13.5: تفسير معاملات الانحدار - المرونة والتحول اللوغاريتمي

كما رأينا، يوفر معامل المعادلة المقدرة باستخدام تحليل انحدار OLS تقديرًا لمنحدر الخط المستقيم الذي يُفترض أنه العلاقة بين المتغير التابع ومتغير مستقل واحد على الأقل. من حساب التفاضل والتكامل، فإن ميل الخط هو المشتق الأول ويخبرنا بحجم تأثير تغيير وحدة واحدة في\(X\) المتغير على قيمة\(Y\) المتغير المقاسة بوحدات\(Y\) المتغير. كما رأينا في حالة المتغيرات الوهمية، يمكن أن يظهر هذا على شكل تحول متوازي في الخط المقدر أو حتى تغيير في ميل الخط من خلال متغير تفاعلي. هنا نرغب في استكشاف مفهوم المرونة وكيف يمكننا استخدام تحليل الانحدار لتقدير المرونة المختلفة التي يهتم بها الاقتصاديون.

يتم استعارة مفهوم المرونة من الهندسة والفيزياء حيث يتم استخدامه لقياس استجابة المادة لقوة ما، وعادة ما تكون قوة فيزيائية مثل قوة تمدد/سحب. من هنا نحصل على مصطلح الشريط «المرن». في الاقتصاد، القوة المعنية هي بعض قوى السوق مثل التغيير في السعر أو الدخل. يتم قياس المرونة كنسبة مئوية للتغيير/الاستجابة في كل من التطبيقات الهندسية والاقتصاد. قيمة القياس من حيث النسبة المئوية هي أن وحدات القياس لا تلعب دورًا في قيمة القياس وبالتالي تسمح بالمقارنة المباشرة بين المرونة. على سبيل المثال، إذا ارتفع سعر البنزين، على سبيل المثال، 50 سنتًا من السعر الأولي البالغ 3.00 دولارًا وأحدث انخفاضًا في الاستهلاك الشهري للمستهلك من 50 جالونًا إلى 48 جالونًا، فإننا نحسب المرونة لتكون 0.25. مرونة السعر هي النسبة المئوية للتغير في الكمية الناتجة عن بعض التغير في النسبة المئوية في السعر. أدت الزيادة بنسبة 16 في المائة في السعر إلى انخفاض بنسبة 4 في المائة فقط في الطلب: تغيير السعر بنسبة 16٪ تغيير الكمية أو\(\rightarrow\) 4٪ تغيير الكمية أو\(.04/.16 = .25\). وهذا ما يسمى بالطلب غير المرن الذي يعني استجابة صغيرة لتغير السعر. يحدث هذا بسبب قلة البدائل الحقيقية للبنزين، إن وجدت؛ ربما وسائل النقل العام أو الدراجة أو المشي. من الناحية الفنية، بالطبع، فإن النسبة المئوية للتغير في الطلب من زيادة الأسعار هي انخفاض الطلب وبالتالي فإن مرونة السعر هي رقم سلبي. ومع ذلك، فإن الاتفاقية المشتركة هي الحديث عن المرونة كقيمة مطلقة للرقم. تحتوي بعض السلع على العديد من البدائل: الكمثرى للتفاح والخوخ والعنب وما إلى ذلك، وما إلى ذلك، وتكون مرونة هذه السلع أكبر من واحدة وتسمى بالمرونة في الطلب. هنا سيؤدي تغيير النسبة المئوية الصغيرة في السعر إلى تغيير كبير في النسبة المئوية في الكمية المطلوبة. سوف يقوم المستهلك بتحويل الطلب بسهولة إلى البديل القريب.

