3.R: Funções polinomiais e racionais (revisão)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 189225

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

3.1 Números complexos

Execute a operação indicada com números complexos.

1)$(4+3 i)+(-2-5 i)$

Resposta: $2-2 i$

2)$(6-5 i)-(10+3 i)$

3)$(2-3 i)(3+6 i)$

Resposta: $24+3 i$

4)$\dfrac{2-i}{2+i}$

Resolva as seguintes equações no sistema numérico complexo.

5)$x^{2}-4 x+5=0$

Resposta: $\{2+i, 2-i\}$

6)$x^{2}+2 x+10=0$

3.2 Funções quadráticas

Para os exercícios 1-2, escreva a função quadrática na forma padrão. Em seguida, forneça as interceptações do vértice e dos eixos. Finalmente, represente graficamente a função.

1)$f(x)=x^{2}-4 x-5$

Resposta

$f(x)=(x-2)^{2}-9$vértice$(2,-9)$, intercepta$(5,0); (-1,0); (0,-5)$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_206.jpg$

2)$f(x)=-2 x^{2}-4 x$

Para os problemas 3-4, encontre a equação da função quadrática usando as informações fornecidas.

3) O vértice é$(-2,3)$ e um ponto no gráfico é$(3,6)$.

Resposta: $f(x)=\dfrac{3}{25}(x+2)^{2}+3$

4) O vértice é$(-3,6.5)$ e um ponto no gráfico é$(2,6)$.

Responda às seguintes perguntas.

5) Um terreno retangular deve ser cercado por cercas. Um lado fica ao longo de um rio e, portanto, não precisa de cerca. Se a vedação total disponível for de$600$ metros, determine as dimensões da parcela para ter a área máxima.

Resposta: $300$metros por$150$ metros, o lado mais longo paralelo ao rio.

6) Um objeto projetado do solo em um ângulo de$45$ grau com velocidade inicial de$120$ pés por segundo tem altura,$h$, em termos de distância horizontal percorrida$x$, dado por$h(x)=\dfrac{-32}{(120)^{2}} x^{2}+x$. Encontre a altura máxima que o objeto atinge.

3.3 Funções de potência e funções polinomiais

Para os exercícios 1-3, determine se a função é uma função polinomial e, em caso afirmativo, forneça o grau e o coeficiente inicial.

1)$f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}+2 x-1$

Resposta: Sim,$\text{degree} = 5$,$\text{leading coefficient} = 4$

2)$f(x)=5^{x+1}-x^{2}$

3)$f(x)=x^{2}\left(3-6 x+x^{2}\right)$

Resposta: Sim,$\text{degree} = 4$,$\text{leading coefficient} = 1$

Para os exercícios 4-6, determine o comportamento final da função polinomial.

4)$f(x)=2 x^{4}+3 x^{3}-5 x^{2}+7$

5)$f(x)=4 x^{3}-6 x^{2}+2$

Resposta: Como$x \rightarrow-\infty, f(x) \rightarrow-\infty $, como$x \rightarrow \infty, f(x) \rightarrow \infty$

6)$f(x)=2 x^{2}\left(1+3 x-x^{2}\right)$

3.4 Gráficos de funções polinomiais

Para os exercícios 1-3, encontre todos os zeros da função polinomial, observando as multiplicidades.

1)$f(x)=(x+3)^{2}(2 x-1)(x+1)^{3}$

Resposta: $-3$com multiplicidade$2$,$-\dfrac{1}{2}$ com multiplicidade$1$,$-1$ com multiplicidade$3$

2)$f(x)=x^{5}+4 x^{4}+4 x^{3}$

3)$f(x)=x^{3}-4 x^{2}+x-4$

Resposta: $4$com multiplicidade$1$

Para os exercícios 4-5, com base no gráfico fornecido, determine os zeros da função e observe a multiplicidade.

$CNX_Precalc_Figure_03_09_208.jpg$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_209.jpg$

Resposta: $\dfrac{1}{2}$com multiplicidade$1$,$3$ com multiplicidade$3$

6) Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que pelo menos um zero está entre$2$ e$3$ para a função$f(x)=x^{3}-5 x+1$

3.5 Dividindo polinômios

Para os exercícios 1-2, use a divisão longa para encontrar o quociente e o restante.

1)$\dfrac{x^{3}-2 x^{2}+4 x+4}{x-2}$

Resposta: $x^{2}+4$com o restante$12$

2)$\dfrac{3 x^{4}-4 x^{2}+4 x+8}{x+1}$

Para os exercícios 3-6, use a divisão sintética para encontrar o quociente. Se o divisor for um fator, escreva a forma fatorada.

3)$\dfrac{x^{2}-2 x^{2}+5 x-1}{x+3}$

Resposta: $x^{2}-5 x+20-\dfrac{61}{x+3}$

4)$\dfrac{x^{2}+4 x+10}{x-3}$

5)$\dfrac{2 x^{3}+6 x^{2}-11 x-12}{x+4}$

Resposta: $2 x^{2}-2x-3$, então a forma fatorada é$(x+4)\left(2 x^{2}-2x-3\right)$

6)$\dfrac{3 x^{4}+3 x^{3}+2 x+2}{x+1}$

3.6 Zeros de funções polinomiais

Para os exercícios 1-4, use o Teorema do Zero Racional para ajudá-lo a resolver a equação polinomial.

