31.3: الترميز العلمي (الملحق C)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 197439

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

في علم الفلك (والعلوم الأخرى)، غالبًا ما يكون من الضروري التعامل مع أعداد كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا. في الواقع، عندما تصبح الأرقام كبيرة حقًا في الحياة اليومية، مثل الدين الوطني في الولايات المتحدة، نسميها فلكية. من بين الأفكار التي يجب على علماء الفلك التعامل معها بشكل روتيني أن الأرض تبعد 150,000,000,000 متر عن الشمس، وكتلة ذرة الهيدروجين هي 0.0000000000000000167 كيلوغرام. لا يريد أي شخص في عقله الصحيح الاستمرار في كتابة هذا العدد الكبير من الأصفار!

بدلاً من ذلك، اتفق العلماء على نوع من الترميز المختصر، والذي ليس من السهل كتابته فحسب، بل (كما سنرى) يجعل الضرب والقسمة للأعداد الكبيرة والصغيرة أقل صعوبة بكثير. إذا لم تستخدم أبدًا رمز قوى العشرة هذا أو الترميز العلمي، فقد يستغرق الأمر بعض الوقت للتعود عليه، ولكنك ستجد قريبًا أنه أسهل بكثير من تتبع كل تلك الأصفار.

كتابة الأعداد الكبيرة

في الترميز العلمي، نتفق عمومًا على وجود رقم واحد فقط على يسار العلامة العشرية. إذا لم يكن الرقم بهذا التنسيق، فيجب تغييره. الرقم 6 موجود بالفعل بالتنسيق الصحيح، لأنه بالنسبة للأعداد الصحيحة، نفهم وجود نقطة عشرية على يمينها. إذن 6 هو حقًا 6.، وهناك بالفعل رقم واحد فقط على يسار العلامة العشرية. لكن الرقم 965 (وهو 965.) يحتوي على ثلاثة أرقام على يسار الفاصلة العشرية، وبالتالي فهو جاهز للتحويل.

لتغيير 965 إلى الشكل الصحيح، يجب أن نجعله 9.65 ثم نتتبع التغيير الذي أجريناه. (فكر في الرقم كراتب أسبوعي وفجأة يحدث فرقًا كبيرًا سواء كان لدينا 965 دولارًا أو 9.65 دولارًا). نتتبع عدد الأماكن التي نقلنا فيها الفاصلة العشرية من خلال التعبير عنها في صورة قوة عشرة. وبذلك يصبح 965 × 9.65 × 10 ² أو 9.65 مضروبًا في عشرة إلى القوة الثانية. يُطلق على الرقم 2 الصغير المرتفع اسم الأس، ويخبرنا بعدد المرات التي نقلنا فيها العلامة العشرية إلى اليسار.

لاحظ أن 10 ² تحدد أيضًا 10 مربعًا، أو 10 × 10، أي 100. و9.65 × 100 هو 965 فقط، وهو الرقم الذي بدأنا به. هناك طريقة أخرى للنظر إلى الترميز العلمي وهي أننا نفصل الأرقام الفوضوية في الأمام، ونترك الوحدات الملساء للعشرة حتى يشير الأس إليها. لذا فإن رقمًا مثل 1،372،568 يصبح 1.372568 مرة في المليون (10 ⁶) أو 1.372568 في 10 مضروبًا في نفسه 6 مرات. كان علينا نقل العلامة العشرية ست منازل إلى اليسار (من مكانها بعد الرقم 8) للحصول على الرقم في الشكل الذي يوجد فيه رقم واحد فقط على يسار العلامة العشرية.

السبب الذي يجعلنا نسمي هذا رمز قوى العشرة هو أن نظام العد لدينا يعتمد على الزيادات بمقدار عشرة؛ كل مكان في نظام الترقيم لدينا أكبر بعشر مرات من المكان الموجود على يمينه. كما تعلمت على الأرجح، بدأ هذا لأن البشر لديهم عشرة أصابع وبدأنا العد بها. (من المثير للاهتمام التكهن بأنه إذا قابلنا يومًا أشكال الحياة الذكية بثمانية أصابع فقط، فمن المحتمل أن يكون نظام العد الخاص بهم عبارة عن رمز قوى الثمانية!)

لذلك، في المثال الذي بدأنا به، عدد الأمتار من الأرض إلى الشمس هو 1.5 × 10 ¹¹. في مكان آخر من الكتاب، نذكر أن سلسلة طولها سنة ضوئية واحدة ستناسب خط استواء الأرض 236 مليون أو 236،000،000 مرة. في الترميز العلمي، سيصبح هذا 2.36 × 10 ⁸. الآن إذا كنت تحب التعبير عن الأشياء بالملايين، كما تفعل التقارير السنوية للشركات الناجحة، فقد ترغب في كتابة هذا الرقم باسم 236 × 10 ⁶. ومع ذلك، فإن الاصطلاح المعتاد هو وجود رقم واحد فقط على يسار الفاصلة العشرية.