في حين أن هذه المناقشة كانت حول تغيرات الأسعار، فإن أي من المتغيرات المستقلة في معادلة الطلب سيكون لها مرونة مرتبطة. وبالتالي، هناك مرونة في الدخل تقيس حساسية الطلب للتغيرات في الدخل: ليس كثيرًا بالنسبة للطلب على الغذاء، ولكنه حساس جدًا لليخوت. إذا كانت معادلة الطلب تحتوي على مصطلح للسلع البديلة، مثل قطع الحلوى في معادلة الطلب على ملفات تعريف الارتباط، فيمكن قياس استجابة الطلب على ملفات تعريف الارتباط من التغيرات في أسعار قطع الحلوى. وهذا ما يسمى بمرونة الطلب عبر الأسعار ويمكن إلى حد ما اعتباره ولاءً للعلامة التجارية من وجهة نظر تسويقية. ما مدى استجابة الطلب على Coca-Cola للتغيرات في سعر بيبسي؟

تخيل الآن الطلب على منتج مكلف للغاية. مرة أخرى، يتم قياس المرونة من حيث النسبة المئوية وبالتالي يمكن مقارنة المرونة مباشرة بتلك الخاصة بالبنزين: مرونة تبلغ 0.25 للبنزين تنقل نفس المعلومات مثل المرونة البالغة 0.25 دولار للسيارة التي تبلغ 25,000 دولار. يعتبر المستهلك أن كلا السلعتين لهما بدائل قليلة وبالتالي لهما منحنيات طلب غير مرنة ومرونة أقل من واحدة.

الصيغ الرياضية لمختلف أنواع المرونة هي:

\[\text { Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}\nonumber\]

أين\(\eta\) يوجد الحرف اليوناني الصغير eta المستخدم لتعيين المرونة. يُقرأ على أنه «تغيير».

\[\text { Income elasticity: } \eta_{\mathrm{Y}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{Y})}\nonumber\]

حيث\(Y\) يتم استخدامه كرمز للدخل.

\[\text { Cross-Price elasticity: } \eta_{\mathrm{p} 1}=\frac{\left(\% \Delta \mathrm{Q}_{1}\right)}{\left(\% \Delta \mathrm{P}_{2}\right)}\nonumber\]

حيث P2 هو سعر السلعة البديلة.

عند فحص مرونة السعر عن كثب، يمكننا كتابة الصيغة على النحو التالي:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\frac{(\% \Delta \mathrm{Q})}{(\% \Delta \mathrm{P})}=\frac{\mathrm{d} \mathrm{Q}}{\mathrm{dP}}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)=\mathrm{b}\left(\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

\(b\)أين المعامل المقدر للسعر في انحدار OLS.

يوضح الشكل الأول للمعادلة مبدأ أن المرونة تقاس من حيث النسبة المئوية. بالطبع، توفر معاملات المربعات الصغرى العادية تقديرًا لتأثير تغيير الوحدة في المتغير المستقل\(X\)، على المتغير التابع المقاس بوحدات\(Y\). ومع ذلك، فإن هذه المعاملات ليست مرونة، وتظهر بالطريقة الثانية لكتابة صيغة المرونة مثل\(\left(\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} P}\right)\) مشتق دالة الطلب المقدرة التي هي ببساطة ميل خط الانحدار. \(\frac{P}{Q}\)يوفر ضرب أوقات الانحدار مرونة مقاسة من حيث النسبة المئوية.

وعلى طول منحنى الطلب المستقيم، تتغير النسبة المئوية للتغير، وبالتالي المرونة، باستمرار مع تغير المقياس، في حين يظل المنحدر، وهو معامل الانحدار المقدر، ثابتًا. العودة إلى الطلب على البنزين. كان التغيير في السعر من 3.00 دولارًا إلى 3.50 دولارًا هو زيادة بنسبة 16 بالمائة في السعر. إذا كان سعر البداية 5.00 دولارًا، فإن نفس الزيادة البالغة 50 سنتًا ستكون زيادة بنسبة 10 بالمائة فقط لتوليد مرونة مختلفة. يحتوي كل منحنى طلب على الخط المستقيم على مجموعة من المرونة تبدأ من أعلى اليسار، والأسعار المرتفعة، مع أرقام المرونة الكبيرة، والطلب المرن، والتناقص مع انخفاض منحنى الطلب، والطلب غير المرن.

