# 7.2: Trigonometry ya Triangle ya kulia

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

Malengo ya kujifunza

• Tumia pembetatu sahihi ili kutathmini kazi za trigonometric.
• Pata maadili ya kazi kwa 30° ($$\dfrac{\pi}{6}$$), 45° ($$\dfrac{\pi}{4}$$), na 60° ($$\dfrac{\pi}{3}$$).
• Tumia cofunctions sawa ya pembe za ziada.
• Tumia ufafanuzi wa kazi za trigonometric ya pembe yoyote.
• Tumia trigonometry ya pembetatu ya kulia ili kutatua matatizo yaliyotumika.

Mlima. Everest, ambayo inakabiliwa na mpaka kati ya China na Nepal, ni mlima mrefu zaidi duniani. Kupima urefu wake sio kazi rahisi na, kwa kweli, kipimo halisi kimekuwa chanzo cha utata kwa mamia ya miaka. Mchakato wa upimaji unahusisha matumizi ya pembetatu na tawi la hisabati linalojulikana kama trigonometry. Katika sehemu hii, tutafafanua kundi jipya la kazi inayojulikana kama kazi za trigonometric, na kujua jinsi gani zinaweza kutumiwa kupima urefu, kama vile za milima mirefu zaidi.

Tumeelezea hapo awali sine na cosine ya angle kwa suala la kuratibu za uhakika kwenye mduara wa kitengo ulioingiliana na upande wa mwisho wa angle:

\begin{align*} \cos t &= x \\ \sin t &=y \end{align*}

Katika sehemu hii, tutaona njia nyingine ya kufafanua kazi za trigonometric kwa kutumia mali ya pembetatu sahihi.

## Kutumia Pembetatu za kulia kutathmini Kazi za Trigonometric

Katika sehemu za awali, tulitumia mduara wa kitengo ili kufafanua kazi za trigonometric. Katika sehemu hii, sisi kupanua ufafanuzi wale ili tuweze kuyatumia pembetatu haki. Thamani ya kazi ya sine au cosine ya$$t$$ ni thamani yake kwa$$t$$ radians. Kwanza, tunahitaji kujenga pembetatu yetu sahihi. Kielelezo$$\PageIndex{1}$$ inaonyesha uhakika juu ya kitengo mduara wa radius 1. Ikiwa tunaacha sehemu ya mstari wa wima kutoka hatua$$(x,y)$$ hadi x -axis, tuna pembetatu ya kulia ambayo upande wa wima una urefu$$y$$ na ambao upande wa usawa una urefu$$x$$. Tunaweza kutumia pembetatu hii ya kulia ili kufafanua upya sine, cosine, na kazi nyingine za trigonometric kama uwiano wa pande za pembetatu sahihi.

Tunajua

$\cos t= \frac{x}{1}=x$

Vivyo hivyo, tunajua

$\sin t= \frac{y}{1}=y$

Uwiano huu bado unatumika kwa pande za pembetatu sahihi wakati hakuna mduara wa kitengo unaohusika na wakati pembetatu haipo katika nafasi ya kawaida na haipatikani kwa kutumia$$(x,y)$$ kuratibu. Ili uweze kutumia uwiano huu kwa uhuru, tutatoa pande majina zaidi ya jumla: Badala ya$$x$$, tutaita upande kati ya angle iliyotolewa na angle ya kulia upande wa karibu na angle$$t$$. (Karibu ina maana “karibu na.”) Badala ya$$y$$, tutaita upande wa mbali zaidi kutoka kwa angle iliyotolewa upande wa pili kutoka angle$$t$$. Na badala ya$$1$$, tutaita upande wa pembetatu sahihi kinyume na angle ya kulia hypotenuse. Pande hizi zimeandikwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{2}$$.

## Uelewa wa Triangle Haki

Kutokana pembetatu haki na angle papo hapo ya$$t$$,

\begin{align} \sin (t) &= \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} \label{sindef}\\ \cos (t) &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \label{cosdef}\\ \tan (t) &= \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} \label{tandef}\end{align}

Kumbukumbu ya kawaida kwa kukumbuka mahusiano haya ni SohCahToa, sumu kutoka barua ya kwanza ya “S mstari ni kinyume juu ya h hypotenuse, C Rosine ni karibu juu ya h hypotenuse, T angent ni kinyume juu ya karibu.”

jinsi ya: Kutokana na urefu wa upande wa pembetatu sahihi na moja ya pembe za papo hapo, pata sine, cosine, na tangent ya pembe hiyo

1. Pata sine kama uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse.
2. Pata cosine kama uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse.
3. Pata tangent ni uwiano wa upande wa pili na upande wa karibu.

