8.3: فترة ثقة لنسبة سكانية

خلال السنة الانتخابية، نرى مقالات في الصحف تحدد فترات الثقة من حيث النسب أو النسب المئوية. على سبيل المثال، قد يُظهر استطلاع رأي لمرشح معين يترشح للرئاسة أن المرشح يحصل على 40٪ من الأصوات في حدود ثلاث نقاط مئوية (إذا كانت العينة كبيرة بما يكفي). في كثير من الأحيان، يتم حساب استطلاعات الرأي الانتخابية بثقة 95٪، لذلك، سيكون المستطلعون واثقين بنسبة 95٪ من أن النسبة الحقيقية للناخبين الذين فضلوا المرشح ستكون بين 0.37 و 0.43.

يهتم المستثمرون في سوق الأسهم بالنسبة الحقيقية للأسهم التي ترتفع وتنخفض كل أسبوع. تهتم الشركات التي تبيع أجهزة الكمبيوتر الشخصية بنسبة الأسر في الولايات المتحدة التي تمتلك أجهزة كمبيوتر شخصية. يمكن حساب فترات الثقة بالنسبة للنسبة الحقيقية للأسهم التي ترتفع أو تنخفض كل أسبوع وللنسبة الحقيقية للأسر في الولايات المتحدة التي تمتلك أجهزة كمبيوتر شخصية.

يشبه إجراء العثور على فترة الثقة لنسبة السكان تلك الخاصة بالمتوسط السكاني، لكن الصيغ مختلفة قليلاً على الرغم من أنها متطابقة من الناحية المفاهيمية. في حين أن الصيغ مختلفة، إلا أنها تستند إلى نفس الأساس الرياضي الذي أعطته لنا نظرية الحد المركزي. ولهذا السبب سنرى نفس التنسيق الأساسي باستخدام نفس الأجزاء الثلاثة من المعلومات: قيمة عينة المعلمة المعنية، والانحراف المعياري لتوزيع العينات ذي الصلة، وعدد الانحرافات المعيارية التي نحتاجها للحصول على الثقة في تقديرنا الذي نرغب فيه.

كيف تعرف أنك تتعامل مع مشكلة النسبة؟ أولاً، يحتوي التوزيع الأساسي على متغير عشوائي ثنائي وبالتالي فهو توزيع ذو حدين. (لا يوجد ذكر للمتوسط أو المتوسط.) إذا كان$X$ متغيرًا عشوائيًا ذا حدين،$X \sim B(n, p)$ فأين$n$$p$ هو عدد التجارب واحتمال النجاح. لتكوين نسبة عينة$X$، خذ المتغير العشوائي لعدد النجاحات وقسمه$n$ على عدد التجارب (أو حجم العينة). المتغير العشوائي$P^{\prime}$ (اقرأ «P prime») هو نسبة العينة،

$$P^{\prime}=\frac{X}{n} \nonumber$$

(في بعض الأحيان يتم الإشارة إلى المتغير العشوائي باسم$\hat{P}$، اقرأ «P hat».)

• $P^{\prime}$= النسبة المقدرة للنجاحات أو نسبة عينة النجاحات ($P^{\prime}$هي تقدير نقطي$p$ للنسبة السكانية الحقيقية، وبالتالي$q$ احتمال الفشل في أي تجربة واحدة.)
• $x$= عدد النجاحات في العينة
• $n$= حجم العينة

تتبع صيغة فاصل الثقة لنسبة السكان نفس الشكل المستخدم في تقدير متوسط السكان. عند تذكر توزيع العينات للنسبة من الفصل 7، وجد أن الانحراف المعياري هو:

$$\sigma_{\mathrm{p}^{\prime}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\nonumber$$

وبالتالي، تصبح فترة الثقة لنسبة السكان:

$$p=p^{\prime} \pm\left[Z_{\left(\frac{a}{2}\right)} \sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}\right]\nonumber$$

$Z_{\left(\frac{a}{2}\right)}$يتم ضبطه وفقًا لدرجة الثقة المطلوبة$\sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}$ وهو الانحراف المعياري لتوزيع العينات.

