Skip to main content
Global

8.4: Kutatua Equations na Vigezo na Constants Pande zote mbili (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173341

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Tatua equation na mara kwa mara pande zote mbili
    • Tatua equation na vigezo pande zote mbili
    • Kutatua equation na vigezo na constants pande zote mbili
    • Tatua equations kwa kutumia mkakati wa jumla
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kurahisisha: 4y - 9 + 9. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.3.10.
    2. Tatua: y + 12 = 16. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.5.4.
    3. Tatua: -3y = 63. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.9.6.

    Tatua Equation na Constants Pande zote mbili

    Huenda umeona kuwa katika milinganyo yote tumeweza kutatuliwa hadi sasa, maneno yote ya kutofautiana yalikuwa upande mmoja tu wa equation na mara kwa mara upande wa pili. Hii haina kutokea wakati wote-hivyo sasa tutaweza kuona jinsi ya kutatua equations ambapo suala variable na/au masharti ya mara kwa mara ni pande zote mbili za equation.

    Mkakati wetu utahusisha kuchagua upande mmoja wa equation kuwa upande wa kutofautiana, na upande wa pili wa equation kuwa upande wa mara kwa mara. Kisha, tutatumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa, hatua kwa hatua, ili kupata maneno yote ya kutofautiana pamoja upande mmoja wa equation na masharti ya mara kwa mara pamoja upande mwingine.

    Kwa kufanya hivyo, sisi kubadilisha equation kwamba ilianza na vigezo na constants pande zote mbili katika fomu shoka = b Sisi tayari kujua jinsi ya kutatua equations ya fomu hii kwa kutumia Idara au kuzidisha Mali ya Usawa.

    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Tatua: 4x + 6 = -14.

    Suluhisho

    Katika equation hii, variable ni upande wa kushoto tu. Inafaa kuwaita upande wa kushoto upande wa kutofautiana. Kwa hiyo, upande wa kulia utakuwa upande wa mara kwa mara. Tutaweza kuandika maandiko juu equation kutusaidia kukumbuka nini huenda wapi.

    Kwa kuwa upande wa kushoto ni upande wa kutofautiana, 6 haipo nje ya mahali. Tunapaswa “kurekebisha” kuongeza 6 kwa kuondoa 6, na kuweka usawa lazima tuondoe 6 kutoka pande zote mbili. Tumia Mali ya Kuondoa ya Usawa. $4x + 6\ textcolor {nyekundu} {-6} = -14\ textcolor {nyekundu} {-6} $$
    Kurahisisha. $4x = -$20 $
    Sasa x wote ni upande wa kushoto na mara kwa mara upande wa kulia.  
    Tumia Mali ya Idara ya Usawa. $$\ dfrac {4x} {\ textcolor {nyekundu} {4}} =\ dfrac {-20} {\ textcolor {nyekundu} {4}} $$
    Kurahisisha. $$x = -$5 $
    Angalia: Hebu x = -5. $$\ kuanza {kupasuliwa} 4x + 6 &= -14\\ 4 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-5}) + 6 &= -14\ -20 + 6 &= -14\ -14 &= -14\\;\ alama\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Tatua: 3x + 4 = -8.

    Jibu

    x = -4

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Tatua: 5a + 3 = -37.

    Jibu

    a = -8

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Tatua: 2y - 7 = 15.

    Suluhisho

    Kumbuka kwamba variable ni upande wa kushoto wa equation, hivyo hii itakuwa upande variable na upande wa kulia itakuwa upande wa mara kwa mara. Kwa kuwa upande wa kushoto ni upande wa kutofautiana, 7 haipo nje ya mahali. Ni kuondolewa kutoka 2y, hivyo 'kuondoa' kuondoa, kuongeza 7 kwa pande zote mbili.

