Skip to main content
Global

2.8: Tatua Usawa wa Thamani kamili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176716

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tatua milinganyo ya thamani kamili
    • Kutatua usawa kabisa thamani na “chini ya”
    • Kutatua usawa kabisa thamani na “kubwa kuliko”
    • Tatua programu kwa thamani kamili

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tathmini:\(−|7|\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Jaza\(<,>,<,>,\) au\(=\) kwa kila jozi zifuatazo za namba.
      ⓐ\(|−8|\text{___}−|−8|\) ⓑ\(12\text{___}−|−12|\) ⓒ\(|−6|\text{___}−6\) ⓓ\(−(−15)\text{___}−|−15|\)
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Kurahisisha:\(14−2|8−3(4−1)|\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Tatua Ulinganisho wa Thamani kamili

    Tunapojiandaa kutatua usawa wa thamani kamili, tunapitia ufafanuzi wetu wa thamani kamili.

    THAMANI KAMILI

    Thamani kamili ya namba ni umbali wake kutoka sifuri kwenye mstari wa namba.

    Thamani kamili ya nambari n imeandikwa kama\(|n|\) na\(|n|\geq 0\) kwa namba zote.

    Maadili kamili daima ni makubwa kuliko au sawa na sifuri.

    Tulijifunza kwamba idadi na kinyume chake ni umbali sawa kutoka sifuri kwenye mstari wa nambari. Kwa kuwa wana umbali sawa kutoka sifuri, wana thamani sawa kabisa. Kwa mfano:

    • \(−5\)ni 5 vitengo mbali na 0, hivyo\(|−5|=5\).
    • \(5\)ni 5 vitengo mbali na 0, hivyo\(|5|=5\).

    Kielelezo\(\PageIndex{1}\) unaeleza wazo hili.

    Takwimu ni mstari wa nambari na alama za alama kwenye hasi 5, 0, na 5. Umbali kati ya hasi 5 na 0 hutolewa kama vitengo 5, hivyo thamani kamili ya hasi 5 ni 5. Umbali kati ya 5 na 0 ni vitengo 5, hivyo thamani kamili ya 5 ni 5.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): namba 5 na\(−5\) ni wote vitengo tano mbali na sifuri.

    Kwa equation |x|=5, |x|=5, tunatafuta namba zote zinazofanya hii kuwa kauli ya kweli. Tunatafuta namba ambazo umbali kutoka sifuri ni 5. Tuliona tu kwamba wote 5 na -5:5 ni vitengo tano kutoka sifuri kwenye mstari wa namba. Wao ni ufumbuzi wa equation.

    \(\begin{array} {ll} {\text{If}} &{|x|=5} \\ {\text{then}} &{x=−5\text{ or }x=5} \\ \end{array}\)

    Suluhisho linaweza kuwa rahisi kwa taarifa moja kwa kuandika\(x=\pm 5\). Hii inasoma, “x ni sawa na chanya au hasi 5”.

    Tunaweza kuzalisha hii kwa mali zifuatazo kwa equations thamani kamili.

    USAWA WA THAMANI KABISA

    Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=a} \\ {\text{then}} &{u=−a \text{ or }u=a} \\ \nonumber \end{array}\]

    Kumbuka kwamba thamani kamili haiwezi kuwa namba hasi.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kutatua:

    1. \(|x|=8\)
    2. \(|y|=−6\)
    3. \(|z|=0\)
    Suluhisho a

    \(\begin{array} {ll} {} &{|x|=8} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{x=−8 \text{ or } x=8} \\ {} &{x=\pm 8} \\ \end{array}\)

    Suluhisho b

    \(\begin{array} {ll} {} &{|y|=−6} \\ {} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)
    Kwa kuwa thamani kamili daima ni chanya, hakuna ufumbuzi wa equation hii.

    Suluhisho c

    \(\begin{array} {ll} {} &{|z|=0} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{z=−0\text{ or }z=0} \\ {\text{Since }−0=0,} &{z=0} \\ \end{array}\)
    Wote equations kutuambia kwamba z=0z=0 na hivyo kuna suluhisho moja tu.