من أجل تقديم تقدير ذي مغزى لمرونة الطلب، تتمثل الاتفاقية في تقدير المرونة عند نقطة الوسيلة. تذكر أن جميع خطوط انحدار OLS سوف تمر بنقطة الوسائل. عند هذه النقطة يكون الوزن الأكبر للبيانات المستخدمة لتقدير المعامل. تصبح الصيغة لتقدير المرونة عند تقدير منحنى طلب OLS:

\[\eta_{\mathrm{p}}=\mathrm{b}\left(\frac{\overline{\mathrm{P}}}{\mathrm{Q}}\right)\nonumber\]

أين\(\overline{\mathrm{P}}\) وكيف\(\overline{\mathrm{Q}}\) يتم استخدام القيم المتوسطة لهذه البيانات لتقدير\(b\) معامل السعر.

يمكن استخدام نفس الطريقة لتقدير المرونة الأخرى لوظيفة الطلب باستخدام القيم المتوسطة المناسبة للمتغيرات الأخرى؛ الدخل وسعر السلع البديلة على سبيل المثال.

التحويل اللوغاريتمي للبيانات

تفترض تقديرات المربعات الصغرى العادية عادةً أن العلاقة السكانية بين المتغيرات خطية وبالتالي بالشكل المقدم في معادلة الانحدار. في هذا النموذج، يتم تفسير المعاملات كما تمت مناقشته أعلاه; بكل بساطة، يوفر المعامل تقديرًا لتأثير تغيير وحدة واحدة\(X\) عند\(Y\) القياس بوحدات\(Y\). لا يهم فقط المكان الذي يرغب فيه المرء في إجراء القياس على طول الخط لأنه خط مستقيم بمنحدر ثابت وبالتالي مستوى التأثير المقدر الثابت لكل وحدة تغيير. ومع ذلك، قد يرغب المحلل في تقدير ليس تأثير الوحدة البسيطة المقاسة على\(Y\) المتغير، ولكن حجم تأثير النسبة\(Y\) المئوية على تغيير وحدة واحدة في\(X\) المتغير. قد تكون هذه الحالة هي كيف يؤثر تغيير الوحدة في التجربة، على سبيل المثال سنة واحدة، ليس على المبلغ المطلق لأجر العامل، ولكن تأثير النسبة المئوية على أجر العامل. بدلاً من ذلك، قد يكون السؤال المطروح هو التأثير المقاس للوحدة على\(Y\) زيادة النسبة المئوية المحددة في X. قد يكون المثال هو «كم عدد الدولارات التي ستزيد المبيعات إذا أنفقت الشركة\(X\) نسبة مئوية أكثر على الإعلان؟» الاحتمال الثالث هو حالة المرونة التي تمت مناقشتها أعلاه. نحن هنا مهتمون بتأثير النسبة المئوية على الكمية المطلوبة لنسبة مئوية معينة من التغيير في السعر أو الدخل أو ربما سعر السلعة البديلة. يمكن تقدير جميع هذه الحالات الثلاث عن طريق تحويل البيانات إلى لوغاريتمات قبل تشغيل الانحدار. ستوفر المعاملات الناتجة بعد ذلك قياس النسبة المئوية للتغيير للمتغير ذي الصلة.

للتلخيص، هناك أربع حالات:

1. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)(علبة OLS القياسية)
2. \(\text { Unit } \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)
3. \(\% \Delta X \rightarrow \text { Unit } \Delta Y\)
4. \(\% \Delta X \rightarrow \% \Delta Y\)(حالة المرونة)

الحالة 1: تبدأ حالة المربعات الصغرى العادية بالنموذج الخطي الذي تم تطويره أعلاه:

\[Y=a+b X\nonumber\]

حيث يكون معامل المتغير المستقل\(b=\frac{d Y}{d X}\) هو ميل الخط المستقيم وبالتالي يقيس تأثير تغير الوحدة\(X\) عند\(Y\) القياس بوحدات\(Y\).