    Ongeza 7 kwa pande zote mbili. $2y - 7\ textcolor {nyekundu} {+7} = 15\ textcolor {nyekundu} {+7} $$
    Kurahisisha. $2y = $22 $
    Vigezo sasa ni upande mmoja na constants kwa upande mwingine.  
    Gawanya pande zote mbili kwa 2. $$\ dfrac {2y} {\ textcolor {nyekundu} {2}} =\ dfrac {22} {\ textcolor {nyekundu} {2}} $$
    Kurahisisha. $y = $11 $
    Angalia: mbadala: y = 11. $$\ kuanza {kupasuliwa} 2y - 7 &= 15\\ 2\ cdot\ textcolor {nyekundu} {11} - 7 &\ stackrel {?} {=} 15\\ 22 - 7 &\ stackrel {?} {=} 15\\ 15 &= 15\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Tatua: 5y - 9 = 16.

    Jibu

    y = 5

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Tatua: 3m - 8 = 19.

    Jibu

    m = 9

    Tatua Equation na Vigezo Pande zote mbili

    Nini kama kuna vigezo pande zote mbili za equation? Tutaanza kama tulivyofanya hapo juu-kuchagua upande variable na upande wa mara kwa mara, na kisha kutumia Ondoa na kuongeza Mali ya Usawa wa kukusanya vigezo wote upande mmoja na constants wote upande wa pili. Kumbuka, nini kufanya kwa upande wa kushoto wa equation, lazima kufanya kwa upande wa kulia pia.

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Kutatua: 5x = 4x + 7.

    Suluhisho

    Hapa variable, x, ni pande zote mbili, lakini constants kuonekana tu upande wa kulia, hivyo hebu kufanya upande wa kulia “mara kwa mara” upande. Kisha upande wa kushoto utakuwa upande wa “kutofautiana”.

    Hatutaki vigezo yoyote juu ya haki, hivyo Ondoa 4x. $5x\ textcolor {nyekundu} {-4x} = 4x\ textcolor {nyekundu} {-4x} + $7 $
    Kurahisisha. $$x = $7 $
    Tuna vigezo vyote upande mmoja na constants kwa upande mwingine. Sisi kutatuliwa equation.  
    kuangalia: mbadala 7 kwa x. $$\ kuanza {kupasuliwa} 5x &= 4x + 7\\ 5 (\ textcolor {nyekundu} {7}) &\ stackrel {?} {=} 4 (\ textcolor {nyekundu} {7}) + 7\\ 35 &\ stackrel {?} {=} 28 + 7\\ 35 &= 35\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Tatua: 6n = 5n + 10.

    Jibu

    n = 10

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Tatua: -6c = -7c + 1.

    Jibu

    c = 1

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Tatua: 5y - 8 = 7y.

    Suluhisho

    Mara kwa mara tu, -8, iko upande wa kushoto wa equation na kutofautiana, y, iko pande zote mbili. Hebu kuondoka mara kwa mara upande wa kushoto na kukusanya vigezo na haki.

    Ondoa 5y kutoka pande zote mbili. $5y\ textcolor {nyekundu} {-5y} -8 = 7y\ textcolor {nyekundu} {-5y} $$
    Kurahisisha. $-8 = 2y $$
    Tuna vigezo juu ya haki na constants upande wa kushoto. Gawanya pande zote mbili kwa 2. $$\ dfrac {-8} {\ textcolor {nyekundu} {2}} =\ dfrac {2y} {\ textcolor {nyekundu} {2}} $$
    Kurahisisha. $-4 = y $$
    Andika upya na kutofautiana upande wa kushoto. $y = -$4 $
    Angalia: Hebu y = -4. $$\ kuanza {kupasuliwa} 5y - 8 &= 7y\\ 5 (\ textcolor {nyekundu} {-4}) -8 &\ stackrel {?} {=} 7 (\ textcolor {nyekundu} {-4})\\ -20 - 8 &\ stackrel {?} {=} -28\\ -28 &= -28\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Tatua: 3p - 14 = 5p.

    Jibu

    p = -7

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Kutatua: 8m + 9 = 5m.

    Jibu

    m = -3

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Kutatua: 7x = - x + 24.

    Suluhisho

    Mara kwa mara tu, 24, ni upande wa kulia, hivyo basi upande wa kushoto uwe upande wa kutofautiana.

