9.7: Kazi za Quadratic za Grafu Kutumia Mali

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176584

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Tambua grafu ya kazi ya quadratic
Pata mhimili wa ulinganifu na vertex ya parabola
Find intercepts ya parabola
Grafu quadratic kazi kutumia mali
Tatua maombi ya kiwango cha juu na cha chini

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Graph kazi$f(x)=x^{2}$ kwa pointi za kupanga.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.54.
Kutatua:$2 x^{2}+3 x-2=0$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 6.45.
Tathmini$-\frac{b}{2 a}$$a=3$ lini na$b=-6$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.21.

Tambua Grafu ya Kazi ya Quadratic

Hapo awali tuliangalia kwa ufupi kazi$f(x)=x^{2}$, ambayo tuliita kazi ya mraba. Ilikuwa ni moja ya kazi za kwanza zisizo za mstari tulizozitazama. Sasa sisi grafu kazi ya fomu$f(x)=a x^{2}+b x+c$ kama$a \neq 0$. Tunaita aina hii ya kazi kazi ya quadratic.

Ufafanuzi$\PageIndex{1}$

Kazi ya quadratic$a, b$, wapi, na$c$ ni namba halisi na$a≠0$, ni kazi ya fomu

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Tulifanya kazi ya quadratic$f(x)=x^{2}$ kwa pointi za kupanga njama.

Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y wa ndege unatoka hasi 2 hadi 6. Parabola ina vertex saa (0, 0) na pia hupita kupitia pointi (-2, 4), (-1, 1), (1, 1), na (2, 4). Kwa haki ya grafu ni meza ya maadili na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari header na maandiko kila safu, â € xâ€, â € f ya x sawa x squaredâ €, na â € â jozi ili x, f ya x.â € Katika mstari 2, x sawa hasi 3, f ya x sawa x squared ni 9 na kuamuru jozi x, f ya x ni jozi kuamuru hasi 3, 9. Katika mstari 3, x sawa hasi 2, f ya x sawa x squared ni 4 na kuamuru jozi x, f ya x ni awali jozi hasi 2, 4. Katika mstari 4, x sawa hasi 1, f ya x sawa x squared ni 1 na kuamuru jozi x, f ya x ni awali jozi hasi 1, 1. Katika mstari 5, x sawa 0, f ya x sawa x squared ni 0 na kuamuru jozi x, f ya x ni jozi awali 0, 0. Katika mstari 6, x sawa 1, f ya x sawa x squared ni 1 na kuamuru jozi x, f ya x ni jozi awali 1, 1. Katika mstari 7, x sawa 2, f ya x sawa x squared ni 4 na kuamuru jozi x, f ya x ni jozi awali 2, 4. Katika mstari 8, x sawa 3, f ya x sawa x squared ni 9 na kuamuru jozi x, f ya x ni jozi awali 3, 9. — Kielelezo 9.6.1

Kila kazi ya quadratic ina grafu inayoonekana kama hii. Tunaita takwimu hii parabola. Hebu tufanye mazoezi ya kuchora parabola kwa kupanga pointi chache.

Mfano$\PageIndex{1}$

Grafu:$f(x)=x^{2}-1$.

Suluhisho:

Tutaweka graph kazi kwa pointi za kupanga.

Chagua maadili integer kwa$x$, badala yao katika equation na kurahisisha kupata$f(x)$. Rekodi maadili ya jozi zilizoamriwa kwenye chati.	$.$
Panda pointi, kisha uunganishe na safu ya laini. Matokeo itakuwa grafu ya kazi$f(x)=x^{2}-1$.	$.$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Grafu$f(x)=-x^{2}$.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya kufungua chini-iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (0, 0).$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Grafu$f(x)=x^{2}-1$.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (0, â'1).$

Grafu zote za kazi za quadratic za fomu$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ni parabolas zinazofungua juu au chini. Angalia Kielelezo 9.6.6

Picha hii inaonyesha grafu 2 upande kwa upande. Grafu upande wa kushoto inaonyesha parabola ya ufunguzi wa juu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (hasi 2, hasi 1) na hupita kupitia pointi (hasi 4, 3) na (0, 3). Fomu ya jumla ya equation ya grafu hii ni f ya x sawa x squared plus b x plus c. equation ya parabola hii ni x squared pamoja 4 x pamoja 3. Mgawo wa kuongoza, a, ni mkubwa kuliko 0, hivyo parabola hii inafungua juu.Grafu upande wa kulia inaonyesha parabola ya kufungua chini iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (2, 7) na hupita kupitia pointi (0, 3) na (4, 3). Fomu ya jumla ya equation ya grafu hii ni f ya x sawa x squared pamoja b x plus c. equation ya parabola hii ni hasi x squared pamoja 4 x pamoja 3. Mgawo wa kuongoza, a, ni chini ya 0, hivyo parabola hii inafungua chini.

Kumbuka kwamba tofauti pekee katika kazi mbili ni ishara hasi kabla ya muda wa quadratic ($x^{2}$katika equation ya grafu katika Mchoro 9.6.6). Wakati muda wa quadratic, ni chanya, parabola inafungua juu, na wakati neno la quadratic ni hasi, parabola inafungua chini.

Ufafanuzi$\PageIndex{2}$

Parabola Mwelekeo

Kwa grafu ya kazi ya quadratic$f(x)=a x^{2}+b x+c$, ikiwa

$Picha hii inaonyesha orodha ya risasi. Risasi ya kwanza inabainisha kuwa, ikiwa ni kubwa kuliko 0, basi parabola inafungua juu na inaonyesha picha ya parabola ya ufunguzi wa juu. Risasi ya pili inabainisha kuwa, ikiwa ni chini ya 0, basi parabola inafungua chini na inaonyesha picha ya parabola ya kufungua chini.$

Mfano$\PageIndex{2}$

Kuamua kama kila parabola inafungua juu au chini:

$f(x)=-3 x^{2}+2 x-4$
$f(x)=6 x^{2}+7 x-9$

Suluhisho:

a Kupata thamani ya$a$.

Kwa kuwa$a$ ni hasi, parabola itafungua chini.

b. kupata thamani ya$a$.

Kwa kuwa$a$ ni chanya, parabola itafungua juu.

