7.6: Modelagem com equações trigonométricas

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Suponha que traçamos as temperaturas médias diárias na cidade de Nova York ao longo de um ano. Esperamos encontrar as temperaturas mais baixas em janeiro e fevereiro e as mais altas em julho e agosto. Esse ciclo familiar se repete ano após ano e, se fôssemos estender o gráfico por vários anos, ele se pareceria com uma função periódica.

Figura$\PageIndex{1}$: Os ponteiros de um relógio são periódicos: eles repetem as posições a cada doze horas. (crédito: “zoutedrop” /Flickr)

Muitos outros fenômenos naturais também são periódicos. Por exemplo, as fases da lua têm um período de aproximadamente 28 dias, e os pássaros sabem voar para o sul quase na mesma época todos os anos. Então, como podemos modelar uma equação para refletir o comportamento periódico? Primeiro, devemos coletar e registrar dados. Em seguida, encontramos uma função que se assemelha a um padrão observado. Finalmente, fazemos as alterações necessárias na função para obter um modelo confiável. Nesta seção, examinaremos mais detalhadamente tipos específicos de comportamento periódico e equações de modelo para ajustar os dados.

Determinando a amplitude e o período de uma função senoidal

Qualquer movimento que se repete em um período de tempo fixo é considerado movimento periódico e pode ser modelado por uma função senoidal. A amplitude de uma função senoidal é a distância da linha média até o valor máximo, ou da linha média até o valor mínimo. A linha média é o valor médio. As funções sinusoidais oscilam acima e abaixo da linha média, são periódicas e repetem valores em ciclos definidos. Recorde, a partir dos gráficos das funções seno e cosseno, que o período da função seno e da função cosseno é$2π$. Em outras palavras, para qualquer valor de$x$,

\[ \sin(x±2πk)=\sin x \; \text{and} \; \cos(x±2πk)=\cos x \]

onde$k$ é um número inteiro.

FORMA PADRÃO DE EQUAÇÕES SENOIDAIS

As formas gerais de uma equação senoidal são dadas como

\[y=A \sin(Bt−C)+D\]

\[ y=A \cos(Bt−C)+D\]

onde$\text{amplitude}=|A|,B$ está relacionado ao período de tal forma que$\text{period}=\frac{2π}{B},C$ é a mudança de fase tal que$\frac{C}{B}$ denota o deslocamento horizontal e$D$ representa a mudança vertical do gráfico principal do gráfico.

Observe que os modelos às vezes são escritos como

\[y=a \sin (ω t±C)+D\]

\[y=a \cos(ω t±C)+D,\]

com um período que é dado como$\frac{2π}{ω}$.

A diferença entre os gráficos do seno e do cosseno é que o gráfico do seno começa com o valor médio da função e o gráfico do cosseno começa com o valor máximo ou mínimo da função.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Showing How the Properties of a Trigonometric Function Can Transform a Graph

Mostre a transformação do gráfico de$y=\sin x$ em gráfico de$y=2 \sin(4x−\frac{π}{2})+2$.

Solução

Considere a série de gráficos na Figura$\PageIndex{1}$ e a forma como cada alteração na equação altera a imagem.

O gráfico básico de$y=\sin x$
Alterar a amplitude de 1 para 2 gera o gráfico de$y=2 \sin x$.
O período da função seno muda com o valor de$B,$ tal que$\text{period}=\frac{2π}{B}.$ Aqui temos,$B=4,$ o que se traduz em um período de$\frac{π}{2}$. O gráfico completa um ciclo completo em$\frac{π}{2}$ unidades.
O gráfico exibe um deslocamento horizontal igual a$\frac{C}{B}$, ou$\frac{\frac{π}{2}}{4}=\frac{π}{8}$.
Finalmente, o gráfico é deslocado verticalmente pelo valor de$D$. Nesse caso, o gráfico é deslocado para cima em 2 unidades.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Finding the Amplitude and Period of a Function

Encontre a amplitude e o período das seguintes funções e represente graficamente um ciclo.

$y=2 \sin (\frac{1}{4}x)$
$y=−3 \sin (2x+\frac{π}{2})$
$y= \cos x+3$

Solução

Resolveremos esses problemas de acordo com os modelos.

$y=2 \sin (\frac{1}{4}x)$envolve seno, então usamos a forma\[y=A \sin (Bt+C)+D \nonumber\] Sabemos que$| A |$ é a amplitude, então a amplitude é 2. O período é$\frac{2π}{B}$ assim que o período é\[\begin{align*} \dfrac{2π}{B} &=\dfrac{2π}{\frac{1}{4}} \\ & =8π \end{align*}\] Veja o gráfico na Figura$\PageIndex{3}$.

