Skip to main content
Global

7.3: Mzunguko wa Kitengo

  • Page ID
    178628
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    • Pata maadili ya kazi kwa sine na cosine ya\((\frac{\pi}{6})\) 30° au 45° au\((\frac{\pi}{4})\), na 60° au\((\frac{\pi}{3})\).
    • Tambua kikoa na aina mbalimbali za kazi za sine na cosine.
    • Pata pembe za kumbukumbu.
    • Tumia pembe za kumbukumbu ili kutathmini kazi za trigonometric.

    Kuangalia kwa thrill? Kisha kufikiria safari ya Singapore Flyer, mrefu zaidi duniani Ferris gurudumu. Iko Singapore, gurudumu la Ferris linaongezeka hadi urefu wa miguu 541—kidogo zaidi ya sehemu ya kumi ya maili! Akielezewa kama gurudumu la uchunguzi, wanunuzi wanafurahia maoni ya kuvutia wanaposafiri kutoka ardhini hadi kilele na chini tena katika muundo unaorudia. Katika sehemu hii, tutachunguza aina hii ya mwendo unaozunguka karibu na mduara. Ili kufanya hivyo, tunahitaji kufafanua aina ya mduara kwanza, na kisha uweke mduara huo kwenye mfumo wa kuratibu. Kisha tunaweza kujadili mwendo mviringo katika suala la jozi kuratibu.

    Picha ya gurudumu la ferris.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Singapore Flyer ni mrefu zaidi duniani Ferris gurudumu. (mikopo: “Vibin JK” /Flickr)

    Kutafuta Maadili ya Kazi kwa Sine na Cosine

    Ili kufafanua kazi zetu za trigonometric, tunaanza kwa kuchora mduara wa kitengo, mduara unaozingatia asili na radius 1, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{2}\). Pembe (katika radians) ambayo\(t\) inakataza huunda arc ya urefu\(s\). Kutumia formula\(s=rt\), na kujua kwamba\(r=1\), tunaona kwamba kwa mduara kitengo,\(s=t\).

    Kumbuka kwamba x- na y- axes hugawanya ndege ya kuratibu katika robo nne inayoitwa quadrants. Sisi studio quadrants hizi kuiga mwelekeo angle chanya bila kufagia. Quadrants nne zimeandikwa I, II, III, na IV.

    Kwa pembe yoyote\(t,\) tunaweza studio makutano ya upande terminal na mduara kitengo kama kwa kuratibu yake,\((x,y)\). Kuratibu\(x\) na\(y\) itakuwa matokeo ya kazi za trigonometric\(f(t)= \cos t\) na\( f(t)= \sin t\), kwa mtiririko huo. Hii ina maana\(x= \cos t\) na\(y= \sin t\).

    Grafu ya mduara na angle t, radius ya 1, na arc iliyoundwa na angle na urefu s. upande terminal ya angle intersects mduara katika hatua (x, y).
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kitengo cha mduara ambapo angle ya kati ni\(t\) radians

    MZUNGUKO WA KITENGO

    Mduara wa kitengo una kituo cha saa\((0,0)\) na radius\(1\). Urefu wa arc iliyopigwa ni sawa na kipimo cha radian cha pembe kuu\(t\).

    Hebu\((x,y)\) iwe mwisho kwenye mduara wa kitengo cha arc ya urefu wa arc\(s\). \((x,y)\)Kuratibu za hatua hii zinaweza kuelezewa kama kazi za angle.

    Kufafanua Kazi za Sine na Cosine

    Sasa kwa kuwa tuna kitengo yetu mduara labeled, tunaweza kujifunza jinsi\((x,y)\) kuratibu kuhusiana na urefu safu na angle. Kazi ya sine inahusiana na idadi halisi\(t\) kwa\(y\) -kuratibu ya uhakika ambapo angle sambamba inachukua mduara wa kitengo. Kwa usahihi, sine ya angle\(t\) ni sawa na\(y\) -thamani ya mwisho kwenye mduara wa kitengo cha arc ya urefu\(t\). Katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\), sine ni sawa na\(y\). Kama kazi zote, kazi ya sine ina pembejeo na pato. Pembejeo yake ni kipimo cha angle; pato lake ni\(y\) -kuratibu ya hatua inayofanana kwenye mduara wa kitengo.

    Kazi ya cosine ya angle\(t\) ni sawa na\(x\) -thamani ya mwisho kwenye mduara wa kitengo cha arc ya urefu\(t\). Katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), cosine ni sawa na x.

    Mfano wa angle t, na terminal upande urefu sawa na 1, na safu iliyoundwa na angle na urefu t. upande terminal ya angle intersects mduara katika hatua (x, y), ambayo ni sawa na (cos t, dhambi t).
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Kwa sababu inaeleweka kuwa sine na cosine ni kazi, hatuhitaji kuandika kwa mabano:\(\sin t\) ni sawa\(\sin (t)\) na\(\cos t\) ni sawa na\(\cos (t)\). Vivyo hivyo,\(\cos ^2 t\) ni kawaida kutumika shorthand nukuu kwa\(( \cos (t))^2\). Kuwa na ufahamu kwamba wengi calculators na kompyuta hawatambui notation shorthand. Wakati wa shaka, tumia mabano ya ziada wakati wa kuingia mahesabu kwenye calculator au kompyuta.