1)$2 x^{3}-3 x^{2}-18 x-8=0$

Resposta: $\left\{-2,4,-\dfrac{1}{2}\right\}$

2)$3x^{3}+11 x^{2}+8 x-4=0$

3)$2 x^{4}-17 x^{3}+46 x^{2}-43 x+12=0$

Resposta: $\left\{1,3,4, \dfrac{1}{2}\right\}$

4)$4 x^{4}+8 x^{3}+19 x^{2}+32 x+12=0$

Para os exercícios 5-6, use a Regra de Sinais de Descartes para encontrar o número possível de soluções positivas e negativas.

5)$x^{3}-3 x^{2}-2 x+4=0$

Resposta: $0$ou$2$ positivo,$1$ negativo

6)$2 x^{4}-x^{3}+4 x^{2}-5 x+1=0$

3.7 Funções racionais

Para as seguintes funções racionais 1-4, encontre as interceptações e as assíntotas verticais e horizontais e use-as para esboçar um gráfico.

1)$f(x)=\dfrac{x+2}{x-5}$

Resposta

Interceptos$(-2,0)$ e$\left(0,-\dfrac{2}{5}\right)$, Assíntotas$x=5$ e$y=1$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_210.jpg$

2)$f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-4}$

3)$f(x)=\dfrac{3 x^{2}-27}{x^{2}-9}$

Resposta

Interceptações$(3,0),(-3,0)$ e$\left(0, \dfrac{27}{2}\right)$ assíntotas$x=1, x=-2, y=3$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_212.jpg$

4)$f(x)=\dfrac{x+2}{x^{2}-9}$

Para os exercícios 5-6, encontre a assíntota inclinada.

5)$f(x)=\dfrac{x^{2}-1}{x+2}$

Resposta: $y=x-2$

6)$f(x)=\dfrac{2 x^{3}-x^{2}+4}{x^{2}+1}$

3.8 Funções inversas e radicais

Para os exercícios 1-6, encontre o inverso da função com o domínio dado.

1)$f(x)=(x-2)^{2}, x \geq 2$

Resposta: $f^{-1}(x)=\sqrt{x}+2$

2)$f(x)=(x+4)^{2}-3, x \geq-4$

3)$f(x)=x^{2}+6 x-2, x \geq-3$

Resposta: $f^{-1}(x)=\sqrt{x+11}-3$

4)$f(x)=2 x^{3}-3$

5)$f(x)=\sqrt{4 x+5}-3$

Resposta: $f^{-1}(x)=\dfrac{(x+3)^{2}-5}{4}, x \geq-3$

6)$f(x)=\dfrac{x-3}{2 x+1}$

3.9 Modelagem usando variação

Para os exercícios 1-4, encontre o valor desconhecido.

1)$y$ varia diretamente como o quadrado de$x$. Se for quando$x=3, y=36$, descubra$y$ se$x=4$.

Resposta: $y=64$

2)$y$ varia inversamente como a raiz quadrada de$x$. Se for quando$x=25, y=2$, descubra$y$ se$x=4$.

3)$y$ varia em conjunto como o cubo de$x$ e como$z$. Se quando$x=1$ e$z=2, y=6$, descubra$y$ se$x=2$$z=3$ e.

Resposta: $y=72$

4)$y$ varia em conjunto como$x$ e o quadrado de$z$ e inversamente como o cubo de$w$. Se$x=3, z=4$, quando, e$w=2, y=48$, descubra$y$ se$x=4, z=5$,$w=3$ e.

Para os exercícios 5-6, resolva o problema de aplicação.

5) O peso de um objeto acima da superfície da terra varia inversamente com a distância do centro da terra. Se uma pessoa pesa$150$ libras quando estiver na superfície da terra ($3,960$milhas do centro), determine o peso da pessoa se ela estiver$20$ milhas acima da superfície.

Resposta: $148.5$libras

6) O volume$V$ de um gás ideal varia diretamente com a temperatura$T$ e inversamente com a pressão$P$. Um cilindro contém oxigênio a uma temperatura de$310$ graus K e uma pressão de$18$ atmosferas em um volume de$120$ litros. Encontre a pressão se o volume diminuir para$100$ litros e a temperatura aumentar para$320$ graus K.

Teste prático

Execute a operação indicada ou resolva a equação.

1)$(3-4 i)(4+2 i)$

Resposta: $20-10 i$

2)$\dfrac{1-4 i}{3+4 i}$

3)$x^{2}-4 x+13=0$

Resposta: $\{2+3 i, 2-3 i\}$

4) Forneça o grau e o coeficiente principal da seguinte função polinomial. \[f(x)=x^{3}\left(3-6 x^{2}-2 x^{2}\right) \nonumber \]

Determine o comportamento final da função polinomial.

