5.2: Círculo unitário - Funções de seno e cosseno
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Objetivos de
- Encontre valores de função para o seno e o cosseno de 30° ou\((\frac{\pi}{6})\) ,45° ou\((\frac{\pi}{4})\), e 60° ou\((\frac{\pi}{3})\).
- Identifique o domínio e o intervalo das funções seno e cosseno.
- Encontre ângulos de referência.
- Use ângulos de referência para avaliar funções trigonométricas.
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Encontrando valores de função para o seno e o cosseno
Para definir nossas funções trigonométricas, começamos desenhando um círculo unitário, um círculo centrado na origem com raio 1, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{2}\). O ângulo (em radianos) que\(t\) intercepta forma um arco de comprimento\(s\). Usando a fórmula\(s=rt\), e sabendo disso\(r=1\), vemos isso para um círculo unitário,\(s=t\).
Lembre-se de que os eixos x e y dividem o plano coordenado em quatro quartos chamados quadrantes. Rotulamos esses quadrantes para imitar a direção que um ângulo positivo varreria. Os quatro quadrantes são rotulados como I, II, III e IV.
Para qualquer ângulo,\(t,\) podemos rotular a interseção do lado do terminal e do círculo unitário por suas coordenadas,\((x,y)\). As coordenadas\(x\) e\(y\) serão as saídas das funções trigonométricas\(f(t)= \cos t\) e\( f(t)= \sin t\), respectivamente. Isso significa\(x= \cos t\)\(y= \sin t\) e.

CÍRCULO UNI
Um círculo unitário tem um centro em\((0,0)\) e um raio\(1\). O comprimento do arco interceptado é igual à medida radiana do ângulo central\(t\).
\((x,y)\)Seja o ponto final no círculo unitário de um arco de comprimento de arco\(s\). As\((x,y)\) coordenadas desse ponto podem ser descritas como funções do ângulo.
Definindo funções de seno e cosseno
Agora que temos nosso círculo unitário rotulado, podemos aprender como as\((x,y)\) coordenadas se relacionam com o comprimento e o ângulo do arco. A função seno relaciona um número real\(t\) com a\(y\) coordenada -do ponto em que o ângulo correspondente intercepta o círculo unitário. Mais precisamente, o seno de um ângulo\(t\) é igual ao\(y\) valor -do ponto final no círculo unitário de um arco de comprimento\(t\). Na Figura\(\PageIndex{3}\), o seno é igual\(y\) a. Como todas as funções, a função seno tem uma entrada e uma saída. Sua entrada é a medida do ângulo; sua saída é a\(y\) coordenada -do ponto correspondente no círculo unitário.
A função cosseno de um ângulo\(t\) é igual ao\(x\) valor -do ponto final no círculo unitário de um arco de comprimento\(t\). Na Figura\(\PageIndex{1}\), o cosseno é igual a x.

Como se entende que seno e cosseno são funções, nem sempre precisamos escrevê-los com parênteses:\(\sin t\) é o mesmo\(\sin (t)\) e\(\cos t\) é o mesmo que\(\cos (t)\). Da mesma forma,\(\cos ^2 t\) é uma notação abreviada comumente usada para\(( \cos (t))^2\). Esteja ciente de que muitas calculadoras e computadores não reconhecem a notação abreviada. Em caso de dúvida, use os parênteses extras ao inserir cálculos em uma calculadora ou computador.
FUNÇÕES DE SENO E COSSENO
Se\(t\) for um número real e um ponto\((x,y)\) no círculo unitário corresponder a um ângulo de\(t\), então
\[ \begin{align} \cos t & = x \\ \sin t & = y \end{align}\]
Como fazer: Dado um ponto\(P(x,y)\) on the unit circle corresponding to an angle of \( t\), find the sine and cosine
- O seno de\(t\) é igual à\(y\) coordenada -do ponto\(P\):\( \sin t=y\).
- O cosseno de\(t\) é igual à\(x\) coordenada -do ponto\(P\):\( \cos t=x\).
Exemplo\(\PageIndex{1}\): Finding Function Values for Sine and Cosine
Ponto\(P\) é um ponto no círculo unitário correspondente a um ângulo de\(t\), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{4}\). Encontre\(\cos (t)\)\(\sin (t)\) e.

