2.4: Tatua Mfumo kwa Variable maalum

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Tatua formula kwa kutofautiana maalum
• Tumia fomu ili kutatua maombi ya jiometri

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Tathmini\(2(x+3)\) wakati\(x=5\).
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
2. Urefu wa mstatili ni tatu chini ya upana. Hebu tuwakilisha upana. Andika maneno kwa urefu wa mstatili.
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
3. Tathmini\(\frac{1}{2}bh\)\(b=14\) lini na\(h=9\).
   Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

Tatua Mfumo kwa Variable Maalum

Sisi wote pengine kazi na baadhi formula kijiometri katika utafiti wetu wa hisabati. Fomu hutumiwa katika nyanja nyingi, ni muhimu kutambua formula na kuwa na uwezo wa kuendesha kwa urahisi.

Mara nyingi husaidia kutatua formula kwa variable maalum. Ikiwa unahitaji kuweka formula katika lahajedwali, sio kawaida kuitatua kwa kutofautiana maalum kwanza. Sisi kutenganisha kwamba kutofautiana upande mmoja wa ishara sawa na mgawo wa moja na vigezo vingine vyote na mara kwa mara ni upande wa pili wa ishara sawa.

Fomu za kijiometri mara nyingi zinahitaji kutatuliwa kwa variable nyingine, pia. Fomu\(V=\frac{1}{3}πr^2h\) hutumiwa kupata kiasi cha koni ya mviringo sahihi wakati unapopewa radius ya msingi na urefu. Katika mfano unaofuata, tutasuluhisha formula hii kwa urefu.

MFANO\(\PageIndex{1}\)

Tatua formula\(V=\frac{1}{3}πr^2h\) kwa h.

Jibu

Andika formula.
Ondoa sehemu upande wa kulia.
Kurahisisha.
Gawanya pande zote mbili na\(πr^2\).

Tunaweza sasa kutumia formula hii ili kupata urefu wa koni ya mviringo wa kulia wakati tunajua kiasi na radius ya msingi, kwa kutumia formula\(h=\frac{3V}{πr^2}\).

MFANO\(\PageIndex{2}\):

Tumia formula ya\(A=\frac{1}{2}bh\) kutatua kwa b.

Jibu

\(b=\frac{2A}{h}\)

MFANO\(\PageIndex{3}\):

Tumia formula ya\(A=\frac{1}{2}bh\) kutatua kwa h.

Jibu

\(h=\frac{2A}{b}\)

Katika sayansi, mara nyingi tunahitaji kubadilisha joto kutoka Fahrenheit hadi Celsius au kinyume chake. Ikiwa unasafiri katika nchi ya kigeni, unaweza kutaka kubadilisha joto la Celsius kwa joto la Fahrenheit linalojulikana zaidi.

MFANO\(\PageIndex{4}\)

Tatua formula\(C=\frac{5}{9}(F−32)\) ya F.

Jibu

Andika formula.
Ondoa sehemu upande wa kulia.
Kurahisisha.
Ongeza 32 kwa pande zote mbili.

Sasa tunaweza kutumia formula\(F=\frac{9}{5}C+32\) ili kupata joto la Fahrenheit tunapojua joto la Celsius.

MFANO\(\PageIndex{5}\):

Tatua formula\(F=\frac{9}{5}C+32\) ya C.

Jibu

\(C=\frac{5}{9}(F−32)\)

MFANO\(\PageIndex{6}\):

Tatua formula\(A=\frac{1}{2}h(b+B)\) ya b.

Jibu

\(b=\frac{2A−Bh}{h}\)

Mfano unaofuata unatumia formula kwa eneo la uso wa silinda sahihi.

MFANO\(\PageIndex{7}\)

Tatua formula\(S=2πr^2+2πrh\) kwa\(h\).

Jibu

Andika formula.
Sulua\(h\) neno kwa kuondoa\(2πr^2\) kutoka kila upande.
Kurahisisha.
Kutatua\(h\) kwa kugawa pande zote mbili kwa\(2πr.\)
Kurahisisha.

MFANO\(\PageIndex{8}\):

Tatua formula\(A=P+Prt\) kwa\(t\).

Jibu

\(t=\frac{A−P}{Pr}\)

MFANO\(\PageIndex{9}\):

Tatua formula\(A=P+Prt\) kwa\(r\).