$y=−3 \sin(2x+ \frac{π}{2})$envolve seno, então usamos a forma\[y=A \sin (Bt−C)+D \nonumber\] Amplitude é$| A |$, então a amplitude é$|−3|=3.$ Como$A$ é negativa, o gráfico é refletido sobre o eixo x. O período é$\frac{2π}{B}$, então o período é\[\dfrac{2π}{B}=\dfrac{2π}{2}=π \nonumber\] O gráfico é deslocado para a esquerda em$\frac{C}{B}=\frac{\frac{π}{2}}{2}=\frac{π}{4}$ unidades. Veja a Figura$\PageIndex{4}$.

$y= \cos x+3$envolve cosseno, então usamos a forma
\[y=A \cos (Bt±C)+D \nonumber\]A amplitude é$| A |$, então a amplitude é 1 e o período é$2π$ (Figura$\PageIndex{5}$. Esta é a função de cosseno padrão deslocada para três unidades.

Exercício$\PageIndex{1}$:

Quais são a amplitude e o período da função$y=3 \cos (3πx)$?

Responda: A amplitude é$3,$ e o período é$\frac{2}{3}$.

Encontrando equações e representando graficamente funções senoidais

Um método de representação gráfica de funções senoidais é encontrar cinco pontos-chave. Esses pontos corresponderão a intervalos de igual comprimento representando$\frac{1}{4}$ o período. Os pontos-chave indicarão a localização dos valores máximo e mínimo. Se não houver mudança vertical, eles também indicarão interceptações x. Por exemplo, suponha que desejemos representar graficamente a função.$y=cos θ.$ Sabemos que o período é$2π$, então encontramos o intervalo entre os pontos-chave da seguinte forma.

\[\frac{2π}{4}=\frac{π}{2} \nonumber\]

Começando com,$θ=0,$ calculamos o primeiro valor y, adicionamos a duração do intervalo$\frac{π}{2}$ e calculamos o segundo valor y.$0$ Em seguida, adicionamos$\frac{π}{2}$ repetidamente até que os cinco pontos-chave sejam determinados. O último valor deve ser igual ao primeiro, pois os cálculos abrangem um período completo. Fazendo uma tabela semelhante à Tabela$\PageIndex{1}$, podemos ver esses pontos-chave claramente no gráfico mostrado na Figura$\PageIndex{6}$.

Tabela$\PageIndex{1}$
$θ$	$0$	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3π}{2}$	$2π$
$y=\cos θ$	$1$	$0$	−1−1	$0$	$1$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Graphing Sinusoidal Functions Using Key Points

Faça um gráfico da função$y=−4 \cos (πx)$ usando amplitude, período e pontos-chave.

Solução

A amplitude é$|−4|=4.$ O período é$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{π}=2.$ (Lembre-se de que às vezes nos referimos$B$ como$ω.$) Um ciclo do gráfico pode ser desenhado ao longo do intervalo$[ 0,2 ]$. Para encontrar os pontos-chave, dividimos o período por 4. Faça uma tabela semelhante à Figura$\PageIndex{1}$:, começando com$x=0$ e depois adicionando$\frac{1}{2}$ sucessivamente$x$ e calculando$y.$ Veja o gráfico na Figura$\PageIndex{7}$.

Tabela$\PageIndex{1}$
$x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$2$
$y=−4 \cos(πx)$	$−4$	$0$	$4$	$0$	$−4$

Exercício$\PageIndex{2}$:

Faça um gráfico da função$y=3 \sin(3x)$ usando a amplitude, o período e os cinco pontos-chave.

$x$	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2π}{3}$
$3 \sin (3x)$	0	3	0	-3	0


Responda: $CNX_Precalc_Figure_07_07_004.jpg$
Figura$\PageIndex{8}$

Modelando o comportamento periódico

Agora, aplicaremos essas ideias a problemas que envolvem comportamento periódico.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Modeling an Equation and Sketching a Sinusoidal Graph to Fit Criteria

As temperaturas médias mensais de uma pequena cidade no Oregon são apresentadas na tabela$\PageIndex{1}$. Encontre uma função senoidal da forma$y=A \sin (Bt−C)+D$ que se ajuste aos dados (arredonde para o décimo mais próximo) e desenhe o gráfico.