    KAZI ZA SINE NA COSINE

    Kama\(t\) ni idadi halisi na uhakika\((x,y)\) juu ya mduara kitengo sambamba na angle ya\(t\), kisha

    \[ \begin{align} \cos t & = x \\ \sin t & = y \end{align}\]

    Jinsi ya: Kutokana na uhakika\(P(x,y)\) on the unit circle corresponding to an angle of \( t\), find the sine and cosine

    1. Sine ya\(t\) ni sawa na\(y\) -kuratibu ya uhakika\(P\):\( \sin t=y\).
    2. cosine ya\(t\) ni sawa na\(x\) -kuratibu ya uhakika\(P\):\( \cos t=x\).

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Finding Function Values for Sine and Cosine

    Point\(P\) ni hatua juu ya mduara kitengo sambamba na angle ya\(t\), kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Kupata\(\cos (t)\) na\(\sin (t)\).

    Grafu ya mduara na angle t, radius ya 1, na upande wa terminal unaozunguka mduara kwa uhakika (1/2, mizizi ya mraba ya 3 juu ya 2).
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Suluhisho

    Tunajua kwamba\(\cos t \) ni\(x\) -kuratibu ya hatua sambamba kwenye mduara wa kitengo na\(\sin t\) ni\(y\) -kuratibu ya hatua sambamba kwenye mduara wa kitengo. Hivyo:

    \(\begin{align*} x & = \cos t= \frac{1}{2} \\ y & = \sin t= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\)

    Jaribu\(\PageIndex{1}\)

    Angle fulani\(t\) inalingana na uhakika juu ya mduara kitengo katika\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\) kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{5}\). Kupata\(\cos t\) na\(\sin t\).

    Grafu ya mduara na angle t, radius ya 1, na upande wa terminal unaozunguka mduara kwa hatua (mizizi ya mraba hasi ya 2 juu ya 2, mizizi ya mraba ya 2 juu ya 2).
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\)
    Jibu

    \(\cos (t)=−\dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \sin (t)=\dfrac {\sqrt{2}}{2} \)

    Kutafuta Sines na Cosines ya Angles juu ya Axis

    Kwa pembe za quadrantral, hatua inayofanana kwenye mduara wa kitengo huanguka kwenye\(x\) - au\(y\) -axis. Katika hali hiyo, tunaweza kuhesabu kwa urahisi cosine na sine kutoka kwa maadili ya\(x\) na\(y\).

    Mfano\(\PageIndex{2}\): Calculating Sines and Cosines along an Axis

    Kupata\(\cos (90°)\) na\(\sin (90°).\)

    Suluhisho

    Kuhamia\(90°\) kinyume chake karibu na mduara wa kitengo kutoka kwa\(x\) mhimili mzuri hutuleta juu ya mduara, ambapo\((x,y)\) kuratibu ni (0, 1), kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{6}\).

    Grafu ya mduara na angle t, radius ya 1, na upande wa terminal unaozunguka mduara kwa uhakika (0,1).
    Kielelezo\(\PageIndex{6}\)

    Kutumia ufafanuzi wetu wa cosine na sine,

    \(\begin{align*} x &= \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y &= \sin t = \sin (90°) = 1 \end{align*} \)

    Kosini ya 90° ni 0; sine ya 90° ni 1.

    Jaribu\(\PageIndex{2}\)

    Pata cosine na sine ya angle\(π\).

    Jibu

    \(\cos (π)=−1, \sin (π)=0\)

    Identity ya Pythagorean

    Sasa kwa kuwa tunaweza kufafanua sine na cosine, tutajifunza jinsi wanavyohusiana na mzunguko wa kitengo. Kumbuka kwamba equation kwa mduara kitengo ni\(x^2+y^2=1\). Kwa sababu\(x= \cos t\) na\(y=\sin t\), tunaweza mbadala\( x\) na\(y\) kupata equation\(\cos ^2 t+ \sin ^2 t=1.\) Hii,\( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1,\) inajulikana kama Identity Pythagorean. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{7}\).

    Grafu ya angle t, na uhakika (x, y) kwenye mduara wa kitengo. Na equation kuonyesha ulinganifu wa 1, x ^ 2 + y ^ 2, na cos ^ 2 t + dhambi ^ 2 t.
    Kielelezo\(\PageIndex{7}\)

    Tunaweza kutumia Identity ya Pythagorean ili kupata cosine ya angle ikiwa tunajua sine, au kinyume chake. Hata hivyo, kwa sababu equation hutoa ufumbuzi mbili, tunahitaji ujuzi wa ziada wa angle ya kuchagua suluhisho na ishara sahihi. Ikiwa tunajua quadrant ambapo angle ni, tunaweza kuchagua ufumbuzi sahihi kwa urahisi.