Jibu

\(r=\frac{A−P}{Pt}\)

Wakati mwingine tunaweza kupewa equation kwamba ni kutatuliwa kwa\(y\) na haja ya kutatua kwa\(x\), au kinyume chake. Katika mfano ufuatao, sisi ni kupewa equation\(x\) na wote na\(y\) upande mmoja na tutaweza kutatua kwa ajili ya\(y\).

 

Tatua formula\(8x+7y=15\) kwa\(y\).

Jibu

Tutajitenga\(y\) upande mmoja wa equation.
Ondoa\(6x\) kutoka pande zote mbili ili kutenganisha neno na\(y\).
Kurahisisha.
Gawanya pande zote mbili\(7\) kwa kufanya mgawo wa\(y\) moja.
Kurahisisha.

 

Tatua formula\(4x+7y=9\) kwa\(y\).

Jibu

\(y=\frac{9−4x}{7}\)

MFANO\(\PageIndex{12}\)

Tatua formula\(5x+8y=1\) kwa\(y\).

Jibu

\(y=\frac{1−5x}{8}\)

Tumia Formula kutatua Maombi ya Jiometri

Katika lengo hili tutatumia kanuni za kawaida za jiometri. Tutaweza kukabiliana na mkakati wetu wa kutatua tatizo ili tuweze kutatua maombi ya jiometri. Fomu ya jiometri itaita jina la vigezo na kutupa equation kutatua.

Kwa kuongeza, tangu maombi haya yote yatahusisha maumbo ya aina fulani, watu wengi wanaona kuwa ni muhimu kuteka takwimu na kuiandika kwa taarifa iliyotolewa. Tutajumuisha hii katika hatua ya kwanza ya mkakati wa kutatua tatizo kwa ajili ya maombi ya jiometri.

KUTATUA MATUMIZI JIOMETRI.

1. Soma tatizo na uhakikishe maneno yote na mawazo yanaeleweka.
2. Tambua unachotafuta.
3. Jina kile tunachotafuta kwa kuchagua variable kuwakilisha. Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.
4. Tafsiri katika equation kwa kuandika formula sahihi au mfano kwa hali hiyo. Mbadala katika taarifa iliyotolewa.
5. Kutatua equation kutumia mbinu nzuri algebra.
6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.
7. Jibu swali kwa sentensi kamili.

Tunapotatua maombi ya jiometri, mara nyingi tunatakiwa kutumia baadhi ya mali ya takwimu. Tutaangalia mali hizo kama inahitajika.

Mfano unaofuata unahusisha eneo la pembetatu. Eneo la pembetatu ni nusu ya msingi mara urefu. Tunaweza kuandika hii kama\(A=\frac{1}{2}bh\), ambapo\(b\) = urefu wa msingi na\(h\) = urefu.

MFANO\(\PageIndex{13}\)

Eneo la uchoraji wa triangular ni inchi\(126\) za mraba. Msingi ni\(18\) inchi. Urefu ni nini?

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua unachotafuta.	urefu wa pembetatu
Hatua ya 3. Jina.
Chagua variable ili kuiwakilisha.	Hebu\(h=\) urefu.
Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.	Eneo = 126 sq. in.
Hatua ya 4. Tafsiri.
Andika formula sahihi.	\(A=\frac{1}{2}bh\)
Mbadala katika taarifa iliyotolewa.	\(126=\frac{1}{2}·18·h\)
Hatua ya 5. Kutatua equation.	\(126=9h\)
Gawanya pande zote mbili kwa 9.	\(14=h\)
Hatua ya 6. Angalia. \(\begin{align*} A &= \frac{1}{2}bh \\126 & \stackrel{?}{=} 12·18·14 \\ 126 &=126✓ \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Urefu wa pembetatu ni\(14\) inchi.

MFANO\(\PageIndex{14}\):

Eneo la dirisha la kanisa la triangular ni mita za\(90\) mraba. Msingi wa dirisha ni\(15\) mita. Urefu wa dirisha ni nini?

Jibu

Urefu wa dirisha ni\(12\) mita.

MFANO\(\PageIndex{15}\):

Mlango wa hema ya triangular una eneo la\(15\) mraba miguu. Urefu ni miguu mitano. Urefu wa msingi ni nini?

Jibu

Urefu wa msingi ni\(6\) miguu.

