Skip to main content
Global

2.5: Kutatua Equations Kutumia Ondoa na Kuongeza Mali ya Usawa (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    173402

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza
    • Kuamua kama idadi ni suluhisho la equation
    • Mfano wa Mali ya Kutoa ya Usawa
    • Kutatua equations kwa kutumia Ondoa Mali ya Usawa
    • Tatua equations kwa kutumia Mali ya Kuongeza ya Usawa
    • Tafsiri misemo ya neno kwa milinganyo ya algebraic
    • Tafsiri kwa equation na kutatua
    Kuwa tayari!

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tathmini\(x + 8\) lini\(x = 11\). Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 2.. 2.1.
    2. Tathmini\(5x − 3\) lini\(x = 9\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.2.2.
    3. Tafsiri katika algebra: tofauti ya\(x\) na\(8\). Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 2.2.11.

    Watu wengine wanaposikia neno algebra, wanafikiri kutatua equations. Matumizi ya kutatua equations ni limitless na kupanua kwa kazi zote na mashamba. Katika sehemu hii, tutaanza kutatua equations. Tutaanza kwa kutatua equations ya msingi, na kisha tunapoendelea kupitia kozi tutajenga ujuzi wetu kufunika aina nyingi za equations.

    Tambua Iwapo Idadi ni Suluhisho la Ulinganisho

    Kutatua equation ni kama kugundua jibu kwa puzzle. Equation algebraic inasema kwamba maneno mawili algebraic ni sawa. Kutatua equation ni kuamua maadili ya kutofautiana kwamba kufanya equation taarifa ya kweli. Nambari yoyote ambayo inafanya equation kweli inaitwa suluhisho la equation. Ni jibu la puzzle!

    Ufafanuzi: Suluhisho la Equation

    Suluhisho la equation ni thamani ya kutofautiana ambayo inafanya taarifa ya kweli wakati kubadilishwa katika equation. Mchakato wa kutafuta suluhisho la equation inaitwa kutatua equation.

    Ili kupata suluhisho la equation ina maana ya kupata thamani ya kutofautiana ambayo inafanya equation kweli. Je, unaweza kutambua ufumbuzi wa\(x + 2 = 7\)? Kama alisema\(5\), wewe ni haki! Tunasema\(5\) ni suluhisho la equation\(x + 2 = 7\) kwa sababu wakati sisi mbadala\(5\)\(x\) kwa taarifa kusababisha ni kweli.

    \[\begin{split} x + 2 & = 7 \\ 5 + 2 & \stackrel{?}{=} 7 \\ 7 & = 7 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]

    Kwa kuwa\(5 + 2 = 7\) ni kauli ya kweli, tunajua kwamba\(5\) ni kweli ufumbuzi wa equation. Ishara\(\stackrel{?}{=}\) inauliza kama upande wa kushoto wa equation ni sawa na upande wa kulia. Mara tu tunajua, tunaweza kubadilisha kwa ishara sawa (\(=\)) au ishara isiyo sawa (\(≠\)).

    JINSI YA: TAMBUA KAMA NAMBARI NI SULUHISHO LA EQUATION

    Hatua ya 1. Badilisha idadi ya kutofautiana katika equation.

    Hatua ya 2. Kurahisisha maneno pande zote mbili za equation.

    Hatua ya 3. Kuamua kama equation kusababisha ni kweli.

    • Ikiwa ni kweli, idadi ni suluhisho.
    • Ikiwa si kweli, idadi sio suluhisho.
    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kuamua kama\(x = 5\) ni suluhisho la\(6x − 17 = 16\).

    Suluhisho

      \(6x − 17 = 16\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{5}\) kwa ajili ya x. \(6 \cdot \textcolor{red}{5} - 17 \stackrel{?}{=} 16\)
    Kuzidisha. \(30 - 17 \stackrel{?}{=} 16\)
    Ondoa \(13 \neq 16\)

    Hivyo\(x = 5\) si ufumbuzi wa equation\(6x − 17 = 16\).

    zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Je\(x = 3\) ufumbuzi wa\(4x − 7 = 16\)?

    Jibu

    hapana

    zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Je\(x = 2\) ufumbuzi wa\(6x − 2 = 10\)?

    Jibu

    ndiyo

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kuamua kama\(y = 2\) ni suluhisho la\(6y − 4 = 5y − 2\).

    Suluhisho

    Hapa, variable inaonekana pande zote mbili za equation. Ni lazima mbadala\(2\) kwa kila\(y\).