Mfano$$\PageIndex{1}$$: Evaluating a Trigonometric Function of a Right Triangle

Kutokana pembetatu inavyoonekana katika Kielelezo$$\PageIndex{3}$$, kupata thamani ya$$\cos α$$.

Suluhisho

Upande ulio karibu na angle ni 15, na hypotenuse ya pembetatu ni 17, hivyo kupitia Equation\ ref {cosdef}:

\begin{align*} \cos (α) &= \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}} \\[4pt] &= \dfrac{15}{17} \end{align*}

Zoezi$$\PageIndex{1}$$

Kutokana pembetatu inavyoonekana katika Kielelezo$$\PageIndex{4}$$, kupata thamani ya$$\sin t$$.

Jibu

$$\frac{7}{25}$$

## Kuhusiana na Angles na Kazi Zake

Wakati wa kufanya kazi na pembetatu sahihi, sheria hizo zinatumika bila kujali mwelekeo wa pembetatu. Kwa kweli, tunaweza kutathmini kazi sita za trigonometric za mojawapo ya pembe mbili za papo hapo katika pembetatu kwenye Mchoro$$\PageIndex{5}$$. Upande kinyume na angle moja ya papo hapo ni upande karibu na angle nyingine ya papo hapo, na kinyume chake.

Tutaulizwa kupata kazi zote sita za trigonometric kwa angle iliyotolewa katika pembetatu. Mkakati wetu ni kupata sine, cosine, na tangent ya pembe kwanza. Kisha, tunaweza kupata kazi nyingine za trigonometric kwa urahisi kwa sababu tunajua kwamba usawa wa sine ni cosecant, usawa wa cosine ni salama, na usawa wa tangent ni cotangent.

jinsi ya: Kutokana na urefu wa upande wa pembetatu sahihi, tathmini kazi sita za trigonometric za moja ya pembe za papo hapo

1. Ikiwa inahitajika, futa pembetatu sahihi na uandike angle iliyotolewa.
2. Tambua angle, upande wa karibu, upande kinyume na angle, na hypotenuse ya pembetatu sahihi.
3. Pata kazi inayohitajika:
• sine kama uwiano wa upande wa kinyume na hypotenuse
• cosine kama uwiano wa upande wa karibu na hypotenuse
• tangent kama uwiano wa upande kinyume na upande wa karibu
• secant kama uwiano wa hypotenuse kwa upande wa karibu
• cosecant kama uwiano wa hypotenuse kwa upande wa pili
• cotangent kama uwiano wa upande wa karibu na upande wa pili

Mfano$$\PageIndex{2}$$: Evaluating Trigonometric Functions of Angles Not in Standard Position

Kutumia pembetatu iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{6}$$, tathmini$$\sin α, \cos α, \tan α, \sec α, \csc α,$$ na$$\cot α$$.

Suluhisho

\begin{align*} \sin α &= \dfrac{\text{opposite } α}{\text{hypotenuse}} = \dfrac{4}{5} \\ \cos α &= \dfrac{\text{adjacent to }α}{\text{hypotenuse}}=\dfrac{3}{5} \\ \tan α &= \dfrac{\text{opposite }α}{\text{adjacent to }α}=\dfrac{4}{3} \\ \sec α &= \dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{adjacent to }α}= \dfrac{5}{3} \\ \csc α &= \dfrac{\text{hypotenuse}}{\text{opposite }α}=\dfrac{5}{4} \\ \cot α &= \dfrac{\text{adjacent to }α}{\text{opposite }α}=\dfrac{3}{4} \end{align*}

Zoezi$$\PageIndex{2}$$

Kutumia pembetatu iliyoonyeshwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{7}$$, tathmini$$\sin t, \cos t,\tan t, \sec t, \csc t,$$ na$$\cot t$$.