Zoezi$\PageIndex{3}$

Kuamua kama grafu ya kila kazi ni parabola inayofungua juu au chini:

$f(x)=2 x^{2}+5 x-2$
$f(x)=-3 x^{2}-4 x+7$

Jibu

juu
chini

Zoezi$\PageIndex{4}$

Kuamua kama grafu ya kila kazi ni parabola inayofungua juu au chini:

$f(x)=-2 x^{2}-2 x-3$
$f(x)=5 x^{2}-2 x-1$

Jibu

chini
juu

Kupata Axis ya Ulinganifu na Vertex ya Parabola

Angalia tena kwenye Kielelezo 9.6.10. Je, unaweza kuona kwamba tunaweza mara kila parabola katika nusu na kisha upande mmoja ingekuwa uongo juu ya nyingine? 'Mstari wa fold' ni mstari wa ulinganifu. Tunaiita mhimili wa ulinganifu wa parabola.

Tunaonyesha grafu mbili sawa tena na mhimili wa ulinganifu.

Picha hii inaonyesha grafu 2 upande kwa upande. Grafu upande wa kushoto inaonyesha parabola ya ufunguzi wa juu na mstari wa wima uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (hasi 2, hasi 1) na hupita kupitia pointi (hasi 4, 3) na (0, 3). Equation ya parabola hii ni x squared pamoja 4 x pamoja 3. Mstari wa wima hupita kupitia hatua (hasi 2, 0) na ina equation x sawa na hasi 2. Grafu upande wa kulia inaonyesha parabola ya kufungua chini na mstari wa wima uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (2, 7) na hupita kupitia pointi (0, 3) na (4, 3). Ulinganisho wa parabola hii ni hasi x mraba pamoja na 4 x pamoja na 3. Mstari wa wima hupita kupitia hatua (2, 0) na ina equation x sawa na 2.

Ulinganisho wa mhimili wa ulinganifu unaweza kupatikana kwa kutumia Mfumo wa Quadratic. Tutaondoa derivation hapa na kuendelea moja kwa moja kutumia matokeo. Equation ya mhimili wa ulinganifu wa grafu ya$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ni$x=-\frac{b}{2 a}$.

Hivyo kupata equation ya ulinganifu wa kila moja ya parabolas sisi graphed hapo juu, sisi badala katika formula$x=-\frac{b}{2 a}$.

Linganisha kazi f ya x sawa x squared pamoja 4 x pamoja 3 kwa fomu ya kawaida ya kazi quadratic, f ya x sawa x squared pamoja b x pamoja c. mhimili wa ulinganifu ni mstari x sawa hasi b kugawanywa na bidhaa 2 a. 1. Mhimili wa ulinganifu ni sawa na hasi 2. Next, kulinganisha kazi f ya x sawa hasi x squared pamoja 4 x pamoja 3 kwa fomu ya kawaida ya kazi quadratic, f ya x sawa x squared pamoja b x pamoja c. mhimili wa ulinganifu ni mstari x sawa hasi b kugawanywa na bidhaa 2 a Kubadilisha kwa b na mavuno x sawa hasi 4 imegawanywa na bidhaa 2 mara hasi 1. Mhimili wa ulinganifu ni sawa na 2.

Angalia kwamba haya ni equations ya mistari ya bluu iliyopigwa kwenye grafu.

Hatua juu ya parabola ambayo ni ya chini kabisa (parabola inafungua), au ya juu (parabola inafungua), iko juu ya mhimili wa ulinganifu. Hatua hii inaitwa vertex ya parabola.

Tunaweza kupata urahisi kuratibu ya vertex, kwa sababu tunajua ni juu ya mhimili wa ulinganifu. Hii ina maana yake
$x$ -kuratibu ni$-\frac{b}{2 a}$. Ili kupata$y$ -kuratibu ya vertex sisi badala ya thamani ya$x$ -kuratibu katika kazi quadratic.

Kwa kazi f ya x sawa x squared pamoja 4 x plus 3, mhimili wa ulinganifu ni x sawa na hasi 2. Vertex ni hatua juu ya parabola na x-kuratibu hasi 2. Mbadala x sawa hasi 2 katika kazi f ya x sawa x squared pamoja 4 x plus 3. F ya x sawa na mraba wa hasi 2 pamoja na mara 4 hasi 2 pamoja 3, hivyo f ya x sawa hasi 1. Vertex ni hatua (hasi 2, hasi 1). Kwa kazi f ya x sawa na hasi x squared pamoja 4 x plus 3, mhimili wa ulinganifu ni x sawa na 2. Vertex ni hatua juu ya parabola na x-kuratibu 2. Mbadala x sawa 2 katika kazi f ya x sawa x squared pamoja 4 x plus 3. F ya x sawa 2 squared pamoja 4 mara 2 pamoja 3, hivyo f ya x sawa 7. Vertex ni hatua (2, 7).

Axis ya Ulinganifu na Vertex ya Parabola

Grafu ya kazi$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ni parabola ambapo:

mhimili wa ulinganifu ni mstari wa wima$x=-\frac{b}{2 a}$.
vertex ni hatua juu ya mhimili wa ulinganifu, hivyo$x$ -kuratibu yake ni$-\frac{b}{2 a}$
$y$-kuratibu ya vertex hupatikana kwa kubadili$x=-\frac{b}{2 a}$ katika equation quadratic.

Mfano$\PageIndex{3}$

Kwa grafu ya$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$ kupata:

mhimili wa ulinganifu
kipeo

Suluhisho:

	$.$
Mhimili wa ulinganifu ni mstari wa wima$x=-\frac{b}{2 a}$.
Badilisha maadili$a,b$ katika equation.	$x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}$
Kurahisisha.	$x=1$
	Mhimili wa ulinganifu ni mstari$x=1$.

	$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$
Vertex ni hatua kwenye mstari wa ulinganifu, hivyo$x$ -kuratibu yake itakuwa$x=1$. Kupata$f(1)$.	$.$
Kurahisisha.	$.$
Matokeo yake ni$y$ -kuratibu.	$f(1)=-1$
	Vertex ni$(1,-1)$.

Zoezi$\PageIndex{5}$

Kwa grafu ya$f(x)=2 x^{2}-8 x+1$ kupata:

mhimili wa ulinganifu
kipeo

Jibu

$x=2$
$(2,-7)$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Kwa grafu ya$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ kupata:

mhimili wa ulinganifu
kipeo

Jibu

$x=1$
$(1,-5)$

Kupata Intercepts ya Parabola

Wakati sisi graphed equations linear, sisi mara nyingi kutumika$x$ - na$y$ -intercepts kutusaidia graph mistari. Kupata kuratibu za intercepts itatusaidia grafu parabolas, pia.

Kumbuka, katika$y$ -intercept thamani ya$x$ ni sifuri. Hivyo kupata$y$ -intercept, sisi badala$x=0$ katika kazi.

