4.6: Mzunguko wa Carnot

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii utakuwa na uwezo wa:

• Eleza mzunguko wa Carnot na majukumu ya michakato yote minne inayohusika
• Eleza kanuni ya Carnot na matokeo yake
• Onyesha ulinganifu wa kanuni ya Carnot na sheria ya pili ya thermodynamics

Mwanzoni mwa miaka ya 1820, Sadi Carnot (1786-1832), mhandisi wa Ufaransa, alivutiwa na kuboresha ufanisi wa inji za joto za vitendo. Mnamo mwaka wa 1824, masomo yake yalimsababisha kupendekeza mzunguko wa kufanya kazi ya nadharia na ufanisi mkubwa zaidi kati ya hifadhi hizo mbili, zinazojulikana sasa kama mzunguko wa Carnot. Injini inayoendesha katika mzunguko huu inaitwa inji ya Carnot. Mzunguko wa Carnot ni wa umuhimu maalum kwa sababu mbalimbali. Kwa kiwango cha vitendo, mzunguko huu unawakilisha mfano wa kubadilishwa kwa mmea wa nguvu za mvuke na jokofu au pampu ya joto. Hata hivyo, pia ni muhimu sana kinadharia, kwa kuwa ina jukumu kubwa katika maendeleo ya taarifa nyingine muhimu ya sheria ya pili ya thermodynamics. Hatimaye, kwa sababu hifadhi mbili tu zinahusika katika uendeshaji wake, inaweza kutumika pamoja na sheria ya pili ya thermodynamics kufafanua kiwango cha joto kabisa ambacho ni kweli huru ya dutu yoyote inayotumiwa kwa kipimo cha joto.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Michakato minne ya mzunguko wa Carnot. Dutu ya kazi inadhaniwa kuwa gesi bora ambayo njia ya thermodynamic MNOP inawakilishwa katika Kielelezo.\(\PageIndex{2}\)

Kwa gesi bora kama dutu ya kazi, hatua za mzunguko wa Carnot, kama inavyowakilishwa na Kielelezo\(\PageIndex{1}\), ni kama ifuatavyo.

1. Isothermal upanuzi. Gesi huwekwa katika mawasiliano ya joto na hifadhi ya joto kwenye joto\(T_h\). Gesi inachukua joto\(Q_h\) kutoka kwenye hifadhi ya joto na inaruhusiwa kupanua isothermally, kufanya kazi\(W_1\). Kwa sababu nishati ya ndani\(E_{int}\) ya gesi bora ni kazi ya joto tu, mabadiliko ya nishati ya ndani ni sifuri, yaani,\(\Delta E_{int} = 0\) wakati wa upanuzi huu wa isothermal. Na sheria ya kwanza ya thermodynamics\(\Delta E_{int} = Q - W\), tunaona kwamba joto kufyonzwa na gesi ni\[Q_h = W_1 = nRT_h \ln \dfrac{V_N}{V_M}.\]
2. Upanuzi wa Adiabatic. Gesi ni thermally pekee na kuruhusiwa kupanua zaidi, kufanya kazi\(W_2\). Kwa sababu upanuzi huu ni adiabatic, joto la gesi huanguka-katika kesi hii, kutoka\(T_h\) kwa\(T_c\). Kutoka\(pV^{\gamma} = constant\) na equation ya hali kwa ajili ya gesi bora\(pV = nRT\),, tuna\[TV^{\gamma - 1} = constant,\] ili\[T_hV_N^{\gamma - 1} = T_cV_O^{\gamma - 1}.\]
3. Upungufu wa isothermal. Gesi huwekwa katika mawasiliano ya joto na hifadhi ya baridi kwenye joto\(T_c\) na imesisitizwa isothermally. Wakati wa mchakato huu, kazi\(W_3\) imefanywa kwenye gesi na inatoa joto\(Q_c\) kwenye hifadhi ya baridi. Muhtasari uliotumiwa katika hatua ya 1 sasa\(Q_c\) huzaa\[Q_c = nRT_c \ln \dfrac{V_O}{V_p},\] ambapo joto linatupwa kwenye hifadhi ya baridi na gesi.
4. Ukandamizaji wa Adiabatic. Gesi hutolewa kwa joto na kurudi kwenye hali yake ya awali kwa ukandamizaji. Katika mchakato huu, kazi\(W_4\) imefanywa kwenye gesi. Kwa sababu compression ni adiabatic, joto la gesi huinuka-kutoka\(T_c\) hadi\(T_h\) katika kesi hii. Hoja ya hatua ya 2 sasa inatoa Kazi\[T_cV_p^{\gamma - 1} = T_hV_M^{\gamma - 1}.\] ya jumla iliyofanywa na gesi katika mzunguko wa Carnot inatolewa na\[W = W_1 + W_2 - W_3 - W_4.\]

