Skip to main content
Global

5.1: Tatua Mifumo ya Equations kwa Graphing

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    177395

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo wa equations
    • Tatua mfumo wa equations linear kwa graphing
    • Kuamua idadi ya ufumbuzi wa mfumo wa mstari
    • Tatua matumizi ya mifumo ya equations kwa kuchora
    Kumbuka

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kwa equation\(y=\frac{2}{3}x−4\)
      ⓐ ni (6,0) ufumbuzi? ⓑ ni (-3, -2) suluhisho?
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 2.1.1.
    2. Pata mteremko na y-intercept ya mstari 3x-y=12.
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 4.5.7.
    3. Pata x- na y-intercepts ya mstari 2x-3y=12.
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini Zoezi 4.3.7.

    Kuamua Kama Jozi Amri ni Suluhisho la Mfumo wa Equations

    Katika sehemu ya Kutatua Equations Linear na Usawa tulijifunza jinsi ya kutatua equations linear na variable moja. Kumbuka kwamba ufumbuzi wa equation ni thamani ya kutofautiana ambayo inafanya taarifa ya kweli wakati kubadilishwa katika equation. Sasa tutafanya kazi na mifumo ya equations linear, equations mbili au zaidi linear makundi pamoja.

    Ufafanuzi: SYSTEM YA equations LINEAR

    Wakati equations mbili au zaidi linear ni makundi pamoja, wao huunda mfumo wa equations linear.

    Tutazingatia kazi yetu hapa kwenye mifumo ya equations mbili za mstari katika haijulikani mbili. Baadaye, unaweza kutatua mifumo kubwa ya equations.

    Mfano wa mfumo wa equations mbili za mstari unaonyeshwa hapa chini. Sisi kutumia brace kuonyesha equations mbili ni makundi pamoja ili kuunda mfumo wa equations.

    \[\begin{cases}{2 x+y=7} \\ {x-2 y=6}\end{cases}\]

    Equation ya mstari katika vigezo viwili, kama 2 x + y = 7, ina idadi isiyo na mwisho ya ufumbuzi. Grafu yake ni mstari. Kumbuka, kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation na kila ufumbuzi wa equation ni hatua kwenye mstari.

    Ili kutatua mfumo wa equations mbili za mstari, tunataka kupata maadili ya vigezo ambavyo ni ufumbuzi wa equations zote mbili. Kwa maneno mengine, tunatafuta jozi zilizoamriwa (x, y) ambazo zinafanya equations zote mbili kuwa kweli. Hizi huitwa ufumbuzi wa mfumo wa equations.

    Ufafanuzi: Solutions ya mfumo wa equations

    Ufumbuzi wa mfumo wa equations ni maadili ya vigezo vinavyofanya equations zote kuwa kweli. Suluhisho la mfumo wa equations mbili za mstari unawakilishwa na jozi iliyoamriwa (x, y).

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo wa milinganyo miwili, tunabadilisha maadili ya vigezo katika kila equation. Ikiwa jozi iliyoamriwa inafanya equations zote mbili kweli, ni suluhisho la mfumo.

    Hebu fikiria mfumo hapa chini:

    \[\begin{cases}{3x−y=7} \\ {x−2y=4}\end{cases}\]

    Je, jozi iliyoamriwa (2, -1) ni suluhisho?

    Takwimu hii inaanza na sentensi, “Sisi badala x =2 na y = -1 katika equations zote mbili.” equation kwanza inaonyesha kwamba 3x minus y sawa 7. Kisha mara 3 2 chini ya hasi, katika mabano, sawa na 7. Kisha 7 ni sawa na 7 ni kweli. equation pili inasoma x minus 2y sawa 4. Kisha 2 minus mara 2 hasi moja katika mabano sawa 4. Kisha 4 = 4 ni kweli.

    Jozi iliyoamriwa (2, -1) ilifanya equations zote mbili kuwa kweli. Kwa hiyo (2, -1) ni suluhisho la mfumo huu.

    Hebu jaribu jozi nyingine iliyoamriwa. Je, jozi iliyoamriwa (3, 2) ni suluhisho?

    Takwimu hii huanza na sentensi, “Sisi badala x sawa 3 na y sawa 2 katika equations wote.” equation kwanza inasoma 3 mara x minus 7equals 7. Kisha, mara 3 3 minus 2 sawa na 7. Kisha 7 = 7 ni kweli. equation pili inasoma x minus 2y sawa 4. Mara n 2 minus 2 mara 2 = 4. Kisha hasi 2 = 4 ni uongo.

    Jozi iliyoamriwa (3, 2) ilifanya equation moja kweli, lakini ilifanya equation nyingine ya uongo. Kwa kuwa sio suluhisho la equations zote mbili, sio suluhisho la mfumo huu.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo:\(\begin{cases}{x−y=−1} \\ {2x−y=−5}\end{cases}\)

    1. (-1, -1)
    2. (-4, -3)
    Jibu

    1.
    Takwimu hii inaonyesha milinganyo miwili ya mabano. Ya kwanza ni x minus y = hasi 1. Ya pili ni mara 2 x minus y sawa na hasi 5. Sentensi, “Sisi badala x = hasi 2 na y = 1 katika equations zote mbili,” ifuatavyo. Equation ya kwanza inaonyesha badala na inaonyesha kuwa hasi 1 = hasi 1. Equation ya pili inaonyesha badala na inaonyesha kwamba 5 si sawa -5. Chini ya equation ya kwanza ni sentensi, “(hasi 2, hasi 1) haifanyi equations zote mbili kuwa kweli.” Chini ya equation ya pili ni sentensi, “(hasi 2, hasi 1) si suluhisho.”
    (ї2, -1) haitoi equations zote mbili kuwa kweli. (ї2, -1) si suluhisho.

