Skip to main content
Global

5.9: مراجعة الفصل

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    198982

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    5.1 خصائص دوال الكثافة الاحتمالية المستمرة

    تُستخدم دالة الكثافة الاحتمالية (pdf) لوصف الاحتمالات للمتغيرات العشوائية المستمرة. تتوافق المساحة الموجودة أسفل منحنى الكثافة بين نقطتين مع احتمال وقوع المتغير بين هاتين القيمتين. بمعنى آخر، المساحة تحت منحنى الكثافة بين النقطتين a و b تساوي\(P(a < x < b)\). تعطي دالة التوزيع التراكمي (cdf) الاحتمال كمنطقة. إذا كان\(X\) متغيرًا عشوائيًا مستمرًا، تُستخدم دالة الكثافة الاحتمالية (pdf) لرسم الرسم البياني لتوزيع الاحتمالات.\(f(x)\) المساحة الإجمالية تحت الرسم البياني\(f(x)\) هي واحدة. المنطقة الموجودة أسفل الرسم البياني للقيم وفيما بينها\(f(x)\)\(a\)\(b\) وتعطي الاحتمال\(P(a < x < b)\).

    يُظهر الرسم البياني الموجود على اليسار منحنى الكثافة العامة، y = f (x). المنطقة تحت المنحنى وفوق المحور السيني مظللة. مساحة المنطقة المظللة تساوي 1. هذا يدل على أن جميع النتائج المحتملة ممثلة بالمنحنى. يوضِّح الرسم البياني الموجود على اليمين منحنى الكثافة نفسه. تمتد الخطوط العمودية x = a و x = b من المحور إلى المنحنى، والمنطقة بين السطور مظللة. تمثل مساحة المنطقة المظللة احتمال أن تقع القيمة x بين a و b.
    الشكل\(\PageIndex{21}\)

    يتم تعريف دالة التوزيع التراكمي (cdf) من\(X\) خلال\(P(X \leq x)\). إنها دالة x تعطي احتمال أن يكون المتغير العشوائي أقل من أو يساوي x.

    5.2 التوزيع الموحد

    إذا كان\(X\) له توزيع موحد حيث\(a < x < b\) أو\(a \leq x \leq b\)، فإنه\(X\) يأخذ القيم بين\(a\) و\(b\) (قد يشمل\(a\) و\(b\)). من المرجح\(x\) أن تكون جميع القيم متساوية. نحن نكتب\(X \sim U(a, b)\). يعني\(X\) هو\(\mu=\frac{a+b}{2}\). الانحراف المعياري لـ\(X\) هو\(\sigma=\sqrt{\frac{(b-a)^{2}}{12}}\). دالة الكثافة الاحتمالية لـ\(X\) هي\(f(x)=\frac{1}{b-a}\) لـ\(a \leq x \leq b\). دالة التوزيع التراكمي لـ\(X\) هي\(P(X \leq x)=\frac{x-a}{b-a}\). \(X\)مستمر.

    يوضِّح الرسم البياني مستطيلاً بمساحة إجمالية تساوي 1. يمتد المستطيل من x = a إلى x = b على المحور السيني ويبلغ ارتفاعه 1/ (b-a).
    الشكل\(\PageIndex{22}\)

    \(P(c < X < d)\)يمكن العثور على الاحتمال من خلال حساب المنطقة الواقعة تحت\(f(x)\)، وبين،\(c\) و\(d\). نظرًا لأن المنطقة المقابلة عبارة عن مستطيل، يمكن العثور على المنطقة ببساطة عن طريق ضرب العرض والارتفاع.

    5.3 التوزيع الأسي

    إذا\(X\) كان التوزيع الأسي مع المتوسط\(\mu\)، فإن معامل الاضمحلال هو\(m=\frac{1}{\mu}\). دالة الكثافة الاحتمالية لـ\(X\) هي\(f(x) = me^{-mx}\) (أو ما يعادلها)\(f(x)=\frac{1}{\mu} e^{-x / \mu}\). دالة التوزيع التراكمي لـ\(X\) هي\(P(X \leq x)=1-e^{-m x}\).