6.3: Kutatua Usawa wa Thamani kamili na Kuandika Majibu katika Uthibitishaji wa Muda

Last updated
Save as PDF

Page ID: 164713

Victoria Dominguez, Cristian Martinez, & Sanaa Saykali
Citrus College via ASCCC Open Educational Resources Initiative

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Sehemu iliyotangulia ilifundisha jinsi ya kutatua usawa wa thamani kamili. Sehemu hii inafundisha jinsi ya kutatua usawa wa thamani kabisa. Kwa kufanya hivyo, kwanza fikiria mali mbili zifuatazo:

Ufafanuzi: Mali ya Usawa wa Thamani kamili

Mali 1: Kwa idadi yote chanya$b$, na idadi yote halisi$p$ na$q$,

$|a| < b$kama na tu kama$−b < a < b$.

Suluhisho lililowekwa ni la fomu$(p,q)$, muda mmoja wa wazi.

$|a| ≤ b$kama na tu kama$−b ≤ a ≤ b$.

Suluhisho lililowekwa ni la fomu$[p,q]$, muda mmoja uliofungwa.

Kabla ya kuzingatia Mali 2, ni muhimu kufafanua umoja wa vipindi viwili. Muungano wa vipindi viwili$A$ na$B$, ni seti ya vipengele katika$A$, au$B$, au vyote viwili. Muungano unawakilishwa na ishara$∪$.

Mali 2: Kwa idadi yote chanya$b$, na idadi yote halisi$p$ na$q$,

$|a| > b$ikiwa na tu ikiwa$a < −b$ au$a > −b$

Suluhisho lililowekwa ni la fomu$(−∞, p) ∪ (q, ∞)$, muda wa kutofautiana.

$|a| ≥ b$kama na tu kama$a ≤ −b$ au$a ≥ b$.

Suluhisho lililowekwa ni la fomu$(−∞, p] ∪ [q, ∞)$, muda wa kutofautiana.

Kumbuka kuwa kabla ya mali ya kutofautiana kutumiwa, jitenga kujieleza kwa thamani kamili kwa upande wowote wa usawa.

Mfano Template:index

Tatua usawa wafuatayo na graph kuweka suluhisho.

$|5x − 2| < 7$
$|8x − 6| < −1$
$2|x − 3| + 5 ≤ 9$

Suluhisho

Hii ni kujieleza thamani kabisa chini ya idadi nzuri ya fomu$|a| < b$. Tumia Mali 1 (i) na$a = 5x − 2$ na$b = 7$.

$\begin{array} &&|5x − 2| < 7 &\text{Given} \\ &−7 < 5x − 2 < 7 &\text{Property 1 (i)} \end{array}$

Ili kutatua usawa, kujitenga$x$. Hatua ya awali inakuwa,

$\begin{array} &&−5 < 5x < 9 &\text{Add \(2$kwa pande zote}\\ &-1 <x <\ dfrac {9} {5} &\ maandishi {Gawanya pande zote kwa$5$}\ mwisho {safu}\)

Seti ya Suluhisho ni muda mmoja wa wazi$\left(−1, \dfrac{9}{5} \right)$ na grafu ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

$clipboard_eee2ec390ebb3481038f3625204438819.png$

Kumbuka kwamba thamani kamili ya idadi yoyote ni umbali kutoka$0$ kwa idadi hiyo kwenye mstari wa namba. Hii ina maana, thamani kamili ya idadi yoyote daima ni kubwa au sawa na$0$.

Mfano huu unatoa$|8x − 6| < −1,$ ambayo haiwezi kutokea tangu umbali hauwezi kamwe hasi. Hivyo, usawa wa thamani kamili hauna suluhisho na kuweka suluhisho ni kuweka tupu, imeandikwa$\phi$.

Ili kutatua$2|x − 3| + 5 ≤ 9$, jitenga thamani kamili.

$\begin{array} &&2|x − 3| + 5 ≤ 9 &\text{Given} \\ &2|x − 3| ≤ 4 &\text{Subtract \(5$kutoka pande zote mbili}\\ &|x - 3| ≤ 2 &\ maandishi {Gawanya upande wote kwa$2$}\ mwisho {safu}\)

Sasa,$|x − 3| ≤ 2$ ni ya fomu$|a| ≤ b$. Tumia Mali 1 (ii) na$a = x − 3$ na$b = 2$.

$\begin{array} &&|x − 3| ≤ 2 & \\&− 2 ≤ x − 3 ≤ 2 &\text{Property 1(ii)} \\ &1 ≤ x ≤ 5 & \end{array}$

Seti ya suluhisho ni muda mmoja$[1, 5]$ na grafu ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

$clipboard_e335bc0a4c68c53a86ca3273caf045e67.png$

Mfano Template:index

Tatua na graph kuweka suluhisho.

