8.R: Outras aplicações da trigonometria (revisão)
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8.1: Triângulos não retos: Lei de Sines
Para os exercícios 1-5, suponha que\(\alpha \) é o lado oposto\(a\),\(\beta \) é o lado\(b\) oposto e\(\gamma \) é o lado oposto\(c\). Resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
1)\(\beta =50^{\circ}, a=105, b=45\)
- Resposta
-
Não é possível
2)\(\alpha =43.1^{\circ}, a=184.2, b=242.8\)
3) Resolva o triângulo.
- Resposta
-
\(C=120^{\circ}, a=23.1, c=34.1\)
4) Encontre a área do triângulo.

5) Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para postes de duas milhas a\(2.1\) km de distância entre si\(25^{\circ}\) e\(49^{\circ}\), como mostrado na figura abaixo. Encontre a distância do avião em relação ao ponto\(A\) e a elevação do plano.
- Resposta
-
distância do avião do ponto\(A:2.2\) km, elevação do avião:\(1.6\) km
8.2: Triângulos não retos - Lei dos cossenos
1) Resolva o triângulo, arredondando para o décimo mais próximo, assumindo\(\alpha \)
2) Resolva o triângulo na Figura abaixo, arredondando para o décimo mais próximo.
- Resposta
-
\(B=71.0^{\circ},C=55.0^{\circ},a=12.8\)
3) Encontre a área de um triângulo com lados de comprimento\(8.3\)\(6.6\),,\(9.1\) e.
4) Para encontrar a distância entre duas cidades, um satélite calcula as distâncias e o ângulo mostrados na Figura abaixo (não em escala). Encontre a distância entre as cidades. Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.
- Resposta
-
\(40.6\)km
8.3: Coordenadas polares
1) Faça um gráfico do ponto com coordenadas polares\(\left ( 3,\dfrac{\pi }{6} \right )\).
2) Faça um gráfico do ponto com coordenadas polares\(\left ( 5,\dfrac{-2\pi }{3} \right )\).
- Resposta
-
3) Converta em\(\left ( 6,\dfrac{-3\pi }{4} \right )\) coordenadas retangulares.
4) Converta em\(\left ( -2,\dfrac{3\pi }{2} \right )\) coordenadas retangulares.
- Resposta
-
\((0,2)\)
5) Converta\((7,-2)\) em coordenadas polares.
6) Converta\((-9,-4)\) em coordenadas polares.
- Resposta
-
\((9.8489,203.96^{\circ})\)
Para os exercícios 7-9, converta a equação cartesiana dada em uma equação polar.
7)\(x=-2\)
8)\(x^2+y^2=64\)
- Resposta
-
\(r=8\)
9)\(x^2+y^2=-2y\)
Para os exercícios 10-11, converta a equação polar dada em uma equação cartesiana.
10)\(r=7\cos \theta\)
- Resposta
-
\(x^2+y^2=7x\)
11)\(r=\dfrac{-2}{4\cos \theta +\sin \theta }\)
Para os exercícios 12-13, converta em forma retangular e gráfico.
12)\(\theta =\dfrac{3\pi }{4}\)
- Resposta
-
\(y=-x\)
13)\(r=5\sec \theta\)
8.4: Coordenadas polares - Gráficos
Para os exercícios de 1 a 5, teste a simetria de cada equação.
1)\(r=4+4\sin \theta\)
- Resposta
-
simétrico em relação à linha\(\theta =\dfrac{\pi }{2}\)
2)\(r=7\)
3) Esboce um gráfico da equação polar\(r=1-5\sin \theta\). Identifique as interceptações do eixo.
- Resposta
-
4) Esboce um gráfico da equação polar\(r=5\sin (7\theta )\).
5) Esboce um gráfico da equação polar\(r=3-3\cos \theta\)
- Resposta
-
8.5: Forma polar de números complexos
Para os exercícios 1-2, encontre o valor absoluto de cada número complexo.
1)\(-2+6i\)
2)\(4-3i\)
- Resposta
-
\(5\)
Escreva o número complexo na forma polar.
3)\(5+9i\)
4)\(\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
- Resposta
-
\(\mathrm{cis}\left (-\dfrac{\pi }{3} \right )\)
Para os exercícios 5-6, converta o número complexo da forma polar para a retangular.
5)\(z=5\mathrm{cis}\left (\dfrac{5\pi }{6} \right )\)
6)\(z=3\mathrm{cis}(40^{\circ})\)
- Resposta
-
\(2.3+1.9i\)
Para os exercícios 7-8, encontre o produto\(z_1 z_2\) na forma polar.
7)\(\begin{align*} z_1 &= 2\mathrm{cis}(89^{\circ})\\ z_2 &= 5\mathrm{cis}(23^{\circ}) \end{align*}\)
8)\(\begin{align*} z_1 &= 10\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )\\ z_2 &= 6\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{3} \right ) \end{align*}\)
- Resposta
-
\(60\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{2} \right )\)
Para os exercícios 9-10, determine o quociente\(\dfrac{z_1}{z_2}\) na forma polar.