Jibu

\begin{align*} \sin t &= \frac{33}{65}, \cos t= \frac{56}{65},\tan t= \frac{33}{56}, \\ \\ \sec t &= \frac{65}{56},\csc t= \frac{65}{33},\cot t= \frac{56}{33} \end{align*}

## Kutafuta Kazi za Trigonometric za Angles maalum Kutumia Urefu wa Upande

Tayari tumejadili kazi za trigonometric kama zinahusiana na pembe maalum kwenye mduara wa kitengo. Sasa, tunaweza kutumia mahusiano hayo kutathmini pembetatu zilizo na pembe hizo maalum. Tunafanya hivyo kwa sababu tunapotathmini pembe maalum katika kazi za trigonometric, zina maadili ya kirafiki, maadili ambayo yana ama hapana au mizizi moja tu ya mraba katika uwiano. Kwa hiyo, hizi ni pembe mara nyingi hutumika katika matatizo ya hisabati na sayansi. Tutatumia wingi wa$$30°, 60°,$$ na$$45°$$, hata hivyo, kumbuka kwamba wakati wa kushughulika na pembetatu sahihi, sisi ni mdogo kwa pembe kati ya$$0° \text{ and } 90°$$.

Tuseme tuna$$30°,60°,90°$$ pembetatu, ambayo inaweza pia kuelezewa kama$$\frac{π}{6}, \frac{π}{3},\frac{π}{2}$$ pembetatu. Pande zina urefu katika uhusiano Pande$$s,\sqrt{3}s,2s.$$ za$$45°,45°,90°$$ pembetatu, ambazo zinaweza pia kuelezewa kama$$\frac{π}{4},\frac{π}{4},\frac{π}{2}$$ pembetatu, zina urefu katika uhusiano Mahusiano$$s,s,\sqrt{2}s.$$ haya yanaonyeshwa kwenye Mchoro$$\PageIndex{8}$$.

Tunaweza kutumia uwiano wa urefu wa upande ili kutathmini kazi za trigonometric za pembe maalum.

Kutokana na kazi za trigonometric za angle maalum, tathmini kutumia urefu wa upande.

1. Tumia urefu wa upande umeonyeshwa kwenye Kielelezo$$\PageIndex{8}$$ kwa angle maalum unayotaka kutathmini.
2. Tumia uwiano wa urefu wa upande unaofaa kwa kazi unayotaka kutathmini.

Mfano$$\PageIndex{3}$$: Evaluating Trigonometric Functions of Special Angles Using Side Lengths

Kupata thamani halisi ya kazi trigonometric ya$$\frac{π}{3}$$, kwa kutumia urefu upande.

Suluhisho

\begin{align*} \sin (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{\sqrt{3}s}{2s}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\dfrac{s}{2s}=\dfrac{1}{2} \\ \tan (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}} =\dfrac{\sqrt{3}s}{s}=\sqrt{3} \\ \sec (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}} = \dfrac{2s}{s}=2 \\ \csc (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{hyp}}{\text{opp}} =\dfrac{2s}{\sqrt{3}s}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3} \\ \cot (\dfrac{π}{3}) &= \dfrac{\text{adj}}{\text{opp}}=\dfrac{s}{\sqrt{3}s}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \end{align*}

Zoezi$$\PageIndex{3}$$

Pata thamani halisi ya kazi za trigonometric za$$\frac{π}{4}$$ kutumia urefu wa upande.

Jibu

$$\sin (\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \cos (\frac{π}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan (\frac{π}{4})=1,$$

$$\sec (\frac{π}{4})=\sqrt{2}, \csc (\frac{π}{4})=\sqrt{2}, \cot (\frac{π}{4}) =1$$

## Kutumia Cofunction sawa ya kukamilika

Ikiwa tunaangalia kwa karibu zaidi uhusiano kati ya sine na cosine ya pembe maalum kuhusiana na mduara wa kitengo, tutaona mfano. Katika pembetatu ya kulia na pembe za$$\frac{π}{6}$$ na$$\frac{π}{3}$$, tunaona kwamba sine ya$$\frac{π}{3}$$, yaani$$\frac{\sqrt{3}}{2}$$, pia ni cosine ya$$\frac{π}{6}$$, wakati sine ya$$\frac{π}{6}$$, yaani pia$$\frac{1}{2},$$ ni cosine ya$$\frac{π}{3}$$ (Kielelezo$$\PageIndex{9}$$).

