9.4: أمثلة اختبار الفرضيات الكاملة

اختبارات على الوسائل

مثال\(\PageIndex{8}\)

حدد جيفري، عندما كان يبلغ من العمر ثماني سنوات، متوسط وقت 16.43 ثانية للسباحة في سباق 25 ياردة حرة، مع انحراف معياري قدره 0.8 ثانية. اعتقد والده، فرانك، أن جيفري يمكنه السباحة في سباق 25 ياردة حرة بشكل أسرع باستخدام النظارات الواقية. اشترى فرانك لجيفري زوجًا جديدًا من النظارات باهظة الثمن وحدد توقيت جيفري لـ 15 سباحًا حرًا لمسافة 25 ياردة. بالنسبة للسباحة الـ 15، كان متوسط وقت جيفري 16 ثانية. اعتقد فرانك أن النظارات الواقية ساعدت جيفري على السباحة بشكل أسرع من 16.43 ثانية. قم بإجراء اختبار فرضية باستخدام إعداد مسبق\(\alpha = 0.05\).

إجابة

قم بإعداد اختبار الفرضية:

نظرًا لأن المشكلة تتعلق بالمتوسط، فهذا اختبار لمتوسط سكاني واحد.

قم بتعيين الفرضية الخالية والبديلة:

في هذه الحالة، هناك تحدي أو مطالبة ضمنية. هذا هو أن النظارات الواقية ستقلل من وقت السباحة. تأثير هذا هو تعيين الفرضية كاختبار أحادي الذيل. سيكون الادعاء دائمًا في الفرضية البديلة لأن عبء الإثبات يكمن دائمًا في البديل. تذكر أنه يجب هزيمة الوضع الراهن بدرجة عالية من الثقة، وفي هذه الحالة 95٪ من الثقة. وبالتالي فإن الفرضيات الباطلة والبديلة هي:

\(H_0: \mu \geq 16.43\)\(H_a: \mu < 16.43\)

لكي يسبح جيفري بشكل أسرع، سيكون وقته أقل من 16.43 ثانية. تخبرك علامة «<» أن هذا ذو ذيل يساري.

حدد التوزيع المطلوب:

متغير عشوائي:\(\overline X\) = متوسط الوقت للسباحة في 25 ياردة حرة.

توزيع إحصائية الاختبار:

حجم العينة أقل من 30 ولا نعرف الانحراف المعياري للسكان، لذا فهذا اختبار t. والصيغة الصحيحة هي:\(t_{c}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\)

\(\mu_ 0 = 16.43\)يأتي من\(H_0\) وليس البيانات. \(\overline X = 16\). \(s = 0.8\)، و\(n = 15\).

تم تحديد الخطوة 2 الخاصة بنا، وهي تحديد مستوى الأهمية، بالفعل من خلال المشكلة، 0.05 لمستوى الأهمية بنسبة 95٪. يجدر التفكير في معنى هذا الاختيار. الخطأ من النوع الأول هو استنتاج أن جيفري يسبح في سباق 25 ياردة حرة، في المتوسط، في أقل من 16.43 ثانية بينما، في الواقع، يسبح فعليًا في 25 ياردة حرة، في المتوسط، في 16.43 ثانية. (ارفض فرضية الصفر عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة.) في هذه الحالة، يبدو أن القلق الوحيد من خطأ النوع الأول هو أن والد جيفري قد يفشل في المراهنة على فوز ابنه لأنه لا يملك الثقة المناسبة في تأثير النظارات الواقية.

للعثور على القيمة الحرجة، نحتاج إلى تحديد إحصائية الاختبار المناسبة. لقد خلصنا إلى أن هذا اختبار t على أساس حجم العينة وأننا مهتمون بالمتوسط السكاني. يمكننا الآن رسم الرسم البياني لتوزيع t وتحديد القيمة الحرجة. بالنسبة لهذه المشكلة، فإن درجات الحرية هي n-1 أو 14. عند النظر إلى 14 درجة من الحرية في عمود 0.05 من الجدول t نجد 1.761. هذه هي القيمة الحرجة ويمكننا وضعها على الرسم البياني الخاص بنا.