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kazi ya jumla iliyofanywa na gesi katika mzunguko wa Carnot inavyoonyeshwa na kutolewa na eneo lililofungwa na MNOPM ya kitanzi.

Kazi hii ni sawa na eneo lililofungwa na kitanzi kilichoonyeshwa kwenye mchoro wa PV wa Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Kwa sababu majimbo ya awali na ya mwisho ya mfumo ni sawa, mabadiliko ya nishati ya ndani ya gesi katika mzunguko lazima iwe sifuri, yaani,\(\Delta E_{int} = 0\). Sheria ya kwanza ya thermodynamics inatoa\[W = Q - \Delta E_{int} = (Q_h - Q_c) - 0,\] na\[W = Q_h - Q_c\].

Ili kupata ufanisi wa inji hii, tunagawanya kwanza\(Q_c\) na\(Q_h\):

\[\dfrac{Q_c}{Q_h} = \dfrac{T_c}{T_h} \dfrac{\ln V_O/V_P}{\ln V_N?V_M}.\]

Wakati mara kwa mara ya adiabatic kutoka hatua ya 2 imegawanywa na ile ya hatua ya 4, tunaona

\[\dfrac{V_O}{V_P} = \dfrac{V_N}{V_M}.\]

Kubadilisha hii katika equation kwa\(Q_c/Q_h\), tunapata

\[\dfrac{Q_c}{Q_h} = \dfrac{T_c}{T_h}.\]

Hatimaye, kwa Equation 4.3.6, tunaona kwamba ufanisi wa inji hii bora ya gesi Carnot hutolewa na

\[e = 1 - \dfrac{T_c}{T_h}.\]

Injini haifai kufuata mzunguko wa inji ya Carnot. Injini zote, hata hivyo, zina athari sawa, yaani ngozi ya joto kutoka kwenye hifadhi ya moto, uzalishaji wa kazi, na kuacha joto kwenye hifadhi ya baridi. Hii inatuongoza kuuliza: Je, mzunguko wote kubadilishwa kazi kati ya hifadhi hizo mbili kuwa na ufanisi sawa? Jibu la swali hili linatokana na sheria ya pili ya thermodynamics iliyojadiliwa mapema: Mzunguko wote wa inji unaobadilishwa huzalisha ufanisi sawa. Pia, kama unaweza kutarajia, inji zote halisi zinazofanya kazi kati ya hifadhi mbili hazina ufanisi zaidi kuliko inji zinazobadilishwa zinazoendesha kati ya hifadhi mbili sawa. Hii pia ni matokeo ya sheria ya pili ya thermodynamics iliyoonyeshwa mapema.

Mzunguko wa jokofu bora ya gesi ya Carnot inawakilishwa na mchoro wa PV wa Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Ni inji ya Carnot inayoendesha kinyume. Jokofu huchukua joto\(Q_c\) kutoka kwenye hifadhi ya joto la baridi\(T_c\) wakati gesi bora inapanua isothermally. Gesi hiyo inakabiliwa na adiabatically mpaka joto lake lifikia\(T_h\), baada ya hapo compression isothermal ya gesi husababisha\(Q_h\) joto kuachwa kwenye hifadhi ya joto la juu\(T_h\). Hatimaye, mzunguko unakamilika na upanuzi wa adiabatic wa gesi, na kusababisha joto lake kushuka kwa\(T_c\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Kazi iliyofanywa kwenye gesi katika mzunguko mmoja wa jokofu ya Carnot inavyoonyeshwa na kutolewa na eneo lililofungwa na MPONM ya kitanzi.