    UTAMBULISHO WA PYTHAGOR

    Identity ya Pythagorean inasema kwamba, kwa idadi yoyote halisi\(t\),

    \[ \cos^2 t+ \sin^2 t=1  \]

    Jinsi ya: Kutokana na mgongo wa t angle fulani na eneo lake la quadrant, pata cosine ya t

    1. Badilisha thamani inayojulikana ya\(\sin (t)\) ndani ya Identity ya Pythagorean.
    2. Kutatua kwa\( \cos (t)\).
    3. Chagua suluhisho na ishara sahihi kwa\(x\) maadili ya -katika quadrant ambapo\(t\) iko.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine

    Ikiwa\(\sin (t)=\dfrac{3}{7}\) na\(t\) iko katika quadrant ya pili, tafuta\( \cos (t)\).

    Suluhisho

    Ikiwa tunatupa mstari wa wima kutoka kwenye hatua kwenye mduara wa kitengo sambamba na\(t\), tunaunda pembetatu sahihi, ambayo tunaweza kuona kwamba Identity ya Pythagorean ni kesi moja tu ya Theorem ya Pythagorean. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{8}\).

    Grafu ya mduara wa kitengo na angle inayoingiliana na mduara kwa uhakika na y-kuratibu sawa na 3/7.
    Kielelezo\(\PageIndex{8}\)

    Kubadilisha thamani inayojulikana kwa sine katika Identity ya Pythagorean,

    \[\begin{align*} \cos ^2 (t)+ \sin ^2(t) &=1 \\  \cos ^2(t)+\dfrac{9}{49} &=1 \\ \cos ^2(t) & = \dfrac{40}{49} \\  \cos (t) &=± \sqrt{\dfrac{40}{49}}=±\dfrac{\sqrt{40}}{7}=±\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \end{align*}\]

    Kwa sababu angle iko katika quadrant ya pili, tunajua\(x\) -thamani ni nambari halisi ya hasi, hivyo cosine pia ni hasi. Hivyo

    \[ \cos (t)=−\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \nonumber \]

    Jaribu\(\PageIndex{3}\)

    Ikiwa\(\cos (t)=\dfrac{24}{25}\) na\(t\) iko katika quadrant ya nne, tafuta\( \sin (t)\).

    Jibu

    \(\sin (t)=−\dfrac{7}{25}\)

    Kupata Sines na Cosines ya Angles Maalum

    Tayari tumejifunza baadhi ya mali ya pembe maalum, kama vile uongofu kutoka kwa radians hadi digrii. Tunaweza pia kuhesabu sines na cosines ya pembe maalum kwa kutumia Identity ya Pythagorean na ujuzi wetu wa pembetatu.

    Kupata Sines na Cosines ya 45° Angles

    Kwanza, tutaangalia pembe za\(45°\) au\(\dfrac{π}{4}\), kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{9}\). \(45°–45°–90°\)Pembetatu ni pembetatu ya isosceles, hivyo\(x\) - na\(y\) -kuratibu ya hatua inayofanana kwenye mduara ni sawa. Kwa sababu x- na\(y\) -maadili ni sawa, maadili ya sine na cosine pia yatakuwa sawa.

    Grafu ya angle ya shahada 45 iliyoandikwa ndani ya mduara na radius ya 1. Ulinganifu kati ya uhakika (x, y) na (x, x) umeonyeshwa.
    Kielelezo\(\PageIndex{9}\)

    Katika\(t=\frac{π}{4}\), ambayo ni digrii 45, radius ya mduara wa kitengo inachukua angle ya kwanza ya quadrantal. Hii inamaanisha radius iko kando ya mstari\(y=x\). Mduara wa kitengo una radius sawa na 1. Kwa hiyo, pembetatu sahihi iliyoundwa chini ya mstari\(y=x\) ina pande\(x\) na\(y\) (na\(y=x),\) na radius = 1. Angalia Kielelezo\(\PageIndex{10}\).

    Grafu ya mduara na pi/4 angle iliyoandikwa na radius ya 1.
    Kielelezo\(\PageIndex{10}\)

    Kutoka Theorem ya Pythagorean tunapata

    \[x^2+y^2=1 \nonumber \]

    Kubadilisha\(y=x\), tunapata

    \[x^2+x^2=1 \nonumber \]

    Kuchanganya kama maneno tunayopata

    \[2x^2=1 \nonumber \]

    Na kutatua kwa\(x\), sisi kupata

    \[\begin{align*} x^2 &=\dfrac{1}{2} \\ x &=±\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}  \]

    Katika roboduara mimi,\(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).

    Katika\(t=\dfrac{π}{4}\) au digrii 45,

    \[\begin{align*} (x,y) & =(x,x)=(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; \sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}  \]

    Kama sisi basi rationalize denominators, sisi kupata

    \[ \begin{align*} \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}  \\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}\]

    Kwa hiyo,\((x,y)\) kuratibu ya uhakika kwenye mduara wa radius kwa\(1\) pembe ya\(45°\) ni\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).