\begin{align*} \sin \frac{π}{3} &= \cos \frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}s}{2s}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \frac{π}{6} &= \cos \frac{π}{3}=\frac{s}{2s}=\frac{1}{2} \end{align*}

Matokeo haya haipaswi kuwa ajabu kwa sababu, kama tunavyoona kutoka Kielelezo$$\PageIndex{9}$$, upande kinyume angle ya pia$$\frac{π}{3}$$ ni upande karibu na$$\frac{π}{6}$$, hivyo$$\sin (\frac{π}{3})$$ na$$\cos (\frac{π}{6})$$ ni sawa uwiano wa pande moja mbili,$$\sqrt{3} s$$ na$$2s.$$ Vile vile,$$\cos (\frac{π}{3})$$ na$$\sin (\frac{π}{6})$$ pia uwiano sawa kwa kutumia pande mbili sawa,$$s$$ na$$2s$$.

Uhusiano kati ya sines na cosines$$\frac{π}{6}$$ na$$\frac{π}{3}$$ pia ana kwa pembe mbili za papo hapo katika pembetatu yoyote ya kulia, kwa kuwa katika kila kesi, uwiano wa pande mbili sawa ingekuwa na sine ya pembe moja na cosine ya nyingine. Kwa kuwa pembe tatu za pembetatu zinaongeza π, na pembe ya kulia ni$$\frac{π}{2}$$, pembe mbili zilizobaki lazima pia ziongeze hadi$$\frac{π}{2}$$. Hiyo ina maana kwamba pembetatu ya kulia inaweza kuundwa na pembe zozote mbili zinazoongeza$$\frac{π}{2}$$ - kwa maneno mengine, pembe zozote mbili za ziada. Kwa hiyo tunaweza kusema utambulisho wa cofunction: Ikiwa pembe mbili ni za ziada, sine ya moja ni cosine ya nyingine, na kinyume chake. Utambulisho huu ni mfano katika Kielelezo$$\PageIndex{10}$$.

Kutumia utambulisho huu, tunaweza hali bila kuhesabu, kwa mfano, kwamba sine ya$$\frac{π}{12}$$ sawa cosine ya$$\frac{5π}{12}$$, na kwamba sine ya$$\frac{5π}{12}$$ sawa cosine ya$$\frac{π}{12}$$. Tunaweza pia kusema kwamba kama, kwa pembe fulani$$t, \cos t= \frac{5}{13},$$ basi$$\sin (\frac{π}{2}−t)=\frac{5}{13}$$ pia.

UTAMBULISHO COFUNCTION

Utambulisho wa cofunction katika radians umeorodheshwa katika Jedwali$$\PageIndex{1}$$.

 $$\cos t= \sin (\frac{π}{2}−t)$$ $$\sin t= \cos (\dfrac{π}{2}−t)$$ $$\tan t= \cot (\dfrac{π}{2}−t)$$ $$\cot t= \tan (\dfrac{π}{2}−t)$$ $$\sec t= \csc (\dfrac{π}{2}−t)$$ $$\csc t= \sec (\dfrac{π}{2}−t)$$

jinsi ya: Kutokana na sine na cosine ya angle, pata sine au cosine ya inayosaidia.

1. Ili kupata sine ya angle ya ziada, tafuta cosine ya angle ya awali.
2. Ili kupata cosine ya angle ya ziada, pata sine ya angle ya awali.

Mfano$$\PageIndex{4}$$: Using Cofunction Identities

Kama$$\sin t = \frac{5}{12},$$ kupata$$( \cos \frac{π}{2}−t)$$.

Suluhisho

Kulingana na utambulisho cofunction kwa ajili ya sine na cosine,

$\sin t= \cos (\dfrac{π}{2}−t). \nonumber$

Hivyo

$\cos (\dfrac{π}{2}−t)= \dfrac{5}{12}. \nonumber$

Zoezi$$\PageIndex{4}$$

Ikiwa$$\csc (\frac{π}{6})=2,$$ hupata$$\sec (\frac{π}{3}).$$

Suluhisho

2

## Kutumia Kazi za Trigonometric

Katika mifano ya awali, tulipima sine na cosine katika pembetatu ambapo tulijua pande zote tatu. Lakini nguvu halisi ya pembetatu ya pembetatu ya kulia inatokea tunapoangalia pembetatu ambazo tunajua angle lakini sijui pande zote.