      \(6y − 4 = 5y − 2\)
    Mbadala\(\textcolor{red}{2}\) kwa y. \(6(\textcolor{red}{2}) - 4 \stackrel{?}{=} 5(\textcolor{red}{2}) - 2\)
    Kuzidisha. \(12 - 4 \stackrel{?}{=} 10 - 2\)
    Ondoa \(8 = 8 \; \checkmark\)

    Kwa kuwa\(y = 2\) matokeo katika equation kweli, tunajua kwamba\(2\) ni ufumbuzi wa equation\(6y − 4 = 5y − 2\).

    zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Je\(y = 3\) ufumbuzi wa\(9y − 2 = 8y + 1\)?

    Jibu

    ndiyo

    zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Je\(y = 4\) ufumbuzi wa\(5y − 3 = 3y + 5\)?

    Jibu

    ndiyo

    Mfano wa Mali ya Kutoa ya Usawa

    Tutatumia mfano kukusaidia kuelewa jinsi mchakato wa kutatua equation ni kama kutatua puzzle. Bahasha inawakilisha tofauti — kwani yaliyomo yake haijulikani — na kila counter inawakilisha moja.

    Tuseme dawati ina mstari wa kufikiri kuigawanya kwa nusu. Sisi kuweka counters tatu na bahasha upande wa kushoto wa dawati, na counters nane upande wa kulia wa dawati kama katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Pande zote mbili za dawati zina idadi sawa ya counters, lakini baadhi ya counters ni siri katika bahasha. Je, unaweza kuwaambia ngapi counters ni katika bahasha?

    Picha imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto ni bahasha yenye counters tatu chini yake. Kwenye upande wa kulia ni counters 8.

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Ni hatua gani unazozingatia akili yako ili kujua ni ngapi counters ziko katika bahasha? Labda unafikiri “Ninahitaji kuondoa\(3\) counters kutoka upande wa kushoto ili kupata bahasha yenyewe. Wale\(3\) counters juu ya mechi ya kushoto na\(3\) upande wa kulia, hivyo naweza kuwaondoa pande zote mbili. Hiyo inacha counters tano upande wa kulia, kwa hiyo kuna lazima iwe na\(5\) counters katika bahasha.” Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha mchakato huu.

    Picha iko katika sehemu mbili. Kwenye kushoto ni mstatili umegawanyika kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto wa mstatili ni bahasha yenye counters tatu chini yake. Hesabu 3 zinazunguka kwa nyekundu na mshale unaoonyesha nje ya mstatili. Kwenye upande wa kulia ni counters 8. Vipande vya chini vya 3 vinazunguka kwa nyekundu na mshale unaoonyesha nje ya mstatili. Vipande 3 vilivyozunguka vimeondolewa kutoka pande zote mbili za mstatili, na kuunda mstatili mpya upande wa kulia wa picha, ambayo pia imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto wa mstatili ni bahasha tu. Kwenye upande wa kulia ni counters 5.

    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Nini equation algebraic inatokana na hali hii? Kila upande wa dawati inawakilisha kujieleza na mstari wa kituo unachukua nafasi ya ishara sawa. Tutaita yaliyomo ya bahasha\(x\), hivyo idadi ya counters upande wa kushoto wa dawati ni\(x + 3\). Kwenye upande wa kulia wa dawati ni\(8\) counters. Tunaambiwa kwamba\(x + 3\) ni sawa na\(8\) hivyo equation yetu ni\(x + 3 = 8\).

    Picha imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto ni bahasha yenye counters tatu chini yake. Kwenye upande wa kulia ni counters 8.

    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    \(x + 3 = 8\)

    Hebu tuandike algebraically hatua tulizochukua ili kugundua wangapi counters walikuwa katika bahasha.

      \(x + 3 = 8\)
    Kwanza, tuliondoa tatu kutoka kila upande. \(x + 3 \textcolor{red}{-3} = 8 \textcolor{red}{-3}\)
    Kisha tuliachwa na tano. \(x = 5\)

    Sasa hebu tuangalie suluhisho letu. Sisi badala\(5\) ya\(x\) katika equation awali na kuona kama sisi kupata taarifa ya kweli.

    \[\begin{split} x + 3 & = 8 \\ \textcolor{red}{5} + 3 & \stackrel{?}{=} 8 \\ 8 & = 8 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]

    Suluhisho letu ni sahihi. Tano counters katika bahasha pamoja na tatu zaidi sawa na nane

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Andika equation inatokana na bahasha na counters, na kisha kutatua equation:

    Picha imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto ni bahasha yenye counters 4 chini yake. Kwenye upande wa kulia ni counters 5.

    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Suluhisho

    Kwenye kushoto, weka x kwa yaliyomo ya bahasha, ongeza counters 4, kwa hiyo tuna x + 4. x 4
    Kwa upande wa kulia, kuna counters 5. 5
    Pande mbili ni sawa. x + 4 = 5
    Tatua equation kwa kuondoa counters 4 kutoka kila upande.  