    ZOEZI\(\PageIndex{2}\)

    Kutatua:

    1. \(|x|=2\)
    2. \(|y|=−4\)
    3. \(|z|=0\)
    Jibu

    \(\pm 2\)

    Jibu b

    hakuna suluhisho

    Jibu c

    0

    ZOEZI\(\PageIndex{3}\)

    Kutatua:

    1. \(|x|=11\)
    2. \(|y|=−5\)
    3. \(|z|=0\)
    Jibu

    \(\pm 11\)

    Jibu b

    hakuna suluhisho

    Jibu c

    0

    Ili kutatua equation ya thamani kabisa, sisi kwanza kutenganisha kujieleza thamani kamili kwa kutumia taratibu sawa tulizotumia kutatua equations linear. Mara baada ya sisi kujitenga kabisa thamani kujieleza sisi kuandika upya kama equations mbili sawa.

    Jinsi ya Kutatua Equations Thamani kamili

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Kutatua\(|5x−4|−3=8\).

    Suluhisho

    Hatua ya 1 ni kutenganisha kujieleza thamani kamili. Tofauti kati ya thamani kamili ya kiasi 5 x minus 4 na 3 ni sawa na 8. Ongeza 3 kwa pande zote mbili. Matokeo yake ni thamani kamili ya kiasi 5 x minus 4 ni sawa na 11.Hatua ya 2 ni kuandika equations sawa, 5 x minus 4 ni sawa na hasi 11 na 5 x minus 4 ni sawa na 11.Hatua ya 3 ni kutatua kila equation. Ongeza 4 kwa kila upande. 5 x ni sawa na hasi 7 au 5 x ni sawa na 15. Gawanya kila upande kwa 5. Matokeo yake ni x ni sawa na hasi saba tano au x ni sawa na 3.Hatua ya 4 ni kuangalia kila suluhisho. Mbadala 3 na hasi saba tano katika equation ya awali, tofauti kati ya thamani kamili ya kiasi 5 x minus 4 na 3 ni sawa na 8. Mchanganyiko 3 kwa x. tofauti kati ya thamani kamili ya wingi mara 5 3 minus 4 na 3 sawa na 8? Je, tofauti kati ya thamani kamili ya wingi 15 minus 4 na 3 sawa na 8? Je, tofauti kati ya thamani kamili ya 11 na 3 sawa na 8? Je, 11 minus 3 ni sawa na 8? 8 ni sawa na 8, hivyo suluhisho x ni sawa na hundi 3. Mbadala hasi saba na tano kwa x Je, tofauti kati ya thamani kamili ya wingi mara 5 hasi saba na tano minus 4 na 3 sawa na 8? Je, tofauti kati ya thamani kamili ya wingi hasi 7 minus 4 na 3 sawa na 8? Je, tofauti kati ya thamani kamili ya 11 na 3 hasi sawa na 8? Je, 11 minus 3 ni sawa na 8? 8 ni sawa na 8, hivyo suluhisho x ni sawa na hundi hasi saba ya tano.

    ZOEZI\(\PageIndex{5}\)

    Kutatua:\(|3x−5|−1=6\).

    Jibu

    \(x=4, \space x=−\frac{2}{3}\)

    ZOEZI\(\PageIndex{6}\)

    Kutatua:\(|4x−3|−5=2\).

    Jibu

    \(x=−1,\space x=\frac{5}{2}\)

    Hatua za kutatua equation ya thamani kamili ni muhtasari hapa.

    KUTATUA USAWA WA THAMANI KABISA.
    1. Sulua kujieleza thamani kamili.
    2. Andika equations sawa.
    3. Kutatua kila equation.
    4. Angalia kila suluhisho.
    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kutatua\(2|x−7|+5=9\).

    Suluhisho
      \(2|x−7|+5=9\)
    Sulua kujieleza thamani kamili. \(2|x−7|=4\)
      \(|x−7|=2\)
    Andika equations sawa. \(x−7=−2\)au\(x−7=2\)
    Kutatua kila equation. \(x=5\)au\(x=9\)
    Angalia:
    .    		  
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Kutatua:\(3|x−4|−4=8\).