Tabela$\PageIndex{2}$
Mês	Temperatura,$^oF$
janeiro	\ (^Of\) ">42,5
fevereiro	\ (^Of\) ">44,5
Março	\ (^Of\) ">48,5
abril	\ (^Of\) ">52,5
Pode	\ (^Of\) ">58
Junho	\ (^Of\) ">63
Julho	\ (^Of\) ">68,5
agosto	\ (^Of\) ">69
setembro	\ (^Of\) ">64,5
Outubro	\ (^Of\) ">55,5
novembro	\ (^Of\) ">46,5
dezembro	\ (^Of\) ">43,5

Solução

Lembre-se de que a amplitude é encontrada usando a fórmula

\[A=\dfrac{\text{largest value −smallest value}}{2}\]

Assim, a amplitude é

\[\begin{align*} |A| & = \dfrac{69−42.5}{2} \\ &=13.25 \end{align*}\]

Os dados abrangem um período de 12 meses,$\frac{2π}{B}=12$ o que dá$B=\frac{2π}{12}=\frac{π}{6}$.

O deslocamento vertical é encontrado usando a seguinte equação.

\[D=\dfrac{\text{highest value+lowest value}}{2}\]

Assim, a mudança vertical é

\[\begin{align*} D &= \dfrac{69+42.5}{2} &=55.8 \end{align*}\]

Até agora, temos a equação$y=13.3 \sin (\frac{π}{6}x−C)+55.8$.

Para encontrar a mudança horizontal, inserimos$y$ os valores$x$ e para o primeiro mês e resolvemos para$C$.

\[\begin{align*} 42.5 & =13.3 \sin (\frac{π}{6}(1)−C)+55.8 \\ −13.3 & =13.3 \sin (\frac{π}{6}−C) \\ −1 & =\sin (\frac{π}{6}−C) \;\;\;\;\;\;\;\; \sin θ=−1→ θ=−\frac{π}{2} \\ \frac{π}{6}−C=−\frac{π}{2} \\ \frac{π}{6}+\frac{π}{2} & =C \\ &=\frac{2π}{3} \end{align*}\]

Nós temos a equação$y=13.3 \sin (\frac{π}{6}x−\frac{2π}{3})+55.8$. Veja o gráfico na Figura$\PageIndex{9}$.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Describing Periodic Motion

O ponteiro das horas do grande relógio na parede da Union Station mede 24 polegadas de comprimento. Ao meio-dia, a ponta do ponteiro das horas está a 30 polegadas do teto. Às 15h, a ponta está a 54 polegadas do teto e às 18h, a 78 polegadas. Às 21h, ele está novamente a 54 polegadas do teto e, à meia-noite, a ponta do ponteiro das horas retorna à sua posição original a 30 polegadas do teto. Deixe$y$ igualar a distância da ponta do ponteiro das horas até o teto$x$ horas após o meio dia. Encontre a equação que modela o movimento do relógio e desenhe o gráfico.

Solução

Comece criando uma tabela de valores conforme mostrado na Tabela$\PageIndex{3}$.

Tabela$\PageIndex{3}$
$x$	$y$	Pontos a serem traçados
\ (x\) ">Meio dia	\ (y\) ">30 em	$(0,30)$
\ (x\) ">3 PM	\ (y\) ">54 em	$(3,54)$
\ (x\) ">6 PM	\ (y\) ">78 em	$(6,78)$
\ (x\) ">9 PM	\ (y\) ">54 em	$(9,54)$
\ (x\) ">Meia-noite	\ (y\) ">30 em	$(12,30)$

Para modelar uma equação, primeiro precisamos encontrar a amplitude.

\[\begin{align*} | A | & =| \dfrac{78−30}{2} | \\ &=24 \end{align*}\]

O ciclo do relógio se repete a cada 12 horas. Assim,

\[\begin{align*} B &=\dfrac{2π}{12} \\ &= \dfrac{π}{6} \end{align*}\]

A mudança vertical é

\[\begin{align*} D & = \dfrac{78+30}{2} \\ &=54 \end{align*}\]

Não há deslocamento horizontal, então,$C=0.$ como a função começa com o valor mínimo de$y$ quando$x=0$ (em oposição ao valor máximo), usaremos a função cosseno com o valor negativo para$A$. Na forma,$y=A \cos (Bx±C)+D,$ a equação é

\[y=−24 \cos (\dfrac{π}{6}x)+54\]

Veja a Figura$\PageIndex{10}$.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Determining a Model for Tides

A altura da maré em uma pequena cidade litorânea é medida ao longo de um paredão. Os níveis de água oscilam entre 7 pés na maré baixa e 15 pés na maré alta. Em um determinado dia, a maré baixa ocorreu às 6 da manhã e a maré alta ocorreu ao meio-dia. Aproximadamente a cada 12 horas, o ciclo se repete. Encontre uma equação para modelar os níveis da água.

