21.1: O uso da matemática nos princípios da economia
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(Este apêndice deve ser consultado após a primeira leitura Bem-vindo à Economia! ) Economia não é matemática. Não há nenhum conceito importante neste curso que não possa ser explicado sem matemática. Dito isso, a matemática é uma ferramenta que pode ser usada para ilustrar conceitos econômicos. Lembra do ditado que diz que uma imagem vale mais que mil palavras? Em vez de uma imagem, pense em um gráfico. É a mesma coisa. Economistas usam modelos como a principal ferramenta para obter insights sobre questões e problemas econômicos. A matemática é uma forma de trabalhar com (ou manipular) modelos econômicos.
Existem outras formas de representar modelos, como texto ou narrativa. Mas por que você usaria seu punho para bater um prego, se você tivesse um martelo? A matemática tem certas vantagens sobre o texto. Ele disciplina seu pensamento fazendo com que você especifique exatamente o que quer dizer. Você pode se safar com o pensamento confuso na cabeça, mas não pode quando reduz um modelo a equações algébricas. Ao mesmo tempo, a matemática também tem desvantagens. Os modelos matemáticos são necessariamente baseados em suposições simplificadoras, portanto, não é provável que sejam perfeitamente realistas. Os modelos matemáticos também carecem das nuances que podem ser encontradas nos modelos narrativos. A questão é que a matemática é uma ferramenta, mas não é a única ferramenta ou mesmo sempre a melhor ferramenta que os economistas podem usar. Então, qual matemática você precisará para este livro? A resposta é: pouco mais do que álgebra e gráficos do ensino médio. Você precisará saber:
- O que é uma função
- Como interpretar a equação de uma reta (ou seja, inclinação e interceptação)
- Como manipular uma linha (ou seja, alterar a inclinação ou a interceptação)
- Como calcular e interpretar uma taxa de crescimento (ou seja, variação percentual)
- Como ler e manipular um gráfico
Neste texto, usaremos a matemática mais fácil possível e a apresentaremos neste apêndice. Portanto, se você encontrar alguma matemática no livro que não consegue acompanhar, volte a este apêndice para revisar. Como a maioria das coisas, a matemática tem retornos decrescentes. Um pouco de habilidade matemática ajuda muito; quanto mais matemática avançada você trouxer, menos conhecimento adicional você obterá. Dito isso, se você vai se formar em economia, considere aprender um pouco de cálculo. Valerá a pena em termos de ajudá-lo a aprender economia avançada mais rapidamente.
Modelos algébricos
Freqüentemente, modelos econômicos (ou partes de modelos) são expressos em termos de funções matemáticas. O que é uma função? Uma função descreve um relacionamento. Às vezes, o relacionamento é uma definição. Por exemplo (usando palavras), seu professor é Adam Smith. Isso pode ser expresso como Professor = Adam Smith. Ou amigos = Bob + Shawn + Margaret.
Muitas vezes, em economia, as funções descrevem causa e efeito. A variável no lado esquerdo é o que está sendo explicado (“o efeito”). No lado direito está o que está explicando (“as causas”). Por exemplo, suponha que seu GPA tenha sido determinado da seguinte forma:
\ [
\ mathrm {GPA} =0,25\ times\ texto {Combined_SAT} +0,25\ times\ text {class_attendance} +0,50\ times\ text {horas_gasto_estudando}
\]
Essa equação afirma que seu GPA depende de três coisas: sua pontuação combinada no SAT, sua frequência às aulas e o número de horas que você passa estudando. Também diz que o tempo de estudo é duas vezes mais importante (0,50) do que a pontuação Combined_SAT (0,25) ou a frequência à aula (0,25). Se esse relacionamento for verdadeiro, como você poderia aumentar seu GPA? Ao não faltar às aulas e estudar mais. Observe que você não pode fazer nada sobre sua pontuação no SAT, pois se você está na faculdade, você (presumivelmente) já fez o SATs.
É claro que os modelos econômicos expressam relacionamentos usando variáveis econômicas, como Budget = money_spent_on_econ_books + money_spent_on_music, assumindo que as únicas coisas que você compra são livros de economia e música.
A maioria dos relacionamentos que usamos neste curso são expressos como equações lineares da forma:
\ [
\ mathrm {y} =\ mathrm {b} +\ mathrm {mx}
\]
Expressando equações graficamente
Os gráficos são úteis para duas finalidades. A primeira é expressar equações visualmente e a segunda é exibir estatísticas ou dados. Esta seção discutirá a expressão visual de equações.
