Skip to main content
Global

8.1: Kutatua Equations Kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa (Sehemu ya 1)

  • Page ID
    173348
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Kutatua equations kwa kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa
    • Tatua milinganyo ambayo inahitaji kuwa rahisi
    • Tafsiri equation na kutatua
    • Tafsiri na kutatua programu
    kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tatua: n - 12 = 16. Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.5.6.
    2. Tafsiri katika algebra 'tano chini ya x. ' Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Mfano 2.4.12.
    3. Je, x = 2 suluhisho la 5x - 3 = 7? Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.5.1.

    Sasa tuko tayari “kupata mambo mazuri.” Una misingi chini na uko tayari kuanza moja ya mada muhimu zaidi katika algebra: kutatua equations. maombi ni limitless na kupanua kwa kazi zote na mashamba. Pia, ujuzi na mbinu unazojifunza hapa zitasaidia kuboresha mawazo yako muhimu na ujuzi wa kutatua matatizo. Hii ni faida kubwa ya kusoma hisabati na itakuwa na manufaa katika maisha yako kwa njia ambazo huwezi kuona hivi sasa.

    Kutatua Equations Kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa

    Tulianza kazi yetu kutatua equations katika sura zilizopita. Imekuwa wakati tangu tumeona equation, hivyo sisi kupitia baadhi ya dhana muhimu kabla ya kwenda yoyote zaidi.

    Tulisema kuwa kutatua equation ni kama kugundua jibu la puzzle. Kusudi la kutatua equation ni kupata thamani au maadili ya kutofautiana ambayo hufanya kila upande wa equation sawa. Thamani yoyote ya kutofautiana ambayo inafanya equation kweli inaitwa ufumbuzi wa equation. Ni jibu la puzzle.

    Ufafanuzi: Suluhisho la Equation

    Suluhisho la equation ni thamani ya kutofautiana ambayo inafanya taarifa ya kweli wakati kubadilishwa katika equation.

    Katika sehemu za awali, tumeorodhesha hatua za kuamua kama thamani ni suluhisho. Tunawapa tena hapa.

    JINSI YA: TAMBUA KAMA NAMBARI NI SULUHISHO LA EQUATION

    Hatua ya 1. Badilisha idadi ya kutofautiana katika equation.

    Hatua ya 2. Kurahisisha maneno pande zote mbili za equation.

    Hatua ya 3. Kuamua kama equation kusababisha ni kweli.

    • Ikiwa ni kweli, idadi ni suluhisho.
    • Ikiwa si kweli, nambari sio suluhisho.
    Mfano\(\PageIndex{1}\):

    Kuamua kama y =\(\dfrac{3}{4}\) ni suluhisho kwa 4y + 3 = 8y.

    Suluhisho

    Mbadala\(\textcolor{red}{\dfrac{3}{4}}\) kwa y. $4\ kushoto (\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {3} {4}}\ haki) + 3\ stackrel {?} {=} 8\ kushoto (\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {3} {4}}\ haki) $$
    Kuzidisha. $3 + 3\ stackrel {?} {=} $6 $
    Ongeza. $6 = 6\;\ checkmark$$

    Kwa kuwa y =\(\dfrac{3}{4}\) matokeo katika equation kweli,\(\dfrac{3}{4}\) ni suluhisho la equation 4y + 3 = 8y.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\):

    Je, y =\(\dfrac{2}{3}\) suluhisho la 9y + 2 = 6y?

    Jibu

    hapana

    Zoezi\(\PageIndex{2}\):

    Je, y =\(\dfrac{2}{5}\) suluhisho kwa 5y - 3 = 10y?

    Jibu

    hapana

    Tulianzisha Mali ya Kuondoa na Kuongeza ya Usawa katika Kutatua Ulinganisho Kutumia Utoaji na Kuongeza Mali ya Usawa. Katika sehemu hiyo, tulielezea jinsi mali hizi zinavyofanya kazi na kisha kuzitumia kutatua equations na idadi nzima. Tulitumia mali hizi tena kila wakati tulipoanzisha mfumo mpya wa namba. Hebu tathmini mali hizo hapa.