Solução

Como o nível da água varia de 7 pés a 15 pés, podemos calcular a amplitude como

\[ \begin{align*} |A| &=| \frac{(15−7)}{2} | \\ & =4 \end{align*}\]

O ciclo se repete a cada 12 horas; portanto,$B$ é

\[\begin{align*} \dfrac{2π}{12}=\dfrac{π}{6} \end{align*}\]

Há uma tradução vertical de$\frac{(15+8)}{2}=11.5$. Como o valor da função está no máximo em$t=0$, usaremos a função cosseno, com o valor positivo para$A$.

\[y=4 \cos (\dfrac{π}{6}) t+11 \nonumber\]

Veja a Figura$\PageIndex{11}$.

Exercício$\PageIndex{3}$:

A temperatura diária no mês de março em uma determinada cidade varia de baixa$24°F$ a alta de$40°F.$ Encontre uma função senoidal para modelar a temperatura diária e esboçar o gráfico. Aproximadamente a hora em que a temperatura atinge o ponto de congelamento.$32 °F.$ Deixe$t=0$ corresponder ao meio-dia.

Responda: \[y=8 \sin (\frac{π}{12}t)+32 \nonumber\]
A temperatura chega a zero ao meio-dia e à meia-noite.

Exercício$\PageIndex{4}$: Interpreting the Periodic Behavior Equation

A pressão arterial média de uma pessoa é modelada pela função$f(t)=20 \sin (160πt)+100$, onde$f(t)$ representa a pressão arterial de cada vez$t$, medida em minutos. Interprete a função em termos de período e frequência. Desenhe o gráfico e encontre a leitura da pressão arterial.

Análise

A pressão arterial de$\frac{120}{80}$ é considerada normal. O número superior é a leitura máxima ou sistólica, que mede a pressão nas artérias quando o coração se contrai. O número inferior é a leitura mínima ou diastólica, que mede a pressão nas artérias à medida que o coração relaxa entre as batidas, reabastecendo-se com sangue. Assim, a pressão arterial normal pode ser modelada por uma função periódica com um máximo de 120 e um mínimo de 80.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Interpreting the Periodic Behavior Equation

Solução

O período é dado por

\[\begin{align*} \dfrac{2π}{ω} & = \dfrac{2π}{160π} \\ &=\dfrac{1}{80} \end{align*}\]

Em uma função de pressão arterial, a frequência representa o número de batimentos cardíacos por minuto. A frequência é o recíproco do período e é dada por

\[\begin{align*} \dfrac{ω}{2π} & = \dfrac{160π}{2π} \\ & =80 \end{align*}\]

Figura$\PageIndex{12}$: A leitura da pressão arterial no gráfico é$\frac{120}{80} (\frac{\text{maximum}}{\text{minimum}})$.

Análise

Modelagem de funções de movimento harmônico

O movimento harmônico é uma forma de movimento periódico, mas há fatores a serem considerados que diferenciam os dois tipos. Enquanto as aplicações gerais de movimento periódico percorrem seus períodos sem interferência externa, o movimento harmônico requer uma força de restauração. Exemplos de movimento harmônico incluem molas, força gravitacional e força magnética.

Movimento harmônico simples

Um tipo de movimento descrito como movimento harmônico simples envolve uma força restauradora, mas pressupõe que o movimento continuará para sempre. Imagine um objeto pesado pendurado em uma mola. Quando esse objeto não é perturbado, dizemos que o objeto está em repouso ou em equilíbrio. Se o objeto for puxado para baixo e depois liberado, a força da mola o puxa de volta ao equilíbrio e o movimento harmônico começa. A força restauradora é diretamente proporcional ao deslocamento do objeto do seu ponto de equilíbrio. Quando$t=0,d=0.$

MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES

Vemos que equações de movimento harmônico simples são dadas em termos de deslocamento:

\[d=a \cos (ωt) \; \text{or} \; d=a \sin (ωt) \]

onde$| a |$ é a amplitude,$\frac{2π}{ω}$ é o período e$\frac{ω}{2π}$ é a frequência ou o número de ciclos por unidade de tempo.