9)\(\begin{align*} z_1 &= 12\mathrm{cis}(55^{\circ})\\ z_2 &= 3\mathrm{cis}(18^{\circ}) \end{align*}\)
10)\(\begin{align*} z_1 &= 27\mathrm{cis}\left ( \dfrac{5\pi }{3} \right )\\ z_2 &= 9\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{3} \right ) \end{align*}\)
- Resposta
-
\(3\mathrm{cis}\left ( \dfrac{4\pi }{3} \right )\)
Para os exercícios 11-12, encontre as potências de cada número complexo na forma polar.
11) Descubra\(z^4\) quando\(z=2\mathrm{cis}(70^{\circ})\)
12) Descubra\(z^2\) quando\(z=5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{4} \right )\)
- Resposta
-
\(25\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{2} \right )\)
Para os exercícios 13-14, avalie cada raiz.
13) Avalie a raiz cúbica de\(z\) quando\(z=64\mathrm{cis}(210^{\circ})\).
14) Avalie a raiz quadrada de\(z\) quando\(z=25\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{2} \right )\).
- Resposta
-
\(5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{4} \right )\),\(5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{7\pi }{4} \right )\)
Para os exercícios 15-16, plote o número complexo no plano complexo.
15)\(6-2i\)
16)\(-1+3i\)
- Resposta
-
8.6: Equações paramétricas
1)\(\begin{cases} & x(t)= 3t-1\\ & y(t)= \sqrt{t} \end{cases}\)
2)\(\begin{cases} & x(t)= -\cos t\\ & y(t)= 2\sin ^2t \end{cases}\)
- Resposta
-
\(x^2+\dfrac{1}{2}y=1\)
3) Parametrize (escreva uma equação paramétrica para) cada equação cartesiana usando\(x(t)=a\cos t\) e\(y(t)=b\sin t\) for\(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1\).
4) Parametrize a linha de\((-2,3)\)\((4,7)\) para que a linha fique\((-2,3)\) em\(t=0\) e\((4,7)\) em\(t=1\).
- Resposta
-
\(\begin{cases} & x(t)= -2+6t\\ & y(t)= 3+4t \end{cases}\)
8.7: Equações paramétricas - Gráficos
Para os exercícios 1-, faça uma tabela de valores para cada conjunto de equações paramétricas, represente graficamente as equações e inclua uma orientação; em seguida, escreva a equação cartesiana.
1)\(\begin{cases} & x(t)= 3t^2\\ & y(t)= 2t-1 \end{cases}\)
2)\(\begin{cases} & x(t)= e^t\\ & y(t)= -2e^{5t} \end{cases}\)
- Resposta
-
\(y=-2x^5\)
3)\(\begin{cases} & x(t)= 3\cos t\\ & y(t)= 2\sin t \end{cases}\)
4) Uma bola é lançada com uma velocidade inicial de\(80\) pés por segundo em um ângulo em relação\(40^{\circ}\) à horizontal. A bola é lançada a uma altura de\(4\) pés acima do solo.
- Onde está a bola depois de\(3\) alguns segundos?
- Quanto tempo a bola está no ar?
- Resposta
-
- \(\begin{cases} & x(t)= (80\cos (40^{\circ}))t\\ & y(t)= -16t^2+(80\sin (40^{\circ}))t+4 \end{cases}\)
- A bola tem 14 pés de altura e 184 pés de onde foi lançada.
- \(3.3\)segundos
8.8: Vetores
Para os exercícios 1-2, determine se os dois vetores,\(\vecs u\) e\(\vecs v\), são iguais, onde\(\vecs u\) tem um ponto inicial\(P_1\) e um ponto terminal\(P_2\), e\(\vecs v\) tem um ponto inicial\(P_3\) e um ponto terminal\(P_4\).
1)\(P_1=(-1,4), P_2=(3,1), P_3=(5,5), P_4=(9,2)\)
2)\(P_1=(6,11), P_2=(-2,8), P_3=(0,-1), P_4=(-8,2)\)
- Resposta
-
não é igual
Para os exercícios 3-4, use os vetores\(\vecs u=2\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\) \(\vecs v=4\hat{\mathbf{i}}-3\hat{\mathbf{j}}\), e\(\vecs w=-2\hat{\mathbf{i}}+5\hat{\mathbf{j}}\) para avaliar a expressão.
3)\( \vecs u-\vecs v \)
4)\( 2\vecs v-\vecs u+\vecs w \)
- Resposta
-
\(4\hat{\mathbf{i}}\)
Para os exercícios 5-6, encontre um vetor unitário na mesma direção do vetor fornecido.
5)\(\vecs a=8\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}\)
6)\(\vecs b=-3\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}\)
- Resposta
-
\(-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\hat{\mathbf{i}}-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\hat{\mathbf{j}}\)
Para os exercícios 7-11, calcule\(\vecs u\cdot \vecs v\)
7)\(\vecs u=-2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}\) e\(\vecs v=3\hat{\mathbf{i}}+7\hat{\mathbf{j}}\)
8)\(\vecs u=\hat{\mathbf{i}}+4\hat{\mathbf{j}}\) e\(\vecs v=4\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}\)
- Resposta
-
\(16\)
9) Dado o\(\vecs v=\left \langle -3,4 \right \rangle\) empate\(\vecs v\)\(2\vecs v\),\(\dfrac{1}{2}\vecs v\) e.
