13.5: Mashamba ya Umeme yaliyoingizwa
- Page ID
- 175929
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Unganisha uhusiano kati ya emf inayotokana na sheria ya Faraday kwenye uwanja wa umeme, na hivyo kuonyesha kwamba mabadiliko ya magnetic flux inajenga uwanja wa umeme
- Tatua kwa uwanja wa umeme kulingana na mabadiliko ya magnetic flux kwa wakati
Ukweli kwamba emfs huingizwa katika nyaya ina maana kwamba kazi inafanyika kwenye elektroni za uendeshaji kwenye waya. Ni nini kinachoweza kuwa chanzo cha kazi hii? Tunajua kwamba sio betri wala shamba la magnetic, kwa betri haipaswi kuwepo katika mzunguko ambapo sasa ni ikiwa, na mashamba ya magnetic hayafanya kazi kwenye mashtaka ya kusonga. Jibu ni kwamba chanzo cha kazi ni shamba la umeme\(\vec{E}\) ambalo linaingizwa kwenye waya. Kazi\(\vec{E}\) iliyofanywa na kusonga malipo ya kitengo kabisa karibu na mzunguko ni emf ikiwa\(ε\); yaani,
\[\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l},\]ambapo\(\oint\) inawakilisha mstari muhimu kuzunguka mzunguko. Sheria ya Faraday inaweza kuandikwa kwa suala la shamba la umeme linaloingizwa kama
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}.\]
Kuna tofauti muhimu kati ya uwanja wa umeme unaosababishwa na shamba la magnetic linalobadilika na shamba la umeme linalozalishwa na usambazaji wa malipo ya kudumu. Hasa, uwanja wa umeme unaosababishwa hauna kihafidhina kwa sababu inafanya kazi ya wavu katika kusonga malipo juu ya njia iliyofungwa, wakati uwanja wa umeme ni kihafidhina na haufanyi kazi ya wavu juu ya njia iliyofungwa. Kwa hiyo, uwezo wa umeme unaweza kuhusishwa na shamba la umeme, lakini si kwa shamba linaloingizwa. Equations zifuatazo zinawakilisha tofauti kati ya aina mbili za uwanja wa umeme:
\[ \underbrace{\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} \neq 0}_{\text{Induced Electric Field}}\]
\[\underbrace{ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = 0}_{\text{Electrostatic Electric Fields}}.\]
Matokeo yetu yanaweza kufupishwa kwa kuchanganya equations hizi:
\[\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}. \label{eq5}\]
Je, ni uwanja wa umeme unaosababishwa katika coil ya mviringo ya Mfano 13.3.1A (na Mchoro 13.3.3) mara tatu zilizoonyeshwa?
Mkakati
Kutumia ulinganifu wa cylindrical, shamba la umeme linajumuisha ndani ya uwanja wa umeme mara mzunguko wa mduara. Kwa kuwa tayari tunajua emf iliyosababishwa, tunaweza kuunganisha maneno haya mawili na sheria ya Faraday kutatua kwa uwanja wa umeme ulioingizwa.
Suluhisho
Uwanja wa umeme ulioingizwa katika coil ni mara kwa mara kwa ukubwa juu ya uso wa cylindrical, sawa na jinsi matatizo ya sheria ya Ampere na mitungi yanatatuliwa. Tangu\(\vec{E}\) ni tangent kwa coil,
\[\oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = \oint E dl = 2 \pi r E. \nonumber\]
Wakati pamoja na Equation\ ref {eq5}, hii inatoa
\[E = \dfrac{\epsilon}{2\pi r}. \nonumber\]
Mwelekeo wa\(\epsilon\) ni kinyume chake, na\(\vec{E}\) huzunguka katika mwelekeo huo karibu na coil. Maadili ya E ni
\[ \begin{align*} E(t_1) &= \dfrac{6.0 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 1.9 \, V/m; \\[4pt] E(t_2) &= \dfrac{4.7 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 1.5 \, V/m; \\[4pt] E(t_3) &= \dfrac{0.040 \, V}{2\pi \, (0.50 \, m)} = 0.013 \, V/m; \end{align*}\]
Umuhimu
Wakati magnetic inapita kwa njia ya mabadiliko ya mzunguko, shamba la umeme lisilo la kihafidhina linaloingizwa, ambalo linaendesha sasa kupitia mzunguko. Lakini ni nini kinachotokea ikiwa\(dB/dt \neq 0\) katika nafasi ya bure ambapo hakuna njia ya kuendesha? Jibu ni kwamba kesi hii inaweza kutibiwa kama njia ya uendeshaji ilikuwapo; yaani, mashamba ya umeme yasiyo ya kihafidhina yanatokana popote\(dB/dt \neq 0\) ikiwa kuna njia inayoendesha sasa.
Mashamba haya ya umeme yasiyo ya kihafidhina daima yanakidhi Equation\ ref {eq5}. Kwa mfano, ikiwa coil ya mviringo iliondolewa, uwanja wa umeme katika\(r = 0.50 \, m\) nafasi ya bure bado utaelekezwa kinyume chake, na ukubwa wake bado utakuwa 1.9 V/m saa\(t = 0\) 1.5 V/m saa\(t = 5.0 \times 10^{-2}s\), nk Kuwepo kwa mashamba ya umeme ikiwa ni hakika sio vikwazo kwa waya katika nyaya.