Para um matemático ou economista, uma variável é o nome dado a uma quantidade que pode assumir uma variedade de valores. Na equação de uma linha apresentada acima, x e y são as variáveis, com x no eixo horizontal e y no eixo vertical, e b e m representando fatores que determinam a forma da linha. Para ver como essa equação funciona, considere um exemplo numérico:
\ [
y=9+3 x
\]
Nesta equação para uma linha específica, o termo b foi definido como igual a 9 e o termo m foi definido como igual a 3. A tabela\(\PageIndex{A1}\) mostra os valores de x e y para essa equação dada. A figura\(\PageIndex{A1}\) mostra essa equação e esses valores em um gráfico. Para construir a tabela, basta inserir uma série de valores diferentes para x e, em seguida, calcular qual valor de y resulta. Na figura, esses pontos são traçados e uma linha é traçada através deles.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 9 |
| 1 | 12 |
| 2 | 15 |
| 3 | 18 |
| 4 | 21 |
| 5 | 24 |
| 6 | 27 |
\(\PageIndex{A1}\)Valores da tabela para a equação de interceptação de inclinação
Figura\(\PageIndex{A1}\) Inclinação e álgebra de linhas retas Este gráfico de linhas tem x no eixo horizontal e y no eixo vertical. O intercepto y, ou seja, o ponto em que a linha cruza o eixo y—é 9. A inclinação da linha é 3; ou seja, há um aumento de 3 no eixo vertical para cada aumento de 1 no eixo horizontal. A inclinação é a mesma ao longo de uma linha reta
Este exemplo ilustra como os termos b e m em uma equação para uma linha reta determinam a forma da linha. O termo b é chamado de intercepto y. A razão para esse nome é que, se x = 0, o termo b revelará onde a linha intercepta ou cruza o eixo y. Neste exemplo, a linha atinge o eixo vertical em 9. O termo m na equação da reta é a inclinação. Lembre-se de que a inclinação é definida como elevação sobre corrida; mais especificamente, a inclinação de uma linha de um ponto para outro é a mudança no eixo vertical dividida pela mudança no eixo horizontal. Neste exemplo, cada vez que o termo x aumenta em um (a sequência), o termo y aumenta em três. Assim, a inclinação dessa linha é três. Especificar um intercepto y e uma inclinação, ou seja, especificar b e m na equação de uma linha, identificará uma linha específica. Embora seja raro que pontos de dados do mundo real se organizem como uma linha reta exata, muitas vezes acontece que uma linha reta pode oferecer uma aproximação razoável dos dados reais.
Interpretando a inclinação
O conceito de inclinação é muito útil em economia, pois mede a relação entre duas variáveis. Uma inclinação positiva significa que duas variáveis estão positivamente relacionadas; ou seja, quando x aumenta, y também diminui, y também diminui. Graficamente, uma inclinação positiva significa que, à medida que uma linha no gráfico de linhas se move da esquerda para a direita, a linha aumenta. A relação comprimento-peso, mostrada na Figura\(\PageIndex{A3}\) mais adiante neste Apêndice, tem uma inclinação positiva. Aprenderemos em outros capítulos que o preço e a quantidade fornecida têm uma relação positiva; ou seja, as empresas fornecerão mais quando o preço for mais alto.
Uma inclinação negativa significa que duas variáveis estão relacionadas negativamente; ou seja, quando x aumenta, y diminui, ou quando x diminui, y aumenta. Graficamente, uma inclinação negativa significa que, à medida que a linha no gráfico de linhas se move da esquerda para a direita, a linha cai. A relação altitude-densidade do ar, mostrada na Figura\(\PageIndex{A4}\) mais adiante neste apêndice, tem uma inclinação negativa. Aprenderemos que o preço e a quantidade exigida têm uma relação negativa; ou seja, os consumidores comprarão menos quando o preço for mais alto.
Uma inclinação de zero significa que não há relação entre x e y. Graficamente, a linha é plana; ou seja, aumento zero ao longo da corrida. A figura\(\PageIndex{A5}\) da taxa de desemprego, mostrada posteriormente neste apêndice, ilustra um padrão comum de muitos gráficos de linha: alguns segmentos em que a inclinação é positiva, outros segmentos em que a inclinação é negativa e ainda outros segmentos em que a inclinação é próxima de zero.
A inclinação de uma linha reta entre dois pontos pode ser calculada em termos numéricos. Para calcular a inclinação, comece designando um ponto como o “ponto inicial” e o outro como o “ponto final” e, em seguida, calculando o aumento da corrida entre esses dois pontos. Como exemplo, considere a inclinação do gráfico de densidade do ar entre os pontos que representam uma altitude de 4.000 metros e uma altitude de 6.000 metros:
Aumento: mudança na variável no eixo vertical (ponto final menos ponto original)
\ [
\ begin {alinhado}
&=0,100-0,307\\
&=-0,207
\ end {alinhado}
\]
Execução: mudança na variável no eixo horizontal (ponto final menos ponto original)
\ [
\ begin {alinhado}
&=6.000-4.000\\
&=2.000
\ end {alinhado}
\]
Assim, a inclinação de uma linha reta entre esses dois pontos seria que, da altitude de 4.000 metros até 6.000 metros, a densidade do ar diminuiria em aproximadamente 0,1 quilo/metro cúbico para cada um dos próximos 1.000 metros.