Solução
Sabemos que\(\cos t \) é a\(x\) coordenada -do ponto correspondente no círculo unitário e\(\sin t\) é a\(y\) coordenada -do ponto correspondente no círculo unitário. Então:
\(\begin{align*} x & = \cos t= \frac{1}{2} \\ y & = \sin t= \frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\)
Experimente\(\PageIndex{1}\)
Um certo ângulo\(t\) corresponde a um ponto no círculo unitário\(\left(−\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{5}\). Encontre\(\cos t\)\(\sin t\) e.

- Resposta
-
\(\cos (t)=−\dfrac{ \sqrt{2} }{2}, \sin (t)=\dfrac {\sqrt{2}}{2} \)
Encontrando senos e cossenos de ângulos em um eixo
Para ângulos quadrantrais, o ponto correspondente no círculo unitário cai no\(y\) eixo\(x\) - ou. Nesse caso, podemos calcular facilmente o cosseno e o seno a partir dos valores de\(x\)\(y\) e.
Exemplo\(\PageIndex{2}\): Calculating Sines and Cosines along an Axis
Encontre\(\cos (90°)\) e\(\sin (90°).\)
Solução
Mover-se\(90°\) no sentido anti-horário ao redor do círculo unitário a partir do\(x\) eixo positivo nos leva ao topo do círculo, onde estão as\((x,y)\) coordenadas (0, 1), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{6}\).

Usando nossas definições de cosseno e seno,
\(\begin{align*} x &= \cos t = \cos (90°) = 0 \\ y &= \sin t = \sin (90°) = 1 \end{align*} \)
O cosseno de 90° é 0; o seno de 90° é 1.
Experimente\(\PageIndex{2}\)
Encontre o cosseno e o seno do ângulo\(π\).
- Resposta
-
\(\cos (π)=−1, \sin (π)=0\)
A identidade pitagórica
Agora que podemos definir seno e cosseno, aprenderemos como eles se relacionam entre si e com o círculo unitário. Lembre-se de que a equação para o círculo unitário é\(x^2+y^2=1\). Porque\(x= \cos t\) e\(y=\sin t\), podemos substituir\( x\) e\(y\) obter\(\cos ^2 t+ \sin ^2 t=1.\) Essa equação,\( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1,\) é conhecida como Identidade Pitagórica. Veja a Figura\(\PageIndex{7}\).

Podemos usar a identidade pitagórica para encontrar o cosseno de um ângulo se conhecermos o seno, ou vice-versa. No entanto, como a equação produz duas soluções, precisamos de conhecimento adicional do ângulo para escolher a solução com o sinal correto. Se soubermos o quadrante onde está o ângulo, podemos escolher facilmente a solução correta.
IDENTIDADE PITAGÓRICA
A identidade pitagórica afirma que, para qualquer número real\(t\),
\[ \cos^2 t+ \sin^2 t=1 \]
Como fazer: Dado o seno de algum ângulo t e sua localização no quadrante, encontre o cosseno de t
- Substitua o valor conhecido de\(\sin (t)\) na identidade pitagórica.
- Resolva para\( \cos (t)\).
- Escolha a solução com o sinal apropriado para os\(x\) valores -no quadrante em que\(t\) está localizado.
Exemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a Cosine from a Sine or a Sine from a Cosine
Se\(\sin (t)=\dfrac{3}{7}\) e\(t\) estiver no segundo quadrante, encontre\( \cos (t)\).
Solução
Se derrubarmos uma linha vertical do ponto no círculo unitário correspondente a\(t\), criaremos um triângulo reto, a partir do qual podemos ver que a identidade de Pitágoras é simplesmente um caso do Teorema de Pitágoras. Veja a Figura\(\PageIndex{8}\).