    2.
    Takwimu hii inaanza na sentensi, “Sisi badala x = -4 na y = -3 katika equations zote mbili.” Equation ya kwanza iliyoorodheshwa inaonyesha x — y = -1. Kisha -4 - (-3) = -1. Kisha -1 = -1. Equation ya pili iliyoorodheshwa inaonyesha 2x - y = -5. Kisha mara 2 (-4) — (-3) = -5. Kisha -5 = -5. Chini ya equation ya kwanza ni sentensi, “(-4, -3) inafanya equations zote mbili kuwa kweli.” Chini ya equation ya pili ni sentensi, “(-4, -3) ni suluhisho.”
    (-4, -3) haifanyi equations zote mbili kuwa kweli. (-4, 1-3) ni suluhisho.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo:\(\begin{cases}{3x+y=0} \\ {x+2y=−5}\end{cases}\)

    1. (1, 1-3)
    2. (0,0)
    Jibu
    1. ndiyo
    2. hapana
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kuamua kama jozi iliyoamriwa ni suluhisho la mfumo:\(\begin{cases}{x−3y=−8} \\ {−3x−y=4}\end{cases}\)

    1. (2,-2)
    2. (-2,2)
    Jibu
    1. hapana
    2. ndiyo

    Tatua Mfumo wa Ulinganisho wa Mstari kwa Graphing

    Katika sura hii tutatumia mbinu tatu za kutatua mfumo wa equations linear. Njia ya kwanza tutatumia ni kuchora. Grafu ya equation ya mstari ni mstari. Kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation. Kwa mfumo wa equations mbili, tutaweka mistari miwili. Basi tunaweza kuona pointi zote kwamba ni ufumbuzi wa equation kila. Na, kwa kutafuta nini mistari inafanana, tutapata suluhisho la mfumo.

    Wengi equations linear katika variable moja na suluhisho moja, lakini tuliona kwamba baadhi equations, aitwaye utata, hawana ufumbuzi na kwa equations nyingine, aitwaye utambulisho, namba zote ni ufumbuzi. Vile vile, wakati sisi kutatua mfumo wa equations mbili linear kuwakilishwa na grafu ya mistari miwili katika ndege moja, kuna kesi tatu iwezekanavyo, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\):

    Takwimu hii inaonyesha ndege tatu x y-kuratibu. Ndege ya kwanza inaonyesha mistari miwili inayoingiliana wakati mmoja. Chini ya grafu inasema, “Mstari unaingiliana. Mstari wa kuingilia kati una hatua moja kwa pamoja. Kuna suluhisho moja kwa mfumo huu.” Ndege ya pili ya kuratibu x y inaonyesha mistari miwili inayofanana. Chini ya grafu inasema, “Mstari ni sawa. Mstari wa sambamba hauna pointi sawa. Hakuna ufumbuzi wa mfumo huu.” Ndege ya tatu ya kuratibu x y inaonyesha mstari mmoja. Chini ya grafu inasema, “Equations zote mbili hutoa mstari huo. Kwa sababu tuna mstari mmoja tu, kuna ufumbuzi mkubwa sana.”
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Kwa mfano wa kwanza wa kutatua mfumo wa equations linear katika sehemu hii na katika sehemu mbili zifuatazo, sisi kutatua mfumo huo wa equations mbili linear. Lakini tutatumia njia tofauti katika kila sehemu. Baada ya kuona njia ya tatu, utaamua njia ipi ilikuwa njia rahisi zaidi ya kutatua mfumo huu.

    Zoezi\(\PageIndex{4}\): How to Solve a System of Linear Equations by Graphing

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{2x+y=7} \\ {x−2y=6}\end{cases}\)

    Jibu

    Jedwali hili lina safu nne na nguzo tatu. Safu ya kwanza hufanya kama safu ya kichwa. Mstari wa kwanza unasoma, “Hatua ya 1. Graph equation kwanza.” Kisha inasoma, “Ili kuchora mstari wa kwanza, andika equation katika fomu ya kupinga mteremko.” Equation inasoma 2x + y = 7 na inakuwa y = -2x + 7 ambapo m = -2 na b = 7. Kisha inaonyesha grafu ya equations 2x + y = 7. Equation x - 2y = 6 pia imeorodheshwa.Mstari wa pili unasoma, “Hatua ya 2. Grafu equation ya pili kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.” Kisha inasema, “Ili kuchora mstari wa pili, tumia matumizi.” Hii inafuatiwa na equation x — 2y = 6 na jozi zilizoamriwa (0, -3) na (6, 0). Safu ya mwisho ya mstari huu inaonyesha grafu ya equations mbili.Mstari wa tatu unasoma, “Hatua ya 3. Kuamua kama mistari intersect, ni sambamba, au ni mstari huo.” Kisha “Angalia grafu ya mistari.” Hatimaye inasoma, “Mstari unaingiliana.”Mstari wa nne unasoma, “Hatua ya 4. Tambua suluhisho la mfumo. Ikiwa mistari inakabiliana, tambua hatua ya makutano. Angalia ili uhakikishe kuwa ni suluhisho la equations zote mbili. Hii ni suluhisho la mfumo. Ikiwa mistari ni sambamba, mfumo hauna suluhisho. Ikiwa mistari ni sawa, mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi.” Kisha inasoma, “Tangu mistari inakabiliana, pata hatua ya makutano. Angalia uhakika katika equations zote mbili.” Hatimaye inasoma, “mistari intersect katika (4, -1). Halafu hutumia mbadala ili kuonyesha kwamba, “Suluhisho ni (4, -1).”