نسب العينة$\bf{p^{\prime}}$$\bf{q^{\prime}}$ وتقديرات للنسب السكانية غير المعروفة$\bf{p}$ و$\bf{q}$. $q^{\prime}$يتم استخدام النسب$p^{\prime}$ المقدرة لأنها$p$$q$ غير معروفة.

تذكر أنه كلما$p$ ابتعدنا عن 0.5 يصبح التوزيع ذو الحدين أقل تناسقًا. نظرًا لأننا نقوم بتقدير المعادلة ذات الحدين بالتوزيع الطبيعي المتماثل، فكلما ابتعدنا عن التماثل، تصبح القيمة ذات الحدين أقل ثقتنا في التقدير.

يمكن إثبات هذا الاستنتاج من خلال التحليل التالي. تعتمد النسب على التوزيع الاحتمالي ذي الحدين. النتائج المحتملة ثنائية، إما «النجاح» أو «الفشل». وهذا يؤدي إلى ظهور نسبة، أي النسبة المئوية للنتائج التي تمثل «نجاحات». تبين أن التوزيع ذي الحدين يمكن فهمه تمامًا إذا عرفنا فقط احتمال النجاح في أي تجربة واحدة تسمى$p$. وُجد أن المتوسط والانحراف المعياري للمعادلة ذات الحدين هما:

$$\mu=\mathrm{np}\nonumber$$

$$\sigma=\sqrt{npq}\nonumber$$

كما تبين أنه يمكن تقدير المعادلة ذات الحدين بالتوزيع العادي إذا كان$nq$ كلاهما$np$ أكبر من 5. من المناقشة أعلاه، تبين أن الصيغة الموحدة للتوزيع ذي الحدين هي:

$$Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\left(\frac{p q}{n}\right)}}\nonumber$$

وهو ليس أكثر من إعادة صياغة لصيغة التوحيد العامة مع بدائل مناسبة$\mu$ لمبدأ الحدين.$\sigma$ يمكننا استخدام التوزيع العادي القياسي، والسبب$Z$ في المعادلة، لأن التوزيع الطبيعي هو التوزيع المحدود للعددين. هذا مثال آخر لنظرية الحد المركزي. لقد رأينا بالفعل أن توزيع عينات الوسائل يتم توزيعه بشكل طبيعي. تذكر المناقشة الموسعة في الفصل 7 فيما يتعلق بتوزيع العينات للنسب واستنتاجات نظرية الحد المركزي.

يمكننا الآن معالجة هذه الصيغة بنفس الطريقة التي قمنا بها لإيجاد فترات الثقة للمتوسط، ولكن لإيجاد فاصل الثقة لعامل السكان ذي الحدين،$p$.

$$\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber$$

أين$p^{\prime} = x/n$، تقدير النقاط$p$ المأخوذ من العينة. لاحظ أنه$p^{\prime}$ تم استبداله$p$ في الصيغة. هذا لأننا لا نعرف$p$، في الواقع، هذا هو بالضبط ما نحاول تقديره.

لسوء الحظ، لا يوجد عامل تصحيح للحالات التي يكون فيها حجم العينة صغيرًا، لذا$np^{\prime}$$nq^{\prime}$ يجب أن يكون دائمًا أكبر من 5 لتطوير تقدير الفاصل الزمني لـ$p$.

مثال$\PageIndex{1}$

لنفترض أنه تم تعيين شركة أبحاث السوق لتقدير النسبة المئوية للبالغين الذين يعيشون في مدينة كبيرة والذين لديهم هواتف محمولة. تم مسح خمسمائة من السكان البالغين الذين تم اختيارهم عشوائيًا في هذه المدينة لتحديد ما إذا كان لديهم هواتف محمولة. من بين 500 شخص تم أخذ عينات منهم، أجاب 421 بنعم - فهم يمتلكون هواتف محمولة. باستخدام مستوى ثقة بنسبة 95٪، قم بحساب تقدير فترة الثقة للنسبة الحقيقية من السكان البالغين في هذه المدينة الذين لديهم هواتف محمولة.