$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$
$2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5$
$|2 − 4x| ≥ −7$

Suluhisho

Thamani kamili$\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3$ ya usawa ni katika mfumo wa$|a| ≥ b$. Tumia Mali 2 (ii)$a = \dfrac{6 − x}{10}$ na na$b = 3$ kutatua usawa.

$\begin{array} & & &\left| \dfrac{6 − x}{10} \right| ≥ 3 &&\text{Given} \\ &\dfrac{6 − x}{10} ≤ −3 &\text{ or } &\dfrac{6 − x}{10} ≥ 3 &\text{Property 2 (ii)} \\ &6 − x ≤ −30 &\text{ or } &6 − x ≥ 30 &\text{Multiply by \(10$pande zote mbili}\\ &,1x ≤ -36 &\ maandishi {au} &-x ≥ 24 &\ maandishi {Ondoa$6$ kutoka pande zote mbili}\\ &x ≥ 36 &\ maandishi {au} &x ≤ -24 &\ maandishi {Kuzidisha kwa$−1$}\ mwisho {safu}\)

Kumbuka kuwa tangu kutofautiana kuliongezeka kwa idadi hasi, yaani$−1$, mwelekeo wa usawa ulibadilishwa.

Suluhisho la kuweka ni umoja wa vipindi viwili. Hivyo,$(−∞, −24] ∪ [36, ∞)$ ni ufumbuzi kuweka katika nukuu ya muda. Grafu ya suluhisho ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini.

$clipboard_e994fe946d0c11e329dc3c0829b29b123.png$

Sulua thamani kamili.

$\begin{array} &&2 < \left|\dfrac{3}{4} x − 3 \right| − 5 &\text{Given} \\ &7 < \left| \dfrac{3}{4} x − 3 \right| &\text{Add \(5$kwa pande zote mbili}\ mwisho {array}\)

Kumbuka kuwa usawa hapo juu unasomewa kutoka kulia kwenda kushoto kama “thamani kamili ya kujieleza$\dfrac{3}{4} x − 3$ ni kubwa kuliko$7$" au kubadili sawa utaratibu wa usawa wa thamani kamili kuwa nayo$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$, ambayo ni fomu ya kawaida zaidi ya kutatua.

Sasa,$\dfrac{3}{4} x − 3 > 7$ ni ya fomu$|a| > b$. Matumizi Mali 2 (ii) na$a = \dfrac{3x}{4} − 3$ na$b = 7$.

$\begin{array} && &\dfrac{3}{4} x − 3 > 7 &&\text{Given} \\ &\dfrac{3}{4} x − 3 < −7 &\text{ or } &\dfrac{3}{4}x − 3 > 7 &\text{Property 2 (ii)}\\ &\dfrac{3}{4} x < −4 &\text{ or } &\dfrac{3}{4} x > 10 &\text{Add \(3$kwa pande zote}\\ &x < −\ dfrac {16} {3} &\ text {or} &x >\ dfrac {40} {3} &\ maandishi {Panua pande zote mbili kwa$\dfrac{4}{3}$.} \ mwisho {safu}\)

Suluhisho la kuweka ni muungano wa vipindi viwili,$(− ∞, −\dfrac{16}{3}] ∪ [\dfrac{40}{3}, ∞)$. Grafu ya suluhisho ni kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini

$clipboard_efb943e2ff7407d1b4777246c86c52bee.png$

Kwa kuwa daima$|2 − 4x|$ ni kubwa kuliko au sawa na$0$ kwa idadi yoyote halisi$x$ basi, thamani kamili usawa ni kweli kwa idadi zote halisi. Hebu$x$ kuwa nambari yoyote halisi, hasi au chanya, basi thamani kamili itakuwa$0$ ama namba nzuri.

Hivyo, kuweka suluhisho ni namba zote halisi kwenye mstari wa nambari, kama inavyoonekana katika takwimu hapa chini. Suluhisho lililowekwa katika notation ya muda ni$(−∞, ∞)$.

$clipboard_e0e607828723541fb83638051b94dbe29.png$

Zoezi Template:index

Tatua usawa wafuatayo, weka majibu katika uhalali wa muda, na graph seti za ufumbuzi:

$|−6x + 1| < 20$
$\left| \dfrac{2}{3} x + 5 \right| > 5$
$\left| 5 − \dfrac{1}{4} x \right| < −71$
$2 \left| − x + \dfrac{4}{5} \right| ≤ \dfrac{5}{2}$
$−\dfrac{1}{7} < |x + 10| − 10$
$|−12 − 3x| < −0.6$
$\left|\dfrac{16 − 2x}{8} \right| ≥ 11$
$|2 − 6x| − 5 ≥ −9$
$\left| \dfrac{2}{3} x − \dfrac{1}{4} \right| ≤ \dfrac{1}{12}$
$|.02x + 5| < .02$
$\left| \dfrac{1}{2} − x \right| < 8$
$| − 6x + 9| − 5 < −6$