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{x−3y=−3} \\ {x+y=5}\end{cases}\)

    Jibu

    (3,2)

    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{−x+y=1} \\ {3x+2y=12}\end{cases}\)

    Jibu

    (2,3)

    Hatua za kutumia kutatua mfumo wa equations linear kwa graphing ni hapa chini.

    ILI KUTATUA MFUMO WA EQUATIONS LINEAR KWA GRAPHING.
    1. Grafu equation ya kwanza.
    2. Grafu equation ya pili kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
    3. Kuamua kama mistari intersect, ni sambamba, au ni mstari huo.
    4. Tambua suluhisho la mfumo.
      • Ikiwa mistari inakabiliana, tambua hatua ya makutano. Angalia ili uhakikishe kuwa ni suluhisho la equations zote mbili. Hii ni suluhisho la mfumo.
      • Ikiwa mistari ni sambamba, mfumo hauna suluhisho.
      • Ikiwa mistari ni sawa, mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi.
    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=2x+1} \\ {y=4x−1}\end{cases}\)

    Jibu

    Wote wa equations katika mfumo huu ni katika fomu mteremko intercept, hivyo tutatumia mteremko wao na y -intercepts kwa grafu yao. \(\begin{cases}{y=2x+1} \\ {y=4x−1}\end{cases}\)

    Pata mteremko na y -intercept ya equation ya
    kwanza.    		 .
    Pata mteremko na y -intercept ya equation ya
    kwanza.    		 .
    Grafu mistari miwili.  
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari huingiliana (1, 3).
      .
    Angalia suluhisho katika equations zote mbili. \(\begin{array}{l}{y=2 x+1} & {y = 4x - 1}\\{3\stackrel{?}{=}2 \cdot 1+1} &{3\stackrel{?}{=}4 \cdot 1-1} \\ {3=3 \checkmark}&{3=3 \checkmark} \end{array}\)
      Suluhisho ni (1, 3).
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=2x+2} \\ {y=-x−4}\end{cases}\)

    Jibu

    (-1, -2)

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=3x+3} \\ {y=-x+7}\end{cases}\)

    Jibu

    (1,6)

    Wote equations katika Zoezi\(\PageIndex{7}\) walipewa katika mteremka-intercept fomu. Hii ilifanya iwe rahisi kwa sisi haraka graph mistari. Katika mfano ijayo, tutaweza kwanza re-kuandika equations katika mteremko - intercept fomu.

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{3x+y=−1} \\ {2x+y=0}\end{cases}\)

    Jibu

    Tutaweza kutatua wote wa milinganyo haya kwa yy ili tuweze kwa urahisi graph yao kwa kutumia mteremko wao na y -intercepts. \(\begin{cases}{3x+y=−1} \\ {2x+y=0}\end{cases}\)

    Tatua equation ya kwanza kwa y.


    Pata mteremko na y -intercept.


    Tatua equation ya pili kwa y.


    Pata mteremko na y -intercept.    		 \(\begin{aligned} 3 x+y &=-1 \\ y &=-3 x-1 \\ m &=-3 \\ b &=-1 \\ 2 x+y &=0 \\ y &=-2 x \\ b &=0 \end{aligned}\)
    Grafu mistari. .
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari huingiliana saa (-1, 2).
    Angalia suluhisho katika equations zote mbili. \(\begin{array}{rllrll}{3x+y}&{=}&{-1} & {2x +y}&{=}&{0}\\{3(-1)+ 2}&{\stackrel{?}{=}}&{-1} &{2(-1)+2}&{\stackrel{?}{=}}&{0} \\ {-1}&{=}&{-1 \checkmark}&{0}&{=}&{0 \checkmark} \end{array}\)
      Suluhisho ni (-1, 2).
    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{−x+y=1} \\ {2x+y=10}\end{cases}\)

    Jibu

    (3,4)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{ 2x+y=6} \\ {x+y=1}\end{cases}\)

    Jibu

    (5,-4)

    Kawaida wakati equations inapewa kwa fomu ya kawaida, njia rahisi zaidi ya kuwapa grafu ni kwa kutumia intercepts. Tutafanya hivyo katika Zoezi\(\PageIndex{13}\).

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{x+y=2} \\ {x−y=4}\end{cases}\)

    Jibu

    Tutapata x - na y -intercepts ya equations zote mbili na kuitumia kwa graph mistari.