Hebu tupate$y$ -intercepts ya parabolas mbili inavyoonekana katika Kielelezo 9.6.20.

matokeo$x$ -intercept wakati thamani ya$f(x)$ ni sifuri. Ili kupata$x$ -intercept, sisi basi$f(x)=0$. Kwa maneno mengine, tutahitaji kutatua equation$0=a x^{2}+b x+c$ kwa$x$.

$\begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ 0 &=a x^{2}+b x+c \end{aligned}$

Kutatua equations quadratic kama hii ni nini hasa tumefanya mapema katika sura hii!

Sasa tunaweza kupata$x$ -intercepts ya parabolas mbili sisi inaonekana katika. Kwanza tutapata$x$ -intercepts ya parabola ambao kazi yake ni$f(x)=x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=x^{2}+4 x+3$
Hebu$f(x)=0$.	$\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3$
Factor.	$0=(x+1)(x+3)$
Tumia mali ya Bidhaa ya Zero.	$x+1=0 \quad x+3=0$
Kutatua.	$x=-1 \quad x=-3$
	$x$-intercepts ni$(-1,0)$ na$(-3,0)$.

Sasa tutapata$x$ -intercepts ya parabola ambaye kazi yake ni$f(x)=-x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=-x^{2}+4 x+3$
Hebu$f(x)=0$.	$\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3$
Quadratic hii haina sababu, kwa hiyo tunatumia Mfumo wa Quadratic.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a=-1, b=4, c=3$	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}$
Kurahisisha.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}$
	$x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}$
	$x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}$
	$x=2 \pm \sqrt{7}$
	$x$-intercepts ni$(2+\sqrt{7}, 0)$ na$(2-\sqrt{7}, 0)$.

Tutatumia makadirio decimal ya$x$ -intercepts, ili tuweze Machapisho pointi hizi kwenye graph,

$(2+\sqrt{7}, 0) \approx(4.6,0) \quad(2-\sqrt{7}, 0) \approx(-0.6,0)$

Je, matokeo haya yanakubaliana na grafu zetu? Angalia Kielelezo 9.6.34

Picha hii inaonyesha grafu 2 upande kwa upande. Grafu upande wa kushoto inaonyesha parabola ya juu ya kufungua inavyoelezwa na kazi f ya x sawa x squared pamoja 4 x plus 3 na mstari wa wima iliyopigwa, x sawa na hasi 2, iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (hasi 2, hasi 1). Y-intercept ni (0, 3) na x-intercepts ni (hasi 1, 0) na (hasi 3, 0). Grafu upande wa kulia inaonyesha parabola ya kufungua chini inayofafanuliwa na kazi f ya x sawa na hasi x squared pamoja 4 x plus 3 na mstari wa wima uliopigwa, x sawa na 2, iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Parabola ina vertex saa (2, 7). Y-intercept ni (0, 3) na x-intercepts ni (2 pamoja na mizizi ya mraba 7, 0), takriban (4.6, 0) na (2 bala mizizi ya mraba, 0), takriban (hasi 0.6, 0).

Kupata Intercepts ya Parabola

Ili kupata intercepts ya parabola ambaye kazi yake ni$f(x)=a x^{2}+b x+c$:

$y$-kukatiza

Hebu$x=0$ na kutatua kwa$f(x)$.

$x$-hukataa

Hebu$f(x)=0$ na kutatua kwa$x$

Mfano$\PageIndex{4}$

Kupata intercepts ya parabola ambaye kazi ni$f(x)=x^{2}-2 x-8$.

Suluhisho:

Ili kupata$y$ -intercept, basi$x=0$ na kutatua kwa$f(x)$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8$
	$f(0)=-8$
	Wakati$x=0$, basi$f(0)=-8$. $y$-Intercept ni uhakika$(0,-8)$.
Ili kupata$x$ -intercept, basi$f(x)=0$ na kutatua kwa$x$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$0=x^{2}-2 x-8$
Kutatua kwa factoring.	$0=(x-4)(x+2)$
	$0=x-4 \quad 0=x+2$
	$4=x \quad-2=x$
	Wakati$f(x)=0$, basi$x=4$ au$x=-2$. $x$-intercepts ni pointi$(4,0)$ na$(-2,0)$.

Zoezi$\PageIndex{7}$

Kupata intercepts ya parabola ambaye kazi ni$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Jibu: $y$-kukatiza:$(0,-8) x$ -intercepts$(-4,0),(2,0)$

Zoezi$\PageIndex{8}$

Kupata intercepts ya parabola ambaye kazi ni$f(x)=x^{2}-4 x-12$.

Jibu: $y$-kukatiza:$(0,-12) x$ -intercepts$(-2,0),(6,0)$

Katika sura hii, tumekuwa tunatatua equations quadratic ya fomu$a x^{2}+b x+c=0$. Sisi kutatuliwa kwa$x$ na matokeo yalikuwa ufumbuzi wa equation.

Sasa tunaangalia kazi za quadratic za fomu$f(x)=a x^{2}+b x+c$. Grafu ya kazi hizi ni parabolas. Ya$x$ - intercepts ya parabolas hutokea wapi$f(x)=0$.

Kwa mfano:

Quadratic equation

$\begin{aligned}x^{2}-2 x-15 & =0\quad \text{Let}\:f(x)=0 \\ (x-5)(x+3) &=0 \\ x-5=0\:\:x+3 & =0 \\ x=5\:\:\:x&=-3\end{aligned}$

Kazi ya Quadratic

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=(x-5)(x+3) \\ x-5 &=0 \quad x+3=0 \\ x &=5 \quad x=-3 \\(5,0) & \text { and }(-3,0) \\& x\text { -intercepts } \end{aligned}$

Ufumbuzi wa kazi ya quadratic ni$x$ maadili ya$x$ - intercepts.

Mapema, tuliona kwamba equations quadratic na$2, 1$, au$0$ ufumbuzi. Grafu hapa chini zinaonyesha mifano ya parabolas kwa kesi hizi tatu. Kwa kuwa ufumbuzi wa kazi hutoa$x$ -intercepts ya grafu, idadi ya$x$ -intercepts ni sawa na idadi ya ufumbuzi.

Hapo awali, tulitumia ubaguzi kuamua idadi ya ufumbuzi wa kazi ya quadratic ya fomu$a x^{2}+b x+c=0$. Sasa tunaweza kutumia ubaguzi kutuambia wangapi$x$ -intercepts kuna kwenye grafu.

