7.6: Oscillator ya Quantum Harmonic
- Page ID
- 175749
Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:
- Eleza mfano wa oscillator ya harmonic ya quantum
- Kutambua tofauti kati ya mifano classical na quantum ya oscillator harmonic
- Eleza hali ya kimwili ambapo mifano ya classical na quantum sanjari
Oscillations hupatikana katika asili, katika mambo kama vile mawimbi ya umeme, molekuli za vibrating, na sway mpole nyuma-na-nje ya tawi la mti. Katika sura zilizopita, tulitumia mitambo ya Newtonian kujifunza oscillations macroscopic, kama vile block juu ya spring na pendulum rahisi. Katika sura hii, tunaanza kujifunza mifumo ya oscillating kwa kutumia mechanics quantum. Tunaanza na mapitio ya oscillator ya harmonic ya classic.
Classic harmonic oscillator
Oscillator rahisi ya harmonic ni chembe au mfumo unaohusika na mwendo wa harmonic kuhusu msimamo wa usawa, kama vile kitu kilicho na vibrating kwa wingi kwenye chemchemi. Katika sehemu hii, tunazingatia oscillations katika mwelekeo mmoja tu. Tuseme molekuli hatua\(x\) nyuma-na-nje pamoja -mwelekeo kuhusu nafasi ya usawa,\(x = 0\). Katika mechanics classical, chembe hatua katika kukabiliana na linear kurejesha nguvu iliyotolewa na\(F_x = -kx\), ambapo\(x\) ni makazi yao ya chembe kutoka nafasi yake ya usawa. Mwendo unafanyika kati ya pointi mbili za kugeuka\(x \pm A\), ambapo A inaashiria ukubwa wa mwendo. Msimamo wa kitu hutofautiana mara kwa mara kwa wakati na mzunguko wa angular\(\omega = \sqrt{k/m}\), ambayo inategemea molekuli m ya oscillator na juu ya nguvu\(k\) ya mara kwa mara ya nguvu ya wavu, na inaweza kuandikwa kama
\[x(t) = A \, \cos (\omega t + \phi). \label{7.52} \]
Nishati\(E\) ya jumla ya oscillator ni jumla ya nishati yake ya kinetic\(K = mu^2/2\) na nishati ya uwezo wa nguvu ya nguvu\(U(x) = kx^2/2\),
\[E = \dfrac{1}{2} mu^2 + \dfrac{1}{2}kx^2. \label{7.53} \]
Katika pointi za kugeuka\(x = \pm A\), kasi ya oscillator ni sifuri; Kwa hiyo, katika pointi hizi, nishati ya oscillation ni tu kwa namna ya nishati inayoweza\(E = kA^2/2\). Mpango wa nishati ya uwezo\(U(x)\) wa oscillator dhidi ya msimamo wake\(x\) ni parabola (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Kazi ya uwezo wa nishati ni kazi ya quadratic ya\(x\), kipimo kwa heshima na nafasi ya usawa. Kwenye grafu hiyo, sisi pia tunapanga nishati\(E\) ya jumla ya oscillator, kama mstari usio na usawa unaoingilia parabola\(x = \pm A\). Kisha nishati ya kinetic\(K\) inawakilishwa kama umbali wa wima kati ya mstari wa nishati ya jumla na uwezo wa nishati parabola.
Katika njama hii, mwendo wa oscillator classical ni funge kwa kanda ambapo nishati yake kinetic ni nonnegative, ambayo ni nini uhusiano nishati Equation\ ref {7.53} anasema. Kimwili, inamaanisha kuwa oscillator ya classical haiwezi kupatikana zaidi ya pointi zake za kugeuka, na nishati yake inategemea tu jinsi mbali na pointi za kugeuka zinatoka kwenye nafasi yake ya usawa. Nishati ya oscillator ya classical inabadilika kwa njia inayoendelea. Nishati ya chini kabisa ambayo oscillator ya kawaida inaweza kuwa nayo ni sifuri, ambayo inalingana na hali ambapo kitu kinapumzika katika nafasi yake ya usawa. Hali ya nishati ya sifuri ya oscillator ya classical inamaanisha tu hakuna oscillations na hakuna mwendo wakati wote (chembe classical ameketi chini ya uwezo vizuri katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Wakati kitu kinachozunguka, bila kujali nishati yake kubwa au ndogo inaweza kuwa, hutumia muda mrefu zaidi karibu na pointi za kugeuka, kwa sababu hii ndio ambapo hupungua na kurejesha mwelekeo wake wa mwendo. Kwa hiyo, uwezekano wa kupata oscillator classical kati ya pointi kugeuka ni ya juu karibu na pointi kugeuka na chini katika nafasi ya usawa. (Kumbuka kuwa hii sio taarifa ya upendeleo wa kitu cha kwenda kwenye nishati ya chini. Ni taarifa kuhusu jinsi ya haraka kitu huenda kupitia mikoa mbalimbali.)