      .  
    Ili kupata intercepts, basi x = 0 na kutatua
    kwa y, basi y = 0 na kutatua kwa x.    		 \(\begin{aligned} x+y &=2 \quad x+y=2 \\ 0+y &=2 \quad x+0=2 \\ y &=2 \quad x=2 \end{aligned}\) .
      .  
    Ili kupata intercepts, basi
    x = 0 kisha basi y = 0.    		 \ kuanza {safu} {rlr} {x-y} & {=4} & {x-y} & {= 4}\\ {0-y} & {=4} & {x-0} & {=4}\ {-y} & {-y} & {=4} & {x}\ {y} & {=-4}\ mwisho {safu}
    .
    Grafu mstari. Grafu hii inaonyesha mistari miwili makutano katika hatua (3, -1) kwenye ndege x y-kuratibu.  
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari huingiliana saa (3, -1).  
    Angalia suluhisho katika equations zote mbili.

    \(\begin{array}{rllrll}{x+y}&{=}&{2} & {x-y}&{=}&{4}\\{3+(-1)}&{\stackrel{?}{=}}&{2} &{3 - (-1)}&{\stackrel{?}{=}}&{4} \\ {2}&{=}&{2 \checkmark}&{4}&{=}&{4 \checkmark} \end{array}\)

    Suluhisho ni (3, -1).
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{x+y=6} \\ {x−y=2}\end{cases}\)

    Jibu

    (4,2)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{x+y=2} \\ {x−y=-8}\end{cases}\)

    Jibu

    (5,1-3)

    Je, unakumbuka jinsi ya grafu equation linear na variable moja tu? Itakuwa ama mstari wa wima au usawa.

    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=6} \\ {2x+3y=12}\end{cases}\)

    Jibu
      .
    Tunajua equation ya kwanza inawakilisha
    mstari usawa ambao y -intercept ni 6.    		 .
    Equation ya pili ni rahisi zaidi graphed
    kwa kutumia intercepts.    		 .
    Ili kupata intercepts, basi x = 0 na kisha y = 0. .
    Grafu mistari. .
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari huingiliana saa (-3, 6).
    Angalia suluhisho la equations zote mbili. \(\begin{array}{rllrll}{y}&{=}&{6} & {2x+3y}&{=}&{12}\\{6}&{\stackrel{?}{=}}&{6} &{2(-3) + 3(6)}&{\stackrel{?}{=}}&{12} \\ {6}&{=}&{6 \checkmark} &{-6+18}&{\stackrel{?}{=}}&{12} \\ {}&{}&{}&{12}&{=}&{12 \checkmark} \end{array}\)
      Suluhisho ni (-3, 6).
    Zoezi\(\PageIndex{17}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=−1} \\ {x+3y=6}\end{cases}\)

    Jibu

    (9,-1)

    Zoezi\(\PageIndex{18}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{x=4} \\ {3x−2y=24}\end{cases}\)

    Jibu

    (4, -6)

    Katika mifumo yote ya equations linear hadi sasa, mistari intersected na ufumbuzi ilikuwa hatua moja. Katika mifano miwili ijayo, tutaangalia mfumo wa equations ambayo haina suluhisho na mfumo wa equations ambayo ina idadi isiyo na mwisho ya ufumbuzi.

    Zoezi\(\PageIndex{19}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−3} \\ {x−2y=4}\end{cases}\)

    Jibu
      .
    Ili kuchora equation ya kwanza,
    tutatumia mteremko wake na y -intercept.    		 .
      .
      .
    Ili grafu ya equation ya pili,
    tutatumia intercepts.    		 .
      .
    Grafu mistari. .
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari ni sawa.
      Kwa kuwa hakuna uhakika ni juu ya mistari yote, hakuna jozi awali
    ambayo inafanya equations wote kweli. Hakuna suluhisho la mfumo
    huu.
    Zoezi\(\PageIndex{20}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=-\frac{1}{4}x+2} \\ {x+4y=-8}\end{cases}\)

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Zoezi\(\PageIndex{21}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y=6}\end{cases}\)

    Jibu

    hakuna suluhisho

    Zoezi\(\PageIndex{22}\)

    Tatua mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=2x−3} \\ {−6x+3y=−9}\end{cases}\)

    Jibu
      .
    Pata mteremko na y -intercept ya equation ya
    kwanza.    		 .
    Pata intercepts ya equation ya pili. .
      .
    Grafu mistari. .
    Kuamua hatua ya makutano. Mstari ni sawa!
      Kwa kuwa kila hatua kwenye mstari hufanya equations zote mbili
    kweli, kuna mengi mno awali jozi kwamba kufanya equations
    wote kweli.
      Kuna ufumbuzi mkubwa wa mfumo huu.
    Zoezi\(\PageIndex{23}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=−3x−6} \\ {6x+2y=−12}\end{cases}\)

    Jibu

    ufumbuzi mkubwa sana

    Zoezi\(\PageIndex{24}\)

    Tatua kila mfumo kwa kuchora:\(\begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−4} \\ {2x−4y=16}\end{cases}\)

    Jibu

    ufumbuzi mkubwa sana

    Kama kuandika equation pili katika Zoezi\(\PageIndex{22}\) katika mteremka-intercept fomu, unaweza kutambua kwamba milinganyo na mteremko huo na sawa y -intercept.

    Tulipopiga mstari wa pili katika mfano wa mwisho, tulivuta haki juu ya mstari wa kwanza. Tunasema mistari miwili ni coincident. Mstari wa mshikamano una mteremko sawa na sawa y -intercept.

    MISTARI YA KUFANANA

    Mstari wa mshikamano una mteremko sawa na sawa y -intercept.