Kazi iliyofanywa kwenye gesi bora ni sawa na eneo lililofungwa na njia ya mchoro wa PV. Kutokana na sheria ya kwanza, kazi hii inatolewa na

\[W = Q_h - Q_c.\]

Uchambuzi kama uchambuzi uliofanywa kwa inji ya Carnot inatoa

\[\dfrac{Q_c}{T_c} = \dfrac{Q_h}{T_h}.\]

Ikiwa ni pamoja na Equation 4.4.1, hii inazalisha

\[K_R = \dfrac{T_c}{T_h - T_c}\]

kwa mgawo wa utendaji wa jokofu bora ya gesi ya Carnot. Vile vile, tunaweza kufanya kazi nje ya mgawo wa utendaji kwa pampu ya joto ya Carnot kama

\[K_P = \dfrac{Q_h}{Q_h - Q_c} = \dfrac{T_h}{T_h - T_c}.\]

Tumegundua equations inayowakilisha ufanisi wa inji ya Carnot na mgawo wa utendaji wa jokofu ya Carnot au pampu ya joto ya Carnot, kuchukua gesi bora kwa dutu ya kazi katika vifaa vyote viwili. Hata hivyo, equations hizi ni zaidi ya jumla kuliko derivations yao kuashiria. Tutaonyesha hivi karibuni kwamba wote wawili ni halali bila kujali dutu ya kazi ni nini.

Carnot alifupisha utafiti wake wa inji ya Carnot na mzunguko wa Carnot katika kile ambacho sasa kinajulikana kama kanuni ya Carnot:

Kanuni ya Carnot

Hakuna inji inayofanya kazi kati ya hifadhi mbili kwenye joto la kawaida inaweza kuwa na ufanisi zaidi kuliko inji inayobadilishwa.

Kanuni hii inaweza kutazamwa kama kauli nyingine ya sheria ya pili ya thermodynamics na inaweza kuonyeshwa kuwa sawa na kauli ya Kelvin na kauli ya Clausius.

Mfano\(\PageIndex{1}\): The Carnot Engine

Injani ya Carnot ina ufanisi wa 0.60 na joto la hifadhi yake ya baridi ni 300 K. (a) Je! Joto la hifadhi ya moto ni nini? (b) Ikiwa inji inafanya kazi 300 J kwa kila mzunguko, ni kiasi gani cha joto kinachoondolewa kwenye hifadhi ya juu ya joto kwa kila mzunguko? (c) Ni kiasi gani cha joto kinachochoka kwenye hifadhi ya chini ya joto kwa kila mzunguko?

Mkakati

Kutokana na utegemezi wa joto la ufanisi wa mafuta ya inji ya Carnot, tunaweza kupata joto la hifadhi ya moto. Kisha, kutokana na ufafanuzi wa ufanisi, tunaweza kupata joto limeondolewa wakati kazi iliyofanywa na inji inapewa. Hatimaye, uhifadhi wa nishati itasababisha kiasi gani cha joto kinapaswa kutupwa kwenye hifadhi ya baridi.

Suluhisho

1. Kutoka\(e = 1 - T_c/T_h\) tuna\[0.60 = 1 - \dfrac{300 \, K}{T_h},\] ili joto la hifadhi ya moto ni\[T_h = \dfrac{300 \, K}{1 - 0.60} = 750 \, K.\]
2. Kwa ufafanuzi, ufanisi wa inji ni\(e = W/Q\), ili joto liondolewa kwenye hifadhi ya juu-joto kwa kila mzunguko ni\[Q_h = \dfrac{W}{e} = \dfrac{300 \, J}{0.60} = 500 \, J.\]
3. Kutoka sheria ya kwanza, joto limechoka kwenye hifadhi ya chini ya joto kwa kila mzunguko na inji ni\[Q_c = Q_h - W = 500 \, J - 300 \, J = 200 \, J.\]

Umuhimu

Injini ya Carnot ina ufanisi mkubwa wa kugeuza joto katika kazi kati ya hifadhi mbili, lakini hii haimaanishi kuwa ni\(100\%\) ufanisi. Kama tofauti katika joto la hifadhi ya moto na baridi huongezeka, ufanisi wa inji ya Carnot huongezeka.