Quantum Harmonic oscillator
Tatizo moja na uundaji huu wa classical ni kwamba sio jumla. Hatuwezi kuitumia, kwa mfano, kuelezea vibrations ya molekuli diatomiki, ambapo athari za quantum ni muhimu. Hatua ya kwanza kuelekea uundaji wa quantum ni kutumia usemi wa classical kupunguza\(k = m\omega^2\) kutaja mara kwa mara “spring” kati ya atomi. Kwa njia hii kazi ya nishati ya uwezo inaweza kuandikwa kwa fomu ya jumla zaidi,
\[U(x) = \dfrac{1}{2}m \omega^2 x^2. \label{7.54} \]
Kuchanganya usemi huu na muda huru SchrDinger equation anatoa
\[-\dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{d^2 \psi(x)}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2 x^2 \psi(x) = E\psi (x). \label{7.55} \]
Ili kutatua Equation\ ref {7.55}, yaani, kupata nguvu zilizoruhusiwa\(E\) na mawimbi yao yanayofanana\(\psi (x) \) - tunahitaji mawimbi ya wavefunctions kuwa sawa kuhusu\(x = 0\) (chini ya uwezo vizuri) na kuwa normalizable. Hali hizi zinahakikisha kwamba uwezekano wiani\(|\psi (x)|^2\) lazima uwe wa mwisho wakati umeunganishwa juu ya aina nzima ya x kutoka\(-\infty\) kwa\(+\infty\). Jinsi ya kutatua Equation\ ref {7.55} ni suala la kozi ya juu zaidi katika mechanics quantum; hapa, sisi tu kutaja matokeo. Nguvu za kuruhusiwa ni
\[ \begin{align} E_n &= \left(n + \dfrac{1}{2}\right) \hbar \omega \\[5pt] &= \dfrac{2n + 1}{2} \hbar \omega \label{7.56} \end{align} \]
na\(n = 0,1,2,3,...\)
Kazi za wimbi zinazohusiana na nguvu hizi (majimbo ya stationary au majimbo ya nishati ya uhakika) ni
\[\psi_n (x) = N_n e^{-\beta^2 x^2/2} H_n (\beta x), \, n = 0,1,2,3, ... \label{7.57} \]
ambapo\(\beta = \sqrt{m\omega/\hbar}\),\(N_n\) ni mara kwa mara kuhalalisha, na\(H_n(y)\) ni polynomial ya shahada\(n\) inayoitwa Hermite polynomial. Polynomials nne za kwanza za Hermite ni
- \(H_0 (y) = 1\)
- \(H_1 (y) = 2y\)
- \(H_2 (y) = 4y^2 - 2\)
- \(H_3 (y) = 8y^3 - 12 y.\)
Wachache sampuli wavefunctions ni kutolewa katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Kama thamani ya idadi kuu inavyoongezeka, ufumbuzi hubadilisha kati ya kazi hata na kazi isiyo ya kawaida kuhusu\(x = 0\).
Pata amplitude\(A\) ya oscillations kwa oscillator classical na nishati sawa na nishati ya oscillator quantum katika hali quantum\(n\).
Mkakati
Kuamua amplitude\(A\), tunaweka nishati ya classical\(E = kx^2/2 = m\omega^2 \, A^2/2\) sawa na\(E_n\) iliyotolewa na Equation\ ref {7.56}.