Suponha que a inclinação de uma linha aumente. Graficamente, isso significa que ficaria mais íngreme. Suponha que a inclinação de uma linha diminua. Então ficaria mais plano. Essas condições são verdadeiras, independentemente de a inclinação ter sido positiva ou negativa para começar. Uma inclinação positiva mais alta significa uma inclinação ascendente mais acentuada em relação à linha, enquanto uma inclinação positiva menor significa uma inclinação ascendente mais plana em relação à linha. Uma inclinação negativa que é maior em valor absoluto (ou seja, mais negativa) significa uma inclinação descendente mais acentuada em relação à linha. Uma inclinação de zero é uma linha plana horizontal. Uma linha vertical tem uma inclinação infinita.
Suponha que uma linha tenha uma interceptação maior. Graficamente, isso significa que ele sairia (ou aumentaria) da origem antiga, paralelamente à linha antiga. Se uma linha tiver uma interceptação menor, ela se deslocará para dentro (ou para baixo), paralelamente à linha antiga.
Resolvendo modelos com álgebra
Economistas costumam usar modelos para responder a uma pergunta específica, como: Qual será a taxa de desemprego se a economia crescer 3% ao ano? Responder a perguntas específicas requer a resolução do “sistema” de equações que representam o modelo.
Suponha que a demanda por pizzas pessoais seja dada pela seguinte equação:
\ [
\ mathrm {Qd} =16-2\ mathrm {P}
\]
onde Qd é a quantidade de pizzas pessoais que os consumidores querem comprar (ou seja, a quantidade exigida) e P é o preço das pizzas. Suponha que o suprimento de pizzas pessoais seja:
\ [
\ mathrm {Qs} =2+5\ mathrm {P}
\]
onde Qs é a quantidade que os produtores de pizza fornecerão (ou seja, quantidade fornecida).
Finalmente, suponha que o mercado pessoal de pizza opere onde a oferta é igual à demanda, ou
\ [
\ mathrm {Qd} =\ mathrm {Qs}
\]
Agora temos um sistema de três equações e três incógnitas (Qd, Qs e P), que podemos resolver com álgebra:
Como Qd = Qs, podemos definir a equação de demanda e oferta iguais uma à outra:
\ [
\ begin {alinhado}
\ mathrm {Qd} &=\ mathrm {Qs}\\
16-2\ mathrm {P} &=2+5\ mathrm {P}
\ end {alinhado}
\]
Subtrair 2 de ambos os lados e adicionar 2P em ambos os lados produz:
\ [
\ begin {alinhado}
16-2\ mathrm {P} -2 &=2+5\ mathrm {P} -2\\
14-2\ mathrm {P} &=5\ mathrm {P}\\
14-2\ mathrm {P} +2\ mathrm {P} &=5\ mathrm {P} +2\ mathrm {P}\\
14 =7\ mathrm {P}\\
\ frac {14} {7} &=\ frac {7\ mathrm {P}} {7}\\
2 &=\ mathrm {P}
\ end {alinhado}
\]
Em outras palavras, o preço de cada pizza pessoal será de $2. Quanto os consumidores comprarão?
Pegando o preço de $2 e inserindo-o na equação da demanda, obtemos:
\ [
\ begin {alinhado}
\ mathrm {Qd} &=16-2\ mathrm {P}\\
&=16-2 (2)\\
&=16-4\\
&=12
\ end {alinhado}
\]
Portanto, se o preço for de $2 cada, os consumidores comprarão 12. Quanto os produtores fornecerão? Pegando o preço de $2 e inserindo-o na equação de fornecimento, obtemos:
\ [
\ begin {alinhado}
\ mathrm {Qs} &=2+5\ mathrm {P}\\
&=2+5 (2)\\
&=2+10\\
&=12
\ end {alinhado}
\]
Portanto, se o preço for de $2 cada, os produtores fornecerão 12 pizzas pessoais. Isso significa que fizemos nossas contas corretamente, já que Qd = Qs.
Resolvendo modelos com gráficos
Se a álgebra não é seu forte, você pode obter a mesma resposta usando gráficos. Pegue as equações para Qd e Qs e represente-as graficamente no mesmo conjunto de eixos, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{A2}\). Como P está no eixo vertical, é mais fácil resolver cada equação para P. A curva de demanda é então P = 8 — 0,5Qd e a curva de oferta é P = —0,4 + 0,2Qs. Observe que as interceptações verticais são 8 e —0,4, e as inclinações são —0,5 para demanda e 0,2 para oferta. Se você desenhar os gráficos com cuidado, verá que onde eles se cruzam (Qs = Qd), o preço é $2 e a quantidade é 12, assim como a álgebra previu.
Figura Gráfico\(\PageIndex{A2}\) de oferta e demanda As equações para Qd e Qs são exibidas graficamente pelas linhas inclinadas.
Usaremos gráficos com mais frequência neste livro do que álgebra, mas agora você conhece a matemática por trás dos gráficos.
Taxas de crescimento
As taxas de crescimento são frequentemente encontradas na economia do mundo real. Uma taxa de crescimento é simplesmente a variação percentual em alguma quantidade. Pode ser sua renda. Podem ser as vendas de uma empresa. Pode ser o PIB de uma nação. A fórmula para calcular uma taxa de crescimento é simples:
\ [
\ text {Alteração percentual} =\ dfrac {\ text {Mudança na quantidade}} {\ text {Quantidade}}
\]
Suponha que seu trabalho pague $10 por hora. Seu chefe, no entanto, está tão impressionado com seu trabalho que lhe dá um aumento de $2 por hora. A variação percentual (ou taxa de crescimento) em seu pagamento é de $2/$10 = 0,20 ou 20%.