    Jibu

    \(x=8,\space x=0\)

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Kutatua:\(2|x−5|+3=9\).

    Jibu

    \(x=8,\space x=2\)

    Kumbuka, thamani kamili daima ni chanya!

    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Kutatua:\(|\frac{2}{3}x−4|+11=3\).

    Suluhisho

    \(\begin{array} {ll} {} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{Isolate the absolute value term.}} &{|\frac{2}{3}x−4|=−8} \\ {\text{An absolute value cannot be negative.}} &{\text{No solution}} \\ \end{array}\)

    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Kutatua:\(|\frac{3}{4}x−5|+9=4\).

    Jibu

    Hakuna ufumbuzi

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Kutatua:\(|\frac{5}{6}x+3|+8=6\).

    Jibu

    Hakuna ufumbuzi

    Baadhi ya equations yetu kabisa thamani inaweza kuwa ya fomu\(|u|=|v|\) ambapo u na v ni maneno algebraic. Kwa mfano,\(|x−3|=|2x+1|\).

    Jinsi gani sisi kutatua yao? Ikiwa maneno mawili ya algebraic yanafanana na thamani kamili, basi ni sawa na kila mmoja au hasi za kila mmoja. Mali kwa equations thamani kamili inasema kwamba kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na chanya idadi halisi, kama\(|u|=a\), basi\(u=−a\) au\(u=a\).

    Hii kutuambia kwamba

    \ (\ kuanza {array} {llll}
    {\ text {if}} & |u|=|v|} & {}
    \ {}\ {\ text {then}} & {|u|=v} & {\ maandishi {au}} & {|u|=-v}
    \\ {\ maandishi {na hivyo}} & {u=v\ maandishi {au} u = -v} & {\ maandishi {au}} & {u=—v\ maandishi {au} u = - (-v)}
    \\ mwisho {safu}\)

    Hii inatuongoza kwenye mali zifuatazo kwa equations na maadili mawili kabisa.

    USAWA NA MAADILI MAWILI KABISA

    Kwa maneno yoyote aljebraic, u na v,

    \[\begin{array} {ll} {\text{if}} &{|u|=|v|} \\ {\text{then}} &{u=−v\text{ or }u=v} \\ \nonumber \end{array}\]

    Tunapochukua kinyume cha wingi, lazima tuwe makini na ishara na kuongeza mabano inapohitajika.

    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Kutatua:\(|5x−1|=|2x+3|\).

    Suluhisho

    \(\begin{array} {ll} {} &{} &{|5x−1|=|2x+3|} &{} \\ {} &{} &{} &{} \\ {\text{Write the equivalent equations.}} &{5x−1=−(2x+3)} &{\text{or}} &{5x−1=2x+3} \\ {} &{5x−1=−2x−3} &{\text{or}} &{3x−1=3} \\ {\text{Solve each equation.}} &{7x−1=−3} &{} &{3x=4} \\ {} &{7x=−2} &{} &{x=43} \\ {} &{x=−27} &{\text{or}} &{x=43} \\ {\text{Check.}} &{} &{} &{} \\ {\text{We leave the check to you.}} &{} &{} &{} \\ \end{array}\)

    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kutatua:\(|7x−3|=|3x+7|\).

    Jibu

    \(x=−\frac{2}{5}, \space x=\frac{5}{2}\)

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kutatua:\(|6x−5|=|3x+4|\).