إجابة

الحل خطوة بخطوة.

Let$X$ = عدد الأشخاص في العينة الذين لديهم هواتف محمولة. $X$هو ذو حدين: المتغير العشوائي ثنائي، فالأشخاص إما لديهم هاتف محمول أو ليس لديهم.

لحساب فترة الثقة، يجب أن نجد$p^{\prime}, q^{\prime}$.

$n = 500$

$x=\text { the number of successes in the sample }=421$

$p^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{421}{500}=0.842$

$p^{\prime}=0.842$هي نسبة العينة؛ هذا هو التقدير النقطي لنسبة السكان.

$q^{\prime}=1-p^{\prime}=1-0.842=0.158$

نظرًا لأن مستوى الثقة المطلوب هو$CL = 0.95$، إذن$\alpha=1-C L=1-0.95=0.05\left(\frac{\alpha}{2}\right)=0.025$.

ثم$z_{\frac{\alpha}{2}}=z_{0.025}=1.96$

يمكن العثور على هذا باستخدام جدول الاحتمالات العادية القياسية في الجدول$\PageIndex{6}$. يمكن العثور على هذا أيضًا في جدول t للطلاب في عمود 0.025 ودرجات الحرية اللانهائية لأنه عند درجات الحرية اللانهائية يصبح توزيع t للطلاب هو التوزيع العادي القياسي،$Z$.

فترة الثقة لنسبة السكان الحقيقية ذات الحدين هي

$$\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber$$

$\text{Substituting in the values from above we find the confidence interval is : } 0.810 \leq p \leq 0.874$

ترجمة

نقدر بثقة 95٪ أن ما بين 81٪ و 87.4٪ من جميع المقيمين البالغين في هذه المدينة لديهم هواتف محمولة.

شرح مستوى الثقة بنسبة 95%

ستحتوي خمسة وتسعون بالمائة من فترات الثقة التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة على القيمة الحقيقية لنسبة السكان لجميع السكان البالغين في هذه المدينة الذين لديهم هواتف محمولة.

التمارين$\PageIndex{1}$

لنفترض أنه تم مسح 250 شخصًا تم اختيارهم عشوائيًا لتحديد ما إذا كانوا يمتلكون جهازًا لوحيًا. من بين 250 شخصًا شملهم الاستطلاع، أفاد 98 بامتلاك جهاز لوحي. باستخدام مستوى ثقة بنسبة 95%، قم بحساب تقدير فترة الثقة للنسبة الحقيقية للأشخاص الذين يمتلكون الأجهزة اللوحية.

مثال$\PageIndex{2}$

تضم مدرسة Dundee Dog Training School نسبة أكبر من المتوسط من العملاء الذين يتنافسون في الأحداث المهنية التنافسية. تم إنشاء فترة ثقة لنسبة السكان من الكلاب التي تتنافس في الأحداث المهنية من 150 مدرسة تدريب مختلفة. يتم تحديد الحد الأدنى ليكون 0.08 والحد الأعلى هو 0.16. حدد مستوى الثقة المستخدم لبناء الفاصل الزمني للنسبة السكانية للكلاب التي تتنافس في الأحداث المهنية.

إجابة

نبدأ بصيغة فاصل الثقة للنسبة لأن المتغير العشوائي ثنائي؛ إما أن يتنافس العميل في أحداث الكلاب التنافسية المهنية أو لا يتنافس.

$$p=p^{\prime} \pm\left[Z_{\left(\frac{a}{2}\right)} \sqrt{\frac{p^{\prime}\left(1-p^{\prime}\right)}{n}}\right]\nonumber$$

بعد ذلك نجد نسبة العينة:

$$p^{\prime}=\frac{0.08+0.16}{2}=0.12\nonumber$$

وبالتالي فإن$\pm$ الذي يشكل فترة الثقة هو$0.04; 0.12 + 0.04 = 0.16$ و$0.12 − 0.04 = 0.08$، حدود فترة الثقة. أخيرًا، نحل المشكلة$Z$.