Para calcular a taxa de crescimento dos dados durante um longo período de tempo, por exemplo, o crescimento médio anual do PIB em uma década ou mais, o denominador geralmente é definido de forma um pouco diferente. No exemplo anterior, definimos a quantidade como a quantidade inicial — ou a quantidade quando começamos. Isso é bom para um cálculo único, mas quando calculamos o crescimento repetidamente, faz mais sentido definir a quantidade como a quantidade média durante o período em questão, que é definida como a quantidade a meio caminho entre a quantidade inicial e a próxima quantidade. Isso é mais difícil de explicar em palavras do que mostrar com um exemplo. Suponha que o PIB de uma nação fosse de $1 trilhão em 2005 e $1,03 trilhão em 2006. A taxa de crescimento entre 2005 e 2006 seria a mudança no PIB ($1,03 trilhão - $1,00 trilhão) dividida pelo PIB médio entre 2005 e 2006 ($1,03 trilhão + $1,00 trilhão) /2. Em outras palavras:
\ [
\ begin {alinhado}
&=\ dfrac {\ $1.03\ text {trilhão} -\ $1.00\ text {trilhão}} {(\ $1.03\ text {trilhão} +\ $1.00\ text {trilhão})/2}\\
&=\ dfrac {0,03} {1.015}\\
&=0,0296\\
&=2,96\%\ text {crescimento}
\ end {alinhado}
\]
Observe que, se usássemos o primeiro método, o cálculo seria ($1,03 trilhão — $1,00 trilhão)/$1,00 trilhão = crescimento de 3%, que é aproximadamente o mesmo do segundo método, mais complicado. Se você precisar de uma aproximação aproximada, use o primeiro método. Se você precisar de precisão, use o segundo método.
Algumas coisas para lembrar: uma taxa de crescimento positiva significa que a quantidade está crescendo. Uma taxa de crescimento menor significa que a quantidade está crescendo mais lentamente. Uma taxa de crescimento maior significa que a quantidade está crescendo mais rapidamente. Uma taxa de crescimento negativa significa que a quantidade está diminuindo.
A mesma mudança ao longo do tempo produz uma taxa de crescimento menor. Se você obtivesse um aumento de $2 a cada ano, no primeiro ano a taxa de crescimento seria de $2/$10 = 20%, conforme mostrado acima. Mas no segundo ano, a taxa de crescimento seria de $2/$12 = 0,167 ou 16,7% de crescimento. No terceiro ano, o mesmo aumento de $2 corresponderia a $2/$14 = 14,2%. A moral da história é a seguinte: para manter a mesma taxa de crescimento, a mudança deve aumentar a cada período.
Exibindo dados graficamente e interpretando o gráfico
Os gráficos também são usados para exibir dados ou evidências. Os gráficos são um método de apresentação de padrões numéricos. Eles condensam informações numéricas detalhadas em uma forma visual na qual relacionamentos e padrões numéricos podem ser vistos com mais facilidade. Por exemplo, quais países têm populações maiores ou menores? Um leitor cuidadoso poderia examinar uma longa lista de números representando as populações de muitos países, mas com mais de 200 nações no mundo, pesquisar essa lista exigiria concentração e tempo. Colocar esses mesmos números em um gráfico pode revelar rapidamente os padrões populacionais. Economistas usam gráficos para uma apresentação compacta e legível de grupos de números e para construir uma compreensão intuitiva de relacionamentos e conexões.
Três tipos de gráficos são usados neste livro: gráficos de linha, gráficos tipo pizza e gráficos de barras. Cada um deles é discutido abaixo. Também fornecemos avisos sobre como os gráficos podem ser manipulados para alterar as percepções dos espectadores sobre as relações nos dados.
Gráficos de linha
Os gráficos que discutimos até agora são chamados de gráficos de linha, porque mostram uma relação entre duas variáveis: uma medida no eixo horizontal e a outra medida no eixo vertical.
Às vezes, é útil mostrar mais de um conjunto de dados nos mesmos eixos. Os dados da Tabela\(\PageIndex{A2}\) são exibidos na Figura\(\PageIndex{A3}\), que mostra a relação entre duas variáveis: comprimento e peso mediano para meninos e meninas americanos durante os primeiros três anos de vida. (A mediana significa que metade de todos os bebês pesa mais do que isso e metade pesa menos.) O gráfico de linhas mede o comprimento em polegadas no eixo horizontal e o peso em libras no eixo vertical. Por exemplo, o ponto A na figura mostra que um menino com 28 polegadas de comprimento terá um peso médio de cerca de 19 libras. Uma linha no gráfico mostra a relação peso-comprimento para meninos e a outra linha mostra a relação para meninas. Esse tipo de gráfico é amplamente usado por profissionais de saúde para verificar se o desenvolvimento físico de uma criança está aproximadamente no caminho certo.