    Jibu

    \(x=3, x=19\)

    Tatua Usawa wa Thamani kamili na “Chini ya”

    Hebu tuangalie sasa kile kinachotokea wakati tuna usawa wa thamani kamili. Kila kitu tulichojifunza kuhusu kutatua kutofautiana bado kinashikilia, lakini lazima tuchunguze jinsi thamani kamili inavyoathiri kazi yetu. Tena tutaangalia ufafanuzi wetu wa thamani kamili. Thamani kamili ya namba ni umbali wake kutoka sifuri kwenye mstari wa namba. Kwa equation\(|x|=5\), tuliona kwamba wote 5 na\(−5\) ni vitengo tano kutoka sifuri kwenye mstari namba. Wao ni ufumbuzi wa equation.

    \[\begin{array} {lll} {} &{|x|=5} &{} \\ {x=−5} &{\text{or}} &{x=5} \\ \nonumber \end{array}\]

    Nini kuhusu kukosekana kwa usawa\(|x|\leq 5\)? Ambapo ni namba ambazo umbali wake ni chini ya au sawa na 5? Tunajua\(−5\) na 5 ni wote vitengo tano kutoka sifuri. Nambari zote kati\(−5\) na 5 ni chini ya vitengo tano kutoka sifuri (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).

    Takwimu ni mstari wa namba na hasi 5, 0, na 5 iliyoonyeshwa. Kuna mabano kushoto katika hasi 5 na mabano haki katika 5. Umbali kati ya hasi 5 na 0 hutolewa kama vitengo 5 na umbali kati ya 5 na 0 hutolewa kama vitengo 5. Inaonyesha kwamba kama thamani kamili ya x ni chini ya au sawa na 5, basi hasi 5 ni chini ya au sawa na x ambayo ni chini ya au sawa na 5.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\).

    Kwa njia ya jumla zaidi, tunaweza kuona kwamba ikiwa\(|u|\leq a\), basi\(−a\leq u\leq a\) (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)).

    takwimu ni namba line na hasi a 0, na kuonyeshwa. Kuna mabano kushoto katika hasi a na mabano haki katika. umbali kati ya hasi a na 0 anapewa kama vitengo na umbali kati ya na 0 anapewa kama vitengo. Ni unaonyesha kwamba kama thamani kamili ya u ni chini ya au sawa na, basi hasi ni chini ya au sawa na u ambayo ni chini ya au sawa na.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\).

    Matokeo haya ni muhtasari hapa.

    USAWA WA THAMANI KABISA NA\(<\) OR \(\leq\)

    Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,

    \[ \text{if} \quad |u|<a, \quad \text{then} \space −a<u<a \\ \text{if} \quad |u|\leq a, \quad \text{then} \space−a\leq u\leq a \nonumber\]

    Baada ya kutatua usawa, mara nyingi husaidia kuangalia baadhi ya pointi ili kuona kama suluhisho lina maana. Grafu ya suluhisho hugawanya mstari wa namba katika sehemu tatu. Chagua thamani katika kila sehemu na uibadilishe katika usawa wa awali ili uone ikiwa inafanya usawa wa kweli au la. Ingawa hii sio hundi kamili, mara nyingi husaidia kuthibitisha suluhisho.

    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Kutatua\(|x|<7\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Suluhisho
      .
    Andika usawa sawa. .
    Grafu suluhisho. .
    Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda. .

    Angalia:

    Ili kuthibitisha, angalia thamani katika kila sehemu ya mstari wa nambari inayoonyesha suluhisho. Chagua namba kama vile -8, -8, 1, na 9.

    Takwimu ni mstari wa nambari na mabano ya kushoto katika hasi 7, mabano sahihi katika 7 na kivuli kati ya mabano. Maadili hasi 8, 1, na 9 ni alama na pointi. Thamani kamili ya hasi 8 ni chini ya 7 ni uongo. Haikidhi thamani kamili ya x ni chini ya 7. Thamani kamili ya 1 ni chini ya 7 ni kweli. Ni haina kukidhi thamani kamili ya x ni chini ya 7. Thamani kamili ya 9 ni chini ya 7 ni uongo. Haikidhi thamani kamili ya x ni chini ya 7.

    ZOEZI\(\PageIndex{17}\)

    Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda:\(|x|<9\).

    Jibu

    Suluhisho ni hasi 9 ni chini ya x ambayo ni chini ya 9. Mstari wa nambari unaonyesha miduara ya wazi kwenye hasi 9 na 9 na shading kati ya miduara. Nukuu ya muda ni hasi 9 hadi 9 ndani ya mabano.