Exercício$\PageIndex{5}$: Finding the Displacement, Period, and Frequency, and Graphing a Function

Para cada uma das funções fornecidas:

$y=5 \sin (3t)$
$y=6 \cos (πt)$
$y=5 \cos (\frac{π}{2}) t$

aborde as seguintes questões:

Encontre o deslocamento máximo de um objeto.
Encontre o período ou o tempo necessário para uma vibração.
Encontre a frequência.
Esboce o gráfico.

Gráfico da função y=5sin (3t) de 0 a 2pi/3. Os cinco pontos-chave são (0,0), (pi/6, 5), (pi/3, 0), (pi/2, -5), (2pi/3, 0). — Figura$\PageIndex{13}$

Responda a

O deslocamento máximo é igual à amplitude,$ |a|$, que é 5.
O período é$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{3}$.
A frequência é dada como$\frac{ω}{2π}=\frac{3}{2π}$.
Veja a Figura$\PageIndex{13}$. O gráfico indica os cinco pontos-chave.

Resposta b

O deslocamento máximo é$6$.
O período é$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{π}=2.$
A frequência é$\frac{ω}{2π}=\frac{π}{2π}=\frac{1}{2}.$
Veja a Figura$\PageIndex{14}$.

Gráfico da função y=6cos (pi t) de 0 a 3. — Figura$\PageIndex{14}$

Resposta c

O deslocamento máximo é$5$.
O período é$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$.
A frequência é$\frac{1}{4}.$
Veja a Figura$\PageIndex{15}$.

Gráfico da função y=5cos (pi/2 t) de 0 a 4. — Figura$\PageIndex{15}$

Movimento harmônico amortecido

Na realidade, um pêndulo não balança para frente e para trás para sempre, nem um objeto em uma mola salta para cima e para baixo para sempre. Eventualmente, o pêndulo para de balançar e o objeto para de saltar e ambos retornam ao equilíbrio. O movimento periódico no qual uma força dissipadora de energia, ou fator de amortecimento, atua é conhecido como movimento harmônico amortecido. O atrito é normalmente o fator de amortecimento.

Em física, várias fórmulas são usadas para contabilizar o fator de amortecimento no objeto em movimento. Algumas delas são fórmulas baseadas em cálculo que envolvem derivadas. Para nossos propósitos, usaremos fórmulas para modelos básicos de movimento harmônico amortecido.

Definição: MOVIMENTO HARMÔNICO AMORTECIDO

No movimento harmônico amortecido, o deslocamento de um objeto oscilante de sua posição de repouso no momento$t$ é dado como

\[ f(t)=ae^{−ct} \sin (ωt) \; \text{ or} \; f(t)=ae^{−ct} \cos (ωt)\]

onde$c$ é um fator de amortecimento,$|a|$ é o deslocamento inicial e$\frac{2π}{ω}$ é o período.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Modeling Damped Harmonic Motion

Modele as equações que se encaixam nos dois cenários e use um utilitário gráfico para representar graficamente as funções: dois sistemas de mola de massa exibem movimento harmônico amortecido a uma frequência de 0,5 ciclos por segundo. Ambos têm um deslocamento inicial de 10 cm. O primeiro tem um fator de amortecimento de 0,5 e o segundo tem um fator de amortecimento de 0,1.

Solução

No momento$t=0$, o deslocamento é de no máximo 10 cm, o que exige a função cosseno. A função cosseno será aplicada aos dois modelos.

Recebemos a frequência$f=\frac{ω}{2π}$ de 0,5 ciclos por segundo. Assim,

\[\begin{align*} \dfrac{ω}{2π} &=0.5 \\ ω&=(0.5)2π \\ &=π \end{align*}\]

O primeiro sistema de mola tem um fator de amortecimento de$c=0.5$. Seguindo o modelo geral para movimento harmônico amortecido, temos

\[f(t)=10e^{−0.5t} \cos (πt) \nonumber\]

A figura$\PageIndex{16}$ modela o movimento do primeiro sistema de molas.

Gráfico do primeiro sistema de mola, f (t) = 10 (e^ (-.5t)) cos (pi*t), que começa com uma alta amplitude e diminui rapidamente. — Figura$\PageIndex{16}$

O segundo sistema de mola tem um fator de amortecimento de$c=0.1$ e pode ser modelado como

\[f(t)=10e^{−0.1t} \cos (πt)\]

A figura$\PageIndex{17}$ modela o movimento do segundo sistema de molas.