jinsi ya: Kutokana na pembetatu sahihi, urefu wa upande mmoja, na kipimo cha angle moja ya papo hapo, pata pande zilizobaki

1. Kwa kila upande, chagua kazi ya trigonometric ambayo ina upande usiojulikana kama namba au denominator. Upande unaojulikana utakuwa denominator au nambari.
2. Andika equation kuweka thamani ya kazi ya angle inayojulikana sawa na uwiano wa pande sambamba.
3. Kutumia thamani ya kazi ya trigonometric na urefu wa upande unaojulikana, tatua kwa urefu wa upande usiopotea.

Mfano$$\PageIndex{5}$$: Finding Missing Side Lengths Using Trigonometric Ratios

Pata pande zisizojulikana za pembetatu kwenye Kielelezo$$\PageIndex{11}$$.

Suluhisho

Tunajua angle na upande wa pili, ili tuweze kutumia tangent kupata upande wa karibu.

$\tan (30°)= \dfrac{7}{a} \nonumber$

Sisi upya kutatua kwa$$a$$.

\begin{align} a &=\dfrac{7}{ \tan (30°)} \\ & =12.1 \end{align} \nonumber

Tunaweza kutumia sine kupata hypotenuse.

$\sin (30°)= \dfrac{7}{c} \nonumber$

Tena, sisi upya kutatua kwa$$c$$.

\begin{align*} c &= \dfrac{7}{\sin (30°)} =14 \end{align*}

Zoezi$$\PageIndex{5}$$:

Pembetatu ya kulia ina angle moja ya$$\frac{π}{3}$$ na hypotenuse ya 20. Pata pande zisizojulikana na angle ya pembetatu.

Jibu

$$\mathrm{adjacent=10; opposite=10 \sqrt{3}; }$$kukosa angle ni$$\frac{π}{6}$$

## Kutumia Trigonometry ya Triangle ya Haki ili kutatua Matatizo yaliyotumika

Trigonometry ya pembetatu ya kulia ina maombi mengi ya vitendo. Kwa mfano, uwezo wa kukokotoa urefu wa pande za pembetatu hufanya iwezekanavyo kupata urefu wa kitu kirefu bila kupanda hadi juu au kuwa na kupanua kipimo cha mkanda pamoja na urefu wake. Tunafanya hivyo kwa kupima umbali kutoka kwa msingi wa kitu hadi kwenye ardhi umbali fulani mbali, ambapo tunaweza kuangalia juu ya kitu kirefu kwa pembe. Pembe ya mwinuko wa kitu juu ya mwangalizi jamaa na mwangalizi ni angle kati ya usawa na mstari kutoka kitu hadi jicho la mwangalizi. Pembetatu ya kulia nafasi hii inajenga ina pande ambazo zinawakilisha urefu usiojulikana, umbali uliopimwa kutoka msingi, na mstari wa angled wa kuona kutoka chini hadi juu ya kitu. Kujua umbali uliopimwa kwa msingi wa kitu na angle ya mstari wa kuona, tunaweza kutumia kazi za trigonometric kuhesabu urefu usiojulikana. Vile vile, tunaweza kuunda pembetatu kutoka juu ya kitu kirefu kwa kuangalia chini. Pembe ya unyogovu wa kitu chini ya mwangalizi jamaa na mwangalizi ni angle kati ya usawa na mstari kutoka kitu hadi jicho la mwangalizi. Angalia Kielelezo$$\PageIndex{12}$$.

jinsi ya: Kutokana na kitu mrefu, kupima urefu wake moja kwa moja

1. Kufanya mchoro wa hali ya tatizo kuweka wimbo wa habari inayojulikana na haijulikani.
2. Weka umbali uliopimwa kutoka kwa msingi wa kitu hadi mahali ambapo juu ya kitu kinaonekana wazi.
3. Kwa upande mwingine wa umbali uliopimwa, angalia hadi juu ya kitu. Pima angle mstari wa kuona unafanya kwa usawa.
4. Andika equation inayohusiana na urefu usiojulikana, umbali uliopimwa, na tangent ya angle ya mstari wa kuona.
5. Tatua equation kwa urefu usiojulikana.

