4.1: 超几何分布

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最简单的概率密度函数是超几何函数。这是最基本的，因为它是通过结合我们在维恩图中的概率知识、加法和乘法规则以及组合计数公式而创建的。

为了找出从牌组中的四张中获得 2 张王牌的方法数量，我们计算了：

\[\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)=\frac{4 !}{2 !(4-2) !}=6\nonumber\]

如果我们不在乎其他三张牌手中还有什么，我们会计算：

\[\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)=\frac{48 !}{3 ! 45 !}=17,296\nonumber\]

综上所述，我们可以计算出 5 张牌扑克牌中恰好获得两张王牌的概率，如下所示：

\[\frac{\left(\begin{array}{l}{4} \\ {2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{48} \\ {3}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{52} \\ {5}\end{array}\right)}=.0399\nonumber\]

这个解实际上就是被称为超几何的概率分布。广义公式为：

\[h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\nonumber\]

其中\(x\) = 我们感兴趣的数字来自带有 A 对象的组。

\(h(x)\)是当 A\(x\) 成功（本例中为 ace）在包含 N 个元素的群体中时，在 n 次尝试中成功的概率。超几何分布是离散概率分布的一个例子，因为不可能有部分成功，也就是说，不可能有 2 1/2 ace 的扑克牌。换句话说，离散随机变量必须是一个整数，或者只能是正在计数的数字。这种概率分布适用于成功概率随每次抽奖而变化的情况。另一种说法是，事件不是独立的。在使用一副纸牌时，我们无需替换即可进行抽样。如果我们在每张牌抽出后将其放回去，那么超几何分布是不恰当的 Pdf。

要使超几何图形发挥作用，

人口必须分为两个且只有两个独立的子集（本例中为 ace 和 non-ace）。随机变量\(X\) = 兴趣组中的项目数。
每次实验的成功概率都必须不断变化（在本例中，抽奖后没有替换牌的事实证明了这一点）。另一种说法是，您无需替换即可进行采样，因此每个采样都不是独立的。
随机变量必须是离散的，而不是连续的。

示例\(\PageIndex{1}\)

一个糖果盘里有 30 个软糖豆和 20 个口香糖。随机挑选十个糖果。 10 个中有 5 个是口香糖的概率是多少？这两组是软糖豆和口香糖。由于概率问题要求选择口香糖的概率，因此兴趣组（公式中的第一组 A）是 gumdrops。兴趣组（第一组）的大小为 30。第二组的大小为 20。样本的大小为 10（软糖豆或口香糖）。假\(X\)设 = 样本中口香糖的数量 10。 \(X\)取值\(x = 0, 1, 2, ..., 10\)。a. 用数学写的概率陈述是什么？ b. 为解决这个问题而写出的超几何概率密度函数是什么？ c. “在盘子里的 10 个选秀权中抽出 5 个口香糖的概率是多少？” 这个问题的答案是什么？

回答: a.\(P(x=5)\)
b.\(P(x=5)=\frac{\left(\begin{array}{c}{30} \\ {5}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{20} \\ {5}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}{50} \\ {10}\end{array}\right)}\)
c.\(P(x=5)=0.215\)

练习\(\PageIndex{1}\)

一个袋子里装有字母牌。四十四个方块是元音，56 个是辅音。随机选择七张牌。你想知道七张牌中有四张是元音的概率。兴趣组是多少，兴趣组的规模和样本的规模是多少？