Substituindo o valor conhecido de seno na identidade pitagórica,
\[\begin{align*} \cos ^2 (t)+ \sin ^2(t) &=1 \\ \cos ^2(t)+\dfrac{9}{49} &=1 \\ \cos ^2(t) & = \dfrac{40}{49} \\ \cos (t) &=± \sqrt{\dfrac{40}{49}}=±\dfrac{\sqrt{40}}{7}=±\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \end{align*}\]
Como o ângulo está no segundo quadrante, sabemos que o\(x\) valor -é um número real negativo, então o cosseno também é negativo. Então
\[ \cos (t)=−\dfrac{2\sqrt{10}}{7} \nonumber \]
Experimente\(\PageIndex{3}\)
Se\(\cos (t)=\dfrac{24}{25}\) e\(t\) estiver no quarto quadrante, encontre\( \sin (t)\).
- Resposta
-
\(\sin (t)=−\dfrac{7}{25}\)
Encontrando senos e cossenos de ângulos especiais
Já aprendemos algumas propriedades dos ângulos especiais, como a conversão de radianos em graus. Também podemos calcular senos e cossenos dos ângulos especiais usando a identidade pitagórica e nosso conhecimento sobre triângulos.
Encontrando senos e cossenos de ângulos de 45°
Primeiro, veremos os ângulos de\(45°\) ou\(\dfrac{π}{4}\), conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{9}\). Um\(45°–45°–90°\) triângulo é um triângulo isósceles, então as\(y\) coordenadas\(x\) - e -do ponto correspondente no círculo são as mesmas. Como os\(y\) valores x e -são iguais, os valores de seno e cosseno também serão iguais.

Em\(t=\frac{π}{4}\), que é de 45 graus, o raio do círculo unitário divide o primeiro ângulo quadrantal. Isso significa que o raio está ao longo da linha\(y=x\). Um círculo unitário tem um raio igual a 1. Então, o triângulo reto formado abaixo da linha\(y=x\) tem lados\(x\) e\(y\) (com)\(y=x),\) e um raio = 1. Veja a Figura\(\PageIndex{10}\).

Do Teorema de Pitágoras, obtemos
\[x^2+y^2=1 \nonumber \]
Substituindo\(y=x\), obtemos
\[x^2+x^2=1 \nonumber \]
Combinando termos semelhantes que obtemos
\[2x^2=1 \nonumber \]
E resolvendo para\(x\), obtemos
\[\begin{align*} x^2 &=\dfrac{1}{2} \\ x &=±\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*} \]
No quadrante I,\(x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\).
Em\(t=\dfrac{π}{4}\) ou 45 graus,
\[\begin{align*} (x,y) & =(x,x)=(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\ x &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; y=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \; \sin t=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{align*} \]
Se então racionalizarmos os denominadores, obtemos
\[ \begin{align*} \cos t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &= \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\ \sin t &= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ &=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}\]
Portanto, as\((x,y)\) coordenadas de um ponto em um círculo de raio\(1\) em um ângulo de\(45°\) são\(\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
Encontrando senos e cossenos de ângulos de 30° e 60°
Em seguida, encontraremos o cosseno e o seno em um ângulo de\(30°,\) ou\(\tfrac{π}{6}\). Primeiro, desenharemos um triângulo dentro de um círculo com um lado em um ângulo de\(30°,\) e outro em um ângulo\(−30°,\) como mostrado na Figura\(\PageIndex{11}\). Se os dois triângulos retos resultantes forem combinados em um triângulo grande, observe que todos os três ângulos desse triângulo maior serão\(60°,\) os mostrados na Figura\(\PageIndex{12}\).