    Tambua Idadi ya Ufumbuzi wa Mfumo wa Mstari

    Kutakuwa na nyakati ambapo tunataka kujua jinsi wengi ufumbuzi kutakuwa na mfumo wa equations linear, lakini hatuwezi kweli kuwa na kupata ufumbuzi. Itakuwa na manufaa kuamua hii bila kuchora.

    Tumeona kwamba mistari miwili katika ndege moja lazima iwe intersect au ni sambamba. Mifumo ya equations katika Zoezi\(\PageIndex{4}\) kupitia Zoezi\(\PageIndex{16}\) zote zilikuwa na mistari miwili ya kuingiliana. Kila mfumo ulikuwa na suluhisho moja.

    Mfumo wenye mistari sambamba, kama Zoezi\(\PageIndex{19}\), hauna suluhisho. Nini kilichotokea katika Zoezi\(\PageIndex{22}\)? Ulinganisho una mistari ya mshikamano, na hivyo mfumo ulikuwa na ufumbuzi mkubwa sana.

    Tutaandaa matokeo haya katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\) hapa chini:

    Jedwali hili lina nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza huandika kila safu “Grafu” na “Idadi ya ufumbuzi.” Chini ya “Grafu” ni “mistari 2 ya kuingiliana,” “Mstari wa sambamba,” na “Mstari sawa.” Chini ya “Idadi ya ufumbuzi” ni “1,” “Hakuna,” na “Wengi sana.”
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

    Mstari sambamba una mteremko uleule lakini tofauti y -intercepts. Hivyo, kama sisi kuandika equations wote katika mfumo wa equations linear katika mteremko - intercept fomu, tunaweza kuona jinsi wengi ufumbuzi kutakuwa na bila graphing! Angalia mfumo sisi kutatuliwa katika Zoezi\(\PageIndex{19}\).

    \(\begin{array} {cc} & \begin{cases}{y=\frac{1}{2}x−3} \\ {x−2y=4}\end{cases}\\ \text{The first line is in slope–intercept form.} &\text { If we solve the second equation for } y, \text { we get } \\ &x-2 y =4 \\ y = \frac{1}{2}x -3& x-2 y =-x+4 \\ &y =\frac{1}{2} x-2 \\ m=\frac{1}{2}, b=-3&m=\frac{1}{2}, b=-2 \end{array}\)

    Mistari miwili ina mteremko huo lakini tofauti y -intercepts. Wao ni mistari sambamba.

    Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha jinsi ya kuamua idadi ya ufumbuzi wa mfumo wa mstari kwa kuangalia mteremko na kuingilia.

    Jedwali hili lina kichwa “Idadi ya Solutions ya Mfumo wa Mstari wa Equations.” Kuna nguzo nne. Nguzo zimeandikwa, “Materemko,” “Inachukua,” “Aina ya Mipangilio,” “Idadi ya Solutions.” Chini ya “Materemko” ni “Tofauti,” “Same,” na “Same.” Chini ya “Inachukua,” kiini cha kwanza ni tupu, kisha maneno “Tofauti” na “Same” yanaonekana. Chini ya “Aina ya Mistari” ni maneno, “Kuingiliana,” “Sambamba,” na “Coincident.” Chini ya “Idadi ya Ufumbuzi” ni “hatua 1,” “Hakuna Solution,” na “Ufumbuzi mkubwa sana.”
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Hebu tuangalie moja zaidi katika equations yetu katika Zoezi\(\PageIndex{19}\) kwamba alitupa mistari sambamba.

    \ [kuanza {kesi} {y=\ frac {1} {2} x-3}\\ {x-2y=4}\ mwisho {kesi}\)]

    Wakati mistari yote ilikuwa katika fomu mteremka-intercept tulikuwa na:

    \[y=\frac{1}{2} x-3 \quad y=\frac{1}{2} x-2\]

    Je, unatambua kwamba haiwezekani kuwa na jozi moja iliyoamriwa (x, y) ambayo ni suluhisho kwa equations hizo mbili?

    Sisi wito mfumo wa milinganyo kama hii mfumo haiendani. Haina ufumbuzi.

    Mfumo wa equations ambao una angalau suluhisho moja huitwa mfumo thabiti.

    MIFUMO THABITI NA ISIYO

    Mfumo thabiti wa equations ni mfumo wa equations na angalau suluhisho moja.

    Mfumo usiofaa wa equations ni mfumo wa equations na hakuna suluhisho.

    Sisi pia huainisha equations katika mfumo wa equations kwa kupiga equations huru au tegemezi. Ikiwa equations mbili ni equations huru, kila mmoja ana seti yao ya ufumbuzi. Mstari wa kuingiliana na mistari sambamba ni huru.

    Ikiwa equations mbili zinategemea, ufumbuzi wote wa equation moja pia ni ufumbuzi wa equation nyingine. Wakati sisi grafu mbili equations tegemezi, sisi kupata mistari coincident.

    MLINGANO WA KUJITEGEMEA NA

    Equations mbili ni huru ikiwa wana ufumbuzi tofauti.

    Equations mbili ni tegemezi kama ufumbuzi wote wa equation moja pia ni ufumbuzi wa equation nyingine.

    Hebu tuangalie hii kwa kuangalia grafu za aina tatu za mifumo. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{4}\) na Kielelezo\(\PageIndex{5}\).