    Picha iko katika sehemu mbili. Kwenye kushoto ni mstatili umegawanyika kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto wa mstatili ni bahasha yenye counters 4 chini yake. Hesabu 4 zinazunguka kwa nyekundu na mshale unaoonyesha nje ya mstatili. Kwenye upande wa kulia ni counters 5. Vipande 4 vya chini vinazunguka kwa nyekundu na mshale unaoonyesha nje ya mstatili. Vipande 4 vilivyozunguka vimeondolewa kutoka pande zote mbili za mstatili, na kuunda mstatili mpya upande wa kulia wa picha, ambayo pia imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto wa mstatili ni bahasha tu. Kwenye upande wa kulia ni counter 1.

    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)

    Tunaweza kuona kwamba kuna counter moja katika bahasha. Hii inaweza kuonyeshwa algebraically kama:

    \[\begin{split} x + 4 & = 5 \\ x + 4 \textcolor{red}{-4} & = 5 \textcolor{red}{-4} \\ x & = 1 \end{split} \nonumber \]

    Mbadala\(1\) kwa ajili ya\(x\) katika equation kuangalia.

    \[\begin{split} x + 4 & = 5 \\ \textcolor{red}{1} + 4 & \stackrel{?}{=} 5 \\ 5 & = 5 \; \checkmark \end{split} \nonumber \]

    Tangu\(x = 1\) hufanya kauli kweli, tunajua kwamba\(1\) ni kweli ufumbuzi.

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Andika equation inayotokana na bahasha na counters, na kisha kutatua equation:

    Picha imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto ni bahasha yenye counter moja chini yake. Kwenye upande wa kulia ni counters 7.

    Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

    Jibu

    \(x + 1 = 7; x = 6\)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Andika equation inayotokana na bahasha na counters, na kisha kutatua equation:

    Picha imegawanywa kwa nusu vertically. Kwenye upande wa kushoto ni bahasha yenye counters tatu chini yake. Kwenye upande wa kulia ni counters 4.

    Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

    Jibu

    \(x + 3 = 4; x = 1\)

    Kutatua Equations Kutumia Ondoa Mali ya Usawa

    Puzzle yetu imetupa wazo la nini tunahitaji kufanya ili kutatua equation. Lengo ni kutenganisha variable yenyewe upande mmoja wa equations. Katika mifano ya awali, tulitumia Mali ya Kuondoa ya Usawa, ambayo inasema kwamba tunapoondoa kiasi sawa kutoka pande zote mbili za usawa, bado tuna usawa.

    Ufafanuzi: Ondoa Mali ya Usawa

    Kwa idadi yoyote\(a\),\(b\), na\(c\), kama\(a = b\) basi\(a − c = b − c\)

    Fikiria kuhusu ndugu pacha Andy na Bobby. Wao ni umri wa\(17\) miaka. Andy alikuwa umri gani\(3\) miaka iliyopita? Alikuwa chini ya\(3\) miaka\(17\), hivyo umri wake ulikuwa\(17 − 3\), au\(14\). Vipi kuhusu umri wa\(3\) miaka Bobby iliyopita? Bila shaka, alikuwa\(14\) pia. Miaka yao ni sawa sasa, na kutoa kiasi sawa kutoka kwa wote wawili ilisababisha umri sawa\(3\) miaka iliyopita.

    \[\begin{split} a & = b \\ a - 3 & = b - 3 \end{split} \nonumber \]

    JINSI YA: KUTATUA EQUATION KWA KUTUMIA MALI YA KUONDOA YA USAWA

    Hatua ya 1. Tumia Mali ya Kuondoa ya Usawa ili kutenganisha kutofautiana.

    Hatua ya 2. Kurahisisha maneno pande zote mbili za equation.

    Hatua ya 3. Angalia suluhisho.

    Mfano\(\PageIndex{4}\): solve

    Kutatua:\(x + 8 = 17\).

    Suluhisho

    Tutatumia Mali ya Kutoa ya Usawa ili kutenganisha\(x\).

      \(x + 8 = 17\)
    Ondoa 8 kutoka pande zote mbili. \(x + 8 \textcolor{red}{-8} = 17 \textcolor{red}{-8}\)
    Kurahisisha. \(x = 9\)
    Angalia suluhisho. \(\textcolor{red}{9} + 8 = 17\)
      \(17 = 17 \; \checkmark\)

    Tangu\(x = 9\) inafanya taarifa\(x + 8 = 17\) ya kweli, tunajua\(9\) ni ufumbuzi wa equation.