    ZOEZI\(\PageIndex{18}\)

    Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda:\(|x|<1\).

    Jibu

    ufumbuzi ni hasi 1 ni chini ya x ambayo ni chini ya 1. Mstari wa nambari unaonyesha miduara ya wazi kwa hasi 1 na 1 na kivuli kati ya miduara. Uthibitishaji wa muda ni hasi 1 hadi 1 ndani ya mabano.

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Kutatua\(|5x−6|\leq 4\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Suluhisho
    Hatua ya 1. Sulua kujieleza thamani kamili.
    Ni pekee.    		 \(|5x−6|\leq 4\)
    Hatua ya 2. Andika usawa sawa wa kiwanja. \(−4\leq 5x−6\leq 4\)
    Hatua ya 3. Tatua usawa wa kiwanja. \(2\leq 5x\leq 10\)
    \(\frac{2}{5}\leq x\leq 2\)
    Hatua ya 4. Graph suluhisho. .
    Hatua ya 5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda. \([\frac{2}{5}, 2]\)
    Angalia:
    Cheki imesalia kwako.    		  
    ZOEZI\(\PageIndex{20}\)

    Kutatua\(|2x−1|\leq 5\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda:

    Jibu

    Suluhisho ni hasi 2 ni chini ya au sawa na x ambayo ni chini ya au sawa na 3. Mstari wa nambari unaonyesha miduara iliyofungwa kwenye hasi 2 na 3 na kivuli kati ya miduara. Nukuu ya muda ni hasi 2 hadi 3 ndani ya mabano.

    ZOEZI\(\PageIndex{21}\)

    Kutatua\(|4x−5|\leq 3\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda:

    Jibu

    Suluhisho ni nusu moja ni chini ya au sawa na x ambayo ni chini ya au sawa na 2. Mstari wa nambari unaonyesha miduara iliyofungwa kwa nusu moja na 2 na kivuli kati ya miduara. Uthibitishaji wa muda ni nusu moja hadi 2 ndani ya mabano.

    KUTATUA USAWA WA THAMANI KABISA NA\(<\) OR \(\leq\)
    1. Sulua kujieleza thamani kamili.
    2. Andika usawa sawa wa kiwanja.

      \[\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{−a\leq u\leq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    3. Tatua usawa wa kiwanja.
    4. Graph suluhisho
    5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda.

    Tatua Usawa wa Thamani kamili na “Kubwa Zaidi ya”

    Nini kinatokea kwa usawa kabisa thamani ambayo “kubwa kuliko”? Tena tutaangalia ufafanuzi wetu wa thamani kamili. Thamani kamili ya namba ni umbali wake kutoka sifuri kwenye mstari wa namba.

    Tulianza na kukosekana kwa usawa\(|x|\leq 5\). Tuliona kwamba namba ambazo umbali wake ni chini ya au sawa na tano kutoka sifuri kwenye mstari wa namba zilikuwa\(−5\) na 5 na namba zote kati\(−5\) na 5 (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)).

    Takwimu ni mstari wa namba na hasi 5, 0, na 5 iliyoonyeshwa. Kuna bracket sahihi katika hasi 5 ambayo ina shading kwa haki yake na bracket haki katika 5 na shading kwa upande wake wa kushoto. Inaonyesha kwamba kama thamani kamili ya x ni chini ya au sawa na 5, basi hasi 5 ni chini ya au sawa na x ni chini ya au sawa na 5.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\).

    Sasa tunataka kuangalia usawa\(|x|\geq 5\). Ambapo ni namba ambazo umbali kutoka sifuri ni mkubwa kuliko au sawa na tano?

    \(−5\)Tena wote wawili na 5 ni vitengo tano kutoka sifuri na hivyo ni pamoja na katika suluhisho. Hesabu ambazo umbali kutoka sifuri ni mkubwa kuliko vitengo vitano itakuwa chini\(−5\) na zaidi ya 5 kwenye mstari wa namba (Kielelezo\(\PageIndex{5}\)).