    Takwimu hii inaonyesha tatu x y kuratibu ndege katika mstari usawa. Ya kwanza inaonyesha mistari miwili inayoingiliana. Ya pili inaonyesha mistari miwili sambamba. Ya tatu inaonyesha mistari miwili ya mshikamano.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)
    Jedwali hili lina nguzo nne na safu nne. Nguzo zimeandikwa, “Mistari,” “Kuingiliana,” “Sambamba,” na “Ushirikiano.” Katika mstari wa kwanza chini ya safu iliyoandikwa “mistari” inasoma “Idadi ya ufumbuzi.” Kusoma kote, inatuambia kwamba mstari wa kuingiliana una uhakika 1, mstari sambamba hutoa hakuna suluhisho, na mstari wa mshikamano una ufumbuzi mkubwa sana. Thabari/haiendani line ina mistari thabiti kama ni intersecting, mistari haiendani kama ni sambamba na thabiti kama mistari ni coincident. Hatimaye, mistari tegemezi na kujitegemea huchukuliwa kuwa huru ikiwa mistari inaingiliana, pia ni huru ikiwa mistari ni sambamba, na hutegemea ikiwa mistari ni sawa.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)
    Zoezi\(\PageIndex{25}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations:\(\begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y=12}\end{cases}\)

    Jibu

    \(\begin{array}{lrrl} \text{We will compare the slopes and intercepts} & \begin{cases}{y=3x−1} \\ {6x−2y=12}\end{cases} \\ \text{of the two lines.} \\ \text{The first equation is already in} \\ \text{slope-intercept form.} \\ & {y = 3x - 1}\\ \text{Write the second equation in} \\ \text{slope–intercept form.} \\ & 6x-2y &=&12 \\ & -2y &=& -6x - 12 \\ &\frac{-2y}{-2} &=& \frac{-6x + 12}{-2}\\ &y&=&3x-6\\\\ \text{Find the slope and intercept of each line.} & y = 3x-1 & y=3x-6 \\ &m = 3 & m = 3 \\&b=-1 &b=-6 \\ \text{Since the slopes are the same andy-intercepts} \\ \text{are different, the lines are parallel.}\end{array}\)

    Mfumo wa equations ambao grafu ni mistari sambamba haina suluhisho na haiendani na kujitegemea.

    Zoezi\(\PageIndex{26}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{y=−2x−4} \\ {4x+2y=9}\end{cases}\)

    Jibu

    hakuna ufumbuzi, haiendani, huru

    Zoezi\(\PageIndex{27}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{y=\frac{1}{3}x−5} \\ {x-3y=6}\end{cases}\)

    Jibu

    hakuna ufumbuzi, haiendani, huru

    Zoezi\(\PageIndex{28}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations:\(\begin{cases}{2x+y=−3} \\ {x−5y=5}\end{cases}\)

    Jibu

    \(\begin{array}{lrrlrl} \text{We will compare the slopes and intercepts} & \begin{cases}{2x+y=-3} \\ {x−5y=5}\end{cases} \\ \text{of the two lines.} \\ \text{Write the second equation in} \\ \text{slope–intercept form.} \\ &2x+y&=&-3 & x−5y&=&5\\ & y &=& -2x -3 & -5y &=&-x+5 \\ &&&&\frac{-5y}{-5} &=& \frac{-x + 5}{-5}\\ &&&&y&=&\frac{1}{5}x-1\\\\ \text{Find the slope and intercept of each line.} & y &=& -2x-3 & y&=&\frac{1}{5}x-1 \\ &m &=& -2 & m &=& \frac{1}{5} \\&b&=&-3 &b&=&-1 \\ \text{Since the slopes are the same andy-intercepts} \\ \text{are different, the lines are parallel.}\end{array}\)

    Mfumo wa equations ambao grafu ni intersect ina suluhisho 1 na ni thabiti na kujitegemea.

    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{3x+2y=2} \\ {2x+y=1}\end{cases}\)

    Jibu

    suluhisho moja, thabiti, huru

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{x+4y=12} \\ {−x+y=3}\end{cases}\)

    Jibu

    suluhisho moja, thabiti, huru

    Zoezi\(\PageIndex{31}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations. \(\begin{cases}{3x−2y=4} \\ {y=\frac{3}{2}x−2}\end{cases}\)

    Jibu

    \(\begin{array}{lrrlrl} \text{We will compare the slopes and intercepts of the two lines.}& \begin{cases}{3x−2y} &=&{4} \\ {y}&=&{\frac{3}{2}x−2}\end{cases} \\ \text{Write the second equation in} \\ \text{slope–intercept form.} \\ &3x-2y&=&4 \\ & -2y &=& -3x +4 \\ &\frac{-2y}{-2} &=& \frac{-3x + 4}{-2}\\ &y&=&\frac{3}{2}x-2\\\\ \text{Find the slope and intercept of each line.} &y&=&\frac{3}{2}x-2\\ \text{Since the equations are the same, they have the same slope} \\ \text{and samey-intercept and so the lines are coincident.}\end{array}\)

    Mfumo wa equations ambao grafu ni mistari ya coincident ina ufumbuzi mkubwa sana na ni thabiti na tegemezi.