Picha hii inaonyesha grafu tatu upande kwa upande. Grafu upande wa kushoto inaonyesha parabola ya ufunguzi wa juu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Vertex ya parabola iko chini ya x-axis na parabola huvuka x-axis kwa pointi mbili tofauti. Ikiwa b squared minus 4 c ni kubwa kuliko 0, basi equation quadratic x squared pamoja b x pamoja x pamoja c sawa na 0 ina ufumbuzi mbili, na grafu ya parabola ina 2 x-intercepts. Grafu katikati inaonyesha parabola ya kufungua chini iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Vertex ya parabola iko juu ya x-axis, hatua pekee ya makutano kati ya parabola na x-axis. Ikiwa b squared minus 4 c ni sawa na 0, basi equation quadratic x squared pamoja b x pamoja x pamoja c sawa na 0 ina suluhisho moja, na grafu ya parabola ina 1 x-intercept. Grafu upande wa kulia inaonyesha parabola ya ufunguzi wa juu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Vertex ya parabola iko juu ya x-axis na parabola haina msalaba x-axis. Ikiwa b squared minus 4 c ni chini ya 0, basi equation quadratic x squared pamoja b x pamoja x pamoja c sawa na 0 haina ufumbuzi, na grafu ya parabola haina x-intercepts.

Kabla ya kupata maadili ya$x$ -intercepts, unaweza kutaka kutathmini ubaguzi ili ujue jinsi ufumbuzi wengi wa kutarajia.

Mfano$\PageIndex{5}$

Find intercepts ya parabola kwa ajili ya kazi$f(x)=5 x^{2}+x+4$.

Suluhisho:

	$.$
Ili kupata$y$ -intercept, basi$x=0$ na kutatua kwa$f(x)$.	$.$
	$.$
	Wakati$x=0$, basi$f(0)=4$. $y$-Intercept ni uhakika$(0,4)$.
Ili kupata$x$ -intercept, basi$f(x)=0$ na kutatua kwa$x$.	$.$
	$.$
Kupata thamani ya kubagua kutabiri idadi ya ufumbuzi ambayo pia ni idadi ya$x$ -intercepts.
$\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}$
	Kwa kuwa thamani ya ubaguzi ni hasi, hakuna ufumbuzi halisi wa equation. Hakuna$x$ -intercepts.

Zoezi$\PageIndex{9}$

Kupata intercepts ya parabola ambaye kazi ni$f(x)=3 x^{2}+4 x+4$.

Jibu: $y$-kukatiza:$(0,4)$$x$ hakuna-kukatiza

Zoezi$\PageIndex{10}$

Find intercepts ya parabola ambao kazi ni$f(x)=x^{2}-4 x-5$

Jibu: $y$-kukatiza:$(0,-5)$$x$ -inakataza$(-1,0),(5,0)$

Grafu Quadratic Kazi Kutumia Mali

Sasa tuna vipande vyote tunavyohitaji ili tupate kazi ya quadratic. Tunahitaji tu kuziweka pamoja. Katika mfano unaofuata tutaona jinsi ya kufanya hivyo.

Mfano$\PageIndex{6}$ How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Grafu$f(x)=x^{2}-6x+8$ kwa kutumia mali zake.

Suluhisho:

Hatua ya 1: Kuamua kama parabola inafungua juu au chini.	Angalia$a$ katika equation$f(x)=x^{2}-6x+8$ Kwa kuwa$a$ ni chanya, parabola inafungua juu.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ $\color{red}{a=1, b=-6, c=8}$ Parabola inafungua juu.
Hatua ya 2: Pata mhimili wa ulinganifu.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ Mhimili wa ulinganifu ni mstari$x=-\frac{b}{2 a}$.	Axis ya Ulinganifu $x=-\frac{b}{2 a}$ $x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}$ $x=3$ Mhimili wa ulinganifu ni mstari$x=3$.
Hatua ya 3: Pata vertex.	Vertex iko kwenye mhimili wa ulinganifu. Mbadala$x=3$ katika kazi.	Vertex $f(x)=x^{2}-6x+8$ $f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8$ $f(3)=-1$ Vertex ni$(3,-1)$.
Hatua ya 4: Pata$y$ -intercept. Pata uhakika ulinganifu kwa$y$ -intercept katika mhimili wa ulinganifu.	Tunapata$f(0)$. Tunatumia mhimili wa ulinganifu ili kupata uhakika ulinganifu kwa$y$ -intercept. $y$-Intercept ni$3$ vitengo vya kushoto vya mhimili wa ulinganifu,$x=3$. $3$vitengo uhakika na haki ya mhimili wa ulinganifu ina$x=6$.	$y$-kukatiza $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8$ $f(0)=8$ $y$Kizuizi ni$(0,8)$. Eleza ulinganifu kwa$y$ -kukatiza: Hatua ni$(6,8)$.
Hatua ya 5: Kupata$x$ -intercepts. Pata pointi za ziada ikiwa inahitajika.	Sisi kutatua$f(x)=0$. Tunaweza kutatua equation hii quadratic kwa factoring.	$x$-hukataa $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)$ $x=2 or x=4$ $x$-intercepts ni$(2,0)$ na$(4,0)$.
Hatua ya 6: Grafu parabola.	Sisi grafu vertex, intercepts, na uhakika ulinganifu kwa$y$ -intercept. Tunaunganisha$5$ pointi hizi ili mchoro wa parabola.	$Picha ya skrini (1) .png$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Grafu$f(x)=x^{2}+2x-8$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa ulinganifu, x sawa na hasi 1, umewekwa kama mstari uliopigwa. Parabola ina vertex saa (hasi 1, hasi 9). Y-intercept ya parabola ni uhakika (0, hasi 8). Ya x-intercepts ya parabola ni pointi (hasi 4, 0) na (4, 0).$

Zoezi$\PageIndex{12}$

Grafu$f(x)=x^{2}-8x+12$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 15. Mhimili wa ulinganifu, x sawa na 4, umewekwa kama mstari uliopigwa. Parabola ina vertex saa (4, hasi 4). Y-intercept ya parabola ni uhakika (0, 12). Ya x-intercepts ya parabola ni pointi (2, 0) na (6, 0).$

Tunaandika hatua za kuchukua ili kuunda kazi ya quadratic hapa.

Kwa Grafu Kazi ya Quadratic Kutumia Mali

Kuamua kama parabola inafungua juu au chini.
Pata equation ya mhimili wa ulinganifu.
Pata vertex.
Pata$y$ -intercept. Pata uhakika ulinganifu kwa$y$ -intercept katika mhimili wa ulinganifu.
Kupata$x$ -intercepts. Pata pointi za ziada ikiwa inahitajika.
Grafu parabola.