Gráfico de f (t) = 10 (e^ (-.1t)) cos (pi*t), que começa com uma alta amplitude e diminui lentamente (mas tem uma alta frequência). — Figura$\PageIndex{17}$

Análise

Observe os diferentes efeitos da constante de amortecimento. Os valores locais máximo e mínimo da função com o fator de amortecimento$c=0.5$ diminuem muito mais rapidamente do que os da função com$c=0.1$.

Exercício$\PageIndex{6}$: Finding a Cosine Function that Models Damped Harmonic Motion

Encontre e represente graficamente uma função do formulário$y=ae^{−ct} \cos (ωt)$ que modela as informações fornecidas.

$a=20,c=0.05,p=4$
$a=2,c=1.5,f=3$

Solução

Substitua os valores fornecidos no modelo. Lembre-se de que o período é$\frac{2π}{ω}$ e a frequência é$\frac{ω}{2π}$.

$y=20e^{−0.05t} \cos (\frac{π}{2}t).$Veja a Figura$\PageIndex{18}$.

$Gráfico de f (t) = 20 (e^ (-.05t)) cos (pi/2 * t), que começa com uma alta amplitude e diminui lentamente.$
Figura$\PageIndex{18}$
$y=2e^{−1.5t} \cos (6πt).$Veja a Figura$\PageIndex{19}$.

$Gráfico de f (t) = 2 (e^ (-1.5t)) cos (6pi * t), que começa com uma pequena amplitude e diminui rapidamente para quase uma linha reta.$
Figura$\PageIndex{19}$

Exercício$\PageIndex{7}$

A equação a seguir representa um modelo de movimento harmônico amortecido:$f(t)=5e^{−6t} \cos (4t)$ Encontre o deslocamento inicial, a constante de amortecimento e a frequência.

Responda: deslocamento inicial =6, constante de amortecimento = -6, frequência =$\frac{2}{π}$

Exemplo$\PageIndex{9}$: Finding a Sine Function that Models Damped Harmonic Motion

Encontre e represente graficamente uma função do formulário$y=ae^{−ct} \sin (ωt)$ que modela as informações fornecidas.

$a=7,c=10,p=\frac{π}{6}$
$a=0.3,c=0.2,f=20$

Solução

Calcule o valor de$ω$ e substitua os valores conhecidos no modelo.

Como o período é$\frac{2π}{ω}$, temos
\[\begin{align*} \dfrac{π}{6} &=\dfrac{2π}{ω} \\ ωπ &=6(2π) \\ ω &=12 \end{align*}\]

O fator de amortecimento é dado como 10 e a amplitude é 7. Assim, o modelo é$y=7e^{−10t} \sin (12t)$. Veja a Figura$\PageIndex{20}$.

$Gráfico de f (t) = 7 (e^ (-10t)) sin (12t), que atinge um pico próximo a t=0 e rapidamente se torna quase uma linha reta.$
Figura$\PageIndex{20}$
Como frequência é$\frac{ω}{2π}$, temos
\[\begin{align*} 20 &=\dfrac{ω}{2π} \\ 40π &=ω \end{align*}\]

O fator de amortecimento é dado como$0.2$ e a amplitude é$0.3.$ O modelo é$y=0.3e^{−0.2t} \sin (40πt).$ Veja a Figura$\PageIndex{21}$.

$Gráfico de f (t) = .3e^ (-.2t) sin (40pi*t), que tem uma pequena amplitude, mas diminui rapidamente até a aparência de uma linha reta. A frequência é tão alta que, nessa escala, a função parece uma forma sólida. O zoom recortado do gráfico mostra a imagem senoidal real da função.$
Figura$\PageIndex{21}$

Análise

Uma comparação dos dois últimos exemplos ilustra como escolhemos entre as funções seno ou cosseno para modelar critérios senoidais. Vemos que a função cosseno está no deslocamento máximo quando$t=0$, e a função seno está no ponto de equilíbrio quando,$t=0.$ por exemplo, considere a equação$y=20e^{−0.05t} \cos (\frac{π}{2}t)$ de Example. Podemos ver no gráfico quando$t=0,y=20,$ qual é a amplitude inicial. Verifique isso$t=0$ configurando a equação do cosseno:

\[ \begin{align*} y &=20e^{−0.05(0)} \cos (\frac{π}{2})(0) \\ &=20(1)(1) \\ & =20 \end{align*}\]

O uso da função seno produz

\[\begin{align*} y &=20e^{−0.05(0)} \sin (\frac{π}{2})(0) \\ & =20(1)(0) \\ &=0 \end{align*}\]

Assim, o cosseno é a função correta.