كتابة الأعداد الصغيرة

الآن خذ رقمًا مثل 0.00347، وهو أيضًا ليس في النموذج القياسي (المتفق عليه) للتدوين العلمي. لوضعها في هذا التنسيق، يجب أن نجعل الجزء الأول منه 3.47 عن طريق تحريك العلامة العشرية ثلاث منازل إلى اليمين. لاحظ أن هذه الحركة إلى اليمين هي عكس الحركة إلى اليسار التي ناقشناها أعلاه. وللتتبع، نسمي هذا التغيير سالبًا ونضع علامة الطرح في الأس. وهكذا يصبح 0.00347 3.47 × 10 ⁻³.

في المثال الذي قدمناه في البداية، تُكتب كتلة ذرة الهيدروجين بعد ذلك بـ 1.67 × 10 ⁻²⁷ kg. في هذا النظام، يُكتب واحد على النحو ١٠ ^٠، والعشر ^{يساوي ١٠ −١}، وجزء من مائة ^{يساوي ١٠ −٢}، وهكذا. لاحظ أنه يمكن التعبير عن أي رقم، بغض النظر عن حجمه أو صغره، بالتدوين العلمي.

الضرب والقسمة

الترميز العلمي ليس مضغوطًا ومريحًا فحسب، بل إنه يبسط الحساب أيضًا. لضرب عددين معبّرًا عنهما في صورة قوى العدد عشرة، ما عليك سوى ضرب الأرقام في المقدمة ثم إضافة الأسس. إذا لم تكن هناك أرقام في المقدمة، كما هو الحال في 100 × 100000، فما عليك سوى إضافة الأسس (في ترميزنا، 10 ² × 10 ⁵ = 10 ⁷). عندما تكون هناك أرقام في المقدمة، يجب عليك ضربها، ولكن التعامل معها أسهل بكثير من التعامل مع الأرقام التي تحتوي على العديد من الأصفار.

في ما يلي مثال:

\[\left( 3 \times 10^5 \right) \times \left( 2 \times 10^9 \right) = 6 \times 10^{14} \nonumber\]

وهنا مثال آخر:

\[ \begin{aligned} 0.04 \times 6,000,000 & =\left( 4 \times 10^{−2} \right) \times \left( 6 \times 10^6 \right) \\ & = 24×10^4 \\ & = 2.4×10^5 \end{aligned} \nonumber\]

لاحظ في المثال الثاني أنه عندما أضفنا الأسس، تعاملنا مع الأسس السالبة كما نفعل في الحساب العادي (−2 زائد 6 يساوي 4). لاحظ أيضًا أن النتيجة الأولى كانت تحتوي على 24، والتي لم تكن بالشكل المقبول، حيث تحتوي على منزلتين على يسار العلامة العشرية، وبالتالي قمنا بتغييرها إلى 2.4 وقمنا بتغيير الأس وفقًا لذلك.

للقسمة، يمكنك تقسيم الأرقام إلى الأمام وطرح الأسس. فيما يلي العديد من الأمثلة:

\[ \begin{array}{l} \frac{1,000,000}{1000} = \frac{10^6}{10^3} = 10^{(6-3)} = 10^3 \\ \frac{9 \times 10^{12}}{2 \times 10^3} = 4.5 \times 10^9 \\ \frac{2.8 \times 10^2}{6.2 \times 10^5} =4.52 \times 10^{−4} \end{array} \nonumber\]

في المثال الأخير، لم تكن النتيجة الأولى في النموذج القياسي، لذلك كان علينا تغيير 0.452 إلى 4.52، وتغيير الأس وفقًا لذلك.

إذا كانت هذه هي المرة الأولى التي تقابل فيها الترميز العلمي، فإننا نحثك على ممارسة العديد من الأمثلة باستخدامه. يمكنك البدء بحل التمارين أدناه. مثل أي لغة جديدة، يبدو الترميز معقدًا في البداية ولكنه يصبح أسهل أثناء ممارسته.