Como todos os ângulos são iguais, os lados também são iguais. A linha vertical tem comprimento e\(2y\), como os lados são todos iguais, também podemos concluir que\(r=2y\) ou\(y=\frac{1}{2}r\). Desde\( \sin t=y\),
\[ \sin \left(\frac{π}{6} \right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]
E já que\(r=1\) em nosso círculo unitário,
\[\begin{align*} \sin \left(\frac{π}{6} \right) & = \dfrac{1}{2}(1) \\ &= \dfrac{1}{2} \end{align*} \]
Usando a identidade pitagórica, podemos encontrar o valor do cosseno.
\ (\ begin {alinhado}
\ cos^2\ left (\ frac {π} {6}\ right) +\ sin^2\ left (\ frac {π} {6}\ right) &= 1 &&\\
\ cos^2\ left (\ frac {π} {6}\ direita) +\ left (\ dfrac {1} {2}\ direita) ^2 &= 1 &&\\
\ cos^2\ left (\ frac {π} {6}\ direita) &=\ dfrac {3} {4} &&\ text { Use a propriedade raiz quadrada.} \\
\ cos\ left (\ frac {π} {6}\ right) &=\ pm\ sqrt {\ dfrac {3} {4}} =\ dfrac {\ sqrt {3}} {2} &&\ text {Como\(y\) é positivo, escolha a raiz positiva.}\\
\ end {aligned}\)
As\((x,y)\) coordenadas para o ponto em um círculo de raio\(1\) em um ângulo de\(30°\) são\(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{1}{2}\right)\). Em\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°), o raio do círculo unitário, 1, serve como hipotenusa de um triângulo reto de 30-60-90 graus,\(BAD,\) conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{13}\). \(A\)O ângulo tem medida de 60°. 60°. No ponto,\(B,\) desenhamos um ângulo\(ABC\) com a medida de\( 60°\). Sabemos que os ângulos em um triângulo somam\(180°\), então a medida do ângulo também\(C\) é\(60°\). Agora temos um triângulo equilátero. Como cada lado do triângulo equilátero\(ABC\) tem o mesmo comprimento e sabemos que um lado é o raio do círculo unitário, todos os lados devem ter comprimento 1.

A medida do ângulo\(ABD\) é de 30°. Então, se for duplo, o ângulo\(ABC\) é de 60°. \(BD\)é a bissetriz perpendicular de\(AC\), então ela corta\(AC\) ao meio. Isso significa que\(AD\) é\( \dfrac{1}{2}\) o raio, ou\(\dfrac{1}{2}.\) Observe que\(AD\) é a\(x\) coordenada -do ponto\(B\), que está na interseção do ângulo de 60° com o círculo unitário. Isso nos dá um triângulo\(BAD\) com hipotenusa de 1 e lado\(x\) de comprimento\(\dfrac{1}{2}\).
Do Teorema de Pitágoras, obtemos
\[x^2+y^2=1 \nonumber \]
Substituindo\(x=\frac{1}{2}\), obtemos
\[ \left( \dfrac{1}{2} \right)^2+y^2=1 \nonumber \]
Resolvendo para\(y\), obtemos
\[\begin{align*} \dfrac{1}{4}+y^2 &=1 \\ y^2 &=1−\dfrac{1}{4} \\ y^2 &= \dfrac{3}{4} \\ y &=± \dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}\]
Como\(t=\dfrac{π}{3}\) tem o lado terminal no quadrante I, onde a\(y\) coordenada -é positiva\(y=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), escolhemos o valor positivo.
Em\(t=\dfrac{π}{3}\) (60°), as\((x,y)\) coordenadas para o ponto em um círculo de raio\(1\) em um ângulo de\(60°\) são\(\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), então podemos encontrar o seno e o cosseno.
\( (x, y) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \right) \)
\( x = \dfrac{1}{2}, \; y = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)
\( \cos t = \dfrac{1}{2}, \; \sin t = \dfrac{ \sqrt{3} }{2} \)
Agora encontramos os valores de cosseno e seno para todos os ângulos mais comumente encontrados no primeiro quadrante do círculo unitário. A tabela\(\PageIndex{1}\) resume esses valores.
Ângulo | 0 | \(\dfrac{π}{6}\), ou 30 | \(\dfrac{π}{4}\), ou 45° | \(\dfrac{π}{3}\), ou 60° | \(\dfrac{π}{2}\), ou 90° |
---|---|---|---|---|---|
Cosseno | 1 | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | 0 |
Seno | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
A figura\(\PageIndex{14}\) mostra os ângulos comuns no primeiro quadrante do círculo unitário.