Suluhisho
Tunapata
\[\begin{align} E_n &= m\omega^2 A_n^2/2 \nonumber \\[5pt] A_n &= \sqrt{\dfrac{2}{m\omega^2}E_n} \nonumber \\[5pt] &= \sqrt{\dfrac{2}{m\omega^2} \dfrac{2n + 1}{2}\hbar \omega} \nonumber \\[5pt] &= \sqrt{(2n + 1) \dfrac{\hbar}{m\omega}}. \nonumber \end{align} \nonumber \]
Umuhimu
Kama idadi ya quantum n inavyoongezeka, nishati ya oscillator na hivyo amplitude ya oscillation huongezeka (kwa mzunguko wa kawaida wa angular wa asili). Kwa n kubwa, amplitude ni takriban sawia na mizizi ya mraba ya idadi ya quantum.
Vipengele kadhaa vya kuvutia vinaonekana katika suluhisho hili. Tofauti na oscillator ya classical, nguvu zilizopimwa za oscillator ya quantum zinaweza kuwa na maadili ya nishati tu yaliyotolewa na Equation\ ref {7.56}. Aidha, tofauti na kesi ya chembe ya quantum katika sanduku, viwango vya nishati halali vimewekwa sawasawa,
\[\begin{align} \Delta E &= E_{n+1} - E_n \\[5pt] &= \dfrac{2(n + 1) + 1}{2} \hbar \omega - \dfrac{2n + 1}{2} \hbar \omega \\[5pt] &= \hbar \omega = hf. \label{7.58} \end{align} \]
Wakati chembe iliyofungwa na mfumo kama hiyo inafanya mpito kutoka hali ya juu-nishati hadi hali ya chini ya nishati, quantum ndogo ya nishati inayotokana na photon iliyotolewa ni lazima\(hf\). Vile vile, wakati chembe inafanya mpito kutoka hali ya chini ya nishati kwa hali ya juu-nishati, quantum ndogo-nishati ambayo inaweza kufyonzwa na chembe ni\(hf\). Oscillator ya quantum inaweza kunyonya au kuondoa nishati tu katika wingi wa quantum hii ndogo ya nishati. Hii ni sambamba na hypothesis Planck kwa kubadilishana nishati kati ya mionzi na kuta cavity katika tatizo blackbody mionzi.
Molekuli ya\(\ce{HCl}\) diatomiki ina atomi moja ya klorini na atomi moja ya hidrojeni. Kwa sababu atomi ya klorini ni kubwa zaidi ya mara 35 kuliko atomi ya hidrojeni, vibrations ya\(\ce{HCl}\) molekuli inaweza kuwa vizuri kabisa approximated kwa kudhani kwamba atomi Cl haina mwendo na atomi H hufanya oscillations harmonic kutokana na nguvu elastic Masi inatokana na sheria Hooke. Wigo wa vibrational wa infrared kipimo kwa kloridi hidrojeni ina mstari wa chini-frequency unaozingatia\(f = 8.88 \times 10^{13} Hz\). Ni nafasi gani kati ya nguvu za vibrational za molekuli hii? Je, ni nguvu ya mara kwa mara k ya dhamana ya atomiki katika molekuli ya HCl?
Mkakati
Mstari wa chini-frequency unafanana na chafu ya photons ya chini-frequency. Photons hizi ni lilio wakati molekuli inafanya mpito kati ya ngazi mbili karibu vibrational nishati. Kwa kuzingatia kwamba viwango vya nishati vimewekwa sawa, tunatumia Equation\ ref {7.58} kukadiria nafasi. Molekuli inakadiriwa vizuri kwa kutibu atomu ya Cl kama kuwa nzito mno na atomi ya H kama masi\(m\) inayofanya oscillations. Kuchukua mfumo huu wa Masi kama oscillator ya classical, mara kwa mara ya nguvu hupatikana kutoka kwa uhusiano wa classical\(k = m\omega^2\).
Suluhisho
Nafasi ya nishati ni
\[ \begin{align} \Delta E &= hf \nonumber \\[5pt] &= (4.14 \times 10^{-15} eV \cdot s)(8.88 \times 10^{13} Hz) \nonumber\\[5pt] &= 0.368 \, eV. \nonumber \end{align} \nonumber \]
Nguvu ya mara kwa mara ni
\[ \begin{align} k &= m \omega^2 \nonumber \\[5pt] &= m (2\pi f)^2 \nonumber \\[5pt] &= (1.67 \times 10^{ −27} kg)(2\pi \times 8.88 \times 10 ^{13}Hz)^2 \nonumber \\[5pt] &= 520 \, N/m. \nonumber \end{align} \nonumber \]
Umuhimu
Nguvu kati ya atomi katika molekuli ya HCl ni ya kushangaza nguvu. Nishati ya kawaida iliyotolewa katika mabadiliko ya nishati kati ya viwango vya vibrational iko katika aina ya infrared. Kama tutakavyoona baadaye, mabadiliko kati ya viwango vya nishati ya vibrational ya molekuli ya diatomic mara nyingi huongozana na mabadiliko kati ya viwango vya nishati ya mzunguko.