الحالة 2: المعادلة المقدرة الأساسية هي:

\[\log (\mathrm{Y})=a+b X\nonumber\]

يتم تقدير المعادلة عن طريق تحويل\(Y\) القيم إلى لوغاريتمات واستخدام تقنيات OLS لتقدير معامل\(X\) المتغير,\(b\). وهذا ما يسمى بتقدير شبه اللوغاريتمي. مرة أخرى، يتيح لنا التمييز بين جانبي المعادلة تطوير تفسير\(X\) المعامل\(b\):

\[\mathrm{d}\left(\log _{\mathrm{Y}}\right)=b \mathrm{d} X\nonumber\]

\[\frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \mathrm{d} X\nonumber\]

الضرب في 100 للتحويل إلى النسب المئوية وإعادة ترتيب المصطلحات تعطي:

\[100 b=\frac{\% \Delta Y}{\text { Unit } \Delta X}\nonumber\]

\(100b\)وبالتالي فإن النسبة المئوية للتغير\(Y\) الناتج عن تغيير الوحدة في\(X\).

الحالة 3: في هذه الحالة يكون السؤال هو «ما هو تغيير الوحدة\(Y\) الناتج عن تغيير النسبة المئوية\(X\)؟» ما هي خسارة الدولار في الإيرادات الناتجة عن زيادة الأسعار بنسبة خمسة بالمائة أو ما هو تأثير تكلفة الدولار الإجمالية لزيادة تكاليف العمالة بنسبة خمسة بالمائة؟ المعادلة المقدرة لهذه الحالة ستكون:

\[Y=a+B \log (X)\nonumber\]

هنا فرق حساب التفاضل والتكامل للمعادلة المقدرة هو:

\[dY=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d} Y=b \frac{\mathrm{d} X}{X}\nonumber\]

قسّم على 100 للحصول على النسبة المئوية وإعادة ترتيب المصطلحات تعطي:

\[\frac{b}{100}=\frac{\mathrm{d} Y}{100 \frac{\mathrm{d} X}{X}}=\frac{\text { Unit } \Delta \mathrm{Y}}{\% \Delta \mathrm{X}}\nonumber\]

لذلك،\(\frac{b}{100}\) يتم\(Y\) قياس الزيادة بالوحدات من زيادة بنسبة واحد بالمائة في\(X\).

الحالة 4: هذه هي حالة المرونة حيث يتم تحويل كل من المتغيرات التابعة والمستقلة إلى سجلات قبل تقدير OLS. يُعرف هذا باسم حالة السجل أو حالة السجل المزدوج، ويزودنا بتقديرات مباشرة لمرونة المتغيرات المستقلة. المعادلة المقدرة هي:

\[logY=a+blogX\nonumber\]

التفريق لدينا:

\[d(logY)=bd(logX)\nonumber\]

\[\mathrm{d}(\log X)=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X\nonumber\]

وهكذا:

\[\frac{1}{Y} \mathrm{d} Y=b \frac{1}{X} \mathrm{d} X \quad \text { OR } \quad \frac{\mathrm{d} Y}{Y}=b \frac{\mathrm{d} X}{X} \quad \text { OR } \quad b=\frac{\mathrm{d} Y}{\mathrm{d} X}\left(\frac{X}{Y}\right)\nonumber\]

\(b=\frac{\% \Delta Y}{\% \Delta X}\)وتعريفنا للمرونة. نستنتج أنه يمكننا تقدير مرونة المتغير بشكل مباشر من خلال تحويل السجل المزدوج للبيانات. المعامل المقدر هو المرونة. من الشائع استخدام تحويل اللوغاريتمات المزدوجة لجميع المتغيرات في تقدير وظائف الطلب للحصول على تقديرات لجميع أنواع المرونة المختلفة لمنحنى الطلب.