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua:\(x + 6 = 19\)

    Jibu

    \(x=13\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:\(x + 9 = 14\)

    Jibu

    \(x=5\)

    Mfano\(\PageIndex{5}\): solve

    Kutatua:\(100 = y + 74\).

    Suluhisho

    Ili kutatua equation, ni lazima daima kujitenga variable-haijalishi ambayo upande ni juu. Ili kutenganisha y, tutaondoa\(74\) kutoka pande zote mbili.

      \(100 = y + 74\)
    Ondoa 74 kutoka pande zote mbili. \(100 \textcolor{red}{-74} = y + 74 \textcolor{red}{-74}\)
    Kurahisisha. \(26 = y\)
    Mbadala 26 kwa y kuangalia \(100 \stackrel{?}{=} \textcolor{red}{26} + 74\)
      \(100 = 100 \; \checkmark\)

    Tangu\(y = 26\) inafanya taarifa\(100 = y + 74\) ya kweli, tumegundua ufumbuzi wa equation hii.

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(95 = y + 67\)

    Jibu

    \(y=28\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(91 = y + 45\)

    Jibu

    \(y=46\)

    Kutatua Equations Kutumia Mali ya Kuongeza ya Usawa

    Katika milinganyo yote tuna kutatuliwa hadi sasa, idadi iliongezwa kwa kutofautiana upande mmoja wa equation. Tulitumia kuondoa “kurekebisha” kuongeza ili kutenganisha kutofautiana.

    Lakini tuseme tuna equation na idadi subtracted kutoka variable, kama vile\(x − 5 = 8\). Tunataka kutenganisha kutofautiana, ili “kurekebisha” uondoaji tutaongeza namba kwa pande zote mbili.

    Tunatumia Mali ya Kuongeza ya Usawa, ambayo inasema tunaweza kuongeza namba sawa kwa pande zote mbili za equation bila kubadilisha usawa. Angalia jinsi inavyoonyesha Mali ya Kutoa ya Usawa.

    Ufafanuzi: Kuongeza Mali ya Usawa

    Kwa idadi yoyote\(a\),\(b\), na\(c\), kama\(a = b\) basi\(a + c = b + c\)

    Kumbuka mapacha\(17\) mwenye umri wa miaka, Andy na Bobby? Katika miaka kumi, umri wa Andy bado utakuwa sawa na umri wa Bobby. Wote wawili watakuwa\(27\).

    \[\begin{split} a & = b \\ a + 10 & = b + 10 \end{split} \nonumber \]

    Tunaweza kuongeza idadi sawa kwa pande zote mbili na bado kuweka usawa.

    JINSI YA: KUTATUA EQUATION KWA KUTUMIA MALI YA KUONGEZA YA USAWA

    Hatua ya 1. Tumia Mali ya Kuongeza ya Usawa ili kutenganisha kutofautiana.

    Hatua ya 2. Kurahisisha maneno pande zote mbili za equation.

    Hatua ya 3. Angalia suluhisho.

    Mfano\(\PageIndex{6}\): solve

    Kutatua:\(x − 5 = 8\).

    Suluhisho

    Tutatumia Mali ya Kuongeza ya Usawa ili kutenganisha kutofautiana.

      \(x − 5 = 8\)
    Ongeza 5 kwa pande zote mbili. \(x − 5 \textcolor{red}{+5} = 8 \textcolor{red}{+5}\)
    Rahisisha \(x = 13\)
    Sasa tunaweza kuangalia. Hebu x =\(\textcolor{red}{13}\). \(\textcolor{red}{13} - 5 \stackrel{?}{=} 8\)
      \(8 = 8 \; \checkmark\)
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(x − 9 = 13\)

    Jibu

    \(x=22\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(y − 1 = 3\)

    Jibu

    \(y=4\)

    Mfano\(\PageIndex{7}\): solve

    Kutatua:\(27 = a − 16\).

    Suluhisho

    Tutaongeza kila upande\(16\) ili kutenganisha kutofautiana.

      \(27 = a − 16\)
    Ongeza 16 kwa kila upande. \(27 \textcolor{red}{+16} = a − 16 \textcolor{red}{+16}\)
    Kurahisisha. \(43 = a\)
    Sasa tunaweza kuangalia. Hebu =\(\textcolor{red}{43}\). \(27 \stackrel{?}{=} \textcolor{red}{43} - 16\)
      \(27 = 27 \; \checkmark\)

    Suluhisho\(27 = a − 16\) ni\(a = 43\).

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:\(19 = a − 18\)

    Jibu

    \(a=37\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:\(27 = n − 14\)

    Jibu

    \(n=41\)