Tuliweza kupata$x$ -intercepts katika mfano wa mwisho kwa factoring. Tunapata$x$ -intercepts katika mfano unaofuata kwa kuzingatia, pia.

Mfano$\PageIndex{7}$

Grafu$f(x)=-x^{2}+6 x-9$ kwa kutumia mali zake.

Suluhisho:

	$.$
Kwa kuwa$a$ ni$-1$, parabola inafungua chini.
	$.$
Ili kupata equation ya mhimili wa ulinganifu, tumia$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{6}{2(-1)}$
	$x=3$
	Mhimili wa ulinganifu ni$x=3$. Vertex iko kwenye mstari$x=3$.
	$.$
Kupata$f(3)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
	$.$
	$f(3)=-9+18-9$
	$f(3)=0$
	Vertex ni$(3,0)$.
	$.$
$y$-Intercept hutokea wakati$x=0$. Kupata$f(0)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
Mbadala$x=0$.	$.$
Kurahisisha.	$f(0)=-9$
Hatua$(0,-9)$ ni vitengo vitatu upande wa kushoto wa mstari wa ulinganifu. Hatua vitengo vitatu kwa haki ya mstari wa ulinganifu ni$(6,-9)$.	$.$
	Point ulinganifu kwa$y$ -intercept ni$(6,-9)$
$x$-Intercept hutokea wakati$f(x)=0$.	$.$
Kupata$f(x)=0$.	$.$
Sababu ya GCF.	$.$
Sababu ya trinomial.	$.$
Kutatua kwa$x$.	$.$
Unganisha pointi kwa grafu parabola.	$.$

Zoezi$\PageIndex{13}$

Grafu$f(x)=3 x^{2}+12 x-12$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya kufungua chini iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege unatoka hasi 15 hadi 10. Parabola ina vertex saa (2, 0). Y-intercept (0, hasi 12) imepangwa pamoja na mhimili wa ulinganifu, x sawa na 2.$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Grafu$f(x)=4 x^{2}+24 x+36$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 30 hadi 20. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 40. Parabola ina vertex saa (hasi 3, 0). Y-intercept (0, 36) imepangwa pamoja na mhimili wa ulinganifu, x sawa na hasi 3.$

Kwa grafu ya$f(x)=-x^{2}+6 x-9$, vertex na$x$ -intercept walikuwa hatua sawa. Kumbuka jinsi wabaguzi huamua idadi ya ufumbuzi wa equation quadratic? Ubaguzi wa equation$0=-x^{2}+6x-9$ ni$0$, kwa hiyo kuna suluhisho moja tu. Hiyo ina maana kuna moja tu$x$ -intercept, na ni kipeo cha parabola.

$x$Wangapi -intercepts bila kutarajia kuona kwenye graph ya$f(x)=x^{2}+4 x+5$?

Mfano$\PageIndex{8}$

Grafu$f(x)=x^{2}+4 x+5$ kwa kutumia mali zake.

Suluhisho:

	$.$
Kwa kuwa$a$ ni$-1$, parabola inafungua chini.
	$.$
Ili kupata equation ya mhimili wa ulinganifu, tumia$x=-\frac{b}{2 a}$.	$.$
	$.$
	$.$
	Ulinganisho wa mhimili wa ulinganifu ni\ (x=-2).
	$.$
Vertex iko kwenye mstari$x=-2$.
Kupata$f(x)$ wakati$x=-2$.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	Vertex ni$(-2,1)$.
	$.$
$y$-Intercept hutokea wakati$x=0$.	$.$
Kupata$f(0)$.	$.$
Kurahisisha.	$.$
	$y$Kizuizi ni$(0,5)$.
Hatua$(-4,5)$ ni vitengo viwili upande wa kushoto wa mstari wa ulinganifu. Hatua ya vitengo kwa haki ya mstari wa ulinganifu ni\ ((0,5)\.	$.$
	Point ulinganifu kwa$y$ -intercept ni$(-4,5)$.
$x$-Intercept hutokea wakati$f(x)=0$.	$.$
Kupata$f(x)=0$.	$.$
Mtihani ubaguzi.
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Kwa kuwa thamani ya ubaguzi ni hasi, hakuna suluhisho halisi na hivyo hakuna$x$ -intercept.
Unganisha pointi kwa grafu parabola. Unaweza kutaka kuchagua pointi mbili zaidi kwa usahihi zaidi.	$.$

Zoezi$\PageIndex{15}$

Grafu$f(x)=x^{2}-2 x+3$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 2 hadi 4. Mhimili wa y wa ndege unatoka hasi 1 hadi 5. Parabola ina vertex saa (1, 2). Y-intercept (0, 3) imepangwa kama mstari wa ulinganifu, x sawa na 1.$

Zoezi$\PageIndex{16}$

Grafu$f(x)=-3x^{2}-6 x-4$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya kufungua chini iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 4 hadi 2. Mhimili wa y wa ndege unatoka hasi 5 hadi 1. Parabola ina vertex saa (hasi 1, hasi 2). Y-intercept (0, hasi 4) imepangwa kama mstari wa ulinganifu, x sawa na hasi 1.$

Kupata$y$ -intercept kwa kutafuta$f(0)$ ni rahisi, sivyo? Wakati mwingine tunahitaji kutumia Mfumo wa Quadratic ili kupata$x$ -intercepts.

Mfano$\PageIndex{9}$

Grafu$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ kwa kutumia mali zake.