Katika mfano unaofuata, tutafanya kazi na pembetatu sahihi. Ili kutatua kwa kipimo cha kila angle, tunahitaji kutumia mali mbili za pembetatu. Katika pembetatu yoyote, jumla ya hatua za pembe ni\(180°\). Tunaweza kuandika hii kama formula:\(m∠A+m∠B+m∠C=180\). Pia, tangu pembetatu ni pembetatu sahihi, tunakumbuka kwamba pembetatu sahihi ina\(90°\) angle moja.

Hapa, tutalazimika kufafanua pembe moja kwa upande mwingine. Tutasubiri kuteka takwimu mpaka tuandike maneno kwa pembe zote tunazotafuta.

MFANO\(\PageIndex{16}\):

Kipimo cha pembe moja ya pembetatu sahihi ni digrii 40 zaidi kuliko kipimo cha angle ndogo zaidi. Pata hatua za pembe zote tatu.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua unachotafuta.	hatua za pembe zote tatu
Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha.	\(\begin{align*} \text{Let }a \; & = \; \mathrm{1^{st} \; angle.} \\ a+40 &= \mathrm{2^{nd} \; angle} \\90 &= \mathrm{3^{rd} \; angle \; (the \; right \; angle)} \end{align*}\)
Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.
Hatua ya 4. Tafsiri.
Andika formula sahihi.
Badala katika formula.
Hatua ya 5. Kutatua equation.
Hatua ya 6. Angalia. \( \begin{align*} 25+65+90 & \stackrel{?}{=} 180\\ 180 &= 180✓ \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Pembe tatu hupima\(25°,\;65°\), na\(90°\).

MFANO\(\PageIndex{17}\):

Kipimo cha pembe moja ya pembetatu sahihi ni 50 zaidi ya kipimo cha angle ndogo zaidi. Pata hatua za pembe zote tatu.

Jibu

Hatua za pembe ni\(20°, \;70°\), na\(90°\).

MFANO\(\PageIndex{18}\):

Kipimo cha pembe moja ya pembetatu sahihi ni\(30\) zaidi ya kipimo cha angle ndogo zaidi. Pata hatua za pembe zote tatu.

Jibu

Hatua za pembe ni\(30°,\; 60°\), na\(90°\).

Mfano unaofuata unatumia formula nyingine muhimu ya jiometri. Theorem ya Pythagorean inaelezea jinsi urefu wa pande tatu za pembetatu sahihi zinahusiana na kila mmoja. Kuandika formula katika kila zoezi na kusema kwa sauti kama unavyoandika inaweza kukusaidia kukariri Theorem ya Pythagorean.

THEOREM YA PYTHAGOREAN

Katika pembetatu yoyote ya kulia, ambapo a na b ni urefu wa miguu, na c ni urefu wa hypotenuse, jumla ya mraba wa urefu wa miguu miwili ni sawa na mraba wa urefu wa hypotenuse.

Tutatumia Theorem ya Pythagorean katika mfano unaofuata.

MFANO\(\PageIndex{19}\):

Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu mwingine

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua unachotafuta.	urefu wa mguu wa pembetatu
Hatua ya 3. Jina.
Chagua variable ili kuiwakilisha.	Hebu\(a\) = mguu wa pembetatu.
Lebo upande a.
Hatua ya 4. Tafsiri.
Andika formula sahihi. Mbadala.	\(\begin{align*}a^2+b^2 &=c ^2 \\ a^2+12^2 &=13^2 \end{align*}\)
Hatua ya 5. Kutatua equation. Sulua muda wa kutofautiana. Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba. Kurahisisha.	\(\begin{align*} a^2+144 &= 169 \\ a^2 &= 25 \\ a &= \sqrt{25} \\ a&=5 \end{align*}\)
Hatua ya 6. Angalia.
Hatua ya 7. Jibu swali.	Urefu wa mguu ni\(5\).

MFANO\(\PageIndex{20}\):

Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu katika takwimu.

Jibu

Urefu wa mguu ni\(8\).

MFANO\(\PageIndex{21}\):

Tumia Theorem ya Pythagorean ili kupata urefu wa mguu katika takwimu.

Jibu

Urefu wa mguu ni\(12\).

Mfano unaofuata ni kuhusu mzunguko wa mstatili. Tangu mzunguko ni umbali tu kuzunguka mstatili, tunapata jumla ya urefu wa pande zake nne - jumla ya urefu mbili na upana mbili. Tunaweza kuandika ni kama\(P=2L+2W\) ambapo\(L\) ni urefu na\(W\) ni upana. Ili kutatua mfano, tutahitaji kufafanua urefu kulingana na upana.