التمارين

في نهاية سبتمبر 2015، كانت المركبة الفضائية New Horizons (التي واجهت بلوتو لأول مرة في يوليو 2015) على بعد 4.898 مليار كيلومتر من الأرض. قم بتحويل هذا الرقم إلى تدوين علمي. كم عدد الوحدات الفلكية هذه؟ (الوحدة الفلكية هي المسافة من الأرض إلى الشمس، أو حوالي 150 مليون كم.)
خلال السنوات الست الأولى من تشغيله، قام تلسكوب هابل الفضائي بالدوران حول الأرض 37000 مرة، أي ما مجموعه 1,280,000,000 كم. استخدم الترميز العلمي لإيجاد عدد الكيلومترات في مدار واحد.
في كافيتريا الجامعة الكبيرة، يتم تقديم برغر فول الصويا والخضروات كبديل للهامبرغر العادي. إذا تم تناول 889,875 نوعًا من البرغر خلال العام الدراسي، وكان 997 نوعًا منها عبارة عن برغر نباتي، فما النسبة المئوية التي يمثلها هذا البرغر ونسبته المئوية؟
في استطلاع أجرته شركة Kelton Research عام 2012، اعتقد 36 بالمائة من الأمريكيين البالغين أن الكائنات الفضائية قد هبطت بالفعل على الأرض. كان عدد البالغين في الولايات المتحدة في عام 2012 حوالي 222،000،000. استخدم الترميز العلمي لتحديد عدد البالغين الذين يعتقدون أن الأجانب قد زاروا الأرض.
في العام الدراسي 2009-2010، منحت الكليات والجامعات الأمريكية 2,354,678 درجة. وكان من بين هؤلاء 48,069 درجة دكتوراه. ما الكسر الذي حصلت عليه درجة الدكتوراه من الدرجات؟ عبِّر عن هذا الرقم كنسبة مئوية. (اذهب الآن وابحث عن وظيفة لجميع حاملي الدكتوراه!)
تم العثور على نجم يبعد 60 سنة ضوئية وله كوكب كبير يدور حوله. يريد عمك معرفة المسافة إلى هذا الكوكب بالأميال القديمة. لنفترض أن الضوء يقطع 186,000 ميل في الثانية، وهناك 60 ثانية في الدقيقة، و60 دقيقة في الساعة، و24 ساعة في اليوم، و365 يومًا في السنة. كم عدد الأميال التي يبعد عنها هذا النجم؟

الإجابات

4.898 مليار هو 4.898 × 10 ⁹ كم. وحدة فلكية واحدة (AU) تبلغ 150 مليون كم = 1.5 × 10 ⁸ كم. بقسمة الرقم الأول على الثاني، نحصل على 3.27 × 10 ^{(9 - 8)} = 3.27 × 10 ¹ AU.
\(\frac{1.28 \times 10^9 \text{ km}}{3.7 \times 10^4 \text{ orbits}} = 0.346 \times 10^{(9−4)} = 0.346 \times 10^5 = 3.46 \times 10^4 \text{ km per orbit}\).
\(\frac{9.97 \times 10^2 \text{ veggie burgers}}{8.90 \times 10^5 \text{ total burgers}} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{(2−5)} = 1.12 \times 10^{−3}\)(أو حوالي ألف) من البرغر كانت نباتية. النسبة المئوية تعني لكل مائة. إذن\(\frac{1.12 \times 10^{−3}}{10^{−2}} = 1.12 \times 10^{(−3−(−2))} = 1.12 \times 10^{−1} \text{ percent}\) (وهو ما يقرب من عُشر واحد بالمائة).
36% يساوي 36 جزءًا من مائة أو 0.36 أو 3.6 × 10 ⁻¹. اضرب ذلك في 2.22 × 10 ⁸ وستحصل على حوالي 7.99 × 10 ^{(−1 + 8)} = 7.99 × 10 ⁷ أو ما يقرب من 80 مليون شخص يعتقدون أن الأجانب قد هبطوا على كوكبنا. نحن بحاجة إلى المزيد من دورات علم الفلك لتعليم كل هؤلاء الناس.
\(\frac{4.81 \times 10^4}{2.35 \times 10^6} = 2.05 \times 10^{(4−6)} = 2.05 \times 10^{−2} = \text{ about} 2 \%\). (لاحظ أننا في هذه الأمثلة نقوم بتقريب بعض الأرقام بحيث لا يكون لدينا أكثر من منزلتين بعد العلامة العشرية.)
سنة ضوئية واحدة هي المسافة التي يقطعها الضوء في عام واحد. (عادةً ما نستخدم الوحدات المترية وليس النظام البريطاني القديم الذي لا تزال الولايات المتحدة تستخدمه، لكننا سنمرح عمك ونلتزم بالأميال.) إذا قطع الضوء 186,000 ميل في كل ثانية، فسيقطع 60 مرة ذلك في الدقيقة، و60 مرة في الساعة، و24 ضعف ذلك في اليوم، و365 مرة في السنة. لذلك لدينا 1.86 × 10 ⁵ × 6.0 × 10 ¹ × 6.0 × 10 ¹ × 2.4 × 10 ¹ × 3.65 × 10 ². لذلك نضرب كل الأرقام في المقدمة معًا ونجمع كل الأسس. نحصل على 586.57 × ^{10 10} = 5.86 × 10 ¹² ميلاً في السنة الضوئية (أي ما يقرب من 6 تريليون ميل - الكثير من الأميال). لذلك إذا كان النجم على بعد 60 سنة ضوئية، فإن المسافة بالأميال هي 6 × 10 ¹ × 5.86 × 10 ¹² = 35.16 × 10 ¹³ = 3.516 × 10 ¹⁴ ميلاً.