    Ufafanuzi: Kuondoa na Kuongeza Mali ya Usawa

    Ondoa Mali ya Usawa

    Kwa namba zote halisi a, b, na c, ikiwa = b, basi - c = b - c.

    Kuongeza Mali ya Usawa

    Kwa namba zote halisi a, b, na c, ikiwa = b, basi a + c = b + c.

    Unapoongeza au kuondoa kiasi sawa kutoka pande zote mbili za equation, bado una usawa.

    Tulianzisha Mali ya Kuondoa ya Usawa mapema kwa kuimarisha usawa na bahasha na counters. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) mifano equation x + 3 = 8.

    Bahasha na counters tatu za njano zinaonyeshwa upande wa kushoto. Kwenye upande wa kulia ni counters nane za njano.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Lengo ni kutenganisha variable upande mmoja wa equation. Hivyo sisi 'alichukua mbali' 3 kutoka pande zote mbili za equation na kupatikana ufumbuzi x = 5.

    Watu wengine huonyesha kiwango cha usawa, kama katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\), wakati wao kutatua equations.

    Mizani tatu za usawa zinaonyeshwa. Kiwango cha juu kina uzito mmoja nyekundu kila upande na ni sawa. Kando ni “1 molekuli kila upande sawa uwiano.” Kiwango cha pili kina uzito mbili kwa kila upande na ni sawa. Kando ni “2 raia kila upande sawa uwiano.” Kiwango cha chini kina uzito mmoja upande wa kushoto na mbili upande wa kulia. Upande wa kulia ni wa chini kuliko kushoto. Kando ya picha ni “1 molekuli upande mmoja na 2 raia kwa upande mwingine sawa unbalanced.”

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Kiasi cha pande zote mbili za ishara sawa katika equation ni sawa, au uwiano. Kama vile kwa kiwango usawa, chochote kufanya kwa upande mmoja wa equation lazima pia kufanya kwa wengine ili kuitunza uwiano.

    Hebu tuchunguze jinsi ya kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa ili kutatua equations. Tunahitaji kutenganisha kutofautiana upande mmoja wa equation. Na sisi kuangalia ufumbuzi wetu kwa kubadilisha thamani katika equation kuhakikisha tuna taarifa ya kweli.

    Mfano\(\PageIndex{2}\):

    Tatua: x + 11 = -3.

    Suluhisho

    Ili kutenganisha x, tunaondoa uongeze wa 11 kwa kutumia Mali ya Kuondoa ya Usawa.

    Ondoa 11 kutoka kila upande ili “tengeneze” kuongeza. $$x + 11\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-11} = -3\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-11} $$
    Kurahisisha. $$x = -14 $$

    Angalia:

    Mbadala x = -14. $$\ textcolor {nyekundu} {-14} + 11\ stackrel {?} {=} -$3 $
      $-3 = -3\;\ checkmark $$

    Kwa kuwa x = -14 hufanya x + 11 = 1-3 kauli ya kweli, tunajua kwamba ni suluhisho la equation.

    Zoezi\(\PageIndex{3}\):

    Tatua: x + 9 = -7.

    Jibu

    x = -16

    Zoezi\(\PageIndex{4}\):

    Tatua: x + 16 = -4.

    Jibu

    x = -20

    Katika equation awali katika mfano uliopita, 11 iliongezwa kwa x, hivyo sisi subtracted 11 kwa 'kuondoa' Aidha. Katika mfano unaofuata, tutahitaji 'kufuta' kwa kutumia Mali ya Kuongeza ya Usawa.

    Mfano\(\PageIndex{3}\):

    Tatua: m + 4 = -5.

    Suluhisho

    Ongeza 4 kwa kila upande ili “uondoe” uondoaji. $$m + 4\ textcolor {nyekundu} {-4} = -5\ textcolor {nyekundu} {-4} $$
    Kurahisisha. $$m = -9 $$

    Angalia:

    Mbadala m = -9. $$\ textcolor {nyekundu} {-9} + 4\ stackrel {?} {=} -$5
      $-5 = -5\;\ checkmark $$

    Suluhisho la m + 4 = -5 ni m = -9.