10) Dados os vetores mostrados na Figura abaixo,\(\vecs u + \vecs v\)\(\vecs u − \vecs v\) esboce\(3\vecs v\) e.
- Resposta
-
11) Dado o ponto inicial\(P_1=(3,2)\) e o ponto terminal\(P_2=(-5,-1)\)
Teste prático
1) Suponha que\(\alpha \) seja o lado oposto\(a\),\(\beta \) seja o lado\(b\) oposto e\(\gamma \) seja o lado oposto\(c\). Resolva o triângulo, se possível, e arredonde cada resposta para a décima mais próxima, dada\(\beta =68^{\circ},b=21,c=16\).
- Resposta
-
\(\alpha =67.1^{\circ}, \gamma =44.9^{\circ}, a=20.9\)
2) Encontre a área do triângulo na Figura abaixo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
3) Um piloto voa em um caminho reto por\(2\) horas. Ele então faz uma correção de curso, indo\(15^{\circ}\) para a direita de seu curso original, e voa\(1\) por hora na nova direção. Se ele mantiver uma velocidade constante de\(575\) milhas por hora, a que distância ele está de sua posição inicial?
- Resposta
-
\(1712\)milhas
4) Converta\((2,2)\) em coordenadas polares e, em seguida, plote o ponto.
5) Converta em\(\left ( 2,\dfrac{\pi }{3} \right )\) coordenadas retangulares.
- Resposta
-
\((1,\sqrt{3})\)
6) Converta a equação polar em uma equação cartesiana:\(x^2+y^2=5y\).
7) Converta para forma retangular e gráfico:\(r=-3\csc θ\).
- Resposta
-
\(y=-3\)
8) Teste a equação para simetria:\(r=-4\sin(2\theta )\).
9) Gráfico\(r=3+3\cos \theta\).
- Resposta
-
10) Gráfico\(r=3-5\sin \theta\).
11) Encontre o valor absoluto do número complexo\(5-9i\).
- Resposta
-
\(\sqrt{106}\)
12) Escreva o número complexo na forma polar:\(4+i\).
13) Converta o número complexo da forma polar para a retangular:\(z=5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{2\pi }{3} \right )\)
- Resposta
-
\(\dfrac{-5}{2}+i\dfrac{5\sqrt{3}}{2}\)
14)\(z_1 z_2\)
15)\(\dfrac{z_1}{z_2}\)
- Resposta
-
\(4\mathrm{cis}(21^{\circ})\)
16)\((z_2)^3\)
17)\(\sqrt{z_1}\)
- Responda
-
\(2\sqrt{2}\mathrm{cis}(18^{\circ}), 2\sqrt{2}\mathrm{cis}(198^{\circ})\)
18) Faça um gráfico do número complexo\(-5-i\) no plano complexo.
19) Elimine o parâmetro\(t\) para reescrever as seguintes equações paramétricas como uma equação cartesiana:\(\begin{cases} & x(t)= t+1\\ & y(t)= 2t^2 \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=2(x-1)^2\)
20) Parametrize (escreva uma equação paramétrica para) a seguinte equação cartesiana usando\(x(t)=a\cos t\) e\(y(t)=b\sin t : \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{100}=1\)
21) Faça um gráfico do conjunto de equações paramétricas e encontre a equação cartesiana:\(\begin{cases} & x(t)= -2\sin t\\ & y(t)= 5\cos t \end{cases}\)
- Responda
-
22) Uma bola é lançada com uma velocidade inicial de\(95\) pés por segundo em um ângulo em relação\(52^{\circ}\) à horizontal. A bola é lançada a uma altura de\(3.5\) pés acima do solo.
- Onde está a bola depois de\(2\) alguns segundos?
- Quanto tempo a bola está no ar?
Para os exercícios 23-26, use os vetores\(\vecs u = \hat{\mathbf{i}} − 3\hat{\mathbf{j}}\)\(\vecs v = 2\hat{\mathbf{i}} + 3\hat{\mathbf{j}}\) e.
23) Encontre\(2\vecs u − 3\vecs v\).
- Responda
-
\(-4\hat{\mathbf{i}}-15\hat{\mathbf{j}}\)
24) Calcule\(\vecs u\cdot \vecs v\).
25) Encontre um vetor unitário na mesma direção que\(\vecs v\).
- Responda
-
\(\dfrac{2\sqrt{3}}{13}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{3\sqrt{3}}{13}\hat{\mathbf{j}}\)
26) Dado\(\vecs v\) que o vetor tem um ponto inicial\(P_1=(2,2)\) e um ponto terminal\(P_2=(-1,0)\), escreva o vetor\(\vecs u\cdot \vecs v\).