    Ondoa -x kutoka upande wa kulia kwa kuongeza x kwa pande zote mbili. $7x\ textcolor {nyekundu} {+x} = -x\ textcolor {nyekundu} {+x} + 24$$
    Kurahisisha. $8x = $24$
    Vigezo vyote ni upande wa kushoto na vipindi viko upande wa kulia. Gawanya pande zote mbili kwa 8. $$\ dfrac {8x} {\ textcolor {nyekundu} {8}} =\ dfrac {24} {\ textcolor {nyekundu} {8}} $$
    Kurahisisha. $$x = $3 $
    Angalia: Mbadala x = 3. $$\ kuanza {kupasuliwa} 7x &= -x + 24\\ 7 (\ textcolor {nyekundu} {3}) &\ stackrel {?} {=} - (\ textcolor {nyekundu} {3}) + 24\\ 21 &= 21\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Tatua: 12j = -4j + 32.

    Jibu

    j = 2

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Tatua: 8h = -4h + 12.

    Jibu

    h = 1

    Tatua Equations na Vigezo na Constants Pande zote mbili

    Mfano unaofuata utakuwa wa kwanza kuwa na vigezo na vipindi pande zote mbili za equation. Kama tulivyofanya kabla, tutaweza kukusanya maneno variable kwa upande mmoja na constants kwa upande mwingine.

    Mfano\(\PageIndex{6}\):

    Kutatua: 7x + 5 = 6x + 2.

    Suluhisho

    Anza kwa kuchagua upande gani utakuwa upande wa kutofautiana na upande gani utakuwa upande wa mara kwa mara. Masharti ya kutofautiana ni 7x na 6x. Tangu 7 ni kubwa kuliko 6, fanya upande wa kushoto upande wa kutofautiana na hivyo upande wa kulia utakuwa upande wa mara kwa mara.

    Kukusanya maneno ya kutofautiana kwa upande wa kushoto kwa kutoa 6x kutoka pande zote mbili. $7x\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-6x} + 5 = 6x\ textcolor {nyekundu} {-6x} +2$$
    Kurahisisha. $$x + 5 = $2 $
    Sasa, kukusanya mara kwa mara upande wa kulia kwa kuondoa 5 kutoka pande zote mbili. $$x + 5\ textcolor {nyekundu} {-5} = 2\ textcolor {nyekundu} {-5} $$
    Kurahisisha. $$x = -3 $$
    Suluhisho ni x = -3.  
    Angalia: Hebu x = -3. $$\ kuanza {kupasuliwa} 7x + 5 &= 6x + 2\\ 7 (\ textcolor {nyekundu} {-3}) + 5 &\ stackrel {?} {=} 6 (\ textcolor {nyekundu} {-3}) + 2\\ -21 + 5 &\ stackrel {?} {=} -18 + 2\\ -16 &= -16\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{11}\):

    Kutatua: 12x + 8 = 6x + 2.

    Jibu

    x = -1

    Zoezi\(\PageIndex{12}\):

    Tatua: 9y + 4 = 7y + 12.

    Jibu

    y = 4

    Tutaweza muhtasari hatua tulizochukua ili uweze kutaja kwa urahisi.

    JINSI YA: KUTATUA EQUATION NA VIGEZO NA MARA KWA MARA PANDE ZOTE MBILI

    Hatua ya 1. Chagua upande mmoja kuwa upande wa kutofautiana na kisha mwingine utakuwa upande wa mara kwa mara.

    Hatua ya 2. Kukusanya maneno ya kutofautiana kwa upande wa kutofautiana, kwa kutumia Mali ya Kuongeza au Kuondoa ya Usawa.

    Hatua ya 3. Kukusanya constants kwa upande mwingine, kwa kutumia Kuongeza au Ondoa Mali ya Usawa.

    Hatua ya 4. Fanya mgawo wa kutofautiana 1, ukitumia Mali ya Kuzidisha au Idara ya Usawa.

    Hatua ya 5. Angalia suluhisho kwa kuibadilisha kwenye equation ya awali.