    Takwimu ni mstari wa namba na hasi 5, 0, na 5 iliyoonyeshwa. Kuna bracket sahihi katika hasi 5 ambayo ina shading kwa kushoto na kushoto bracket saa 5 na shading kwa haki yake. Umbali kati ya hasi 5 na 0 hutolewa kama vitengo 5 na umbali kati ya 5 na 0 hutolewa kama vitengo 5. Inaonyesha kwamba kama thamani kamili ya x ni kubwa kuliko au sawa na 5, basi x ni chini ya au sawa na hasi 5 au x ni kubwa kuliko au sawa na 5.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\).

    Kwa njia ya jumla zaidi, tunaweza kuona kwamba ikiwa\(|u|\geq a\), basi\(u\leq −a\) au\(u\leq a\). Angalia Kielelezo.

    takwimu ni idadi line na hasi a, 0, na kuonyeshwa. Kuna mabano haki katika hasi a ambayo ina shading kwa upande wake wa kushoto na mabano kushoto katika na shading na haki yake. Umbali kati ya hasi a na 0 hutolewa kama vitengo na umbali kati ya a na 0 hutolewa kama vitengo. Inaonyesha kwamba kama thamani kamili ya u ni kubwa kuliko au sawa na, basi u ni chini ya au sawa na hasi a au u ni kubwa kuliko au sawa na.
    Kielelezo\(\PageIndex{6}\).

    Matokeo haya ni muhtasari hapa.

    USAWA WA THAMANI KABISA NA\(>\) OR \(\geq\)

    Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,

    \[\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\quad \text{then } u<−a \text{ or } u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\quad \text{then } u\leq −a \text{ or } u\geq a} \\ \nonumber \end{array}\]

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Kutatua\(|x|>4\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Suluhisho
      \(|x|>4\)
    Andika usawa sawa. \(x<−4\)au\(x>4\)
    Grafu suluhisho. .
    Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda. \((−\inf ,−4)\cup (4,\inf )\)
    Angalia:  

    Ili kuthibitisha, angalia thamani katika kila sehemu ya mstari wa nambari inayoonyesha suluhisho. Chagua namba kama vile -6, -6, 0, na 7.

    Takwimu ni mstari wa nambari na mabano ya haki katika hasi 4 na shading kwa mabano yake ya kushoto na kushoto katika shading 4 kwa haki yake. Maadili hasi 6, 0, na 7 ni alama na pointi. Thamani kamili ya hasi 6 ni kubwa kuliko hasi 4 ni kweli. Haina kukidhi thamani kamili ya x ni kubwa kuliko 4. Thamani kamili ya 0 ni kubwa kuliko 4 ni uongo. Haina kukidhi thamani kamili ya x ni kubwa kuliko 4. Thamani kamili ya 7 ni chini ya 4 ni kweli. Haina kukidhi thamani kamili ya x ni kubwa kuliko 4.

    ZOEZI\(\PageIndex{23}\)

    Kutatua\(|x|>2\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Suluhisho ni x ni chini ya hasi 2 au x ni kubwa kuliko 2. Mstari wa nambari unaonyesha mduara wazi kwa hasi 2 na shading upande wa kushoto na mduara wazi saa 2 na shading kwa haki yake. Nukuu ya muda ni muungano wa infinity hasi kwa hasi 2 ndani ya mabano na 2 hadi infinity ndani ya mabano.

    ZOEZI\(\PageIndex{24}\)

    Kutatua\(|x|>1\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Suluhisho ni x ni chini ya hasi 1 au x ni kubwa kuliko 1. Mstari wa nambari unaonyesha mduara wazi kwa hasi 1 na shading upande wa kushoto na mduara wazi saa 1 na shading kwa haki yake. Nukuu ya muda ni muungano wa infinity hasi kwa hasi 1 ndani ya mabano na 1 hadi infinity ndani ya mabano.