الخطوة 3 هي حساب إحصائية الاختبار باستخدام الصيغة التي اخترناها. نجد أن إحصائية الاختبار المحسوبة هي 2.08، مما يعني أن متوسط العينة يبعد 2.08 انحرافًا معياريًا عن المتوسط المفترض 16.43.

\[t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{16-16.43}{.8 / \sqrt{15}}=-2.08\nonumber\]

الشكل\(\PageIndex{7}\)

الخطوة 4 تجعلنا نقارن إحصائية الاختبار والقيمة الحرجة ونضع علامة عليها على الرسم البياني. نرى أن إحصائية الاختبار موجودة في الذيل وبالتالي ننتقل إلى الخطوة 4 ونصل إلى نتيجة. من غير المحتمل جدًا بالنسبة لنا أن نقبل فرضية العدم احتمال أن يأتي متوسط الوقت البالغ 16 دقيقة من التوزيع بمتوسط عدد السكان 16.43 دقيقة. لا يمكننا قبول القيمة الفارغة.

الخطوة 5 تجعلنا نوضح استنتاجاتنا أولاً بشكل رسمي ثم بشكل أقل رسمية. سيتم ذكر الاستنتاج الرسمي على النحو التالي: «مع مستوى الأهمية بنسبة 95٪، لا يمكننا قبول الفرضية الصفرية بأن وقت السباحة مع النظارات الواقية يأتي من توزيع بمتوسط وقت سكاني يبلغ 16.43 دقيقة». وبشكل أقل رسمية، «بنسبة 95٪ نعتقد أن النظارات الواقية تحسن سرعة السباحة»

إذا أردنا استخدام نظام\(p\) -value للوصول إلى نتيجة، فسنقوم بحساب الإحصاء واتخاذ الخطوة الإضافية للعثور على احتمال وجود 2.08 انحرافًا معياريًا عن المتوسط في توزيع t. هذه القيمة هي .0187. وبمقارنة هذا بمستوى\ alpha البالغ .05 نرى أنه لا يمكننا قبول القيمة الخالية. تم وضع\(p\) القيمة -على الرسم البياني كمنطقة مظللة بعد -2.08 وتظهر أنها أصغر من منطقة الفقس التي تبلغ مستوى ألفا 0.05. تصل كلتا الطريقتين إلى نفس الاستنتاج بأنه لا يمكننا قبول فرضية العدم.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{8}\)

يبلغ متوسط مسافة رمي كرة القدم لماركو، لاعب الوسط المبتدئ في المدرسة الثانوية، 40 ياردة، مع انحراف معياري قدره ياردات. يطلب مدرب الفريق من ماركو ضبط قبضته للحصول على مسافة أكبر. يسجل المدرب المسافات لمدة 20 رمية. بالنسبة للرمية العشرين، كان متوسط مسافة ماركو 45 ياردة. اعتقد المدرب أن القبضة المختلفة ساعدت ماركو على الرمي لمسافة أبعد من 40 ياردة. قم بإجراء اختبار فرضية باستخدام إعداد مسبق\(\alpha = 0.05\). افترض أن مسافات رمي كرات القدم طبيعية.

أولاً، حدد نوع هذا الاختبار، وقم بإعداد اختبار الفرضية، وابحث عن\(p\) القيمة -، وارسم الرسم البياني، وحدد استنتاجك.

مثال\(\PageIndex{9}\)

بدأت جين للتو وظيفتها الجديدة في فريق المبيعات لشركة تنافسية للغاية. في عينة من 16 مكالمة بيع، تبين أنها أغلقت العقد بمتوسط قيمة 108 دولارات بانحراف معياري قدره 12 دولارًا. اختبر بنسبة 5٪ أن متوسط عدد السكان لا يقل عن 100 دولار مقابل البديل الذي يقل عن 100 دولار. تتطلب سياسة الشركة أن يتجاوز الأعضاء الجدد في فريق المبيعات متوسط 100 دولار لكل عقد خلال فترة التوظيف التجريبية. هل يمكننا أن نستنتج أن جين قد استوفت هذا المطلب عند مستوى أهمية 95٪؟