    Kupata Sines na Cosines ya 30° na 60° Angles

    Kisha, tutapata cosine na sine kwa pembe ya\(30°,\) au\(\tfrac{π}{6}\). Kwanza, sisi kuteka pembetatu ndani ya mduara na upande mmoja kwa pembe ya\(30°,\) na mwingine kwa pembe ya\(−30°,\) kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{11}\). Ikiwa pembetatu mbili za kulia zimeunganishwa kwenye pembetatu moja kubwa, tazama kwamba pembe zote tatu za pembetatu hii kubwa zitakuwa\(60°,\) kama inavyoonekana kwenye Kielelezo\(\PageIndex{12}\).

    Grafu ya mduara na angle ya shahada 30 na angle hasi 30-shahada iliyoandikwa ili kuunda pembetatu.
    Kielelezo\(\PageIndex{11}\)
    Picha ya pembetatu mbili 30/60/90 nyuma kwa nyuma. Lebo kwa hypotenuse r na upande y.
    Kielelezo\(\PageIndex{12}\)

    Kwa sababu pembe zote ni sawa, pande pia ni sawa. Mstari wa wima una urefu\(2y\), na kwa kuwa pande zote ni sawa, tunaweza pia kuhitimisha kwamba\(r=2y\) au\(y=\frac{1}{2}r\). Tangu\( \sin t=y\),

    \[ \sin \left(\frac{π}{6} \right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]

    Na tangu\(r=1\) katika mduara wetu wa kitengo,

    \[\begin{align*} \sin \left(\frac{π}{6} \right) & = \dfrac{1}{2}(1) \\ &= \dfrac{1}{2} \end{align*}  \]

    Kutumia Identity ya Pythagorean, tunaweza kupata thamani ya cosine.

    \ (\ kuanza {iliyokaa}
    \ cos^2\ kushoto (\ frac {π} {6}\ haki) +\ dhambi ^ 2\ kushoto (\ frac {π} {6}\ haki) &= 1 &\
    \ cos ^2\ kushoto (\ frac {π} {6}\ haki) +\ kushoto (\ dfrac {1} {2}\ haki) ^2 &= 1 &&\
    \ cos^2\ kushoto (\ frac {π} {6}\ kulia) &=\ dfrac {3} {4} &\ maandishi { Tumia mali ya mizizi ya mraba.} \
    \ cos\ kushoto (\ frac {π} {6}\ kulia) &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {3} {4}} =\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} &&\ maandishi {Kwa kuwa\(y\) ni chanya, chagua mzizi mzuri.}\
    \ mwisho {iliyokaa}\\)

    \((x,y)\)Kuratibu kwa uhakika kwenye mduara wa radius kwa\(1\) pembe ya\(30°\) ni\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\). Katika\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°), radius ya mduara wa kitengo, 1, hutumika kama hypotenuse ya pembetatu ya kulia ya shahada 30-60-90,\(BAD,\) kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{13}\). Angle\(A\) ina kipimo cha 60°. 60°. Katika hatua\(B,\) sisi kuteka angle\(ABC\) na kipimo cha\( 60°\). Tunajua pembe katika pembetatu jumla kwa\(180°\), hivyo kipimo cha\(C\) angle pia\(60°\). Sasa tuna pembetatu ya equilateral. Kwa sababu kila upande wa pembetatu equilateral\(ABC\) ni urefu sawa, na tunajua upande mmoja ni radius ya mduara kitengo, pande zote lazima ya urefu 1.

    Grafu ya mduara na pembetatu ya isosceles iliyoandikwa ambayo imegawanywa kwa nusu. Pembetatu inayosababisha ina radius ya 1 na urefu wa y. besi mbili kwa pembetatu kila mmoja na urefu wa x.
    Kielelezo\(\PageIndex{13}\)

    Kipimo cha angle\(ABD\) ni 30°. Kwa hiyo, ikiwa ni mara mbili, angle\(ABC\) ni 60°. \(BD\)ni bisector perpendicular ya\(AC\), hivyo kupunguzwa\(AC\) katika nusu. Hii inamaanisha kuwa\(AD\) ni\( \dfrac{1}{2}\) radius, au\(\dfrac{1}{2}.\) Taarifa ambayo\(AD\) ni\(x\) -kuratibu ya uhakika\(B\), ambayo iko kwenye makutano ya angle ya 60° na mduara wa kitengo. Hii inatupa pembetatu\(BAD\) na hypotenuse ya 1 na upande\(x\) wa urefu\(\dfrac{1}{2}\).

    Kutoka Theorem ya Pythagorean, tunapata

    \[x^2+y^2=1 \nonumber \]

    Kubadilisha\(x=\frac{1}{2}\), tunapata

    \[ \left(  \dfrac{1}{2}  \right)^2+y^2=1 \nonumber \]

    Kutatua kwa\(y\), tunapata

    \[\begin{align*} \dfrac{1}{4}+y^2 &=1 \\ y^2 &=1−\dfrac{1}{4} \\ y^2 &= \dfrac{3}{4} \\ y &=± \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\]

    Kwa kuwa\(t=\dfrac{π}{3}\) ina upande terminal katika roboduara mimi ambapo\(y\) -kuratibu ni chanya, sisi kuchagua\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), thamani chanya.