Usando uma calculadora para encontrar seno e cosseno
Para encontrar o cosseno e o seno de ângulos diferentes dos ângulos especiais, recorremos a um computador ou calculadora. Esteja ciente: a maioria das calculadoras pode ser configurada no modo “grau” ou “radiano”, que informa à calculadora as unidades do valor de entrada. Quando avaliamos\( \cos (30)\) em nossa calculadora, ela o avaliará como o cosseno de 30 graus se a calculadora estiver no modo de graus ou o cosseno de 30 radianos se a calculadora estiver no modo radiano.
Como fazer: Dado um ângulo em radianos, use uma calculadora gráfica para encontrar o cosseno
- Se a calculadora tiver o modo de graus e o modo radiano, configure-a para o modo radiano.
- Pressione a tecla COS.
- Insira o valor radiano do ângulo e pressione a tecla de fechar parênteses “)”.
- Pressione ENTER.
Exemplo\(\PageIndex{4}\): Using a Graphing Calculator to Find Sine and Cosine
Avalie\( \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)\) usando uma calculadora gráfica ou um computador.
Solução
Digite as seguintes teclas:
\(\mathrm{COS( 5 × π ÷ 3 ) \; ENTER}\)
\[ \cos \left(\dfrac{5π}{3}\right)=0.5 \nonumber\]
Análise
Podemos encontrar o cosseno ou seno de um ângulo em graus diretamente em uma calculadora com o modo de graus. Para calculadoras ou softwares que usam apenas o modo radiano, podemos encontrar o sinal de\(20°\), por exemplo, incluindo o fator de conversão em radianos como parte da entrada:
\[\mathrm{SIN( 20 × π ÷ 180 ) \; ENTER} \nonumber\]
Experimente\(\PageIndex{4}\)
Avalie\(\sin \left( \dfrac{π}{3} \right) \).
- Resposta
-
aproximadamente 0,866025403
Identificando o domínio e o intervalo das funções seno e cosseno
Agora que podemos encontrar o seno e o cosseno de um ângulo, precisamos discutir seus domínios e intervalos. Quais são os domínios das funções seno e cosseno? Ou seja, quais são os menores e maiores números que podem ser entradas das funções? Como ângulos menores que 0 e ângulos maiores que 2π ainda podem ser representados graficamente no círculo unitário e têm valores reais de\(x, \; y\)\(r\), e, não há limite inferior ou superior para os ângulos que possam ser inseridos nas funções seno e cosseno. A entrada para as funções seno e cosseno é a rotação do\(x\) eixo positivo, e isso pode ser qualquer número real.
Quais são os intervalos das funções seno e cosseno? Quais são os menores e maiores valores possíveis para sua produção? Podemos ver as respostas examinando o círculo unitário, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{15}\). Os limites da\(x\) coordenada -são\( [−1,1]\). Os limites da\(y\) coordenada -também são\([−1,1]\). Portanto, o alcance das funções seno e cosseno é\([−1,1]\).