إجابة

1. \(H_0: \mu \leq 100\)
   \(H_a: \mu > 100\)
   الفرضية الصفرية والبديلة تخص المعلمة\(\mu\) لأن عدد دولارات العقود هو متغير عشوائي مستمر. يعد هذا أيضًا اختبارًا أحادي الذيل لأن الشركة مهتمة فقط إذا كان عدد الدولارات لكل جهة اتصال أقل من رقم معين وليس رقمًا «مرتفعًا جدًا». يمكن اعتبار هذا بمثابة ادعاء بأن الشرط يتم الوفاء به وبالتالي فإن المطالبة موجودة في الفرضية البديلة.
2. إحصائية الاختبار:\(t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108-100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=2.67\)
3. القيمة الحرجة:\(t_a=1.753\)\(n-1\) بدرجات الحرية = 15

إحصائيات الاختبار هي علامة t الخاصة بالطالب لأن حجم العينة أقل من 30؛ لذلك، لا يمكننا استخدام التوزيع العادي. وبمقارنة القيمة المحسوبة لإحصائية الاختبار والقيمة الحرجة لـ tt (ta) (ta) عند مستوى أهمية بنسبة 5٪، نرى أن القيمة المحسوبة موجودة في ذيل التوزيع. وهكذا نستنتج أن 108 دولارات لكل عقد أكبر بكثير من القيمة المفترضة 100 وبالتالي لا يمكننا قبول فرضية العدم. هناك أدلة تدعم أداء جين وتفي بمعايير الشركة.

الشكل\(\PageIndex{8}\)

التمارين الرياضية\(\PageIndex{9}\)

يُعتقد أن سعر سهم شركة معينة سينمو بمعدل 5 دولارات في الأسبوع بانحراف معياري قدره 1 دولار. يعتقد المستثمر أن السهم لن ينمو بسرعة. يتم تسجيل التغييرات في سعر السهم لمدة عشرة أسابيع وهي كما يلي: 4 دولارات، 3 دولارات، 2 دولار، 3 دولارات، 1 دولار، 7 دولارات، 2 دولار، 1 دولار، 2 دولار. قم بإجراء اختبار الفرضيات باستخدام مستوى الأهمية بنسبة 5٪. اذكر الفرضيات الباطلة والبديلة، وحدد استنتاجك، وحدد أخطاء النوع الأول.

مثال\(\PageIndex{10}\)

تستخدم إحدى الشركات المصنعة لضمادات السلطة آلات لتوزيع المكونات السائلة في زجاجات تتحرك على طول خط التعبئة. تعمل الآلة التي توزع ضمادات السلطة بشكل صحيح عند توزيع 8 أونصات. لنفترض أن متوسط الكمية التي يتم صرفها في عينة معينة مكونة من 35 زجاجة هو 7.91 أوقية مع اختلاف قدره 0.03 أونصة مربعة\(s^2\). هل هناك دليل على أنه يجب إيقاف الماكينة وانتظار الإنتاج للإصلاحات؟ من المحتمل أن يكون الإنتاج المفقود من الإغلاق كبيرًا لدرجة أن الإدارة تشعر أن مستوى الأهمية في التحليل يجب أن يكون 99٪.

مرة أخرى سنتبع الخطوات في تحليلنا لهذه المشكلة.

إجابة

الخطوة 1: قم بتعيين الفرضية الصفرية والبديلة. المتغير العشوائي هو كمية السوائل الموضوعة في الزجاجات. هذا متغير عشوائي مستمر والمعلمة التي نهتم بها هي المتوسط. لذلك فإن فرضيتنا تدور حول المتوسط. في هذه الحالة، نشعر بالقلق من أن الجهاز لا يملأ بشكل صحيح. مما قيل لنا أنه لا يهم ما إذا كانت الماكينة ممتلئة بشكل مفرط أو ناقصة، فكلاهما يبدو خطأً سيئًا بنفس القدر. يخبرنا هذا أن هذا اختبار ذو ذيلين: إذا كان الجهاز معطلاً، فسيتم إيقاف تشغيله بغض النظر عما إذا كان بسبب الملء الزائد أو النقص في التعبئة. وبالتالي فإن الفرضيات الباطلة والبديلة هي:

\[H_0:\mu=8\nonumber\]

\[Ha:\mu \neq 8\nonumber\]

الخطوة 2: حدد مستوى الأهمية وارسم الرسم البياني الذي يوضح القيمة الحرجة.