5)$f(x)=8 x^{3}-3 x^{2}+2 x-4$

Resposta: Como$x \rightarrow-\infty, f(x) \rightarrow-\infty$, como$x \rightarrow \infty, f(x) \rightarrow \infty$

6)$f(x)=-2 x^{2}\left(4-3 x-5 x^{2}\right)$

7) Escreva a função quadrática na forma padrão. Determine as interceptações de vértices e eixos e represente graficamente a função. \[f(x)=x^{2}+2 x-8 \nonumber \]

Resposta

$f(x)=(x+1)^{2}-9,$$(-1,-9),$interceptações de vértice$(2,0); (-4,0); (0,-8)$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_214.jpg$

8) Dada a informação sobre o gráfico de uma função quadrática, encontre sua equação: Vértice$(2,0)$ e ponto no gráfico$(4,12)$

Resolva o seguinte problema de aplicação.

9) Um campo retangular deve ser cercado por cercas. Além da cerca envolvente, outra cerca é dividir o campo em duas partes, paralelas aos dois lados. Se$1,200$ pés de vedação estiverem disponíveis, encontre a área máxima que pode ser fechada.

Resposta: $60,000$pés quadrados

Encontre todos os zeros das seguintes funções polinomiais, observando as multiplicidades.

10)$f(x)=(x-3)^{3}(3 x-1)(x-1)^{2}$

11)$f(x)=2 x^{6}-12 x^{5}+18 x^{4}$

Resposta: $0$com multiplicidade$4$,$3$ com multiplicidade$2$

12) Com base no gráfico, determine os zeros da função e as multiplicidades.

$CNX_Precalc_Figure_03_09_215.jpg$

13) Use a divisão longa para encontrar o quociente:\[\dfrac{2 x^{2}+3 x-4}{x+2} \nonumber \]

Resposta: $2 x^{2}-4 x+11-\dfrac{26}{x+2}$

Use a divisão sintética para encontrar o quociente. Se o divisor for um fator, escreva a forma fatorada.

14)$\dfrac{x^{4}+3 x^{2}-4}{x-2}$

15)$\dfrac{2 x^{3}+5 x^{2}-7 x-12}{x+3}$

Resposta: $2 x^{2}-x-4$. Então, a forma fatorada é$(x+3)\left(2 x^{2}-x-4\right)$

Use o Teorema do Zero Racional para ajudá-lo a encontrar os zeros das funções polinomiais.

16)$f(x)=2 x^{3}+5 x^{2}-6 x-9$

17)$f(x)=4 x^{4}+8 x^{3}+21 x^{2}+17 x+4$

Resposta: $-\dfrac{1}{2}$(tem multiplicidade$2$),$\dfrac{-1+i \sqrt{15}}{2}$

18)$f(x)=4 x^{4}+16 x^{3}+13 x^{2}-15 x-18$

19)$f(x)=x^{5}+6 x^{4}+13 x^{3}+14 x^{2}+12 x+8$

Resposta: $-2$(tem multiplicidade$3$),$\pm i$

Dadas as seguintes informações sobre uma função polinomial, encontre a função.

20) Tem um zero duplo em$x=3$ e zeros em$x=1$$x=-2$ e. Sua$y$ interceptação é$(0,12)$.

21) Tem um zero de multiplicidade$3$ em$x=\dfrac{1}{2}$ e outro zero em$x=-3$. Ele contém o ponto$(1,8)$.

Resposta: $f(x)=2(2 x-1)^{3}(x+3)$

22) Use a Regra de Sinais de Descartes para determinar o número possível de soluções positivas e negativas. \[8 x^{3}-21 x^{2}+6=0 \nonumber \]

Para as seguintes funções racionais, encontre as interceptações e as assíntotas horizontais e verticais e desenhe um gráfico.

23)$f(x)=\dfrac{x+4}{x^{2}-2 x-3}$

Resposta

Interceptações$(-4,0)$$\left(0,-\dfrac{4}{3}\right)$, assíntotas$x=3, x=-1, y=0$

$CNX_Precalc_Figure_03_09_216.jpg$

24)$f(x)=\dfrac{x^{2}+2 x-3}{x^{2}-4}$

25) Encontre a assíntota inclinada da função racional. \[f(x)=\dfrac{x^{2}+3 x-3}{x-1} \nonumber \]

Resposta: $y=x+4$

Encontre o inverso da função.

26)$f(x)=\sqrt{x-2}+4$

27)$f(x)=3 x^{3}-4$

Resposta: $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{\dfrac{x+4}{3}}$

28)$f(x)=\dfrac{2 x+3}{3 x-1}$

Encontre o valor desconhecido.

29)$y$ varia inversamente como o quadrado de$x$ e quando$x=3, y=2$. Descubra$y$ se$x=1$.

Resposta: $y=18$

30)$y$ varia em conjunto com$x$ e com a raiz cúbica de$z$. Se quando$x=27, y=12$, descubra$y$ se$x=5$$z=8$ e.

Resolva o seguinte problema de aplicação.

31) A distância que um corpo cai varia diretamente com o quadrado do tempo em que ele cai. Se um objeto$64$ cair em$2$ segundos, quanto tempo demorará para$256$ cair?

Resposta: $4$segundos