Mfano\(\PageIndex{2}\): A Carnot Heat Pump

Fikiria Carnot joto pampu kazi kati ya joto nje ya\(0^oC\) na joto ndani ya\(20.0^oC\). Je! Kazi inahitajika ikiwa joto linalotolewa ndani ya nyumba ni 30.0 kJ?

Mkakati

Kwa sababu pampu ya joto inadhaniwa kuwa pampu ya Carnot, mgawo wake wa utendaji hutolewa na\(K_P = Q_h/W = T_h/(T_h - T_c)\). Hivyo, tunaweza kupata kazi W kutoka joto iliyotolewa\(Q_h\).

Suluhisho

Kazi inahitajika inapatikana kutoka

\[W = Q_h/K_P = Q_h(T_h - T_c)/T_h = 30 \, kJ \times (293 \, K - 273 \, K)/293 \, K = 2 \, kJ. \nonumber\]

Umuhimu

Tunaona kwamba kazi hii inategemea si tu juu ya joto iliyotolewa nyumbani lakini pia juu ya joto nje na ndani. Utegemezi wa halijoto nje huwafanya kuwa haiwezekani kutumia katika maeneo ambako joto ni baridi sana nje kuliko joto la kawaida.

Kwa upande wa gharama za nishati, pampu ya joto ni njia ya kiuchumi sana ya majengo ya kupokanzwa (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Tofauti na njia hii kwa kugeuza nishati ya umeme moja kwa moja kwenye joto na vipengele vya kupokanzwa. Katika kesi hiyo, kitengo kimoja cha nishati ya umeme hutoa kitengo kimoja cha joto. Kwa bahati mbaya, pampu za joto zina matatizo ambayo hupunguza manufaa yao. Wao ni ghali sana kununua ikilinganishwa na vipengele vya kupokanzwa, na, kama mgawo wa utendaji wa pampu ya joto ya Carnot inaonyesha, huwa na ufanisi zaidi kama joto la nje linapungua. Kwa kweli, chini ya juu\(-10^oC\), joto wao hutoa ni chini ya nishati kutumika kwa ajili yao.

Kielelezo\(\PageIndex{4}\). Picha ya pampu ya joto (sanduku kubwa) iko nje ya nyumba. Pampu hii ya joto iko katika eneo la hali ya hewa ya joto, kama kusini mwa Marekani, kwani ingekuwa mbali sana isiyofaa iko katika nusu ya kaskazini ya Marekani. (mikopo: mabadiliko ya kazi na Peter Stevens).

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Injini Carnot inafanya kazi kati ya hifadhi katika\(400^oC\) na\(30^oC\).

1. Ufanisi wa inji ni nini?
2. Ikiwa inji inafanya 5.0 J ya kazi kwa kila mzunguko, ni kiasi gani cha joto kwa kila mzunguko kinachukua kutoka kwenye hifadhi ya juu ya joto?
3. Ni kiasi gani cha joto kwa kila mzunguko kinachotolea nje kwenye hifadhi ya joto la baridi?
4. Ni joto gani kwenye hifadhi ya baridi ingeweza kutoa ufanisi wa chini na upeo?

Jibu

\(e = 1 - T_c/T_h = 0.55\)

Jibu b

\(Q_h = eW = 9.1 \, J\)

Jibu c

\(Q_c = Q_h - W = 4.1 \, J\)

Jibu d

\(-273^oC\)na\(400^oC\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

jokofu Carnot kazi kati ya hifadhi mbili joto ambao joto ni\(0^oC\) na\(25^oC\).

1. Je! Ni mgawo gani wa utendaji wa jokofu?
2. Ikiwa 200 J ya kazi hufanyika kwenye dutu ya kazi kwa mzunguko, ni kiasi gani cha joto kwa mzunguko hutolewa kwenye hifadhi ya baridi?
3. Ni kiasi gani cha joto kwa kila mzunguko kinachopwa kwenye hifadhi ya moto?

Jibu

\(K_R = T_c/(T_h - T_c) = 10.9\)

Jibu b

\(Q_c = K_RW = 2.18 \, kJ\)

Jibu c

\(Q_h = Q_c + W = 2.38 \, kJ\)