لقد حددت هذه المشكلة بالفعل مستوى الأهمية عند 99٪. يبدو القرار مناسبًا ويظهر عملية التفكير عند تحديد مستوى الأهمية. تريد الإدارة أن تكون متأكدة تمامًا، بقدر ما تسمح به الاحتمالات، من أنها لا تغلق جهازًا لا يحتاج إلى إصلاح. لرسم التوزيع والقيمة الحرجة، نحتاج إلى معرفة التوزيع الذي يجب استخدامه. نظرًا لأن هذا متغير عشوائي مستمر ونحن مهتمون بالمتوسط، وحجم العينة أكبر من 30، فإن التوزيع المناسب هو التوزيع الطبيعي والقيمة الحرجة ذات الصلة هي 2.575 من الجدول العادي أو جدول t عند عمود 0.005 ودرجات لا نهائية من الحرية. نرسم الرسم البياني ونحدد هذه النقاط.

الشكل\(\PageIndex{9}\)

الخطوة 3: احسب معايير العينة وإحصائية الاختبار. يتم توفير معايير العينة، ومتوسط العينة هو 7.91 وتباين العينة هو 0.03 وحجم العينة هو 35. نحتاج إلى ملاحظة أنه تم تقديم تباين العينة وليس الانحراف المعياري للعينة، وهو ما نحتاجه للصيغة. وإذا تذكرنا أن الانحراف المعياري هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين، فإننا نعلم أن الانحراف المعياري للعينة، s، هو 0.173. باستخدام هذه المعلومات، نحسب إحصائية الاختبار كـ -3.07، ونضع علامة عليها على الرسم البياني.

\[Z_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{7.91-8}{\cdot 173 / \sqrt{35}}=-3.07\nonumber\]

الخطوة 4: قارن إحصائيات الاختبار والقيم الحرجة الآن نقارن إحصائية الاختبار والقيمة الحرجة من خلال وضع إحصائية الاختبار على الرسم البياني. نرى أن إحصائية الاختبار موجودة في الذيل، وهي بالتأكيد أكبر من القيمة الحرجة البالغة 2.575. نلاحظ أنه حتى الفرق الصغير جدًا بين القيمة المفترضة وقيمة العينة لا يزال عددًا كبيرًا من الانحرافات المعيارية. يختلف متوسط العينة بمقدار 0.08 أوقية فقط عن المستوى المطلوب البالغ 8 أونصات، ولكنه يبعد عن 3 انحرافات معيارية إضافية، وبالتالي لا يمكننا قبول الفرضية الصفرية.

الخطوة 5: الوصول إلى نتيجة

ستضمن ثلاثة انحرافات معيارية لإحصائية الاختبار فشل الاختبار. احتمال وجود أي شيء ضمن ثلاثة انحرافات معيارية هو صفر تقريبًا. في الواقع، يبلغ 0.0026 في التوزيع الطبيعي، وهو بالتأكيد صفر تقريبًا من الناحية العملية. سيكون استنتاجنا الرسمي هو «عند مستوى 99٪ من الأهمية، لا يمكننا قبول الفرضية القائلة بأن متوسط العينة جاء من توزيع بمتوسط 8 أونصات» أو بشكل أقل رسميًا، وللوصول إلى النقطة، «عند مستوى 99٪ من الأهمية، نستنتج أن الآلة تحت ملء الزجاجات وهي في مكانها بحاجة إلى إصلاح».

اختبار الفرضيات للنسب

مثلما كانت هناك فترات ثقة للنسب، أو بشكل أكثر رسمية، بالمعلمة\(p\) السكانية للتوزيع ذي الحدين، هناك القدرة على اختبار الفرضيات المتعلقة\(p\).

المعلمة السكانية للفاصلة ذات الحدين هي\(p\). القيمة المقدرة (تقدير النقاط)\(p\) هي\(p^{\prime}\) المكان\(p^{\prime} = x/n\) الذي يمثل فيه عدد النجاحات في العينة وحجم\(n\) العينة.\(x\)

