试验：\(x\)= 所有试验，包括成功的试验。 这可以从公式的形式看出。 如果\(X\) = 包括成功的试验次数，那么我们必须将失败概率乘以失败次数\(X-1\)。\((1-p)\)

相比之下，以下形式的几何分布用于对首次成功之前的失效次数进行建模：

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber\]

对于\(x = 0, 1, 2, 3\)，...
在这种情况下，成功的试验不算作公式中的试验：\(x\)= 失败次数。 此分布的预期值（均值）为\(\mu=\frac{(1-p)}{p}\)。 这告诉我们在取得成功之前预计会有多少失败。 无论哪种情况，概率序列都是几何序列。

示例\(\PageIndex{8}\)

假设计算机组件出现缺陷的概率为 0.02。 组件是随机选择的。 找出第一个缺陷由测试的第七个组件引起的概率。 在发现一个组件有缺陷之前，你预计要测试多少组件？

Let\(X\) = 在发现第一个缺陷之前测试的计算机组件的数量。

X 取值\(1, 2, 3\)，... 其中\(p = 0.02. X \sim G(0.02)\)

查找\(P (x = 7)\)。 回答：\(P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177\)。

第七个分量是第一个缺陷的概率为 0.0177。

的图表\(X \sim G(0.02)\)是：

图\(\PageIndex{2}\)

\(y\)-axis 包含概率\(x\)，其中\(X\) = 测试的计算机组件的数量。 请注意，概率以常见的增量下降。 该增量是每个数字之间的相同比率，被称为几何级数，因此是此概率密度函数的名称。

在找到第一个缺陷组件之前，您预计要测试的组件数量是平均值\(\mu = 50\)。

定义为第一次成功之前的失败次数的随机变量的均值的公式为\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50\)

有关将几何随机变量定义\(\PageIndex{9}\)为首次成功之前的试验次数的示例，请参阅示例。 此几何公式的预期值将与此版本的分布不同。

方差的公式是\(\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450\)

标准差为\(\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5\)

终身患胰腺癌的风险约为78分之一（1.28％）。 假设 X = 在有人说自己患有胰腺癌之前你问过的人数。 本例中的随机变量 X 仅包括失败的试验数量，不包括成功找到患有该疾病的人的试验。 这个随机变量的相应公式是上面给出的第二个公式。 那么 X 是一个具有几何分布的离散随机变量：X ~ G\(\left(\frac{1}{78}\right)\) 或 X ~ G (0.0128)。

1. 在有人说他或她患有胰腺癌之前，你问9个人的概率是多少？ 这是在问，你问9个人失败而第10个人成功的概率是多少？
2. 你必须问20个人的概率是多少？
3. 找出 X 的 (i) 均值和 (ii) 标准差。

回答

一个。\(P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114\)

b。\(P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01\)

1. 意思是 =\(\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12\)
2. 标准差 =\(\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62\)

练习\(\PageIndex{9}\)

一个国家的识字率衡量的是15岁及以上能读写的人的比例。 独立联合殖民地的女性识字率为12％。 让\(X\) = 你问的女性人数，直到有人说她有读写能力。

1. 的概率分布是多\(X\)少？
2. 你问五个女人然后一个人说她有读写能力的概率是多少？
3. 你必须问十个女人的概率是多少？

示例\(\PageIndex{10}\)

棒球运动员的平均击球率为 0.320。 这是他每次击球时被击中的一般概率。

他在第三次击球之旅中获得第一击的概率是多少？

回答

\(P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480\)

在这种情况下，顺序是失败，失败成功。

你预计击球手需要多少次击球才能被击中？

回答

\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3\)

这只是成功的预期值，因此也是分布的平均值。

示例\(\PageIndex{11}\)

达尔马提亚犬有 80% 的概率有 13 个黑点。 你去看狗展，数点达尔马提亚犬的斑点。 在你找到一只有 13 个黑点的狗之前，你检查一只狗身上的斑点的概率是多少？

回答

\(P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064\)

脚注

1 “艾滋病毒感染率，总数（15-49岁人口的百分比）”，世界银行，2013年。 可通过 http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc 在线获得（2013 年 5 月 15 日访问）。