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Kutatua\(|2x−3|\geq 5\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Suluhisho
      \(|2x−3|\geq 5\)
    Hatua ya 1. Sulua kujieleza thamani kamili. Ni pekee.  
    Hatua ya 2. Andika usawa sawa wa kiwanja. \(2x−3\leq −5\)au\(2x−3\geq 5\)
    Hatua ya 3. Tatua usawa wa kiwanja. \(2x\leq −2\)\(2x\geq 8\)
    \(x\leq −1\)au\(x\geq 4\)
    Hatua ya 4. Graph suluhisho. .
    Hatua ya 5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda. \((−\inf ,−1]\cup [4,\inf )\)
    Angalia:
    Cheki imesalia kwako.    		  
    ZOEZI\(\PageIndex{26}\)

    Kutatua\(|4x−3|\geq 5\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Suluhisho ni x ni chini ya au sawa na nusu moja au x ni kubwa kuliko au sawa 2. Mstari wa nambari unaonyesha mduara uliofungwa kwa nusu moja hasi na shading upande wa kushoto na mduara uliofungwa saa 2 na shading kwa haki yake. Nukuu ya muda ni muungano wa infinity hasi kwa nusu hasi ndani ya mabano na bracket na 2 hadi infinity ndani ya bracket na mabano

    ZOEZI\(\PageIndex{27}\)

    Kutatua\(|3x−4|\geq 2\). Grafu suluhisho na uandike suluhisho katika maelezo ya muda.

    Jibu

    Suluhisho ni x ni chini ya au sawa na theluthi mbili au x ni kubwa kuliko au sawa 2. Mstari wa nambari unaonyesha mduara uliofungwa kwa theluthi mbili na shading upande wa kushoto na mduara uliofungwa saa 2 na shading kwa haki yake. Muda nukuu ni muungano wa infinity hasi kwa theluthi mbili ndani ya mabano na mabano na 2 kwa infinity ndani ya mabano na mabano.

    KUTATUA USAWA WA THAMANI KABISA NA\(>\) OR \(\geq\).
    1. Sulua kujieleza thamani kamili.
    2. Andika usawa sawa wa kiwanja.

      \ [kuanza {safu} {lll}
      {|u| >a} & {\ quad\ maandishi {ni sawa na}} & {u<-a\ quad\ text {au}\ quad u>a}
      \ {|u|\ geq a} & {\ quad\ text {ni sawa na}} & {u\ leq -a\ quad\ Nakala {au}\ quad u\ geq a}
      \\ {|u| >a} & {\ quad\ text {ni sawa na}} & {u<-a\ quad\ text {au}\ quad u>a}
      \ {|u|\ geq a} & {\ quad\ maandishi {ni sawa na}} & {u\ leq -a\ quad\\ text {au}\ quad u\ geq a}
      \\ nonumber\ mwisho {safu}\]

    3. Tatua usawa wa kiwanja.
    4. Graph suluhisho
    5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda.

    Tatua Maombi na Thamani kamili

    Ukosefu wa thamani kamili mara nyingi hutumiwa katika mchakato wa utengenezaji. Kipengee kinapaswa kufanywa na vipimo vya karibu kabisa. Kawaida kuna uvumilivu fulani wa tofauti kutoka kwa maelezo ambayo inaruhusiwa. Ikiwa tofauti kutoka kwa vipimo huzidi uvumilivu, kipengee kinakataliwa.

    \[|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance} \nonumber\]

    Mfano\(\PageIndex{28}\)

    Kipenyo bora cha fimbo inahitajika kwa mashine ni 60 mm. Kipenyo halisi kinaweza kutofautiana kutoka kwa kipenyo bora na\(0.075\) mm. Ni vipenyo gani vinavyokubalika kwa mteja bila kusababisha fimbo kukataliwa?

    Suluhisho

    \(\begin{array} {ll} {} &{\text{Let }x=\text{ the actual measurement}} \\ {\text{Use an absolute value inequality to express this situation.}} &{|\text{actual-ideal}|\leq \text{tolerance}} \\ {} &{|x−60|\leq 0.075} \\ {\text{Rewrite as a compound inequality.}} &{−0.075\leq x−60\leq 0.075} \\ {\text{Solve the inequality.}} &{59.925\leq x\leq 60.075} \\ {\text{Answer the question.}} &{\text{The diameter of the rod can be between}} \\ {} &{59.925 mm \text{ and } 60.075 mm.} \\ \end{array}\)

    Zoezi\(\PageIndex{29}\)

    Kipenyo bora cha fimbo inahitajika kwa mashine ni 80 mm. Kipenyo halisi kinaweza kutofautiana kutoka kwa kipenyo bora kwa 0.009 mm. Ni vipenyo gani vinavyokubalika kwa mteja bila kusababisha fimbo kukataliwa?