    Zoezi\(\PageIndex{5}\):

    Tatua: n - 6 = -7.

    Jibu

    n = -1

    Zoezi\(\PageIndex{6}\):

    Tatua: x - 5 = -9.

    Jibu

    x = -4

    Sasa hebu tathmini ya kutatua equations na sehemu ndogo.

    Mfano\(\PageIndex{4}\):

    Tatua: n -\(\dfrac{3}{8}\) =\(\dfrac{1}{2}\).

    Suluhisho

    Tumia Mali ya Kuongeza ya Usawa. $$n -\ dfrac {3} {8}\ textcolor {nyekundu} {+\ dfrac {3} {8}} =\ dfrac {1} {2}\ textcolor {nyekundu} {+\ dfrac {3} {8}} $$
    Pata LCD ili kuongeza sehemu ndogo upande wa kulia. $$n -\ dfrac {3} {8} +\ dfrac {3} {8} =\ dfrac {4} {8} +\ dfrac {3} {8} $$
    Kurahisisha. $$n =\ dfrac {7} {8} $$

    Angalia:

    Mbadala n =\(\textcolor{red}{\dfrac{7}{8}}\). $$\ textcolor {nyekundu} {\ dfrac {7} {8}} -\ dfrac {3} {8}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {1} {2} $$
    Ondoa. $$\ dfrac {4} {8}\ stackrel {?} {=}\ dfrac {1} {2} $$
    Kurahisisha. $$\ dfrac {1} {2} =\ dfrac {1} {2}\;\ checkmark$$

    Ufumbuzi hundi.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\):

    Tatua: p -\(\dfrac{1}{3}\) =\(\dfrac{5}{6}\).

    Jibu

    \(p = \frac{7}{6}\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\):

    Tatua: q -\(\dfrac{1}{2}\) =\(\dfrac{1}{6}\).

    Jibu

    \( q = \frac{2}{3}\)

    Katika Kutatua Equations na Decimals, sisi kutatuliwa milinganyo ambayo ilikuwa na decimals. Tutaweza kupitia hii ijayo.

    Mfano\(\PageIndex{5}\):

    Tatua - 3.7 = 4.3.

    Suluhisho

    Tumia Mali ya Kuongeza ya Usawa. $$a - 3.7\ rangi ya maandishi {nyekundu} {+3.7} = 4.3\ rangi ya maandishi {nyekundu} {+3.7} $$
    Ongeza. $$a = 8 $$

    Angalia:

    Badilisha a = 8. $$\ textcolor {nyekundu} {8} - 3.7\ stackrel {?} {=} 4.3 $$
    Kurahisisha. $4.3 = 4.3\;\ checkmark$$

    Ufumbuzi hundi.

    Zoezi\(\PageIndex{9}\):

    Tatua: b - 2.8 = 3.6.

    Jibu

    b = 6.4

    Zoezi\(\PageIndex{10}\):

    Tatua: c - 6.9 = 7.1.

    Jibu

    c = 14

    Kutatua equations kwamba haja ya kuwa Kilichorahisishwa

    Katika mifano hadi hatua hii, tumekuwa na uwezo wa kujitenga variable na operesheni moja tu. Mipangilio mingi tunayokutana katika algebra itachukua hatua zaidi za kutatua. Kawaida, tutahitaji kurahisisha moja au pande zote mbili za equation kabla ya kutumia Ondoa au Kuongeza Mali ya Usawa. Unapaswa daima kurahisisha iwezekanavyo kabla ya kujaribu kutenganisha kutofautiana.

    Mfano\(\PageIndex{6}\):

    Tatua: 3x - 7 - 2x - 4 = 1.

    Suluhisho

    Upande wa kushoto wa equation una usemi kwamba tunapaswa kurahisisha kabla ya kujaribu kutenganisha kutofautiana.