عندما تقوم بإجراء اختبار فرضية لنسبة سكانية\(p\)، فإنك تأخذ عينة عشوائية بسيطة من السكان. يجب استيفاء شروط التوزيع ذات الحدين، وهي: وجود عدد معين n من التجارب المستقلة بمعنى أخذ العينات العشوائية، ونتائج أي تجربة ثنائية أو ناجحة أو فاشلة، ولكل تجربة نفس احتمالية النجاح\(p\). يجب أن يكون شكل التوزيع ذي الحدين مشابهًا لشكل التوزيع الطبيعي. لضمان ذلك،\(nq^{\prime}\) يجب أن تكون الكميات\(np^{\prime}\) وكلاهما أكبر من خمسة (\(np^{\prime} > 5\)و\(nq^{\prime} > 5\)). في هذه الحالة، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين لنسبة العينة (المقدرة) بالتوزيع الطبيعي مع\(\mu=np\) و\(\sigma=\sqrt{n p q}\). تذكر ذلك\(q=1–p\). لا يوجد توزيع يمكن أن يصحح هذا التحيز الصغير للعينة، وبالتالي إذا لم يتم استيفاء هذه الشروط، فلا يمكننا ببساطة اختبار الفرضية بالبيانات المتاحة في ذلك الوقت. لقد استوفينا هذا الشرط عندما كنا نقدر فترات الثقة لأول مرة لـ\(p\).

مرة أخرى، نبدأ بصيغة التوحيد المعدلة لأن هذا هو توزيع معادلة ذات حدين.

\[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{n}}}\nonumber\]

باستبدال\(p_0\) القيمة المفترضة لـ\(p\)، لدينا:

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}\nonumber\]

هذه هي إحصائية الاختبار لاختبار القيم المفترضة لـ p، حيث تتخذ الفرضيات الخالية والبديلة أحد الأشكال التالية:

\ (\ فهرس الصفحات {5}\) «>

طاولة\(\PageIndex{5}\)

اختبار ذو ذيلين	اختبار ذو ذيل واحد	اختبار ذو ذيل واحد
\(H_0: p = p_0\)	\(H_0: p \leq p_0\)	\(H_0: p \geq p_0\)
\(H_a: p \neq p_0\)	\(H_a: p > p_0\)	\(H_a: p < p_0\)

تنطبق قاعدة القرار المذكورة أعلاه هنا أيضًا: إذا\(Z_c\) أظهرت القيمة المحسوبة أن نسبة العينة هي انحرافات معيارية «كثيرة جدًا» عن النسبة المفترضة، فلا يمكن قبول الفرضية الصفرية. يتم تحديد القرار بشأن ما هو «كثير جدًا» مسبقًا من قبل المحلل اعتمادًا على مستوى الأهمية المطلوب في الاختبار.

مثال\(\PageIndex{11}\)

يهتم قسم الرهن العقاري في بنك كبير بطبيعة قروض المقترضين لأول مرة. سيتم استخدام هذه المعلومات لتصميم استراتيجية التسويق الخاصة بهم. إنهم يعتقدون أن 50٪ من المقترضين لأول مرة يحصلون على قروض أصغر من المقترضين الآخرين. ويقومون بإجراء اختبار الفرضيات لتحديد ما إذا كانت النسبة المئوية هي نفسها أو مختلفة عن 50٪. قاموا بأخذ عينة من 100 مقترض لأول مرة ووجدوا أن 53 من هذه القروض أصغر من المقترضين الآخرين. بالنسبة لاختبار الفرضيات، يختارون مستوى الأهمية بنسبة 5٪.

إجابة

الخطوة 1: قم بتعيين الفرضية الخالية والبديلة.

\(H_0: p = 0.50\)\(H_a: p \neq 0.50\)

تخبرك الكلمات «هو نفسه أو مختلف عن» أن هذا الاختبار ذو ذيلين. أخطاء النوع الأول والنوع الثاني هي كما يلي: الخطأ من النوع الأول هو استنتاج أن نسبة المقترضين تختلف عن 50٪ عندما تكون النسبة في الواقع 50٪. (ارفض فرضية الصفر عندما تكون الفرضية الصفرية صحيحة). الخطأ من النوع الثاني هو عدم وجود أدلة كافية لاستنتاج أن نسبة المقترضين لأول مرة تختلف عن 50٪ في حين أن النسبة تختلف في الواقع عن 50٪. (تفشل في رفض الفرضية الصفرية عندما تكون فرضية العدم خاطئة.)

