12.2: Sheria ya Biot-Savart
- Page ID
- 175839
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza jinsi ya kupata shamba la magnetic kutoka kwa sasa ya kiholela katika sehemu ya mstari
- Tumia shamba la magnetic kutoka kwa sheria ya Biot-Savart katika jiometri maalum, kama vile sasa katika mstari na sasa katika arc mviringo
Tumeona kwamba molekuli inazalisha shamba la mvuto na pia huingiliana na shamba hilo. Malipo hutoa shamba la umeme na pia huingiliana na shamba hilo. Kwa kuwa kusonga malipo (yaani, sasa) huingiliana na shamba la magnetic, tunaweza kutarajia kwamba pia hujenga shamba hilo-na linafanya.

Ulinganisho uliotumiwa kuhesabu uwanja wa magnetic uliozalishwa na sasa unajulikana kama sheria ya Biot-Savart. Ni sheria ya upimaji inayoitwa kwa heshima ya wanasayansi wawili ambao walichunguza mwingiliano kati ya waya moja kwa moja, ya sasa ya kubeba na sumaku ya kudumu. Sheria hii inatuwezesha kuhesabu ukubwa na mwelekeo wa shamba la magnetic zinazozalishwa na sasa katika waya. Sheria ya Biot-Savart inasema kwamba wakati wowote\(P\) (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)), shamba la magnetic\(d\vec{B}\) kutokana na kipengele\(d\vec{l}\) cha waya wa sasa wa kubeba hutolewa na
\[d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \label{Biot-Savart law}\]
Mara kwa mara\(\mu_0\) inajulikana kama upenyezaji wa nafasi ya bure na ni hasa
\[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\, T \cdot m/A \label{eq1}\]
katika mfumo wa SI. Infinitesimal waya sehemu\(d\vec{l}\) ni katika mwelekeo sawa na sasa\(I\) (kudhani chanya),\(r\) ni umbali kutoka\(d\vec{l}\) kwa\(P\) na\(\hat{r}\) ni kitengo vector kwamba pointi kutoka\(d\vec{l}\) kwa\(P\), kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Mwelekeo wa\(d\vec{B}\) imedhamiriwa kwa kutumia utawala wa mkono wa kulia kwa bidhaa ya vector\(d\vec{l} \times \hat{r}\). Ukubwa wa\(d\vec{B}\) ni
\[dB = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \dfrac{I \, dl \, \sin \, \theta}{r^2} \label{eq2}\]
\(\theta\)wapi pembe kati\(d\vec{l}\) na\(\hat{r}\). Angalia kwamba ikiwa\(\theta = 0\), basi\(d\vec{B} = \vec{0}\). Shamba lililozalishwa na kipengele cha sasa\(I d\vec{l}\) hakina sehemu inayofanana na\(d\vec{l}\).
Sehemu ya magnetic kutokana na urefu wa mwisho wa waya wa kubeba sasa hupatikana kwa kuunganisha Equation\ ref {eq1} kando ya waya, kutupa fomu ya kawaida ya sheria ya Biot-Savart.
Sehemu ya magnetic\(\vec{B}\) kutokana na kipengele\(d\vec{l}\) cha waya ya sasa ya kubeba hutolewa na
\[\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \label{BS}\]
Kwa kuwa hii ni muhimu ya vector, michango kutoka kwa vipengele tofauti vya sasa haiwezi kuelezea mwelekeo huo. Kwa hiyo, muhimu mara nyingi ni vigumu kutathmini, hata kwa jiometri rahisi. mkakati zifuatazo inaweza kuwa na manufaa.
Ili kutatua matatizo ya sheria ya Biot-Savart, hatua zifuatazo zinasaidia:
- Tambua kwamba sheria ya Biot-Savart ndiyo njia iliyochaguliwa ya kutatua tatizo lililopewa. Ikiwa kuna ulinganifu katika tatizo kulinganisha\(\vec{B}\) na\(d\vec{l}\), sheria ya Ampère inaweza kuwa njia iliyopendekezwa ya kutatua swali.
- Chora urefu wa kipengele cha sasa\(d\vec{l}\) na vector ya kitengo\(\hat{r}\) akibainisha kuwa\(d\vec{l}\) pointi katika mwelekeo wa sasa na\(\hat{r}\) pointi kutoka kwa kipengele cha sasa kuelekea mahali ambapo shamba linahitajika.
- Tumia bidhaa ya\(d\vec{l} \times \hat{r}\) msalaba.Vector matokeo hutoa mwelekeo wa shamba la magnetic kulingana na sheria ya Biot-Savart.
- Tumia Equation\ ref {BS} na ubadilishe kiasi chochote kilichopewa katika usemi ili kutatua kwa shamba la magnetic. Kumbuka vigezo vyote vinavyobaki mara kwa mara juu ya urefu mzima wa waya vinaweza kuhesabiwa nje ya ushirikiano.
- Tumia utawala wa mkono wa kulia ili kuthibitisha mwelekeo wa shamba la magnetic zinazozalishwa kutoka kwa sasa au kuandika mwelekeo wa shamba la magnetic ikiwa tu ukubwa ulitatuliwa kwa sehemu ya awali.
Waya mfupi wa urefu wa 1.0 cm hubeba sasa ya 2.0 A katika mwelekeo wa wima (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Wengine wa waya huhifadhiwa hivyo hauongeze kwenye shamba la magnetic lililozalishwa na waya. Tumia shamba la magnetic kwenye hatua ya P, ambayo ni mita 1 kutoka kwa waya katika mwelekeo wa x.