Figura\(\PageIndex{A3}\) A relação comprimento-peso para meninos e meninas americanos O gráfico de linhas mostra a relação entre altura e peso para meninos e meninas desde o nascimento até 3 anos. O ponto A, por exemplo, mostra que um menino de 28 polegadas de altura (medido no eixo horizontal) normalmente tem 19 libras de peso (medido no eixo vertical). Esses dados se aplicam apenas a crianças nos primeiros três anos de vida.
| Meninos desde o nascimento até 36 meses | Meninas desde o nascimento até 36 meses | ||
|---|---|---|---|
| Comprimento (polegadas) | Peso (libras) | Comprimento (polegadas) | Peso (libras) |
| 20,0 | 8.0 | 20,0 | 7.9 |
| 22,0 | 10,5 | 22,0 | 10,5 |
| 24,0 | 13,5 | 24,0 | 13.2 |
| 26,0 | 16.4 | 26,0 | 16,0 |
| 28,0 | 19,0 | 28,0 | 18,8 |
| 30,0 | 21,8 | 30,0 | 21.2 |
| 32,0 | 24,3 | 32,0 | 24,0 |
| 34,0 | 27,0 | 34,0 | 26.2 |
| 36,0 | 29,3 | 36,0 | 28,9 |
| 38,0 | 32,0 | 38,0 | 31.3 |
Relação entre\(\PageIndex{A2}\) comprimento e peso da tabela para meninos e meninas americanos
Nem todas as relações em economia são lineares. Às vezes, são curvas. \(\PageIndex{A4}\)A Figura apresenta outro exemplo de gráfico de linhas, representando os dados da Tabela\(\PageIndex{A3}\). Nesse caso, o gráfico de linhas mostra o quão fino o ar fica quando você escala uma montanha. O eixo horizontal da figura mostra a altitude, medida em metros acima do nível do mar. O eixo vertical mede a densidade do ar em cada altitude. A densidade do ar é medida pelo peso do ar em um metro cúbico de espaço (ou seja, uma caixa medindo um metro de altura, largura e profundidade). Como mostra o gráfico, a pressão do ar é mais forte no nível do solo e fica mais leve à medida que você sobe. \(\PageIndex{A4}\)A figura mostra que um metro cúbico de ar a uma altitude de 500 metros pesa aproximadamente um quilograma (cerca de 2,2 libras). No entanto, à medida que a altitude aumenta, a densidade do ar diminui. Um metro cúbico de ar no topo do Monte Everest, com cerca de 8.828 metros, pesaria apenas 0,023 kg. O ar rarefeito em grandes altitudes explica por que muitos alpinistas precisam usar tanques de oxigênio ao chegarem ao topo de uma montanha.
Figura Relação\(\PageIndex{A4}\) Altitude-Densidade do Ar Este gráfico de linha mostra a relação entre altitude, medida em metros acima do nível do mar, e densidade do ar, medida em quilogramas de ar por metro cúbico. Conforme a altitude aumenta, a densidade do ar diminui. O ponto no topo do Monte Everest tem uma altitude de aproximadamente 8.828 metros acima do nível do mar (o eixo horizontal) e densidade do ar de 0,023 kg por metro cúbico (o eixo vertical).
| Altitude (metros) | Densidade do ar (kg/metros cúbicos) |
|---|---|
| 0 | 1.200 |
| 500 | 1.093 |
| 1.000 | 0,831 |
| 1.500 | 0,678 |
| 2.000 | 0,569 |
| 2.500 | 0,484 |
| 3.000 | 0,415 |
| 3.500 | 0,357 |
| 4.000 | 0,307 |
| 4.500 | 0,231 |
| 5.000 | 0,182 |
| 5.500 | 0,142 |
| 6.000 | 0,100 |
| 6.500 | 0,085 |
| 7.000 | 0,066 |
| 7.500 | 0,051 |
| 8.000 | 0,041 |
| 8.500 | 0,025 |
| 9.000 | 0,022 |
| 9.500 | 0,019 |
| 10.000 | 0,014 |
Relação entre\(\PageIndex{A3}\) altitude e densidade do ar da tabela
A relação comprimento-peso e as relações altitude-densidade do ar nessas duas figuras representam médias. Se você coletar dados reais sobre a pressão do ar em diferentes altitudes, a mesma altitude em diferentes localizações geográficas terá uma densidade de ar ligeiramente diferente, dependendo de fatores como a distância que você está do equador, as condições climáticas locais e a umidade do ar. Da mesma forma, ao medir a altura e o peso das crianças para o gráfico de linha anterior, crianças de uma determinada altura teriam uma variedade de pesos diferentes, alguns acima da média e outros abaixo. No mundo real, esse tipo de variação nos dados é comum. A tarefa de um pesquisador é organizar esses dados de uma forma que ajude a entender padrões típicos. O estudo de estatísticas, especialmente quando combinado com estatísticas de computador e programas de planilhas, é uma grande ajuda na organização desse tipo de dados, traçar gráficos de linhas e procurar relacionamentos subjacentes típicos. Para a maioria dos cursos de economia e ciências sociais, um curso de estatística será necessário em algum momento.