Suluhisho:

	$.$
Kwa kuwa$a$ ni$2$, parabola inafungua juu.	$.$
Ili kupata equation ya mhimili wa ulinganifu, tumia$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}$
	$x=1$
	Equation ya mhimili wa ulinganifu ni$x=1$.
Vertex iko kwenye mstari$x=1$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Kupata$f(1)$.	$.$
	$f(1)=2-4-3$
	\ (\ f (1) =-5)
	Vertex ni$(1,-5)$.
$y$-Intercept hutokea wakati$x=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Kupata$f(0)$.	$.$
Kurahisisha.	$f(0)=-3$
	$y$Kizuizi ni$(0,-3)$.
Hatua$(0,-3)$ ni kitengo kimoja upande wa kushoto wa mstari wa ulinganifu.	Point ulinganifu kwa$y$ -intercept ni$(2,-3)$
Hatua moja kitengo kwa haki ya mstari wa ulinganifu ni$(2,3)$.
$x$-Intercept hutokea wakati$y=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Kupata$f(x)=0$.	$.$
Tumia Mfumo wa Quadratic.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Mbadala katika maadili ya$a,b$ na$c$.	$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
Kurahisisha.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}$
Kurahisisha ndani ya radical.	$x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}$
Kurahisisha radical.	$x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$
Sababu ya GCF.	$x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}$
Ondoa mambo ya kawaida.	$x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$
Andika kama equations mbili.	$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
Takriban maadili.	$x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6$
	Maadili ya takriban ya$x$ -intercepts ni$(2.5,0)$ na$(-0.6,0)$.
Graph parabola kutumia pointi kupatikana.	$.$

Zoezi$\PageIndex{17}$

Grafu$f(x)=5 x^{2}+10 x+3$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya juu ya ufunguzi iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y wa ndege unatoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa ulinganifu, x sawa na hasi 1, umewekwa kama mstari uliopigwa. Parabola ina vertex saa (hasi 1, hasi 2). Y-intercept ya parabola ni uhakika (0, 3). Vipindi vya x-intercepts ya parabola ni takriban (hasi 1.6, 0) na (hasi 0.4, 0).$

Zoezi$\PageIndex{18}$

Grafu$f(x)=-3 x^{2}-6 x+5$ kwa kutumia mali zake.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha parabola ya kufungua chini iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa ulinganifu, x sawa na hasi 1, umewekwa kama mstari uliopigwa. Parabola ina vertex saa (hasi 1, 8). Y-intercept ya parabola ni uhakika (0, 5). Vipindi vya x-intercepts ya parabola ni takriban (hasi 2.6, 0) na (0.6, 0).$

Tatua Maombi ya kiwango cha juu na cha chini

Kujua kwamba vertex ya parabola ni hatua ya chini au ya juu ya parabola inatupa njia rahisi ya kuamua thamani ya chini au ya juu ya kazi ya quadratic. Kuratibu y ya vertex ni thamani ya chini ya parabola inayofungua juu. Ni thamani ya juu ya parabola inayofungua chini. Angalia Kielelezo 9.6.124.

Takwimu hii inaonyesha grafu 2 upande kwa upande. Grafu ya kushoto inaonyesha parabola ya ufunguzi wa chini iliyopangwa katika ndege ya x y. Mshale unaonyesha kwenye vertex na kiwango cha juu cha lebo. Grafu ya haki inaonyesha parabola ya ufunguzi wa juu iliyopangwa katika ndege ya x y. Mshale unaonyesha kwenye vertex na kiwango cha chini cha lebo. — Kielelezo 9.6.124

Maadili ya chini au Maximum ya Kazi ya Quadratic

Kuratibu y ya vertex ya grafu ya kazi ya quadratic ni

thamani ya chini ya equation quadratic kama parabola kufungua zaidi.
upeo thamani ya equation quadratic kama parabola kufungua chini.

Mfano$\PageIndex{10}$

Pata thamani ya chini au ya juu ya kazi ya quadratic$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Suluhisho:

	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Kwa kuwa$a$ ni chanya, parabola inafungua juu. Equation quadratic ina kiwango cha chini.
Pata equation ya mhimili wa ulinganifu.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{2}{2 \times 1}$
	$x=-1$
	Equation ya mhimili wa ulinganifu ni$x=-1$.
Vertex iko kwenye mstari$x=-1$.	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Kupata$f(-1)$.	$.$
	$f(-1)=1-2-8$
	$f(-1)=-9$
	Vertex ni$(-1,-9)$.
Kwa kuwa parabola ina kiwango cha chini,$y$ -kuratibu ya vertex ni kiwango cha chini$y$ -thamani ya equation quadratic. Thamani ya chini ya quadratic ni$-9$ na hutokea wakati$x=-1$.
	$.$

Onyesha grafu ili kuthibitisha matokeo.

Zoezi$\PageIndex{19}$

Pata thamani ya juu au ya chini ya kazi ya quadratic$f(x)=x^{2}-8 x+12$.

Jibu: Thamani ya chini ya kazi ya quadratic ni$−4$ na hutokea wakati$x=4$.

Zoezi$\PageIndex{20}$

Pata thamani ya juu au ya chini ya kazi ya quadratic$f(x)=-4 x^{2}+16 x-11$.

Jibu: Thamani ya juu ya kazi ya quadratic ni$5$ na hutokea wakati$x=2$.

Tumetumia formula

$h(t)=-16 t^{2}+v_{0} t+h_{0}$

kuhesabu urefu katika miguu,$h$, ya kitu risasi juu katika hewa na kasi ya awali,$v_{0}$, baada ya$t$ sekunde.

Fomu hii ni kazi ya quadratic, hivyo grafu yake ni parabola. Kwa kutatua kwa kuratibu za vertex$(t,h)$, tunaweza kupata muda gani itachukua kitu kufikia urefu wake wa juu. Kisha tunaweza kuhesabu urefu wa juu.

Mfano$\PageIndex{11}$

Equation quadratic$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$ mfano urefu wa volleyball hit moja kwa moja juu na$176$ miguu kasi kwa pili kutoka urefu wa$4$ miguu.

Ni sekunde ngapi itachukua volleyball kufikia urefu wake wa juu?
Pata urefu wa juu wa volleyball.

Suluhisho:

$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$

Kwa kuwa$a$ ni hasi, parabola inafungua chini. Kazi ya quadratic ina kiwango cha juu.

Pata equation ya mhimili wa ulinganifu.

$\begin{array}{l}{t=-\frac{b}{2 a}} \\ {t=-\frac{176}{2(-16)}} \\ {t=5.5}\end{array}$

Equation ya mhimili wa ulinganifu ni$t=5.5$.

Vertex iko kwenye mstari$t=5.5$.

Upeo hutokea wakati$t=5.5$ sekunde.

b. kupata$h(5.5)$.

$\begin{array}{l}{h(t)=-16 t^{2}+176 t+4} \\ {h(t)=-16(5.5)^{2}+176(5.5)+4}\end{array}$

Tumia calculator ili kurahisisha.

$h(t)=488$

Vertex ni$(5.5,488)$.

Kwa kuwa parabola ina kiwango cha juu,$h$ -kuratibu ya vertex ni thamani ya juu ya kazi ya quadratic.

Thamani ya juu ya quadratic ni$488$ miguu na hutokea wakati$t=5.5$ sekunde.