    Katika\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°),\((x,y)\) kuratibu kwa uhakika juu ya mduara wa radius\(1\) katika angle ya\(60°\) ni\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), hivyo tunaweza kupata sine na cosine.

    \( (x, y) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \right) \)

    \( x = \dfrac{1}{2}, \; y = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)

    \( \cos t = \dfrac{1}{2}, \; \sin t = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)

    Sasa tumepata maadili ya cosine na sine kwa pembe zote zilizokutana mara nyingi katika quadrant ya kwanza ya mduara wa kitengo. \(\PageIndex{1}\)Jedwali linafupisha maadili haya.

    Jedwali\(\PageIndex{1}\)
    Angle 0 \(\dfrac{π}{6}\), au 30 \(\dfrac{π}{4}\), au 45° \(\dfrac{π}{3}\), au 60° \(\dfrac{π}{2}\), au 90°
    Cosine 1 \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) 0
    Sine 0 \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 1

    Kielelezo\(\PageIndex{14}\) kinaonyesha pembe za kawaida katika quadrant ya kwanza ya mduara wa kitengo.

    Grafu ya mduara wa robo na pembe za 0, 30, 45, 60, na digrii 90 zilizoandikwa. Ulinganifu wa pembe katika radians umeonyeshwa. Pointi kando ya mduara ni alama.
    Kielelezo\(\PageIndex{14}\)

    Kutumia Calculator Kupata Sine na Cosine

    Ili kupata cosine na sine ya pembe isipokuwa pembe maalum, tunageuka kwenye kompyuta au calculator. Jihadharini: Calculators wengi wanaweza kuweka katika “shahada” au “radian” mode, ambayo inaelezea calculator vitengo kwa thamani ya pembejeo. Tunapotathmini\( \cos (30)\) kwenye calculator yetu, itatathmini kama cosine ya digrii 30 ikiwa calculator iko katika hali ya shahada, au cosine ya radians 30 ikiwa calculator iko katika hali ya radian.

    Jinsi ya: Kutokana na angle katika radians, tumia calculator ya graphing ili kupata cosine

    1. Ikiwa calculator ina hali ya shahada na mode ya radian, kuiweka kwenye mode ya radian.
    2. Bonyeza kitufe cha COS.
    3. Ingiza thamani ya radian ya angle na bonyeza kitufe cha karibu cha mabano “)”.
    4. Bonyeza kuingia.

    Mfano\(\PageIndex{4}\): Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine

    Tathmini\( \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)\) kutumia calculator graphing au kompyuta.

    Suluhisho

    Ingiza keystrokes zifuatazo:

    \(\mathrm{COS( 5 × π ÷ 3 ) \; ENTER}\)

    \[ \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)=0.5 \nonumber\]

    Uchambuzi

    Tunaweza kupata cosine au sine ya angle katika digrii moja kwa moja kwenye calculator na hali ya shahada. Kwa mahesabu au programu zinazotumia mode ya radian tu, tunaweza kupata ishara ya\(20°\), kwa mfano, kwa kujumuisha sababu ya uongofu kwa radians kama sehemu ya pembejeo:

    \[\mathrm{SIN( 20 × π ÷ 180 ) \; ENTER} \nonumber\]

    Jaribu\(\PageIndex{4}\)

    Tathmini\(\sin \left( \dfrac{π}{3} \right) \).

    Jibu

    takriban 0.866025403

    Kutambua Domain na Range ya Kazi za Sine na Cosine

    Sasa kwa kuwa tunaweza kupata sine na cosine ya angle, tunahitaji kujadili nyanja zao na safu. Je, ni nyanja gani za kazi za sine na cosine? Hiyo ni, ni nambari ndogo na kubwa zaidi ambazo zinaweza kuwa pembejeo za kazi? Kwa sababu pembe ndogo kuliko 0 na pembe kubwa kuliko 2π bado inaweza graphid kwenye mduara kitengo na kuwa na maadili halisi ya\(x, \; y\)\(r\), na, hakuna kikomo chini au juu ya pembe ambayo inaweza kuwa pembejeo kwa kazi sine na cosine. pembejeo kwa kazi sine na cosine ni mzunguko kutoka chanya\(x\) -axis, na kwamba inaweza kuwa idadi yoyote halisi.

    Je, ni safu gani za kazi za sine na cosine? Je, ni maadili machache na makubwa zaidi ya pato lao? Tunaweza kuona majibu kwa kuchunguza mduara wa kitengo, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{15}\). Mipaka ya\(x\) -kuratibu ni\( [−1,1]\). Mipaka ya\(y\) -kuratibu pia ni\([−1,1]\). Kwa hiyo, aina mbalimbali za kazi za sine na cosine ni\([−1,1]\).

    Grafu ya mduara wa kitengo.
    Kielelezo\(\PageIndex{15}\)

    Kupata Kumbukumbu Angles

    Tumejadili kutafuta sine na cosine kwa pembe katika quadrant ya kwanza, lakini ni nini ikiwa angle yetu iko katika quadrant nyingine? Kwa angle yoyote iliyotolewa katika quadrant ya kwanza, kuna angle katika quadrant ya pili yenye thamani sawa ya sine. Kwa sababu thamani sine ni\(y\) -kuratibu kwenye mduara kitengo, angle nyingine na sine huo kushiriki sawa\(y\) -thamani, lakini kuwa na kinyume\(x\) -thamani. Kwa hiyo, thamani yake ya cosine itakuwa kinyume cha thamani ya kwanza ya cosine.