Um gráfico de linha comum é chamado de série temporal, em que o eixo horizontal mostra o tempo e o eixo vertical exibe outra variável. Assim, um gráfico de séries temporais mostra como uma variável muda ao longo do tempo. A figura\(\PageIndex{A5}\) mostra a taxa de desemprego nos Estados Unidos desde 1975, onde o desemprego é definido como a porcentagem de adultos que querem emprego e estão procurando emprego, mas não conseguem encontrar um. Os pontos da taxa de desemprego em cada ano são plotados no gráfico, e uma linha então conecta os pontos, mostrando como a taxa de desemprego subiu e desceu desde 1975. O gráfico de linhas torna fácil ver, por exemplo, que a maior taxa de desemprego durante esse período foi um pouco menos de 10% no início dos anos 1980 e 2010, enquanto a taxa de desemprego diminuiu do início dos anos 1990 até o final da década de 1990, antes de subir e depois cair no início dos anos 2000, e depois aumentando acentuadamente durante a recessão de 2008-2009.
Figura Taxa de desemprego\(\PageIndex{A5}\) nos EUA, 1975—2014 Este gráfico fornece um rápido resumo visual dos dados de desemprego. Com um gráfico como esse, é fácil identificar os tempos de alto desemprego e baixo desemprego.
Gráficos de pizza
Um gráfico circular (às vezes chamado de gráfico circular) é usado para mostrar como um total geral é dividido em partes. Um círculo representa um grupo como um todo. As fatias dessa “torta” circular mostram os tamanhos relativos dos subgrupos.
A figura\(\PageIndex{A6}\) mostra como a população dos EUA foi dividida entre crianças, adultos em idade ativa e idosos em 1970, 2000 e o que é projetado para 2030. As informações são transmitidas primeiro com números na Tabela\(\PageIndex{A4}\) e depois em três gráficos circulares. A primeira coluna da Tabela\(\PageIndex{A4}\) mostra a população total dos EUA em cada um dos três anos. As colunas 2—4 categorizam o total em termos de faixas etárias—do nascimento aos 18 anos, dos 19 aos 64 anos e 65 anos ou mais. Nas colunas 2—4, o primeiro número mostra o número real de pessoas em cada faixa etária, enquanto o número entre parênteses mostra a porcentagem da população total composta por essa faixa etária.
| Ano | População total | 19 e abaixo | 20—64 anos | Mais de 65 |
|---|---|---|---|---|
| 1970 | 205,0 milhões | 77,2 (37,6%) | 107,7 (52,5%) | 20,1 (9,8%) |
| 2000 | 275,4 milhões | 78,4 (28,5%) | 162,2 (58,9%) | 34,8 (12,6%) |
| 2030 | 351,1 milhões | 92,6 (26,4%) | 18,2 (53,6%) | 70,3 (20,0%) |
Tabela Distribuição etária\(\PageIndex{A4}\) dos EUA, 1970, 2000 e 2030 (projetada)
Figura\(\PageIndex{A6}\) Gráficos da distribuição etária dos EUA (números em milhões) Os três gráficos circulares ilustram a divisão da população total em três faixas etárias para os três anos diferentes.
Em um gráfico circular, cada fatia da pizza representa uma parcela do total ou uma porcentagem. Por exemplo, 50% seria metade da torta e 20% seria um quinto da torta. Os três gráficos circulares na Figura\(\PageIndex{A6}\) mostram que a parcela da população dos EUA com 65 anos ou mais está crescendo. Os gráficos circulares permitem que você tenha uma ideia do tamanho relativo das diferentes faixas etárias de 1970 a 2000 a 2030, sem exigir que você analise os números e porcentagens específicos da tabela. Alguns exemplos comuns de como os gráficos circulares são usados incluem dividir a população em grupos por idade, nível de renda, etnia, religião, ocupação; dividir diferentes empresas em categorias por tamanho, setor, número de funcionários; e dividir os gastos ou impostos do governo em suas principais categorias.
Gráficos de barras
Um gráfico de barras usa a altura de barras diferentes para comparar quantidades. A tabela\(\PageIndex{A5}\) lista os 12 países mais populosos do mundo. A figura\(\PageIndex{A7}\) fornece esses mesmos dados em um gráfico de barras. A altura das barras corresponde à população de cada país. Embora você saiba que a China e a Índia são os países mais populosos do mundo, ver como as barras do gráfico se elevam sobre os outros países ajuda a ilustrar a magnitude da diferença entre os tamanhos das populações nacionais.