MFANO\(\PageIndex{22}\):

Urefu wa mstatili ni sentimita sita zaidi ya mara mbili upana. Mzunguko ni\(96\) sentimita. Pata urefu na upana.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.	urefu na upana
Hatua ya 3. Jina. Chagua variable kuwakilisha upana. Urefu ni sita zaidi ya mara mbili upana.	Hebu\(w=\) upana. \(2w+6=\)urefu \(P=96\)sentimita
Hatua ya 4. Tafsiri.
Andika formula sahihi.
Mbadala katika taarifa iliyotolewa.
Hatua ya 5. Kutatua equation.
Hatua ya 6. Angalia. \(\begin{align*} P &=2L+2W \\ 96 & \stackrel{?}{=}2·34+2·14 \\ 96 &=96✓ \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Urefu ni\(34\) cm na upana ni\(14\) cm

MFANO\(\PageIndex{23}\):

Urefu wa mstatili ni saba zaidi ya mara mbili upana. Mzunguko ni\(110\) inchi. Pata urefu na upana.

Jibu

Urefu ni\(16\) inchi na upana ni\(39\) inchi.

MFANO\(\PageIndex{24}\):

Upana wa mstatili ni yadi nane chini ya mara mbili urefu. Mzunguko ni\(86\) yadi. Pata urefu na upana.

Jibu

Urefu ni\(17\) yadi na upana ni\(26\) yadi.

Mfano unaofuata ni kuhusu mzunguko wa pembetatu. Kwa kuwa mzunguko ni umbali tu karibu na pembetatu, tunapata jumla ya urefu wa pande zake tatu. Tunaweza kuandika hii kama\(P=a+b+c\)\(a\), wapi\(b\), na\(c\) ni urefu wa pande.

MFANO\(\PageIndex{25}\):

Upande mmoja wa pembetatu ni inchi tatu zaidi ya upande wa kwanza. Upande wa tatu ni inchi mbili zaidi ya mara mbili ya kwanza. Mzunguko ni\(29\) inchi. Pata urefu wa pande tatu za pembetatu.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.	urefu wa pande tatu za pembetatu
Hatua ya 3. Jina. Chagua variable kuwakilisha urefu wa upande wa kwanza.	\( \begin{align*} \mathrm{Let \;}x \;& \mathrm{= \; length \; of \;1^{st} \;side.} \\ x+3 \; &= \; \mathrm{length \; of \; 2^{nd} \; side} \\ 2x+2 \; &= \; \mathrm{length \; of \;3^{rd} \; side} \end{align*}\)
Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi. Mbadala katika taarifa iliyotolewa.
Hatua ya 5. Kutatua equation.
Hatua ya 6. Angalia. \(\begin{align*} 29 & \stackrel{?}{=}6+9+14 \\ 29 &= 29✓ \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Urefu wa pande za pembetatu ni\(6\),\(9\), na\(14\) inchi.

MFANO\(\PageIndex{26}\):

Upande mmoja wa pembetatu ni inchi saba zaidi ya upande wa kwanza. Upande wa tatu ni inchi nne chini ya mara tatu ya kwanza. Mzunguko ni\(28\) inchi. Pata urefu wa pande tatu za pembetatu.

Jibu

Urefu wa pande za pembetatu ni\(5\),\(11\) na\(12\) inchi.

MFANO\(\PageIndex{27}\):

Upande mmoja wa pembetatu ni miguu mitatu chini ya upande wa kwanza. Upande wa tatu ni miguu mitano chini ya mara mbili ya kwanza. Mzunguko ni\(20\) miguu. Pata urefu wa pande tatu za pembetatu.

Jibu

Urefu wa pande za pembetatu ni\(4\),\(7\) na\(9\) miguu.

MFANO\(\PageIndex{28}\):

Mzunguko wa uwanja wa soka mstatili ni\(360\) miguu. Urefu ni\(40\) miguu zaidi ya upana. Pata urefu na upana.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.	urefu na upana wa uwanja wa soka
Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha. Urefu ni miguu 40 zaidi ya upana. Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.	Hebu w = upana. \(w+40=\)urefu
Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi na mbadala.
Hatua ya 5. Kutatua equation.
Hatua ya 6. Angalia. \( \begin{align*} P &=2L+2W \\ 360 & \stackrel{?}{=} 2(110)+2(70) \\360 &=360✓ \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Urefu wa uwanja wa soka ni\(110\) miguu na upana ni\(70\) miguu.