    Vivyo hivyo, kutakuwa na angle katika quadrant ya nne na cosine sawa na angle ya awali. Pembe yenye cosine sawa itashiriki\(x\) thamani sawa lakini itakuwa na\(y\) thamani ya kinyume. Kwa hiyo, thamani yake ya sine itakuwa kinyume cha thamani ya sine ya awali ya angle.

    Kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{16}\), angle\(α\) ina thamani sawa sine kama angle\(t\); maadili cosine ni kinyume. Angle\(β\) ina thamani sawa ya cosine kama angle\(t\); maadili ya sine ni kinyume.

    \ (\ kuanza {safu} {cc}\ dhambi (t) =\ dhambi (α) &\ maandishi {na} &\ cos (t) = -\ cos (α)\
    \ dhambi (t) = -\ dhambi (β) &\ maandishi {na} &\ cos (t) =\ cos (β)
    \\ mwisho {safu}\)

    Grafu ya miduara miwili kwa upande. Grafu ya kwanza ina mduara na angle t na angle alpha na radius r. angle t ina upande wake terminal katika Quadrant I ambapo angle alpha ina upande wake terminal katika Quadrant II. Graph ya pili ina mduara na angle t na angle beta iliyoandikwa na radius r. angle t ina upande wake terminal katika Quadrant I ambapo angle beta ina upande wake terminal katika Quadrant IV.
    Kielelezo\(\PageIndex{16}\)

    Kumbuka kwamba angle ya kumbukumbu ya angle ni angle ya papo hapo\(t\), iliyoundwa na upande wa mwisho wa angle\(t\) na mhimili usio na usawa. Angle ya kumbukumbu daima ni angle kati\(0\) na\(90°\), au\(0\) na\(\dfrac{π}{2}\) radians. Kama tunaweza kuona kutoka Kielelezo\(\PageIndex{17}\), kwa pembe yoyote katika quadrants II, III, au IV, kuna angle ya kumbukumbu katika quadrant I.

    Grafu nne za upande kwa upande. Grafu ya kwanza inaonyesha angle ya t katika quadrant 1 katika nafasi yake ya kawaida. Grafu ya pili inaonyesha angle ya t katika roboduara 2 kutokana na mzunguko wa pi bala t. grafu ya tatu inaonyesha angle ya t katika roboduara 3 kutokana na mzunguko wa t minus pi. Grafu ya nne inaonyesha angle ya t katika quadrant 4 kutokana na mzunguko wa pi mbili minus t.
    Kielelezo\(\PageIndex{17}\)

    Jinsi ya: Kutokana na angle kati\(0\) and \(2π\), find its reference angle

    1. Pembe katika quadrant ya kwanza ni angle yake ya kumbukumbu.
    2. Kwa angle katika quadrant ya pili au ya tatu, angle ya kumbukumbu ni\(|π−t|\) au\(|180°−t|\).
    3. Kwa angle katika quadrant ya nne, angle ya kumbukumbu ni\(2π−t\) au\(360°−t.\)
    4. Kama angle ni chini ya\(0\) au zaidi ya\(2π,\) kuongeza au Ondoa mara nyingi\(2π\) kama inahitajika ili kupata angle sawa kati\(0\) na\(2π\).

    Mfano\(\PageIndex{5}\): Finding a Reference Angle

    Kupata angle kumbukumbu ya\(225°\) kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{18}\).

    Grafu ya mduara na angle ya shahada ya 225-iliyoandikwa.
    Kielelezo\(\PageIndex{18}\)

    Suluhisho

    Kwa sababu\( 225°\) ni katika roboduara ya tatu, angle ya kumbukumbu ni

    \[|(180°−225°)|=|−45°|=45° \nonumber \]

    Jaribu\(\PageIndex{5}\)

    Kupata kumbukumbu angle ya\(\frac{5π}{3}\).

    Jibu

    (\ dfrac {π} {3}\)

    Kutumia Angles za Kumbukumbu

    Sasa hebu tuchukue muda wa kufikiria upya gurudumu la Ferris lililoanzishwa mwanzoni mwa sehemu hii. Tuseme mpanda snaps picha wakati kusimamishwa miguu ishirini juu ya usawa wa ardhi. Kisha mpanda farasi huzunguka robo tatu za njia inayozunguka mduara. Je, ni mwinuko mpya wa mpanda farasi? Ili kujibu maswali kama haya, tunahitaji kutathmini kazi za sine au cosine kwenye pembe ambazo ni zaidi ya digrii 90 au kwa pembe hasi. Pembe za kumbukumbu hufanya iwezekanavyo kutathmini kazi za trigonometric kwa pembe nje ya quadrant ya kwanza. Wanaweza pia kutumika kupata\((x,y)\) kuratibu kwa pembe hizo. Tutatumia angle ya kumbukumbu ya angle ya mzunguko pamoja na quadrant ambayo upande wa mwisho wa angle uongo.