Baada ya$5.5$ sekunde, volleyball itafikia urefu wake wa$488$ miguu.

Zoezi$\PageIndex{21}$

Tatua, kuzunguka majibu kwa kumi ya karibu.

Kazi ya quadratic$h(t)=-16 t^{2}+128 t+32$ hutumiwa kupata urefu wa jiwe lililotupwa juu kutoka urefu wa$32$ miguu kwa kiwango cha$128$ ft/sec. Itachukua muda gani kwa jiwe kufikia urefu wake wa juu? Urefu wa juu ni nini?

Jibu: Itachukua$4$ sekunde kwa jiwe kufikia urefu wake wa$288$ miguu.

Zoezi$\PageIndex{22}$

njia ya roketi toy kutupwa zaidi kutoka ardhini kwa kiwango cha$208$ ft/sec inatokana na kazi quadratic ya$h(t)=-16 t^{2}+208 t$. Je, roketi itafikia lini urefu wake wa juu? Je! Urefu wa juu utakuwa nini?

Jibu: Itachukua$6.5$ sekunde kwa roketi kufikia urefu wake wa juu wa$676$ miguu.

Dhana muhimu

Parabola Mwelekeo
- Kwa grafu ya kazi ya quadratic$f(x)=a x^{2}+b x+c$, ikiwa
  - $a>0$, parabola inafungua juu.
  - $a<0$, parabola inafungua chini.
Mhimili wa Ulinganifu na Vertex ya Parabola Grafu ya kazi$f(x)=a x^{2}+b x+c$ ni parabola ambapo:
- mhimili wa ulinganifu ni mstari wa wima$x=-\frac{b}{2 a}$.
- vertex ni hatua juu ya mhimili wa ulinganifu, hivyo$x$ -kuratibu yake ni$-\frac{b}{2 a}$.
- $y$-kuratibu ya vertex hupatikana kwa kubadili$x=-\frac{b}{2 a}$ katika equation quadratic.
Kupata Intercepts ya Parabola
- Ili kupata intercepts ya parabola ambaye kazi yake ni$f(x)=a x^{2}+b x+c$:
  - $y$-kukatiza
    - Hebu$x=0$ na kutatua kwa$f(x)$.
  - $x$-hukataa
    - Hebu$f(x)=0$ na kutatua$x$.
Jinsi ya grafu kazi ya quadratic kutumia mali.
1. Kuamua kama parabola inafungua juu au chini.
2. Pata equation ya mhimili wa ulinganifu.
3. Pata vertex.
4. Pata$y$ -intercept. Pata hatua ya ulinganifu kwa y -intercept katika mhimili wa ulinganifu.
5. Kupata$x$ -intercepts. Pata pointi za ziada ikiwa inahitajika.
6. Grafu parabola.
Kiwango cha chini au Maadili ya Upeo wa Quadratic
- $y$Kuratibu ya vertex ya grafu ya equation quadratic ni
- thamani ya chini ya equation quadratic kama parabola kufungua zaidi.
- upeo thamani ya equation quadratic kama parabola kufungua chini.

faharasa

kazi ya quadratic: Kazi ya quadratic$a, b$, wapi, na$c$ ni namba halisi na$a≠0$, ni kazi ya fomu$f(x)=ax^{2}+bx+c$.

	$.$
Mhimili wa ulinganifu ni mstari wa wima\(x=-\frac{b}{2 a}\).
Badilisha maadili\(a,b\) katika equation.	\(x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}\)
Kurahisisha.	\(x=1\)
	Mhimili wa ulinganifu ni mstari\(x=1\).

	\(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)
Vertex ni hatua kwenye mstari wa ulinganifu, hivyo\(x\) -kuratibu yake itakuwa\(x=1\). Kupata\(f(1)\).	$.$
Kurahisisha.	$.$
Matokeo yake ni\(y\) -kuratibu.	\(f(1)=-1\)
	Vertex ni\((1,-1)\).

	\(f(x)=x^{2}+4 x+3\)
Hebu\(f(x)=0\).	\(\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3\)
Factor.	\(0=(x+1)(x+3)\)
Tumia mali ya Bidhaa ya Zero.	\(x+1=0 \quad x+3=0\)
Kutatua.	\(x=-1 \quad x=-3\)
	\(x\)-intercepts ni\((-1,0)\) na\((-3,0)\).

	\(f(x)=-x^{2}+4 x+3\)
Hebu\(f(x)=0\).	\(\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3\)
Quadratic hii haina sababu, kwa hiyo tunatumia Mfumo wa Quadratic.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
\(a=-1, b=4, c=3\)	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}\)
Kurahisisha.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}\)
	\(x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}\)
	\(x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}\)
	\(x=2 \pm \sqrt{7}\)
	\(x\)-intercepts ni\((2+\sqrt{7}, 0)\) na\((2-\sqrt{7}, 0)\).

Ili kupata\(y\) -intercept, basi\(x=0\) na kutatua kwa\(f(x)\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8\)
	\(f(0)=-8\)
	Wakati\(x=0\), basi\(f(0)=-8\). \(y\)-Intercept ni uhakika\((0,-8)\).
Ili kupata\(x\) -intercept, basi\(f(x)=0\) na kutatua kwa\(x\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(0=x^{2}-2 x-8\)
Kutatua kwa factoring.	\(0=(x-4)(x+2)\)
	\(0=x-4 \quad 0=x+2\)
	\(4=x \quad-2=x\)
	Wakati\(f(x)=0\), basi\(x=4\) au\(x=-2\). \(x\)-intercepts ni pointi\((4,0)\) na\((-2,0)\).

Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\) How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Zoezi\(\PageIndex{16}\)

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{17}\)

Zoezi\(\PageIndex{18}\)

Mfano\(\PageIndex{10}\)

Zoezi\(\PageIndex{19}\)

Zoezi\(\PageIndex{20}\)

Mfano\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{21}\)

Zoezi\(\PageIndex{22}\)

Chagua maadili integer kwa\(x\), badala yao katika equation na kurahisisha kupata\(f(x)\). Rekodi maadili ya jozi zilizoamriwa kwenye chati.	$.$
Panda pointi, kisha uunganishe na safu ya laini. Matokeo itakuwa grafu ya kazi\(f(x)=x^{2}-1\).	$.$

	$.$
Ili kupata\(y\) -intercept, basi\(x=0\) na kutatua kwa\(f(x)\).	$.$
	$.$
	Wakati\(x=0\), basi\(f(0)=4\). \(y\)-Intercept ni uhakika\((0,4)\).
Ili kupata\(x\) -intercept, basi\(f(x)=0\) na kutatua kwa\(x\).	$.$
	$.$
Kupata thamani ya kubagua kutabiri idadi ya ufumbuzi ambayo pia ni idadi ya\(x\) -intercepts.
\(\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}\)
	Kwa kuwa thamani ya ubaguzi ni hasi, hakuna ufumbuzi halisi wa equation. Hakuna\(x\) -intercepts.