    Ni wazo nzuri kufanya upande wa kutofautiana ambao variable ina mgawo mkubwa. Hii kwa kawaida hufanya hesabu iwe rahisi.

    Mfano\(\PageIndex{7}\):

    Tatua: 6n - 2 = -3n + 7.

    Suluhisho

    Tuna 6n upande wa kushoto na -3n upande wa kulia. Tangu 6 > - 3, fanya upande wa kushoto upande wa “kutofautiana”.

    Hatutaki vigezo upande wa kulia-kuongeza 3n kwa pande zote mbili kuondoka constants tu juu ya haki. $6n\ rangi ya maandishi {nyekundu} {+3n} - 2 = -3n\ rangi ya maandishi {nyekundu} {+3n} +7 $$
    Kuchanganya kama maneno. $9n - 2 = $7 $
    Hatutaki constants yoyote upande wa kushoto, hivyo kuongeza 2 kwa pande zote mbili. $9n - 2\ textcolor {nyekundu} {+2} = 7\ textcolor {nyekundu} {+2} $$
    Kurahisisha. $9n = $9 $
    Neno la kutofautiana ni upande wa kushoto na muda wa mara kwa mara ni upande wa kulia. Ili kupata mgawo wa n kuwa moja, kugawanya pande zote mbili na 9. $$\ dfrac {9n} {\ textcolor {nyekundu} {9}} =\ dfrac {9} {\ textcolor {nyekundu} {9}} $$
    Kurahisisha. $$n = $1 $
    Angalia: mbadala 1 kwa n. $$\ kuanza {kupasuliwa} 6n - 2 &= -3n + 7\\ 6 (\ textcolor {nyekundu} {1}) - 2 &\ stackrel {?} {=} + 7\\ 4 &= 4\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{13}\):

    Tatua: 8q - 5 = -4q + 7.

    Jibu

    q = 1

    Zoezi\(\PageIndex{14}\):

    Tatua: 7n - 3 = n + 3.

    Jibu

    n = 1

    Mfano\(\PageIndex{8}\):

    Kutatua: 2a - 7 = 5a + 8.

    Suluhisho

    equation hii ina 2a upande wa kushoto na 5a upande wa kulia. Tangu 5> 2, fanya upande wa kulia upande wa kutofautiana na upande wa kushoto upande wa mara kwa mara.

    Ondoa 2a kutoka pande zote mbili ili kuondoa neno la kutofautiana kutoka upande wa kushoto. $$2a\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-2a} - 7 = 5a\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-2a} + 8 $$
    Kuchanganya kama maneno. $-7 = 3a + 8 $$
    Ondoa 8 kutoka pande zote mbili ili kuondoa mara kwa mara kutoka kwa haki. $-7\ textcolor {nyekundu} {-8} = 3a + 8\ textcolor {nyekundu} {-8} $$
    Kurahisisha. $-15 = 3a $$
    Gawanya pande zote mbili kwa 3 ili kufanya 1 mgawo wa a. $$\ dfrac {-15} {\ textcolor {nyekundu} {3}} =\ dfrac {3a} {\ textcolor {nyekundu} {3}} $$
    Kurahisisha. $-5 = $$
    Angalia: Hebu = -5. $$\ kuanza {kupasuliwa} 2a - 7 &= 5a + 8\\ 2 (\ textcolor {nyekundu} {-5}) - 7 &\ stackrel {?} {=} 5 (\ textcolor {nyekundu} {-5}) + 8\\ -10 - 7 &\ stackrel {?} {=} -25 + 8\\ -17 &= -17\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$

    Kumbuka kwamba tunaweza kuwa alifanya upande wa kushoto upande variable badala ya upande wa kulia, lakini ingekuwa imesababisha mgawo hasi juu ya muda kutofautiana. Wakati tunaweza kufanya kazi na hasi, kuna nafasi ndogo ya kosa wakati wa kufanya kazi na chanya. mkakati ilivyoainishwa hapo juu husaidia kuepuka hasi!