    Kutumia Angles za Kumbukumbu Kutathmini Kazi za Trigonometric

    Tunaweza kupata cosine na sine ya pembe yoyote katika roboduara yoyote ikiwa tunajua cosine au sine ya angle yake ya kumbukumbu. Maadili kamili ya cosine na sine ya angle ni sawa na yale ya angle ya kumbukumbu. Ishara inategemea quadrant ya angle ya awali. Cosine itakuwa chanya au hasi kulingana na ishara ya\(x\) maadili katika quadrant hiyo. Sine itakuwa chanya au hasi kulingana na ishara ya\(y\) maadili katika roboduara hiyo.

    KUTUMIA PEMBE ZA KUMBUKUMBU ILI KUPATA COSINE NA SINE

    Angles zina cosines na sines na thamani sawa kabisa kama cosines na sines ya pembe zao za kumbukumbu. Ishara (chanya au hasi) inaweza kuamua kutoka quadrant ya angle.

    Jinsi ya: Kutokana na angle katika nafasi ya kawaida, pata angle ya kumbukumbu, na cosine na sine ya angle ya awali

    1. Pima angle kati ya upande wa mwisho wa angle iliyotolewa na mhimili usio na usawa. Hiyo ni angle ya kumbukumbu.
    2. Kuamua maadili ya cosine na sine ya angle ya kumbukumbu.
    3. Kutoa cosine ishara sawa na\(x\) -maadili katika quadrant ya angle ya awali.
    4. Kutoa sine ishara sawa na\(y\) -maadili katika quadrant ya angle ya awali.

    Mfano\(\PageIndex{6}\): Using Reference Angles to Find Sine and Cosine

    1. Kutumia angle ya kumbukumbu, pata thamani halisi ya\(\cos (150°)\) na\( \sin (150°)\).
    2. Kutumia angle ya kumbukumbu,\( \cos \dfrac{5π}{4}\) tafuta na\(\sin \frac{5π}{4}\).

    Suluhisho

    Hii inatuambia kwamba 150° ina maadili sawa ya sine na cosine kama 30°, isipokuwa kwa ishara. Tunajua kwamba

    Kwa kuwa\(150°\) iko katika quadrant ya pili,\(x\) -kuratibu ya uhakika kwenye mduara ni hasi, hivyo thamani ya cosine ni hasi. \(y\)Kuratibu ni chanya, hivyo thamani ya sine ni chanya.

    \(\dfrac{5π}{4}\)ni katika roboduara ya tatu. Angle yake ya kumbukumbu ni\( \left| \dfrac{5π}{4} - π \right| = \dfrac{π}{4} \). Cosine na sine ya\(\dfrac{π}{4} \) ni wote wawili\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). Katika quadrant ya tatu, wote wawili\(x\) na\(y\) ni hasi, hivyo:

    \( \cos \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)na\(\sin \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)

    Jaribu\(\PageIndex{6}\)

    1. Tumia angle ya kumbukumbu ya\(315°\) kupata\( \cos (315°) \) na\(\sin (315°)\).
    2. Tumia angle ya kumbukumbu ya\(−\dfrac{π}{6}\) kupata\( \cos \left(−\dfrac{π}{6}\right) \) na\( \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)\)
    Jibu
    1. \( \cos (315°)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin (315°)=\dfrac{–\sqrt{2}}{2}\)
    2. \(\cos \left(−\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)=−\frac{1}{2} \)

    Kutumia Angles za Kumbukumbu ili Kupata Kuratibu

    Sasa kwa kuwa tumejifunza jinsi ya kupata maadili ya cosine na sine kwa pembe maalum katika roboduara ya kwanza, tunaweza kutumia ulinganifu na pembe za kumbukumbu ili kujaza maadili ya cosine na sine kwa pembe zote maalum kwenye mduara wa kitengo. Wao ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{19}\). Kuchukua muda wa kujifunza\((x,y)\) kuratibu ya pembe zote kuu katika roboduara ya kwanza.

    Grafu ya mduara wa kitengo na pembe katika digrii, pembe katika radians, na pointi kando ya mduara ulioandikwa.
    Kielelezo\(\PageIndex{19}\): Pembe maalum na kuratibu za pointi zinazofanana kwenye mduara wa kitengo

    Mbali na kujifunza maadili kwa pembe maalum, tunaweza kutumia pembe za kumbukumbu ili kupata\((x,y)\) kuratibu za hatua yoyote kwenye mduara wa kitengo, kwa kutumia kile tunachojua cha pembe za kumbukumbu pamoja na utambulisho

    \[\begin{align*} x &= \cos t \\ y & = \sin t \end{align*}\]

    Kwanza tunapata angle ya kumbukumbu inayohusiana na angle iliyotolewa. Kisha tunachukua maadili ya sine na cosine ya angle ya kumbukumbu, na kuwapa ishara zinazohusiana na\(y\) - na\(x\) -maadili ya quadrant.