    Panga upya masharti, kwa kutumia Mali ya Kubadilisha ya Kuongezea. $3x - 2x - 7 - 4 = $1 $
    Kuchanganya kama maneno. $x - 11 = $1 $
    Ongeza 11 kwa pande zote mbili ili kutenganisha x. $$x - 11\ textcolor {nyekundu} {+11} = 1\ textcolor {nyekundu} {+11} $$
    Kurahisisha. $$x = 12$$
    Angalia. Mbadala x = 12 katika equation ya awali. $$\ kuanza {kupasuliwa} 3x - 2x - 7 - 4 &= 1\\ 3 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {12}) - 7 - 2 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {12}) - 4 &= 1\\ 36 - 7 - 24 - 4 &= 1\\ 29 - 24 - 4 &= 1\\ 5 - 4 &= 1\\ 1 &= 1\\;\\ mwisho {split} $$

    Ufumbuzi hundi.

    Zoezi\(\PageIndex{11}\):

    Tatua: 8y - 4 - 7y - 7 = 4.

    Jibu

    y = 15

    Zoezi\(\PageIndex{12}\):

    Tatua: 6z + 5 - 5z - 4 = 3.

    Jibu

    z = 2

    Mfano\(\PageIndex{7}\):

    Tatua: 3 (n - 4) - 2n = 1-3.

    Suluhisho

    Upande wa kushoto wa equation una usemi kwamba tunapaswa kurahisisha.

    Kusambaza upande wa kushoto. $3n - 12 - 2n = -3 $$
    Tumia Mali ya Komutative ili upange upya masharti. $3n - 2n - 12 = -3 $$
    Kuchanganya kama maneno. $$n - 12 = -3 $$
    Kutenga n kutumia Aidha Mali ya Usawa. $$n - 12\ textcolor {nyekundu} {+12} = -3\ textcolor {nyekundu} {+12} $$
    Kurahisisha. $$n = $9 $
    Angalia. Mbadala n = 9 katika equation ya awali. $$\ kuanza {kupasuliwa} 3 (n-4) - 2n &= -3\\ 3 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {9} - 4) - 2\ cdot\ textcolor {nyekundu} {9} &= -3\\ 3 (5) - 18 &= -3\\ 15 - 18 &= -3\ -3 & = -3\;\ alama\ mwisho {mgawanyiko} $$

    Ufumbuzi hundi.

    Zoezi\(\PageIndex{13}\):

    Tatua: 5 (p - 3) - 4p = -10.

    Jibu

    p = 5

    Zoezi\(\PageIndex{14}\):

    Tatua: 4 (q + 2) - 3q = -8.

    Jibu

    q = -16

    Mfano\(\PageIndex{8}\):

    Tatua: 2 (3k - 1) - 5k = -2 - 7.

    Suluhisho

    Pande zote mbili za equation zina maneno ambayo tunapaswa kurahisisha kabla ya kutenganisha kutofautiana.

    Kusambaza upande wa kushoto, toa upande wa kulia. $6k - 2 - 5k = -$9 $
    Matumizi Comutative Mali ya Aidha. $6k - 5k - 2 = -$9 $
    Kuchanganya kama maneno. $$k - 2 = -9$$
    Tengeneza uondoaji kwa kutumia Mali ya Kuongeza ya Usawa. $$k - 2\ textcolor {nyekundu} {+2} = -9\ textcolor {nyekundu} {+2} $$
    Kurahisisha. $$k = -$7 $
    Angalia. Hebu k = -7. \ [kuanza {kupasuliwa} 2 (3k - 1) - 5k &= -2 - 7\\ 2 [3 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-7}) -1] - 5 (\ rangi ya maandishi {nyekundu} {-7}) &= -2 - 7\\ 2 (-21 - 1) - 5 (-7) &= -9\\ 2 (-22) + 35 &= -9\\ -9 &= -9\;\ checkmark\ mwisho {mgawanyiko} $$

    Ufumbuzi hundi.

    Zoezi\(\PageIndex{15}\):

    Tatua: 4 (2h - 3) - 7h = -6 - 7.

    Jibu

    h = -1

    Zoezi\(\PageIndex{16}\):

    Tatua: 2 (5x + 2) - 9x = -2 + 7.

    Jibu

    x = 1

    Wachangiaji na Majina