    Zoezi\(\PageIndex{15}\):

    Kutatua: 2a - 2 = 6a + 18.

    Jibu

    a = -5

    Zoezi\(\PageIndex{16}\):

    Tatua: 4k - 1 = 7k + 17.

    Jibu

    k = -6

    Ili kutatua equation na sehemu ndogo, bado tunafuata hatua sawa ili kupata suluhisho.

    Mfano\(\PageIndex{9}\):

    Tatua:\(\dfrac{3}{2}\) x + 5 =\(\dfrac{1}{2}\) x ∙ 3.

    Suluhisho

    Tangu\(\dfrac{3}{2} > \dfrac{1}{2}\), fanya upande wa kushoto upande wa kutofautiana na upande wa kulia upande wa mara kwa mara.

    Ondoa\(\dfrac{1}{2}\) x kutoka pande zote mbili. $$\ dfrac {3} {2} x\ textcolor {nyekundu} {-\ dfrac {1} {2} x} + 5 =\ dfrac {1} {2} x\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {1} {2} x} - $3 $
    Kuchanganya kama maneno. $$x + 5 = -3 $$
    Ondoa 5 kutoka pande zote mbili. $$x + 5\ textcolor {nyekundu} {-5} = -3\ textcolor {nyekundu} {-5} $$
    Kurahisisha. $$x = -8 $$
    Angalia: Hebu x = -8. $$\ kuanza {kupasuliwa}\ dfrac {3} {2} x + 5 &=\ dfrac {1} {2} x - 3\\ dfrac {3} {2} (\ textcolor {nyekundu} {-8}) + 5 &\ stackrel {?} {=}\ dfrac {1} {2} (\ textcolor {nyekundu} {-8}) - 3\\ -12 + 5 &\ stackrel {?} {=} -4 - 3\\ -7 &= -7\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{17}\):

    Tatua:\(\dfrac{7}{8}\) x - 12 =\(- \dfrac{1}{8}\) x ÷ 2.

    Jibu

    x = 10

    Zoezi\(\PageIndex{18}\):

    Tatua:\(\dfrac{7}{6}\) y + 11 =\(\dfrac{1}{6}\) y + 8.

    Jibu

    y = -3

    Sisi kufuata hatua sawa wakati equation ina decimals, pia.

    Mfano\(\PageIndex{10}\):

    Tatua: 3.4x + 4 = 1.6x - 5.

    Suluhisho

    Tangu 3.4> 1.6, fanya upande wa kushoto upande wa kutofautiana na upande wa kulia upande wa mara kwa mara.

    Ondoa 1.6x kutoka pande zote mbili. $3.4x\ textcolor {nyekundu} {-1.6x} + 4 = 1.6x\ textcolor {nyekundu} {-1.6x} - $5 $
    Kuchanganya kama maneno. $$1.8x + 4 = -$5 $
    Ondoa 4 kutoka pande zote mbili. $1.8x + 4\ textcolor {nyekundu} {-4} = -5\ textcolor {nyekundu} {-4} $$
    Kurahisisha. $$1.8x = -9 $$
    Tumia Mali ya Idara ya Usawa. $$\ dfrac {1.8x} {\ textcolor {nyekundu} {1.8}}} =\ dfrac {-9} {\ textcolor {nyekundu} {1.8}} $$
    Kurahisisha. $$x = -$5 $
    Angalia: Hebu x = -5. $$\ kuanza {kupasuliwa} 3.4x + 4 &= 1.6x - 5\\ 3.4 (\ textcolor {nyekundu} {-5}) + 4 &\ stackrel {?} {=} 1.6 (\ textcolor {nyekundu} {-5}) - 5\\ -17 + 4 &\ stackrel {?} {=} -8 - 5\\ -13 &= -13\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$
    Zoezi\(\PageIndex{19}\):

    Tatua: 2.8x + 12 = -1.4x - 9.

    Jibu

    x = -5

    Zoezi\(\PageIndex{20}\):

    Tatua: 3.6y + 8 = 1.2y - 4.

    Jibu

    y = -5

    Wachangiaji na Majina