Figura dos\(\PageIndex{A7}\) principais países do mundo por população, 2015 (em milhões) O gráfico mostra os 12 países do mundo com as maiores populações. A altura das barras no gráfico de barras mostra o tamanho da população de cada país.
| País | População |
|---|---|
| China | 1.369 |
| Índia | 1.270 |
| Estados Unidos | 321 |
| Indonésia | 255 |
| Brasil | 204 |
| Paquistão | 190 |
| Nigéria | 184 |
| Bangladesh | 158 |
| Rússia | 146 |
| Japão | 127 |
| México | 121 |
| Filipinas | 101 |
Tabela\(\PageIndex{A5}\) dos 12 principais países do mundo por população
Os gráficos de barras podem ser subdivididos de forma a revelar informações semelhantes às que podemos obter dos gráficos circulares. A Figura\(\PageIndex{A8}\) oferece três gráficos de barras com base nas informações da Figura\(\PageIndex{A6}\) sobre a distribuição etária dos EUA em 1970, 2000 e 2030. A Figura A8 (a) mostra três barras para cada ano, representando o número total de pessoas em cada faixa etária em cada ano. A Figura\(\PageIndex{A8}\) (b) mostra apenas uma barra para cada ano, mas as diferentes faixas etárias agora estão sombreadas dentro da barra. Na Figura\(\PageIndex{A8}\) (c), ainda com base nos mesmos dados, o eixo vertical mede porcentagens em vez do número de pessoas. Nesse caso, todos os três gráficos de barras têm a mesma altura, representando 100% da população, com cada barra dividida de acordo com a porcentagem da população em cada faixa etária. Às vezes, é mais fácil para um leitor passar os olhos por vários gráficos de barras, comparando as áreas sombreadas, em vez de tentar comparar vários gráficos tipo pizza.
Figura População\(\PageIndex{A8}\) dos EUA com gráficos de barras Os dados da população podem ser representados de diferentes maneiras. (a) Mostra três barras para cada ano, representando o número total de pessoas em cada faixa etária em cada ano. (b) Mostra apenas uma barra para cada ano, mas as diferentes faixas etárias agora estão sombreadas dentro da barra. (c) Define o eixo vertical como uma medida de porcentagens em vez do número de pessoas. Todos os três gráficos de barras têm a mesma altura e cada barra é dividida de acordo com a porcentagem da população em cada faixa etária.
A figura\(\PageIndex{A7}\) e a figura\(\PageIndex{A8}\) mostram como as barras podem representar países ou anos e como o eixo vertical pode representar um valor numérico ou percentual. Os gráficos de barras também podem comparar tamanho, quantidade, taxas, distâncias e outras categorias quantitativas.
Comparando gráficos de linhas com tabelas circulares e gráficos de barras
Agora que você está familiarizado com gráficos tipo pizza, gráficos de barras e gráficos de linhas, como saber qual gráfico usar para seus dados? Gráficos tipo pizza geralmente são melhores do que gráficos de linha para mostrar como um grupo geral é dividido. No entanto, se um gráfico circular tiver muitas fatias, pode ser difícil interpretá-lo.
Os gráficos de barras são especialmente úteis ao comparar quantidades. Por exemplo, se você estiver estudando as populações de diferentes países, como na Figura\(\PageIndex{A7}\), os gráficos de barras podem mostrar as relações entre os tamanhos populacionais de vários países. Não só pode mostrar essas relações, mas também pode mostrar divisões de diferentes grupos dentro da população.
Um gráfico de linhas geralmente é o formato mais eficaz para ilustrar uma relação entre duas variáveis que estão mudando. Por exemplo, gráficos de séries temporais podem mostrar padrões à medida que o tempo muda, como a taxa de desemprego ao longo do tempo. Os gráficos de linhas são amplamente usados em economia para apresentar dados contínuos sobre preços, salários, quantidades compradas e vendidas, o tamanho da economia.
Como os gráficos podem ser enganosos
Os gráficos não apenas revelam padrões; eles também podem alterar a forma como os padrões são percebidos. Para ver algumas das maneiras pelas quais isso pode ser feito, considere os gráficos de linhas de Figura\(\PageIndex{A9}\), Figura\(\PageIndex{A10}\) e Figura\(\PageIndex{A11}\). Todos esses gráficos ilustram a taxa de desemprego, mas de perspectivas diferentes.
Figura\(\PageIndex{A9}\)
Figura\(\PageIndex{A10}\) apresentando as taxas de desemprego de maneiras diferentes, todas elas precisas A simples alteração da largura e da altura da área na qual os dados são exibidos pode alterar a percepção dos dados.
Figura\(\PageIndex{A11}\) apresentando as taxas de desemprego de maneiras diferentes, todas elas precisas A simples alteração da largura e da altura da área na qual os dados são exibidos pode alterar a percepção dos dados.
Suponha que você queira um gráfico que dê a impressão de que o aumento do desemprego em 2009 não foi tão grande ou tão extraordinário para os padrões históricos. Você pode optar por apresentar seus dados como na Figura\(\PageIndex{A9}\) (a). A Figura\(\PageIndex{A9}\) (a) inclui muitos dos mesmos dados apresentados anteriormente na Figura\(\PageIndex{A5}\), mas estende o eixo horizontal por mais tempo em relação ao eixo vertical. Ao espalhar o gráfico de forma ampla e plana, a aparência visual é que o aumento do desemprego não é tão grande e é semelhante a alguns aumentos anteriores do desemprego. Agora imagine que você queira enfatizar como o desemprego aumentou substancialmente em 2009. Nesse caso, usando os mesmos dados, você pode esticar o eixo vertical em relação ao eixo horizontal, como na Figura\(\PageIndex{A9}\) (b), o que faz com que todas as subidas e descidas no desemprego pareçam maiores.