    Zoezi\(\PageIndex{32}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{4x−5y=20} \\ {y=\frac{4}{5}x−4}\end{cases}\)

    Jibu

    kubwa ufumbuzi wengi, thabiti, tegemezi

    Zoezi\(\PageIndex{33}\)

    Bila kuchora, tambua idadi ya ufumbuzi na kisha uainishe mfumo wa equations.

    \(\begin{cases}{ −2x−4y=8} \\ {y=−\frac{1}{2}x−2}\end{cases}\)

    Jibu

    kubwa ufumbuzi wengi, thabiti, tegemezi

    Kutatua Matumizi ya Mifumo ya Equations na Graphing

    Tutatumia mkakati huo wa kutatua tatizo tulizotumia katika Math Models kuanzisha na kutatua maombi ya mifumo ya equations linear. Tutaweza kurekebisha mkakati kidogo hapa ili iwe sahihi kwa mifumo ya milinganyo.

    TUMIA MKAKATI WA KUTATUA TATIZO KWA MIFUMO YA USAWA WA MSTARI.
    1. Soma tatizo. Hakikisha maneno yote na mawazo yanaeleweka.
    2. Tambua kile tunachotafuta.
    3. Jina kile tunachotafuta. Chagua vigezo ili kuwakilisha kiasi hicho.
    4. Tafsiri katika mfumo wa equations.
    5. Tatua mfumo wa equations kwa kutumia mbinu nzuri za algebra.
    6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.
    7. Jibu swali kwa sentensi kamili.

    Hatua ya 5 ni wapi tutatumia njia iliyoletwa katika sehemu hii. Sisi grafu equations na kupata suluhisho.

    Zoezi\(\PageIndex{34}\)

    Sondra inafanya quarts 10 za punch kutoka juisi ya matunda na soda ya klabu. Idadi ya quarts ya juisi ya matunda ni mara 4 idadi ya quarts ya soda ya klabu. Ni quarts ngapi za juisi ya matunda na ngapi quarts ya soda ya klabu ambayo Sondra inahitaji?

    Jibu

    Hatua ya 1. Soma tatizo.

    Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.

    Tunatafuta idadi ya quarts ya juisi ya matunda na idadi ya quarts ya soda ya klabu ambayo Sondra atahitaji.

    Hatua ya 3. Jina kile tunachotafuta. Chagua vigezo ili kuwakilisha kiasi hicho.

    Hebu f= idadi ya quarts ya juisi ya matunda.
    c= idadi ya quarts ya soda ya klabu

    Hatua ya 4. Tafsiri katika mfumo wa equations.

    Takwimu hii inaonyesha sentensi zilizobadilishwa kuwa milinganyo. Sentensi ya kwanza inasomeka, “Idadi ya quarts ya juisi ya matunda na idadi ya quarts ya soda ya klabu ni 10. “Idadi ya quarts ya juisi ya matunda” ina bracket curly chini ya maneno na “f” unaozingatia chini ya bracket. “Na” pia ina bracket curly chini yake na ina pamoja ishara katikati yake. “Idadi ya quarts ya soda ya klabu” ina bracket curly na variable “c” chini yake. Na hatimaye, maneno “ni 10" ina bracket curly. Chini ya hii inasoma sawa 10. Sentensi ya pili inasomeka, “Idadi ya quarts ya maji ya matunda ni mara nne idadi ya quarts ya soda klabu”. Sentensi hii imewekwa sawasawa kwa kuwa kila maneno yana mabano ya curly chini. Variable “f” inawakilisha “Idadi ya quarts ya juisi ya matunda”. Ishara sawa inawakilisha “ni” na “4c” inawakilisha mara nne idadi ya quarts ya soda ya klabu.”

    Sasa tuna mfumo. \(\begin{cases}{ f+c=10} \\ {f=4c}\end{cases}\)

    Hatua ya 5. Tatua mfumo wa equations kwa kutumia mbinu nzuri za algebra.

    Takwimu hii inaonyesha equations mbili na grafu yao. Equation ya kwanza ni f = 4c ambapo b = 4 na b = 0. Equation ya pili ni f + c = 10. f = hasi c +10 ambapo b = hasi 1 na b = 10. Ndege ya kuratibu x y inaonyesha graph ya mistari hii miwili ambayo intersect katika (2, 8).

    Hatua ya makutano (2, 8) ni suluhisho. Hii inamaanisha Sondra inahitaji quarts 2 za soda ya klabu na quarts 8 za juisi ya matunda.

    Hatua ya 6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.

    Je, hii ina maana katika tatizo?

    Ndiyo, idadi ya quarts ya juisi ya matunda, 8 ni mara 4 idadi ya quarts ya soda ya klabu, 2.

    Ndiyo, quarts 10 ya punch ni quarts 8 ya juisi ya matunda pamoja na quarts 2 ya soda klabu.

    Hatua ya 7. Jibu swali kwa sentensi kamili.

    Sondra inahitaji quarts 8 za juisi ya matunda na quarts 2 za soda.

    Zoezi\(\PageIndex{35}\)

    Manny anafanya quarts 12 za juisi ya machungwa kutoka kwa makini na maji. Idadi ya quarts ya maji ni mara 3 idadi ya quarts ya makini. Je, ni quarts ngapi za makini na ni ngapi za maji ambazo Manny anahitaji?

    Jibu

    Manny anahitaji maji ya quarts 3 makini na maji ya quarts 9.