Encontrando ângulos de referência
Discutimos como encontrar o seno e o cosseno para ângulos no primeiro quadrante, mas e se nosso ângulo estiver em outro quadrante? Para qualquer ângulo dado no primeiro quadrante, há um ângulo no segundo quadrante com o mesmo valor senoidal. Como o valor do seno é a\(y\) coordenada -no círculo unitário, o outro ângulo com o mesmo seno compartilhará o mesmo\(y\) valor -, mas terá o\(x\) valor oposto. Portanto, seu valor de cosseno será o oposto do valor do cosseno do primeiro ângulo.
Da mesma forma, haverá um ângulo no quarto quadrante com o mesmo cosseno do ângulo original. O ângulo com o mesmo cosseno compartilhará o mesmo\(x\) valor, mas terá o\(y\) valor oposto. Portanto, seu valor senoidal será o oposto do valor seno do ângulo original.
Conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{16}\), o ângulo\(α\) tem o mesmo valor senoidal do ângulo\(t\); os valores do cosseno são opostos. O ângulo\(β\) tem o mesmo valor de cosseno que o ângulo\(t\); os valores do seno são opostos.
\ (\ begin {array} {ccc}\ sin (t) =\ sin (α) &\ text {e} &\ cos (t) = -\ cos (α)\
\ sin (t) = -\ sin (β) &\ text {e} &\ cos (t) =\ cos (β)\
\ end {array}\)

Lembre-se de que o ângulo de referência de um ângulo é o ângulo agudo\(t\), formado pelo lado terminal do ângulo\(t\) e pelo eixo horizontal. Um ângulo de referência é sempre um ângulo entre\(0\) e\(90°\), ou\(0\) e\(\dfrac{π}{2}\) radianos. Como podemos ver na Figura\(\PageIndex{17}\), para qualquer ângulo nos quadrantes II, III ou IV, há um ângulo de referência no quadrante I.

Como fazer: Dado um ângulo entre\(0\) and \(2π\), find its reference angle
- Um ângulo no primeiro quadrante é seu próprio ângulo de referência.
- Para um ângulo no segundo ou terceiro quadrante, o ângulo de referência é\(|π−t|\) ou\(|180°−t|\).
- Para um ângulo no quarto quadrante, o ângulo de referência é\(2π−t\) ou\(360°−t.\)
- Se um ângulo for menor\(0\) ou maior,\(2π,\) adicione ou subtraia\(2π\) quantas vezes forem necessárias para encontrar um ângulo equivalente entre\(0\)\(2π\) e.
Exemplo\(\PageIndex{5}\): Finding a Reference Angle
Encontre o ângulo de referência de\(225°\) conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{18}\).