الخطوة 2: حدد مستوى الأهمية وارسم الرسم البياني الذي يوضح القيمة الحرجة

تم تحديد مستوى الأهمية من خلال المشكلة عند مستوى 95٪. نظرًا لأن هذا اختبار ثنائي الذيل، فسيكون نصف قيمة ألفا في الذيل العلوي والنصف الآخر في الذيل السفلي كما هو موضح في الرسم البياني. القيمة الحرجة للتوزيع الطبيعي عند مستوى 95٪ من الثقة هي 1.96. يمكن العثور على هذا بسهولة على طاولة t الخاصة بالطالب في الأسفل بدرجات لا نهائية من الحرية مع تذكر أن توزيع t هو التوزيع الطبيعي عند اللانهاية. بالطبع يمكن العثور على القيمة أيضًا في الجدول العادي ولكن عليك البحث عن نصف 95 (0.475) داخل جسم الجدول ثم القراءة على الجوانب والأعلى لعدد الانحرافات المعيارية.

الشكل\(\PageIndex{10}\)

الخطوة 3: احسب معاملات العينة والقيمة الحرجة لإحصائية الاختبار.

إحصائية الاختبار هي توزيع عادي\(Z\)، لاختبار النسب وهي:

\[Z=\frac{p^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{.53-.50}{\sqrt{\frac{.5(.5)}{100}}}=0.60\nonumber\]

في هذه الحالة، وجدت عينة 100 أن 53 مقترضًا لأول مرة كانوا مختلفين عن المقترضين الآخرين. نسبة العينة،\(p^{\prime} = 53/100= 0.53\) إذن، سؤال الاختبار هو: «هل 0.53 يختلف اختلافًا كبيرًا عن 0.50؟» عند وضع هذه القيم في صيغة إحصائية الاختبار، نجد أن 0.53 يبعد 0.60 انحرافًا معياريًا فقط عن 0.50. هذا بالكاد بعيد عن متوسط التوزيع العادي القياسي للصفر. لا يوجد فرق تقريبًا عن نسبة العينة والنسبة المفترضة من حيث الانحرافات المعيارية.

الخطوة 4: قارن إحصائيات الاختبار والقيمة الحرجة.

تقع القيمة المحسوبة جيدًا ضمن القيم الحرجة للانحرافات\(\pm 1.96\) المعيارية، وبالتالي لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية. لرفض الفرضية الصفرية، نحتاج إلى وضوح كبير للاختلاف بين القيمة المفترضة وقيمة العينة. في هذه الحالة، تكون قيمة العينة تقريبًا نفس القيمة المفترضة المقاسة من حيث الانحرافات المعيارية.

الخطوة 5: الوصول إلى نتيجة

سيكون الاستنتاج الرسمي هو «عند مستوى 95٪ من الأهمية، لا يمكننا رفض الفرضية الصفرية القائلة بأن 50٪ من المقترضين لأول مرة لديهم نفس حجم القروض مثل المقترضين الآخرين». وبشكل أقل رسمية، نقول إنه «لا يوجد دليل على أن نصف المقترضين لأول مرة يختلفون اختلافًا كبيرًا في حجم القرض عن المقترضين الآخرين». لاحظ الطول الذي تصل إليه النتيجة لتشمل جميع الشروط المرفقة بالنتيجة. يحرص الإحصائيون على كل الانتقادات التي يتلقونها على أن يكونوا محددين للغاية حتى عندما يبدو هذا تافهًا. لا يمكن للإحصائيين أن يقولوا أكثر مما يعرفون والبيانات تقيد الاستنتاج ليكون ضمن حدود ومقاييس البيانات.

التمارين الرياضية\(\PageIndex{11}\)

يعتقد المعلم أن 85٪ من الطلاب في الفصل سيرغبون في الذهاب في رحلة ميدانية إلى حديقة الحيوانات المحلية. تقوم بإجراء اختبار الفرضيات لتحديد ما إذا كانت النسبة هي نفسها أو مختلفة عن 85٪. يقوم المعلم بأخذ عينات من 50 طالبًا وأجاب 39 أنهم يريدون الذهاب إلى حديقة الحيوان. لاختبار الفرضية، استخدم مستوى 1٪ من الأهمية.