Hatua ya 1: Kuamua kama parabola inafungua juu au chini.	Angalia\(a\) katika equation\(f(x)=x^{2}-6x+8\) Kwa kuwa\(a\) ni chanya, parabola inafungua juu.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\) Parabola inafungua juu.
Hatua ya 2: Pata mhimili wa ulinganifu.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) Mhimili wa ulinganifu ni mstari\(x=-\frac{b}{2 a}\).	Axis ya Ulinganifu \(x=-\frac{b}{2 a}\) \(x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}\) \(x=3\) Mhimili wa ulinganifu ni mstari\(x=3\).
Hatua ya 3: Pata vertex.	Vertex iko kwenye mhimili wa ulinganifu. Mbadala\(x=3\) katika kazi.	Vertex \(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8\) \(f(3)=-1\) Vertex ni\((3,-1)\).
Hatua ya 4: Pata\(y\) -intercept. Pata uhakika ulinganifu kwa\(y\) -intercept katika mhimili wa ulinganifu.	Tunapata\(f(0)\). Tunatumia mhimili wa ulinganifu ili kupata uhakika ulinganifu kwa\(y\) -intercept. \(y\)-Intercept ni\(3\) vitengo vya kushoto vya mhimili wa ulinganifu,\(x=3\). \(3\)vitengo uhakika na haki ya mhimili wa ulinganifu ina\(x=6\).	\(y\)-kukatiza \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8\) \(f(0)=8\) \(y\)Kizuizi ni\((0,8)\). Eleza ulinganifu kwa\(y\) -kukatiza: Hatua ni\((6,8)\).
Hatua ya 5: Kupata\(x\) -intercepts. Pata pointi za ziada ikiwa inahitajika.	Sisi kutatua\(f(x)=0\). Tunaweza kutatua equation hii quadratic kwa factoring.	\(x\)-hukataa \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)\) \(x=2 or x=4\) \(x\)-intercepts ni\((2,0)\) na\((4,0)\).
Hatua ya 6: Grafu parabola.	Sisi grafu vertex, intercepts, na uhakika ulinganifu kwa\(y\) -intercept. Tunaunganisha\(5\) pointi hizi ili mchoro wa parabola.	$Picha ya skrini (1) .png$

	$.$
Kwa kuwa\(a\) ni\(-1\), parabola inafungua chini.
	$.$
Ili kupata equation ya mhimili wa ulinganifu, tumia\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{6}{2(-1)}\)
	\(x=3\)
	Mhimili wa ulinganifu ni\(x=3\). Vertex iko kwenye mstari\(x=3\).
	$.$
Kupata\(f(3)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
	$.$
	\(f(3)=-9+18-9\)
	\(f(3)=0\)
	Vertex ni\((3,0)\).
	$.$
\(y\)-Intercept hutokea wakati\(x=0\). Kupata\(f(0)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
Mbadala\(x=0\).	$.$
Kurahisisha.	\(f(0)=-9\)
Hatua\((0,-9)\) ni vitengo vitatu upande wa kushoto wa mstari wa ulinganifu. Hatua vitengo vitatu kwa haki ya mstari wa ulinganifu ni\((6,-9)\).	$.$
	Point ulinganifu kwa\(y\) -intercept ni\((6,-9)\)
\(x\)-Intercept hutokea wakati\(f(x)=0\).	$.$
Kupata\(f(x)=0\).	$.$
Sababu ya GCF.	$.$
Sababu ya trinomial.	$.$
Kutatua kwa\(x\).	$.$
Unganisha pointi kwa grafu parabola.	$.$

	$.$
Kwa kuwa\(a\) ni\(2\), parabola inafungua juu.	$.$
Ili kupata equation ya mhimili wa ulinganifu, tumia\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}\)
	\(x=1\)
	Equation ya mhimili wa ulinganifu ni\(x=1\).
Vertex iko kwenye mstari\(x=1\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Kupata\(f(1)\).	$.$
	\(f(1)=2-4-3\)
	\ (\ f (1) =-5)
	Vertex ni\((1,-5)\).
\(y\)-Intercept hutokea wakati\(x=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Kupata\(f(0)\).	$.$
Kurahisisha.	\(f(0)=-3\)
	\(y\)Kizuizi ni\((0,-3)\).
Hatua\((0,-3)\) ni kitengo kimoja upande wa kushoto wa mstari wa ulinganifu.	Point ulinganifu kwa\(y\) -intercept ni\((2,-3)\)
Hatua moja kitengo kwa haki ya mstari wa ulinganifu ni\((2,3)\).
\(x\)-Intercept hutokea wakati\(y=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Kupata\(f(x)=0\).	$.$
Tumia Mfumo wa Quadratic.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
Mbadala katika maadili ya\(a,b\) na\(c\).	\(x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}\)
Kurahisisha.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\)
Kurahisisha ndani ya radical.	\(x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}\)
Kurahisisha radical.	\(x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}\)
Sababu ya GCF.	\(x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}\)
Ondoa mambo ya kawaida.	\(x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\)
Andika kama equations mbili.	\(x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\)
Takriban maadili.	\(x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6\)
	Maadili ya takriban ya\(x\) -intercepts ni\((2.5,0)\) na\((-0.6,0)\).
Graph parabola kutumia pointi kupatikana.	$.$

	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
Kwa kuwa\(a\) ni chanya, parabola inafungua juu. Equation quadratic ina kiwango cha chini.
Pata equation ya mhimili wa ulinganifu.	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{2}{2 \times 1}\)
	\(x=-1\)
	Equation ya mhimili wa ulinganifu ni\(x=-1\).
Vertex iko kwenye mstari\(x=-1\).	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
Kupata\(f(-1)\).	$.$
	\(f(-1)=1-2-8\)
	\(f(-1)=-9\)
	Vertex ni\((-1,-9)\).
Kwa kuwa parabola ina kiwango cha chini,\(y\) -kuratibu ya vertex ni kiwango cha chini\(y\) -thamani ya equation quadratic. Thamani ya chini ya quadratic ni\(-9\) na hutokea wakati\(x=-1\).
	$.$