Um efeito semelhante pode ser obtido sem alterar o comprimento dos eixos, mas alterando a escala no eixo vertical. Na Figura\(\PageIndex{A10}\) (c), a escala no eixo vertical vai de 0% a 30%, enquanto na Figura\(\PageIndex{A10}\) (d), o eixo vertical vai de 3% a 10%. Em comparação com a Figura\(\PageIndex{A5}\), onde a escala vertical varia de 0% a 12%, a Figura\(\PageIndex{A10}\) (c) faz com que a flutuação no desemprego pareça menor, enquanto a Figura\(\PageIndex{A10}\) (d) faz com que pareça maior.
Outra forma de alterar a percepção do gráfico é reduzir a quantidade de variação alterando o número de pontos traçados no gráfico. A Figura\(\PageIndex{A10}\) (e) mostra a taxa de desemprego de acordo com as médias de cinco anos. Ao calcular a média de algumas das mudanças de ano para ano, a linha parece mais suave e com menos altos e baixos. Na realidade, a taxa de desemprego é relatada mensalmente, e a Figura\(\PageIndex{A11}\) (f) mostra os números mensais desde 1960, que flutuam mais do que a média de cinco anos. A figura\(\PageIndex{A11}\) (f) também é uma ilustração vívida de como os gráficos podem compactar muitos dados. O gráfico inclui dados mensais desde 1960, que, ao longo de quase 50 anos, chegam a quase 600 pontos de dados. Ler essa lista de 600 pontos de dados em formato numérico seria hipnótico. No entanto, você pode obter uma boa noção intuitiva desses 600 pontos de dados muito rapidamente a partir do gráfico.
Um truque final para manipular a percepção da informação gráfica é que, ao escolher cuidadosamente os pontos inicial e final, você pode influenciar a percepção de se a variável está aumentando ou diminuindo. Os dados originais mostram um padrão geral com o desemprego baixo na década de 1960, mas aumentando em meados dos anos 1970, início dos anos 1980, início dos anos 1990, início dos anos 2000 e final dos anos 2000. A Figura\(\PageIndex{A11}\) (g), no entanto, mostra um gráfico que remonta apenas a 1975, o que dá a impressão de que o desemprego estava caindo mais ou menos gradualmente ao longo do tempo até que a recessão de 2009 o empurrou de volta ao seu nível “original” - o que é uma interpretação plausível se começarmos no ponto alto por volta de 1975.
Esses tipos de truques — ou devemos chamá-los apenas de “opções de apresentação” — não se limitam aos gráficos de linhas. Em um gráfico circular com muitas fatias pequenas e uma grande, alguém deve decidir quais categorias devem ser usadas para produzir essas fatias em primeiro lugar, fazendo com que algumas fatias pareçam maiores do que outras. Se você estiver criando um gráfico de barras, poderá fazer com que o eixo vertical seja mais alto ou mais curto, o que tenderá a fazer com que as variações na altura das barras pareçam mais ou menos.
Ser capaz de ler gráficos é uma habilidade essencial, tanto na economia quanto na vida. Um gráfico é apenas uma perspectiva ou ponto de vista, moldado por escolhas como as discutidas nesta seção. Nem sempre acredite na primeira impressão rápida de um gráfico. Veja com cuidado.
Conceitos principais e resumo
A matemática é uma ferramenta para entender a economia e as relações econômicas podem ser expressas matematicamente usando álgebra ou gráficos. A equação algébrica para uma linha é y = b + mx, onde x é a variável no eixo horizontal e y é a variável no eixo vertical, o termo b é o intercepto y e o termo m é a inclinação. A inclinação de uma linha é a mesma em qualquer ponto da linha e indica a relação (positiva, negativa ou zero) entre duas variáveis econômicas.
Os modelos econômicos podem ser resolvidos algebricamente ou graficamente. Os gráficos permitem que você ilustre os dados visualmente. Eles podem ilustrar padrões, comparações, tendências e repartição condensando os dados numéricos e fornecendo uma sensação intuitiva de relacionamentos nos dados. Um gráfico de linhas mostra a relação entre duas variáveis: uma é mostrada no eixo horizontal e outra no eixo vertical. Um gráfico circular mostra como algo é alocado, como uma quantia em dinheiro ou um grupo de pessoas. O tamanho de cada fatia da torta é desenhado para representar a porcentagem correspondente do todo. Um gráfico de barras usa a altura das barras para mostrar uma relação, em que cada barra representa uma determinada entidade, como um país ou um grupo de pessoas. As barras em um gráfico de barras também podem ser divididas em segmentos para mostrar subgrupos.
Qualquer gráfico é uma perspectiva visual única sobre um assunto. A impressão que ela deixa será baseada em muitas opções, como quais dados ou período de tempo estão incluídos, como os dados ou grupos são divididos, o tamanho relativo dos eixos vertical e horizontal, se a escala usada na vertical começa em zero. Assim, qualquer gráfico deve ser considerado de forma um tanto cética, lembrando que a relação subjacente pode estar aberta a diferentes interpretações.