    Jinsi ya: Kutokana na angle ya uhakika kwenye mduara na radius ya mduara, tafuta\((x,y)\) coordinates of the point

    1. Pata angle ya kumbukumbu kwa kupima angle ndogo kwa\(x\) -axis.
    2. Pata cosine na sine ya angle ya kumbukumbu.
    3. Tambua ishara zinazofaa\(x\) na\(y\) katika quadrant iliyotolewa.

    Mfano\(\PageIndex{7}\): Using the Unit Circle to Find Coordinates

    Kupata kuratibu ya uhakika juu ya mduara kitengo kwa pembeni ya\(\dfrac{7π}{6}\).

    Suluhisho

    Tunajua kwamba angle\(\dfrac{7π}{6}\) iko katika quadrant ya tatu.

    Kwanza, hebu tupate angle ya kumbukumbu kwa kupima angle kwa\(x\) -axis. Ili kupata angle ya kumbukumbu ya angle ambayo upande wa terminal iko katika quadrant III, tunapata tofauti ya angle na\(π\).

    \[\dfrac{7π}{6}−π=\dfrac{π}{6} \nonumber \]

    Kisha, tutapata cosine na sine ya angle ya kumbukumbu:

    \[\cos \left( \dfrac{π}{6} \right) =\dfrac{3}{2} \;\;        \sin \left(\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]

    Lazima tueleze ishara zinazofaa\(x\) na\(y\) katika quadrant iliyotolewa. Kwa sababu angle yetu ya awali iko katika quadrant ya tatu, ambapo wote wawili\(x\) na\(y\) ni hasi, wote cosine na sine ni hasi.

    \[\begin{align*} \cos \left(\dfrac{7π}{6}\right) &=−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \left(\dfrac{7π}{6}\right) & =−\dfrac{1}{2} \end{align*}\]

    Sasa tunaweza kuhesabu\((x,y)\) kuratibu kwa kutumia utambulisho\(x= \cos θ\) na\(y= \sin θ\).

    Kuratibu za uhakika ni\(\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2}\right)\) kwenye mduara wa kitengo.

    Jaribu\(\PageIndex{7}\)

    Kupata kuratibu ya uhakika juu ya mduara kitengo kwa pembeni ya\(\dfrac{5π}{3}\).

    Jibu

    \(  \left( \dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)

    Mlinganyo muhimu

    Cosine \( \cos t=x\)
    Sine \( \sin t=y\)
    Identity ya Pythagorean \( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1\)

    Dhana muhimu

    • Kupata maadili ya kazi kwa sine na cosine huanza na kuchora mduara wa kitengo, unaozingatia asili na ina radius ya kitengo 1.
    • Kutumia mduara wa kitengo, sine ya angle\(t\) ni sawa na\(y\) -thamani ya mwisho kwenye mduara wa kitengo cha arc ya urefu\(t\) ambapo cosine ya angle\(t\) ni sawa na\(x\) -thamani ya mwisho. Angalia Mfano.
    • Maadili ya sine na cosine yanatambuliwa moja kwa moja wakati hatua inayofanana kwenye mduara wa kitengo iko kwenye mhimili. Angalia Mfano.
    • Wakati sine au cosine inajulikana, tunaweza kutumia Identity ya Pythagorean ili kupata nyingine. Identity ya Pythagorean pia ni muhimu kwa kuamua sines na cosines ya pembe maalum. Angalia Mfano.
    • Calculators na graphing programu ni muhimu kwa ajili ya kutafuta sines na cosines kama utaratibu sahihi wa kuingia habari inajulikana. Angalia Mfano.
    • Kikoa cha kazi za sine na cosine ni namba zote halisi.
    • Aina mbalimbali za kazi zote za sine na cosine ni\([−1,1]\).
    • Sine na cosine ya angle zina thamani sawa kabisa kama sine na cosine ya angle yake ya kumbukumbu.
    • Ishara za sine na cosine zinatambuliwa kutoka kwa x - na\(y\) -maadili katika quadrant ya angle ya awali.
    • Angle ya kumbukumbu ya angle ni angle ya ukubwa\(t\), iliyoundwa na upande wa mwisho wa angle\(t\) na mhimili usio na usawa. Angalia Mfano.
    • Pembe za kumbukumbu zinaweza kutumika kupata sine na cosine ya angle ya awali. Angalia Mfano.
    • Pembe za kumbukumbu zinaweza pia kutumiwa kupata kuratibu za uhakika kwenye mduara. Angalia Mfano.

    faharasa

    kazi ya cosine
    \(x\)thamani ya uhakika kwenye mduara wa kitengo sambamba na angle iliyotolewa
    Identity ya Pythagorean
    corollary ya Theorem ya Pythagorean kusema kwamba mraba wa cosine ya angle iliyotolewa pamoja na mraba wa sine ya angle hiyo ni sawa na 1
    kazi ya sine
    \(y\)thamani ya uhakika kwenye mduara wa kitengo sambamba na angle iliyotolewa
    mduara wa kitengo
    mduara na kituo cha saa\((0,0)\) na Radius 1.