Mfano$$\PageIndex{6}$$: Measuring a Distance Indirectly

Ili kupata urefu wa mti, mtu anatembea hadi hatua ya miguu 30 kutoka chini ya mti. Anapima pembe ya 57° 57° kati ya mstari wa kuona hadi juu ya mti na ardhi, kama inavyoonekana katika Kielelezo$$\PageIndex{13}$$. Pata urefu wa mti.

Suluhisho

Tunajua kwamba angle ya mwinuko ni$$57°$$ na upande wa karibu ni urefu wa futi 30. Upande wa pili ni urefu usiojulikana.

Kazi ya trigonometric inayohusiana na upande kinyume na angle na upande karibu na angle ni tangent. Hivyo sisi hali taarifa zetu katika suala la tangent ya$$57°$$, kuruhusu$$h$$ kuwa urefu haijulikani.

$\begin{array}{cl} \tan θ = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}} & \text{} \\ \tan (57°) = \dfrac{h}{30} & \text{Solve for }h. \\ h=30 \tan (57°) & \text{Multiply.} \\ h≈46.2 & \text{Use a calculator.} \end{array}$

Mti huu ni takriban urefu wa futi 46.

Zoezi$$\PageIndex{6}$$:

Je! Ngazi inahitajika kwa muda gani kufikia dirisha la miguu 50 juu ya ardhi ikiwa ngazi inakaa dhidi ya jengo linalofanya angle ya$$\frac{5π}{12}$$ ardhi? Pande zote kwa mguu wa karibu.

Jibu

Kuhusu 52 ft

vyombo vya habari:

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na trigonometry ya pembetatu ya kulia.

Ziara tovuti hii kwa maswali ya ziada mazoezi kutoka Learningpod.

## Mlinganyo muhimu

Utambulisho wa ushirikiano

\begin{align*} \cos t &= \sin ( \frac{π}{2}−t) \\ \sin t &= \cos (\frac{π}{2}−t) \\ \tan t &= \cot (\frac{π}{2}−t) \\ \cot t &= \tan (\frac{π}{2}−t) \\ \sec t &= \csc (\frac{π}{2}−t) \\ \csc t &= \sec (\frac{π}{2}−t) \end{align*}

## Dhana muhimu

• Tunaweza kufafanua kazi za trigonometric kama uwiano wa urefu wa upande wa pembetatu sahihi. Angalia Mfano.
• Urefu wa upande huo unaweza kutumika kutathmini kazi za trigonometric za angle ya papo hapo katika pembetatu sahihi. Angalia Mfano.
• Tunaweza kutathmini kazi za trigonometric za pembe maalum, kujua urefu wa upande wa pembetatu ambao hutokea. Angalia Mfano.
• Vipande viwili vya ziada vinaweza kuwa pembe mbili za pembetatu sahihi.
• Ikiwa pembe mbili ni za ziada, utambulisho wa cofunction unasema kwamba sine ya moja sawa na cosine ya nyingine na kinyume chake. Angalia Mfano.
• Tunaweza kutumia kazi za trigonometric za angle ili kupata urefu usiojulikana wa upande.
• Chagua kazi ya trigonometric inayowakilisha uwiano wa upande usiojulikana kwa upande unaojulikana. Angalia Mfano.
• Trigonometry ya pembetatu ya kulia inaruhusu kipimo cha urefu na umbali usiowezekana.
• Urefu usiojulikana au umbali unaweza kupatikana kwa kuunda pembetatu sahihi ambayo urefu usiojulikana au umbali ni moja ya pande, na upande mwingine na angle hujulikana. Angalia Mfano.

## faharasa

upande wa karibu
katika pembetatu ya kulia, upande kati ya angle fulani na angle sahihi
angle ya unyogovu
angle kati ya usawa na mstari kutoka kitu hadi jicho la mwangalizi, kuchukua kitu ni nafasi ya chini kuliko mwangalizi
angle ya mwinuko
angle kati ya usawa na mstari kutoka kitu hadi jicho la mwangalizi, kuchukua kitu ni nafasi ya juu kuliko mwangalizi
upande wa pili
katika pembetatu ya kulia, upande wa mbali zaidi kutoka angle fulani
upande mrefu wa pembetatu
upande wa pembetatu ya kulia kinyume na pembe ya kulia