Solução
Como\( 225°\) está no terceiro quadrante, o ângulo de referência é
\[|(180°−225°)|=|−45°|=45° \nonumber \]
Experimente\(\PageIndex{5}\)
Encontre o ângulo de referência de\(\frac{5π}{3}\).
- Resposta
-
(\ dfrac {π} {3}\)
Usando ângulos de referência
Agora, vamos reconsiderar a roda gigante apresentada no início desta seção. Suponha que um passageiro tire uma foto enquanto está parado a vinte pés acima do nível do solo. O piloto então gira três quartos do círculo. Qual é a nova elevação do ciclista? Para responder perguntas como essa, precisamos avaliar as funções seno ou cosseno em ângulos maiores que 90 graus ou em um ângulo negativo. Os ângulos de referência permitem avaliar funções trigonométricas para ângulos fora do primeiro quadrante. Eles também podem ser usados para encontrar\((x,y)\) coordenadas para esses ângulos. Usaremos o ângulo de referência do ângulo de rotação combinado com o quadrante em que se encontra o lado terminal do ângulo.
Usando ângulos de referência para avaliar funções trigonométricas
Podemos encontrar o cosseno e o seno de qualquer ângulo em qualquer quadrante se soubermos o cosseno ou seno de seu ângulo de referência. Os valores absolutos do cosseno e do seno de um ângulo são os mesmos do ângulo de referência. O sinal depende do quadrante do ângulo original. O cosseno será positivo ou negativo, dependendo do sinal dos\(x\) valores -nesse quadrante. O seno será positivo ou negativo, dependendo do sinal dos\(y\) valores -nesse quadrante.
USANDO ÂNGULOS DE REFERÊNCIA PARA ENCONTRAR COSSENO E SENO
Os ângulos têm cossenos e senos com o mesmo valor absoluto dos cossenos e senos de seus ângulos de referência. O sinal (positivo ou negativo) pode ser determinado a partir do quadrante do ângulo.
Como fazer: Dado um ângulo na posição padrão, encontre o ângulo de referência e o cosseno e o seno do ângulo original
- Meça o ângulo entre o lado terminal do ângulo dado e o eixo horizontal. Esse é o ângulo de referência.
- Determine os valores do cosseno e do seno do ângulo de referência.
- Dê ao cosseno o mesmo sinal\(x\) dos valores -no quadrante do ângulo original.
- Dê ao seno o mesmo sinal dos\(y\) valores -no quadrante do ângulo original.
Exemplo\(\PageIndex{6}\): Using Reference Angles to Find Sine and Cosine
- Usando um ângulo de referência, encontre o valor exato de\(\cos (150°)\)\( \sin (150°)\) e.
- Usando o ângulo de referência, encontre\( \cos \dfrac{5π}{4}\)\(\sin \frac{5π}{4}\) e.
Solução
Isso nos diz que 150° tem os mesmos valores de seno e cosseno de 30°, exceto pelo sinal. Nós sabemos disso
Como\(150°\) está no segundo quadrante, a\(x\) coordenada -do ponto no círculo é negativa, então o valor do cosseno é negativo. A\(y\) coordenada -é positiva, então o valor do seno é positivo.
\(\dfrac{5π}{4}\)está no terceiro quadrante. Seu ângulo de referência é\( \left| \dfrac{5π}{4} - π \right| = \dfrac{π}{4} \). O cosseno e o seno de\(\dfrac{π}{4} \) são ambos\( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \). No terceiro quadrante, ambos\(x\)\(y\) são negativos, então:
\( \cos \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)e\(\sin \dfrac{5π}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)
Experimente\(\PageIndex{6}\)
- Use o ângulo de referência de\(315°\) para encontrar\( \cos (315°) \)\(\sin (315°)\) e.
- Use o ângulo de referência de\(−\dfrac{π}{6}\) para encontrar\( \cos \left(−\dfrac{π}{6}\right) \) e\( \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)\)
- Resposta
-
- \( \cos (315°)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin (315°)=\dfrac{–\sqrt{2}}{2}\)
- \(\cos \left(−\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, \sin \left(−\dfrac{π}{6}\right)=−\frac{1}{2} \)
Usando ângulos de referência para encontrar coordenadas
Agora que aprendemos como encontrar os valores de cosseno e seno para ângulos especiais no primeiro quadrante, podemos usar simetria e ângulos de referência para preencher os valores de cosseno e seno para o resto dos ângulos especiais no círculo unitário. Eles são mostrados na Figura\(\PageIndex{19}\). Reserve um tempo para aprender as\((x,y)\) coordenadas de todos os ângulos principais no primeiro quadrante.