Mzunguko wa vibrational wa iodidi hidrojeni HI diatomic molekuli ni\(6.69×10^{ 13}\,Hz\).
- Je, ni nguvu ya mara kwa mara ya dhamana ya Masi kati ya hidrojeni na atomi za iodini?
- Ni nini nishati ya photon lilio wakati molekuli hii inafanya mpito kati ya viwango vya karibu vibrational nishati?
- Jibu
-
295 N/m
- Jibu b
-
0.277 eV
Oscillator ya quantum inatofautiana na oscillator ya classic kwa njia tatu:
- Kwanza, hali ya ardhi ya oscillator ya quantum ni\(E_0 = \hbar \omega /2\), sio sifuri. Katika mtazamo wa classical, nishati ya chini ni sifuri. Ukosefu wa hali ya nishati ya sifuri ni kawaida kwa mifumo yote ya quantum-mitambo kwa sababu ya kushuka kwa thamani ya kila mahali ambayo ni matokeo ya kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. Ikiwa chembe ya quantum imeketi bila kusonga chini ya uwezo vizuri, kasi yake pamoja na msimamo wake ingekuwa wakati huo huo halisi, ambayo ingekuwa inakiuka kanuni ya kutokuwa na uhakika wa Heisenberg. Kwa hiyo, hali ya chini ya nishati inapaswa kuwa na sifa ya kutokuwa na uhakika katika kasi na katika nafasi, hivyo hali ya chini ya chembe ya quantum inapaswa kulala juu ya chini ya uwezo vizuri.
- Pili, chembe katika quantum harmonic oscillator uwezo inaweza kupatikana kwa uwezekano nonzero nje ya muda\(-A \leq x \leq +A\). Katika uundaji wa kikabila wa tatizo, chembe hiyo haiwezi kuwa na nishati yoyote ya kuwa katika eneo hili. Uwezekano wa kupata chembe ya quantum ya hali ya ardhi katika eneo la marufuku la kawaida ni karibu 16%.
- Tatu, mgawanyo\(|\psi_n(x)|^2\) wa wiani wa uwezekano wa oscillator ya quantum katika hali ya chini ya nishati\(\psi_0(x)\),, ni kubwa katikati ya kisima\((x = 0)\). Kwa chembe kupatikana na uwezekano mkubwa katika kituo cha kisima, tunatarajia kwamba chembe hutumia muda mwingi huko kama oscillates. Hii ni kinyume na tabia ya oscillator ya classical, ambayo chembe hutumia muda wake mwingi kusonga na kasi ndogo ndogo karibu na pointi za kugeuka.
Kupata matarajio thamani ya nafasi kwa chembe katika hali ya ardhi ya oscillator harmonic kutumia ulinganifu.
- Jibu b
-
\[\langle x \rangle = 0 \nonumber \]
Quantum uwezekano wiani mgawanyo mabadiliko katika tabia kwa mataifa msisimko, kuwa zaidi kama usambazaji classical wakati idadi quantum anapata juu. Tunaona mabadiliko haya tayari kwa hali ya kwanza ya msisimko wa oscillator ya quantum kwa sababu usambazaji\(|\psi_1(x)|^ 2\) peaks up kuzunguka pointi kugeuka na kutoweka katika nafasi ya usawa, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Kwa mujibu wa kanuni ya mawasiliano ya Bohr, katika kikomo cha idadi kubwa ya quantum, maelezo ya quantum ya oscillator ya harmonic yanajiunga na maelezo ya classical, ambayo inaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{3}\). classical uwezekano wiani usambazaji sambamba na nishati quantum ya\(n = 12\) serikali ni makadirio sababu nzuri ya quantum uwezekano usambazaji kwa oscillator quantum katika hali hii msisimko. Mkataba huu unazidi kuwa bora kwa mataifa yenye msisimko.