Mkakati
Tunaweza kuamua shamba magnetic katika hatua\(P\) kwa kutumia sheria Biot-Savart. Kwa kuwa sehemu ya sasa ni ndogo sana kuliko umbali x, tunaweza kuacha muhimu kutoka kwa maneno. ushirikiano ni waongofu nyuma katika summation, lakini tu kwa ajili ya ndogo\(dl\), ambayo sisi sasa kuandika kama\(\Delta l\). Njia nyingine ya kufikiri juu yake ni kwamba kila moja ya maadili Radius ni karibu sawa, bila kujali ambapo kipengele sasa ni juu ya sehemu line, kama\(\Delta l\) ni ndogo ikilinganishwa na x. Pembe\(\theta\) ni mahesabu kwa kutumia kazi ya tangent. Kutumia namba zilizotolewa, tunaweza kuhesabu shamba la magnetic\(P\).
Suluhisho
Pembe kati\(\Delta \vec{l}\) na\(\hat{r}\) ni mahesabu kutoka trigonometry, kujua umbali l na x kutoka tatizo:
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{1 \, m}{0.01 \, m}\right) = 89.4^o. \nonumber\]
Sehemu ya magnetic katika hatua\(P\) inahesabiwa na sheria ya Biot-Savart (Equation\ ref {eq2}):
\[\begin{align*} B &= \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I \Delta l \, \sin \, \theta}{r^2} \\[4pt] &= (1 \times 10^{-7} T \cdot m/A)\left( \dfrac{2 \, A(0.01 \, m)\, sin \, (89.4^o)}{(1 \, m)^2}\right) \\[4pt] &= 2.0 \times 10^{-9}T. \end{align*}\]
Kutoka kwa utawala wa mkono wa kulia na sheria ya Biot-Savart, shamba linaelekezwa kwenye ukurasa.
Umuhimu
Makadirio haya ni nzuri tu ikiwa urefu wa sehemu ya mstari ni ndogo sana ikilinganishwa na umbali kutoka kwa kipengele cha sasa hadi hatua. Ikiwa sio, fomu muhimu ya sheria ya Biot-Savart inapaswa kutumika juu ya sehemu nzima ya mstari ili kuhesabu shamba la magnetic.
Kutumia Mfano\(\PageIndex{1}\), kwa umbali gani P ingekuwa kupima shamba la magnetic nusu ya jibu lililopewa?
Suluhisho
Mita 1.41
Waya hubeba sasa mimi katika arc mviringo na radius R imeingia kupitia angle ya kiholela\(\theta\) (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Tumia shamba la magnetic katikati ya arc hii kwenye hatua P.

Mkakati
Tunaweza kuamua shamba la magnetic katika hatua P kwa kutumia sheria ya Biot-Savart. Maelekezo ya urefu wa radial na njia ni daima kwenye pembe ya kulia, hivyo bidhaa ya msalaba inageuka kuzidisha. Tunajua pia kwamba umbali kando ya njia dl ni kuhusiana na radius mara angle\(\theta\) (katika radians). Kisha tunaweza kuvuta constants wote nje ya ushirikiano na kutatua kwa shamba magnetic.
Suluhisho
Sheria ya Biot-Savart huanza na equation ifuatayo:
\[\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{Id\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}. \nonumber\]
Tunapounganisha pamoja na arc, michango yote kwenye shamba la magnetic iko katika mwelekeo sawa (nje ya ukurasa), hivyo tunaweza kufanya kazi na ukubwa wa shamba. Bidhaa ya msalaba inageuka kuzidisha kwa sababu njia\(dl\) na mwelekeo wa radial ni perpendicular. Tunaweza pia kubadilisha formula ya urefu wa arc,\(dl = r\,d\theta\):
\[B = \dfrac{\mu_0}{4\pi} \int_{wire} \dfrac{Ir \, d\theta}{r^2}. \nonumber\]
Ya sasa na radius inaweza kuvutwa nje ya muhimu kwa sababu ni sawa bila kujali ambapo sisi ni juu ya njia. Hii majani tu muhimu juu ya angle,
\[B = \dfrac{\mu_0I}{4\pi r} \int_{wire} d\theta.\nonumber\]
Pembe inatofautiana kwenye waya kutoka 0 hadi\(\theta\); kwa hiyo, matokeo ni
\[B = \dfrac{\mu_0I\theta}{4\pi r}. \nonumber\]
Umuhimu
Mwelekeo wa shamba la magnetic kwa uhakika\(P\) ni kuamua na utawala wa mkono wa kulia, kama inavyoonekana katika sura iliyopita. Ikiwa kuna waya nyingine katika mchoro pamoja na arc, na unaulizwa kupata uwanja wa magnetic wavu, pata kila mchango kutoka kwa waya au arc na uongeze matokeo kwa superposition ya vectors. Hakikisha makini na mwelekeo wa kila mchango. Pia kumbuka kuwa katika hali ya ulinganifu, kama waya moja kwa moja au mviringo, michango kutoka pande tofauti ya uhakika\(P\) kufuta kila mmoja.
Kitanzi cha waya kinaunda mduara kamili wa radius R na sasa I. Ukubwa wa shamba la magnetic katikati ni nini?
Suluhisho
\(\dfrac{\mu_0 I}{2R}\)