Além de aprender os valores para ângulos especiais, podemos usar ângulos de referência para encontrar\((x,y)\) coordenadas de qualquer ponto no círculo unitário, usando o que sabemos sobre ângulos de referência junto com as identidades
\[\begin{align*} x &= \cos t \\ y & = \sin t \end{align*}\]
Primeiro, encontramos o ângulo de referência correspondente ao ângulo dado. Em seguida, pegamos os valores de seno e cosseno do ângulo de referência e damos a eles os sinais correspondentes aos\(x\) valores\(y\) - e -do quadrante.
Como fazer: Dado o ângulo de um ponto em um círculo e o raio do círculo, encontre o\((x,y)\) coordinates of the point
- Encontre o ângulo de referência medindo o menor ângulo em relação ao\(x\) eixo y.
- Encontre o cosseno e o seno do ângulo de referência.
- Determine os sinais apropriados para\(x\) e\(y\) no quadrante fornecido.
Exemplo\(\PageIndex{7}\): Using the Unit Circle to Find Coordinates
Encontre as coordenadas do ponto no círculo unitário em um ângulo de\(\dfrac{7π}{6}\).
Solução
Sabemos que o ângulo\(\dfrac{7π}{6}\) está no terceiro quadrante.
Primeiro, vamos encontrar o ângulo de referência medindo o ângulo em relação ao\(x\) eixo y. Para encontrar o ângulo de referência de um ângulo cujo lado terminal está no quadrante III, encontramos a diferença do ângulo\(π\) e.
\[\dfrac{7π}{6}−π=\dfrac{π}{6} \nonumber \]
A seguir, encontraremos o cosseno e o seno do ângulo de referência:
\[\cos \left( \dfrac{π}{6} \right) =\dfrac{3}{2} \;\; \sin \left(\dfrac{π}{6}\right)=\dfrac{1}{2} \nonumber \]
Devemos determinar os sinais apropriados para\(x\) e\(y\) no quadrante dado. Como nosso ângulo original está no terceiro quadrante, onde ambos\(x\) e\(y\) são negativos, tanto o cosseno quanto o seno são negativos.
\[\begin{align*} \cos \left(\dfrac{7π}{6}\right) &=−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \\ \sin \left(\dfrac{7π}{6}\right) & =−\dfrac{1}{2} \end{align*}\]
Agora podemos calcular as\((x,y)\) coordenadas usando as identidades\(x= \cos θ\)\(y= \sin θ\) e.
As coordenadas do ponto estão\(\left(−\dfrac{\sqrt{3}}{2},−\dfrac{1}{2}\right)\) no círculo unitário.
Experimente\(\PageIndex{7}\)
Encontre as coordenadas do ponto no círculo unitário em um ângulo de\(\dfrac{5π}{3}\).
- Resposta
-
\( \left( \dfrac{1}{2},−\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
mídia
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Equações-chave
Cosseno | \( \cos t=x\) |
Seno | \( \sin t=y\) |
Identidade pitagórica | \( \cos ^2 t+ \sin ^2 t=1\) |
Conceitos-chave
- Encontrar os valores da função para o seno e o cosseno começa com o desenho de um círculo unitário, que está centrado na origem e tem um raio de 1 unidade.
- Usando o círculo unitário, o seno de um ângulo\(t\) é igual ao\(y\) valor -do ponto final no círculo unitário de um arco de comprimento,\(t\) enquanto o cosseno de um ângulo\(t\) é igual ao\(x\) valor -do ponto final. Veja o exemplo.
- Os valores de seno e cosseno são determinados mais diretamente quando o ponto correspondente no círculo unitário cai em um eixo. Veja o exemplo.
- Quando o seno ou cosseno é conhecido, podemos usar a identidade pitagórica para encontrar o outro. A identidade pitagórica também é útil para determinar os senos e cossenos de ângulos especiais. Veja o exemplo.
- Calculadoras e softwares gráficos são úteis para encontrar senos e cossenos se o procedimento adequado para inserir informações for conhecido. Veja o exemplo.
- O domínio das funções seno e cosseno são todos números reais.
- O alcance das funções seno e cosseno é\([−1,1]\).
- O seno e o cosseno de um ângulo têm o mesmo valor absoluto que o seno e o cosseno de seu ângulo de referência.
- Os sinais do seno e do cosseno são determinados a partir\(y\) dos valores x e -no quadrante do ângulo original.
- O ângulo de referência de um ângulo é o ângulo de tamanho\(t\), formado pelo lado terminal do ângulo\(t\) e pelo eixo horizontal. Veja o exemplo.
- Os ângulos de referência podem ser usados para encontrar o seno e o cosseno do ângulo original. Veja o exemplo.
- Os ângulos de referência também podem ser usados para encontrar as coordenadas de um ponto em um círculo. Veja o exemplo.
Glossário
- função cosseno
- o\(x\) valor -do ponto em um círculo unitário correspondente a um determinado ângulo
- Identidade pitagórica
- um corolário do Teorema de Pitágoras afirmando que o quadrado do cosseno de um determinado ângulo mais o quadrado do seno desse ângulo é igual a 1
- função senoidal
- o\(y\) valor -do ponto em um círculo unitário correspondente a um determinado ângulo
- círculo unitário
- um círculo com um centro em\((0,0)\) e raio 1.