$\left[Z \cdot \sqrt{\frac{0.12(1-0.12)}{150}}\right]=0.04, \textbf { therefore } \bf{z=1.51}$

ثم ابحث عن احتمال حدوث 1.51 انحرافًا معياريًا في الجدول العادي القياسي.

$p(Z=1.51)=0.4345, p(Z) \cdot 2=0.8690 \textbf { or } 86.90 \%$.

مثال$\PageIndex{3}$

يريد المسؤول المالي للشركة تقدير النسبة المئوية للحسابات المستحقة القبض المتأخرة لأكثر من 30 يومًا. قام بمسح 500 حساب ووجد أن 300 حساب متأخرة أكثر من 30 يومًا. احسب فترة ثقة تبلغ 90% للنسبة الحقيقية من الحسابات المستحقة القبض المتأخرة لأكثر من 30 يومًا، وقم بتفسير فترة الثقة.

إجابة

الحل هو خطوة بخطوة:

يحتوي تسعون بالمائة من جميع فترات الثقة التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة على القيمة الحقيقية للسكان كنسبة مئوية من الحسابات المستحقة القبض المتأخرة لمدة 30 يومًا.

شرح مستوى الثقة بنسبة 90%

$x = 300$و$n = 500$

$p^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{300}{500}=0.600$

$q^{\prime}=1-p^{\prime}=1-0.600=0.400$

بما أن مستوى الثقة =$0.90$، إذن$a=1-\text { confidence level }=(1-0.90)=0.10\left(\frac{\alpha}{2}\right)=0.05$

$Z_{\frac{\alpha}{2}}=Z_{0.05}=1.645$

يمكن العثور على قيمة Z هذه باستخدام جدول الاحتمالات العادي القياسي. يمكن أيضًا استخدام جدول t الخاص بالطالب عن طريق إدخال الجدول في عمود 0.05 والقراءة في السطر للحصول على درجات لا نهائية من الحرية. توزيع t هو التوزيع الطبيعي بدرجات لا نهائية من الحرية. هذه خدعة مفيدة يجب تذكرها عند العثور على قيم Z لمستويات الثقة الشائعة الاستخدام. نستخدم هذه الصيغة لفاصل الثقة بالنسبة للنسبة:

$$\mathrm{p}^{\prime}-Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}} \leq p \leq \mathrm{p}^{\prime}+Z_{\alpha} \sqrt{\frac{\mathrm{p}^{\prime} \mathrm{q}^{\prime}}{n}}\nonumber$$

باستبدال القيم من الأعلى نجد أن فترة الثقة لنسبة السكان الحقيقية ذات الحدين هي$0.564 \leq p \leq 0.636$

ترجمة

نقدر بثقة 90٪ أن النسبة الحقيقية لجميع الحسابات المستحقة المتأخرة لمدة 30 يومًا تتراوح بين 56.4٪ و 63.6٪. الصياغة البديلة: نقدر بثقة 90٪ أن ما بين 56.4٪ و 63.6٪ من جميع الحسابات متأخرة لمدة 30 يومًا.

التمارين$\PageIndex{2}$

يقوم الطالب باستطلاع رأي مدرسته لمعرفة ما إذا كان الطلاب في المنطقة التعليمية يؤيدون أو يعارضون التشريع الجديد المتعلق بالزي المدرسي. قامت باستطلاع 600 طالب ووجدت أن 480 ضد التشريع الجديد.

1. احسب فترة ثقة تبلغ 90% للنسبة الحقيقية للطلاب الذين يعارضون التشريع الجديد، وقم بتفسير فترة الثقة.
2. في عينة من 300 طالب، قال 68٪ أنهم يمتلكون iPod وهاتفًا ذكيًا. قم بحساب فاصل ثقة بنسبة 97% للنسبة الحقيقية من الطلاب الذين يمتلكون iPod وهاتف ذكي.