Exercício$\PageIndex{8}$:

Escreva a equação para o movimento harmônico amortecido dado$a=10,c=0.5$, e$p=2.$

Responda: $y=10e^{−0.5t} \cos (πt)$

Exemplo$\PageIndex{10}$: Modeling the Oscillation of a Spring

Uma mola medindo 10 polegadas de comprimento natural é comprimida em 5 polegadas e liberada. Ele oscila uma vez a cada 3 segundos e sua amplitude diminui em 30% a cada segundo. Encontre uma equação que modela a posição da mola$t$ segundos após ser liberada.

Solução

A amplitude começa em 5 pol. e diminui 30% a cada segundo. Como a mola está inicialmente comprimida, escreveremos A como um valor negativo. Podemos escrever a porção de amplitude da função como

\[A(t)=5(1−0.30)^t \nonumber\]

Colocamos$(1−0.30)^t$ no formulário da$e^{ct}$ seguinte forma:

\[\begin{align*} 0.7 &=e^c \\ c &= \ln .7 \\ c & =−0.357 \end{align*}\]

Agora vamos abordar o período. A mola percorre suas posições a cada 3 segundos, esse é o período, e podemos usar a fórmula para encontrar ômega.

\[\begin{align*} 3 &= \dfrac{2π}{ω} \\ ω &= \dfrac{2π}{3} \end{align*}\]

O comprimento natural de 10 polegadas é a linha média. Usaremos a função cosseno, já que a mola começa com seu deslocamento máximo. Essa parte da equação é representada como

\[y=\cos (\dfrac{2π}{3}t)+10 \nonumber\]

Finalmente, juntamos as duas funções. Nosso modelo para a posição da mola em$t$ segundos é dado como

\[y=−5e^{−0.357t} \cos (\dfrac{2π}{3}t)+10 \nonumber\]

Veja o gráfico na Figura$\PageIndex{22}$.

Gráfico da função y = -5e^ (-.35t) cos (2pi/3 t) + 10 de 0 a 24. Começa como ondas com alta amplitude e diminui para quase uma linha reta muito rapidamente. — Figura$\PageIndex{22}$

Exercício$\PageIndex{9}$

Uma massa suspensa de uma mola é elevada a uma distância de 5 cm acima de sua posição de repouso. A massa é liberada de vez em quando$t=0$ e pode oscilar. Após o$\frac{1}{3}$ segundo, observa-se que a massa retorna à sua posição mais alta. Encontre uma função para modelar esse movimento em relação à sua posição inicial de repouso.

Responda: $y=5 \cos (6πt)$

De acordo com os critérios fornecidos

Uma corda de guitarra é dedilhada e vibra em um movimento harmônico amortecido. A corda é puxada e deslocada a 2 cm de sua posição de repouso. Após 3 segundos, o deslocamento da corda mede 1 cm. Encontre a constante de amortecimento.

Solução

O fator de deslocamento representa a amplitude e é determinado pelo coeficiente$ae^{−ct}$ no modelo para movimento harmônico amortecido. A constante de amortecimento está incluída no termo$e^{−ct}$. Sabe-se que após 3 segundos, o máximo local mede a metade de seu valor original. Portanto, temos a equação

\[ae^{−c(t+3)}=\dfrac{1}{2} ae^{−ct}\]

Use álgebra e as leis dos expoentes para resolver$c$.

\[\begin{array}{cl} ae^{−c(t+3)}=\frac{1}{2}ae^{−ct} \\ e^{−ct}⋅e^{−3c}=\frac{1}{2}e^{−ct} & \text{Divide out } a. \\ e^{−3c}=\frac{1}{2} & \text{Divide out }e^{−ct}. \\ e^{3c}=2 & \text{Take reciprocals.} \end{array}\]

Em seguida, use as leis dos logaritmos.

\[\begin{align*} e^{3c} &=2 \\ 3c &=\ln 2 \\ c & =\frac{\ln 2}{3} \end{align*}\]

A constante de amortecimento é$\frac{\ln 2}{3}$.

Curvas delimitadoras em movimento harmônico

Os gráficos de movimento harmônico podem ser delimitados por curvas delimitadoras. Quando uma função tem uma amplitude variável, de forma que a amplitude aumenta e diminui várias vezes em um período, podemos determinar as curvas delimitadoras de parte da função.