MFANO\(\PageIndex{29}\):

Mzunguko wa bwawa la kuogelea mstatili ni\(200\) miguu. Urefu ni\(40\) miguu zaidi ya upana. Pata urefu na upana.

Jibu

Urefu wa bwawa la kuogelea ni\(70\) miguu na upana ni\(30\) miguu.

MFANO\(\PageIndex{30}\):

Urefu wa bustani ya mstatili ni\(30\) yadi zaidi ya upana. Mzunguko ni\(300\) yadi. Pata urefu na upana.

Jibu

Urefu wa bustani ni\(90\) yadi na upana ni\(60\) yadi.

Matumizi ya mali hizi za kijiometri yanaweza kupatikana katika hali nyingi za kila siku kama inavyoonekana katika mfano unaofuata.

MFANO\(\PageIndex{31}\):

Kelvin ni kujenga gazebo na anataka brace kila kona kwa kuweka 10 “kipande cha kuni diagonally kama inavyoonekana.

Je, ni mbali gani na kona anapaswa kufunga kuni ikiwa anataka umbali kutoka kona kuwa sawa? Takriban kumi ya karibu ya inchi.

Jibu

Hatua ya 1. Soma tatizo.
Hatua ya 2. Tambua kile tunachotafuta.	umbali kutoka kona ambayo bracket inapaswa kushikamana
Hatua ya 3. Jina. Chagua variable ili kuiwakilisha. Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.	Hebu\(x=\) umbali kutoka kona.
Hatua ya 4. Tafsiri. Andika formula sahihi na mbadala.	\(a^2+b^2=c^2\)\(x^2+x^2=10^2\)
Hatua ya 5. Kutatua equation. Isulate variable. Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba. Kurahisisha. Takriban kumi ya karibu.	\( \begin{align*} 2x^2 &= 100 \\ \\ x^2 &=50 \\ \\ x &= \sqrt{50} \\ \\ x &≈7.1 \end{align*}\)
Hatua ya 6. Angalia. \( \begin{align*} a^2+b^2 &= c^2 \\ (7.1)^2+(7.1)^2 &≈10^2 \; \;\;\;\; \text{Yes.} \end{align*}\)
Hatua ya 7. Jibu swali.	Kelvin inapaswa kufunga kila kipande cha kuni takriban 7.1” kutoka kona.

MFANO\(\PageIndex{32}\):

John anaweka msingi wa ngazi ya\(13\) mguu wa miguu mitano kutoka ukuta wa nyumba yake kama inavyoonekana katika takwimu. Je! Ngazi inafikia mbali gani?

Jibu

Ngazi hufikia\(12\) miguu.

MFANO\(\PageIndex{33}\):

Randy anataka kuunganisha kamba ya\(17\) mguu wa taa hadi juu ya\(15\) mguu wa mguu wa meli yake, kama inavyoonekana katika takwimu. Jinsi mbali na msingi wa mlingoti lazima aunganishe mwisho wa kamba ya mwanga?

Jibu

Anapaswa kuunganisha\(8\) miguu ya taa kutoka chini ya mlingoti.

Fikia rasilimali hii ya mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutatua kwa kutofautiana katika usawa halisi.

• Kutatua equations halisi

Dhana muhimu

• Jinsi ya Kutatua Maombi ya Jiometri
  1. Soma tatizo na uhakikishe maneno yote na mawazo yanaeleweka.
  2. Tambua unachotafuta.
  3. Jina unachotafuta kwa kuchagua variable kuwakilisha. Chora takwimu na uifanye alama kwa habari iliyotolewa.
  4. Tafsiri katika equation kwa kuandika formula sahihi au mfano kwa hali hiyo. Mbadala katika taarifa iliyotolewa.
  5. Kutatua equation kutumia mbinu nzuri algebra.
  6. Angalia jibu katika tatizo na uhakikishe kuwa ni busara.
  7. Jibu swali kwa sentensi kamili.
• Theorem ya Pythagorean
  • Katika pembetatu yoyote ya kulia, ambapo a na b ni urefu wa miguu, na c ni urefu wa hypotenuse, jumla ya mraba wa urefu wa miguu miwili ni sawa na mraba wa urefu wa hypotenuse.