Kielelezo\(\PageIndex{1a}\) inaonyesha solenoid kwa muda mrefu na Radius R na n zamu kwa kitengo urefu; sasa yake itapungua kwa muda kulingana na\(I = I_0 e^{-\alpha t}\). Je, ni ukubwa wa uwanja ikiwa umeme katika hatua umbali r kutoka mhimili kati ya solenoid (a) wakati\(r > R\) na (b) wakati\(r < R\) [Kielelezo\(\PageIndex{1b}\)]. (c) Ni mwelekeo gani wa uwanja ulioingizwa katika maeneo yote mawili? Kudhani kwamba infinite-solenoid makadirio ni halali katika mikoa ya riba.

Mkakati
Kutumia formula ya shamba la magnetic ndani ya solenoid isiyo na kipimo na sheria ya Faraday, tunahesabu emf iliyosababishwa. Kwa kuwa tuna ulinganifu wa cylindrical, uwanja wa umeme muhimu hupunguza mara uwanja wa umeme mzunguko wa njia ya ushirikiano. Kisha sisi kutatua kwa uwanja wa umeme.
Suluhisho
- shamba magnetic ni funge kwa mambo ya ndani ya solenoid ambapo\[B = \mu_0 nI = \mu_0 n I_0 e^{-\alpha t}.\] Hivyo, flux magnetic kupitia njia ya mviringo ambao radius r ni kubwa kuliko R, radius solenoid, ni\[\Phi_m = BA = \mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t}.\] shamba ikiwa\(\vec{E}\) ni tangent kwa njia hii, na kwa sababu ya cylindrical ulinganifu wa mfumo, ukubwa wake ni mara kwa mara juu ya njia. Hivyo, tuna\[\left| \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\right| = \left|\dfrac{d\Phi_m}{dt}\right|,\]\[E(2\pi r) = \left|\dfrac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t})\right| = \alpha \mu_0 n I_0 \pi R^2 e^{-\alpha t},\]\[E = \dfrac{\alpha \mu_0 n I_0 R^2}{2r} e^{-\alpha t} \, (r > R).\]
- Kwa njia ya Radius r ndani ya solenoid\(\Phi_m = B\pi r^2\),, hivyo\[E(2\pi) = \left|\dfrac{d}{dt} (\mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t})\right| = \alpha \mu_0 n I_0 \pi r^2 e^{-\alpha t},\] na shamba ikiwa ni\[ E = \dfrac{\alpha \mu_0 n I_0 r}{2} e^{-\alpha t} \, (r < R).\]
- Sehemu ya magnetic inaingia kwenye ukurasa kama inavyoonekana katika sehemu (b) na inapungua. Ikiwa mojawapo ya njia za mviringo zilichukuliwa na kufanya pete, mikondo iliyoingizwa ndani yao ingekuwa ikizunguka kama inavyoonekana, kulingana na sheria ya Lenz. Shamba la umeme linaloingizwa lazima lielekezwe pia.
Umuhimu
Katika sehemu (b), kumbuka kuwa\(|\vec{E}|\) kuongezeka kwa r ndani na itapungua kama 1/r nje solenoid, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

Tuseme kwamba coil ya Mfano 13.3.1A ni mraba badala ya mviringo. Je, Equation\ ref {eq5} inaweza kutumika kuhesabu (a) emf ikiwa na (b) ikiwa shamba umeme?
- Jibu
-
Ndiyo; b Ndiyo; hata hivyo kuna ukosefu wa ulinganifu kati ya uwanja wa umeme na coil, na kufanya uhusiano\(\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\) mgumu zaidi ambao hauwezi kuwa rahisi kama inavyoonekana katika mfano.
Je, ni ukubwa wa uwanja wa umeme ulioingizwa\(\PageIndex{2}\) katika Mfano\(t = 0\) ikiwa\(r = 6.0 \, cm\),\(R = 2.0 \, cm\),\(n = 2000\) inarudi kwa mita,\(I_0 = 2.0 \, A\), na\(\alpha = 200 \, s^{-1}\)?
- Jibu
-
\(3.4 \times 10^{-3} \, V/m\)
Sehemu ya magnetic iliyoonyeshwa hapa chini imefungwa kwenye kanda ya cylindrical iliyoonyeshwa na inabadilika kwa wakati. Kutambua njia hizo kwa ajili ya ambayo\(\epsilon = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} \neq 0\).
- Jibu
-
\(P_1, \, P_2, \, P_4\)
A long solenoid of cross-sectional area \(5.0 \, cm^2\) is wound with 25 turns of wire per centimeter. It is placed in the middle of a closely wrapped coil of 10 turns and radius 25 cm, as shown below. (a) What is the emf induced in the coil when the current through the solenoid is decreasing at a rate \(dI/dt = -0.20 \, A/s\)? (b) What is the electric field induced in the coil?
- Jibu
-
a.\(3.1 \times 10^{-6} V\); b. \(2.0 \times 10^{-7} \, V/m\)