    Jibu

    Kipenyo cha fimbo kinaweza kuwa kati ya 79.991 na 80.009 mm.

    Zoezi\(\PageIndex{30}\)

    Kipenyo bora cha fimbo inahitajika kwa mashine ni 75 mm. Kipenyo halisi kinaweza kutofautiana kutoka kwa kipenyo bora na 0.05 mm. Ni vipenyo gani vinavyokubalika kwa mteja bila kusababisha fimbo kukataliwa?

    Jibu

    Kipenyo cha fimbo kinaweza kuwa kati ya 74.95 na 75.05 mm.

    Fikia rasilimali hii ya mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua usawa wa thamani kamili na usawa.

    • Kutatua Ulinganisho wa Thamani kamili ya Linear na Usawa

    Dhana muhimu

    • Thamani
      kamili       Thamani kamili ya namba ni umbali wake kutoka 0 kwenye mstari wa namba.
      Thamani kamili ya nambari n imeandikwa kama\(|n|\) na\(|n|\geq 0\) kwa namba zote.
      Maadili kamili daima ni makubwa kuliko au sawa na sifuri.
    • Kabisa Thamani Equations
      Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} \\ {\text{then}} &{\quad u=−a \text{ or } u=a} \\ \end{array}\)
      Kumbuka kwamba thamani kamili haiwezi kuwa idadi hasi.
    • Jinsi ya Kutatua Ulinganisho wa Thamani kamili
      1. Sulua kujieleza thamani kamili.
      2. Andika equations sawa.
      3. Kutatua kila equation.
      4. Angalia kila suluhisho.
    • Ulinganifu na Maadili mawili kabisa
      Kwa maneno yoyote ya algebraic, u na v,
      \(\begin{array} {ll} {\text{if}} &{\quad |u|=|v|} \\ {\text{then}} &{\quad u=−v \text{ or } u=v} \\ \end{array}\)
    • Usawa kabisa Thamani na\(<\) au\(\leq\)
      Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,
      \(\begin{array} {llll} {\text{if}} &{\quad |u|=a} &{\quad \text{then}} &{−a<u<a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\leq a} &{\quad \text{then}} &{−a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
    • Jinsi ya Kutatua Usawa wa Thamani kamili na\(<\) au\(\leq\)
      1. Sulua kujieleza thamani kamili.
      2. Andika usawa sawa wa kiwanja.
        \(\begin{array} {lll} {|u|<a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a<u<a} \\ {|u|\leq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad −a\leq u\leq a} \\ \end{array}\)
      3. Tatua usawa wa kiwanja.
      4. Graph suluhisho
      5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda
    • Usawa kabisa Thamani na\(>\) au\(\geq\)
      Kwa kujieleza yoyote algebraic, u, na yoyote chanya idadi halisi, a,
      \(\begin{array} {lll} {\text{if}} &{\quad |u|>a,} &{\text{then } u<−a\text{ or }u>a} \\ {\text{if}} &{\quad |u|\geq a,} &{\text{then } u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
    • Jinsi ya Kutatua Usawa wa Thamani kamili na\(>\) au\(\geq\)
      1. Sulua kujieleza thamani kamili.
      2. Andika usawa sawa wa kiwanja.
        \(\begin{array} {lll} {|u|>a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u<−a\text{ or }u>a} \\ {|u|\geq a} &{\quad \text{is equivalent to}} &{\quad u\leq −a\text{ or }u\geq a} \\ \end{array}\)
      3. Tatua usawa wa kiwanja.
      4. Graph suluhisho
      5. Andika suluhisho kwa kutumia notation ya muda