Exemplo$\PageIndex{12}$: Graphing an Oscillating Cosine Curve

Faça um gráfico da função$f(x)=\cos (2πx) \cos (16πx)$.

Solução

O gráfico produzido por essa função será mostrado em duas partes. O primeiro gráfico será a função exata$f(x)$ (veja a Figura$\PageIndex{23; top}$;) e o segundo gráfico é a função exata$f(x)$ mais uma função delimitadora (veja a Figura$\PageIndex{23; bottom}$). Os gráficos parecem bem diferentes.

Gráfico de f (x) = cos (2pi*x) cos (16pi*x), uma função senoidal que aumenta e diminui sua amplitude periodicamente. — Figure_07_07_016.jpg "/>

Figura$\PageIndex{23}$

Análise

As curvas$y=\cos (2πx)$ e$y=−\cos (2πx)$ são curvas delimitadoras: elas limitam a função de cima para baixo, traçando os pontos altos e baixos. O gráfico de movimento harmônico fica dentro das curvas delimitadoras. Este é um exemplo de uma função cuja amplitude não só diminui com o tempo, mas na verdade aumenta e diminui várias vezes em um período.

Equações-chave


Forma padrão da equação senoidal	$y=A \sin (Bt−C)+D \text{ or } y=A \cos (Bt−C)+D$
Movimento harmônico simples	$d=a \cos (ωt) \text{ or } d=a \sin (ωt) $
Movimento harmônico amortecido	$f(t)=ae^{−ct} \sin (ωt) \text{ or } f(t)=ae^{−ct} \cos (ωt)$

Conceitos-chave

As funções sinusoidais são representadas pelos gráficos de seno e cosseno. Na forma padrão, podemos encontrar a amplitude, o período e as mudanças horizontais e verticais. Veja o exemplo e o exemplo.
Use pontos-chave para representar graficamente uma função senoidal. Os cinco pontos-chave incluem os valores mínimo e máximo e os valores da linha média. Veja o exemplo.
As funções periódicas podem modelar eventos que reocorrem em ciclos definidos, como as fases da lua, os ponteiros de um relógio e as estações do ano. Veja exemplo, exemplo, exemplo e exemplo.
As funções de movimento harmônico são modeladas a partir de dados fornecidos. Semelhante às aplicações de movimento periódico, o movimento harmônico requer uma força de restauração. Os exemplos incluem a força gravitacional e o movimento da mola ativados pelo peso. Veja o exemplo.
O movimento harmônico amortecido é uma forma de comportamento periódico afetada por um fator de amortecimento. Fatores de dissipação de energia, como atrito, fazem com que o deslocamento do objeto encolha. Veja exemplo, exemplo, exemplo, exemplo e exemplo.
As curvas delimitadoras delineiam o gráfico do movimento harmônico com valores máximos e mínimos variáveis. Veja o exemplo.

\(θ\)	\(0\)	\(\frac{π}{2}\)	\(π\)	\(\frac{3π}{2}\)	\(2π\)
\(y=\cos θ\)	\(1\)	\(0\)	−1−1	\(0\)	\(1\)

\(x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(\frac{3}{2}\)	\(2\)
\(y=−4 \cos(πx)\)	\(−4\)	\(0\)	\(4\)	\(0\)	\(−4\)

\(x\)	0	\(\frac{π}{6}\)	\(\frac{π}{3}\)	\(\frac{π}{2}\)	\(\frac{2π}{3}\)
\(3 \sin (3x)\)	0	3	0	-3	0

\(x\)	\(y\)	Pontos a serem traçados
\ (x\) ">Meio dia	\ (y\) ">30 em	\((0,30)\)
\ (x\) ">3 PM	\ (y\) ">54 em	\((3,54)\)
\ (x\) ">6 PM	\ (y\) ">78 em	\((6,78)\)
\ (x\) ">9 PM	\ (y\) ">54 em	\((9,54)\)
\ (x\) ">Meia-noite	\ (y\) ">30 em	\((12,30)\)

Forma padrão da equação senoidal	\(y=A \sin (Bt−C)+D \text{ or } y=A \cos (Bt−C)+D\)
Movimento harmônico simples	\(d=a \cos (ωt) \text{ or } d=a \sin (ωt) \)
Movimento harmônico amortecido	\(f(t)=ae^{−ct} \sin (ωt) \text{ or } f(t)=ae^{−ct} \cos (ωt)\)