مثال\(\PageIndex{12}\)

لنفترض أن مجموعة المستهلكين تشك في أن نسبة الأسر التي لديها ثلاثة هواتف محمولة أو أكثر هي 30٪. لدى شركة الهاتف الخلوي سبب للاعتقاد بأن النسبة ليست 30٪. قبل بدء حملة إعلانية كبيرة، يقومون بإجراء اختبار الفرضيات. يقوم موظفو التسويق لديهم بمسح 150 أسرة، مما أدى إلى أن 43 من الأسر لديها ثلاثة هواتف محمولة أو أكثر.

إجابة

فيما يلي نسخة مختصرة من النظام لحل اختبارات الفرضيات المطبقة على الاختبار بالنسب.

\[H_0 : p = 0.3 \nonumber\]

\[H_a : p \neq 0.3 \nonumber\]

\[n = 150\nonumber\]

\[\mathrm{p}^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{43}{150}=0.287\nonumber\]

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{0.287-0.3}{\sqrt{\frac{3(7)}{150}}}=0.347\nonumber\]

الشكل\(\PageIndex{11}\)

مثال\(\PageIndex{13}\)

يوفر المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا بيانات دقيقة عن خصائص الموصلية للمواد. فيما يلي قياسات الموصلية لـ 11 قطعة مختارة عشوائيًا من نوع معين من الزجاج.

1.11؛ 1.07؛ 1.11؛ 1.07؛ 1.12؛ 1.08؛ .98؛ 1.02؛ .95؛ .95
هل هناك دليل مقنع على أن متوسط الموصلية لهذا النوع من الزجاج أكبر من واحد؟ استخدم مستوى أهمية 0.05.

إجابة

دعونا نتبع عملية من أربع خطوات للإجابة على هذا السؤال الإحصائي.

اذكر السؤال: نحتاج إلى تحديد ما إذا كان متوسط الموصلية للزجاج المحدد، عند مستوى أهمية 0.05، أكبر من واحد. ستكون فرضياتنا

1. \(H_0: \mu \leq 1\)
2. \(H_a: \mu > 1\)

الخطة: نحن نختبر متوسط العينة بدون انحراف معياري معروف للسكان بأقل من 30 ملاحظة. لذلك، نحتاج إلى استخدام توزيع T-T الخاص بالطالب. افترض أن المجموعة السكانية الأساسية طبيعية. قم بإجراء العمليات الحسابية وارسم الرسم البياني. اذكر الاستنتاجات: لا يمكننا قبول الفرضية الصفرية. من المعقول الإشارة إلى أن البيانات تدعم الادعاء بأن متوسط مستوى الموصلية أكبر من واحد.

مثال\(\PageIndex{14}\)

في دراسة أجريت على 420,019 مستخدمًا للهواتف المحمولة، أصيب 172 من الأشخاص بسرطان الدماغ. اختبر الادعاء بأن مستخدمي الهواتف المحمولة أصيبوا بسرطان الدماغ بمعدل أكبر من ذلك بالنسبة لمستخدمي الهواتف غير المحمولة (معدل سرطان الدماغ لمستخدمي الهواتف غير المحمولة هو 0.0340٪). نظرًا لأن هذه مشكلة حرجة، استخدم مستوى أهمية 0.005. اشرح لماذا يجب أن يكون مستوى الأهمية منخفضًا جدًا من حيث الخطأ من النوع الأول.

إجابة

1. نحن بحاجة إلى إجراء اختبار فرضية على معدل السرطان المزعوم. ستكون فرضياتنا
   1. \(H_0: p \leq 0.00034\)
   2. \(H_a: p > 0.00034\)

   إذا ارتكبنا خطأ من النوع الأول، فإننا نقبل بشكل أساسي الادعاء الكاذب. نظرًا لأن الادعاء يصف البيئات المسببة للسرطان، فإننا نريد تقليل فرص تحديد أسباب السرطان بشكل غير صحيح.

2. سنختبر نسبة عينة مع\(x = 172\) و\(n = 420,019\). العينة كبيرة بما يكفي لأن لدينا\(np^{\prime} = 420,019(0.00034) = 142.8\)\(n q^{\prime}=420,019(0.99966)=419,876.2\) نتيجتين مستقلتين واحتمالية ثابتة للنجاح\(p^{\prime} = 0.00034\). وبالتالي سنكون قادرين على تعميم نتائجنا على السكان.