    Zoezi\(\PageIndex{36}\)

    Alisha ni kufanya 18 ounce kahawa kinywaji kwamba ni alifanya kutoka kahawa iliyotengenezwa na maziwa. Idadi ya ounces ya kahawa iliyotengenezwa ni mara 5 zaidi kuliko idadi ya ounces ya maziwa. Ni ounces ngapi ya kahawa na ngapi ounces ya maziwa ambayo Alisha inahitaji?

    Jibu

    Alisha anahitaji ounces 15 za kahawa na ounces 3 za maziwa.

    Kumbuka

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua mifumo ya equations kwa kuchora.

    Dhana muhimu

    • Ili kutatua mfumo wa equations linear kwa graphing
      1. Grafu equation ya kwanza.
      2. Grafu equation ya pili kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
      3. Kuamua kama mistari intersect, ni sambamba, au ni mstari huo.
      4. Tambua suluhisho la mfumo.
        Ikiwa mistari inakabiliana, tambua hatua ya makutano. Angalia ili uhakikishe kuwa ni suluhisho la equations zote mbili. Hii ni suluhisho la mfumo.
        Ikiwa mistari ni sambamba, mfumo hauna suluhisho.
        Ikiwa mistari ni sawa, mfumo una idadi isiyo na kipimo ya ufumbuzi.
      5. Angalia suluhisho katika equations zote mbili.
    • Tambua idadi ya ufumbuzi kutoka kwenye grafu ya mfumo wa mstari
      Jedwali hili lina nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza huandika kila safu “Grafu” na “Idadi ya ufumbuzi.” Chini ya “Grafu” ni “mistari 2 ya kuingiliana,” “Mstari wa sambamba,” na “Mstari sawa.” Chini ya “Idadi ya ufumbuzi” ni “1,” “Hakuna,” na “Wengi sana.”
    • Kuamua idadi ya ufumbuzi wa mfumo wa mstari kwa kuangalia mteremko na kuingilia
      Jedwali hili lina kichwa “Idadi ya Solutions ya Mfumo wa Mstari wa Equations.” Kuna nguzo nne. Nguzo zimeandikwa, “Materemko,” “Inachukua,” “Aina ya Mipangilio,” “Idadi ya Solutions.” Chini ya “Materemko” ni “Tofauti,” “Same,” na “Same.” Chini ya “Inachukua,” kiini cha kwanza ni tupu, kisha maneno “Tofauti” na “Same” yanaonekana. Chini ya “Aina ya Mistari” ni maneno, “Kuingiliana,” “Sambamba,” na “Coincident.” Chini ya “Idadi ya Ufumbuzi” ni “hatua 1,” “Hakuna Solution,” na “Ufumbuzi mkubwa sana.”
    • Kuamua idadi ya ufumbuzi na jinsi ya kuainisha mfumo wa equations
      Jedwali hili lina nguzo nne na safu nne. Nguzo zimeandikwa, “Mistari,” “Kuingiliana,” “Sambamba,” na “Ushirikiano.” Katika mstari wa kwanza chini ya safu iliyoandikwa “mistari” inasoma “Idadi ya ufumbuzi.” Kusoma kote, inatuambia kwamba mstari wa kuingiliana una uhakika 1, mstari sambamba hutoa hakuna suluhisho, na mstari wa mshikamano una ufumbuzi mkubwa sana. Thabari/haiendani line ina mistari thabiti kama ni intersecting, mistari haiendani kama ni sambamba na thabiti kama mistari ni coincident. Hatimaye, mistari tegemezi na kujitegemea huchukuliwa kuwa huru ikiwa mistari inaingiliana, pia ni huru ikiwa mistari ni sambamba, na hutegemea ikiwa mistari ni sawa.
    • Mkakati wa Kutatua tatizo kwa Mifumo ya Ulinganisho wa Mstari
      1. Soma tatizo. Hakikisha maneno yote na mawazo yanaeleweka.
      2. Tambua kile tunachotafuta.
      3. Jina kile tunachotafuta. Chagua vigezo ili kuwakilisha kiasi hicho.
      4. Tafsiri katika mfumo wa equations.
      5. Tatua mfumo wa equations kwa kutumia mbinu nzuri za algebra.
      6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.
      7. Jibu swali kwa sentensi kamili.

    faharasa

    mistari ya bahati mbaya
    Mstari wa mshikamano ni mistari ambayo ina mteremko sawa na sawa y -intercept.
    mfumo thabiti
    Mfumo thabiti wa equations ni mfumo wa equations na angalau suluhisho moja.
    equations tegemezi
    Equations mbili zinategemea ikiwa ufumbuzi wote wa equation moja pia ni ufumbuzi wa equation nyingine.
    mfumo usioendana
    Mfumo usioendana wa equations ni mfumo wa equations na hakuna suluhisho.
    milinganyo ya kujitegemea
    Equations mbili ni huru ikiwa wana ufumbuzi tofauti.
    ufumbuzi wa mfumo wa equations
    Ufumbuzi wa mfumo wa equations ni maadili ya vigezo vinavyofanya equations zote kuwa kweli. Suluhisho la mfumo wa equations mbili za mstari unawakilishwa na jozi iliyoamriwa (x, y).
    mfumo wa equations linear
    Wakati equations mbili au zaidi linear ni makundi pamoja, wao huunda mfumo wa equations linear.