11.5: Teste de homogeneidade

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O teste de bondade do ajuste pode ser usado para decidir se uma população se encaixa em uma determinada distribuição, mas não será suficiente decidir se duas populações seguem a mesma distribuição desconhecida. Um teste diferente, chamado de teste de homogeneidade, pode ser usado para tirar uma conclusão sobre se duas populações têm a mesma distribuição. Para calcular a estatística de teste para um teste de homogeneidade, siga o mesmo procedimento do teste de independência.

OBSERVAÇÃO

O valor esperado dentro de cada célula precisa ser pelo menos cinco para que você possa usar esse teste.

Hipóteses

\(H_0\): As distribuições das duas populações são as mesmas.
\(H_a\): As distribuições das duas populações não são as mesmas.

Estatística do teste

Use uma estatística de\(\chi^2\) teste. É calculado da mesma forma que o teste de independência.

Graus de liberdade (\(\bf{df}\))

\(df = \text{ number of columns }- 1\)

Exigências

Todos os valores na tabela devem ser maiores ou iguais a cinco.

Usos comuns

Comparando duas populações. Por exemplo: homens versus mulheres, antes versus depois, leste versus oeste. A variável é categórica com mais de dois valores de resposta possíveis.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Estudantes universitários do sexo masculino e feminino têm a mesma distribuição de condições de moradia? Use um nível de significância de 0,05. Suponha que 250 estudantes universitários do sexo masculino selecionados aleatoriamente e 300 estudantes universitárias selecionadas aleatoriamente tenham sido questionados sobre seus arranjos de moradia: dormitório, apartamento, com os pais, outros. Os resultados são mostrados na Tabela\(\PageIndex{18}\). Estudantes universitários do sexo masculino e feminino têm a mesma distribuição de condições de moradia?

\ (\ PageIndex {18}\) Distribuição dos arranjos de moradia para universitários e universitárias “>

Tabela\(\PageIndex{18}\) Distribuição de arranjos de moradia para universitários e universitárias
	Dormitório	Apartamento	Com os pais	Outros
Machos	72	84	49	45
Mulheres	91	86	88	35

Responda

Solução 11.11

\(H_0\): A distribuição dos arranjos de moradia para estudantes universitários do sexo masculino é a mesma que a distribuição dos arranjos de moradia para estudantes universitárias.

\(H_a\): A distribuição dos arranjos de moradia para estudantes universitários do sexo masculino não é a mesma que a distribuição dos arranjos de moradia para estudantes universitárias.

Graus de liberdade (\(\bf{df}\)):
\(df =\text{ number of columns }– 1 = 4 – 1 = 3\)

Distribuição para o teste:\(\chi_3^2\)

Calcule o teste estatística:\(\chi_c^2 = 10.129\)

O gráfico do Qui-quadrado mostra a distribuição e marca o valor crítico com três graus de liberdade no nível de confiança de 95%\(\alpha = 0.05\), 7,815. O gráfico também marca a estatística\(\chi^2\) de teste calculada de 10,129. Comparando a estatística do teste com o valor crítico, como fizemos com todos os outros testes de hipóteses, chegamos à conclusão.

Tome uma decisão: como a estatística de teste calculada está na cauda, não podemos aceitar\(H_0\). Isso significa que as distribuições não são as mesmas.

Conclusão: Em um nível de significância de 5%, a partir dos dados, há evidências suficientes para concluir que as distribuições de arranjos de moradia para estudantes universitários do sexo masculino e feminino não são as mesmas.

Observe que a conclusão é apenas que as distribuições não são as mesmas. Não podemos usar o teste de homogeneidade para tirar conclusões sobre como elas diferem.

Exercício\(\PageIndex{1A}\)

Famílias e solteiros têm a mesma distribuição de carros? Use um nível de significância de 0,05. Suponha que 100 famílias selecionadas aleatoriamente e 200 solteiros selecionados aleatoriamente tenham sido questionados sobre que tipo de carro eles dirigiam: esporte, sedan, hatchback, caminhão, van/SUV. Os resultados são mostrados na Tabela\(\PageIndex{19}\). Famílias e solteiros têm a mesma distribuição de carros? Teste em um nível de significância de 0,05.

\ (\ PageIndex {19}\) “>

Tabela\(\PageIndex{19}\)
	Esporte	Sedan	Hatchback	Caminhão	Carrinha/SUV
Família	5	15	35	17	28
Solteiro	45	65	37	46	7

Exercício\(\PageIndex{1B}\)

As escolas da Ivy League recebem muitas inscrições, mas apenas algumas podem ser aceitas. Nas escolas listadas na Tabela\(\PageIndex{20}\), dois tipos de inscrições são aceitos: decisão regular e decisão antecipada.

\ (\ PageIndex {20}\) “>

Tabela\(\PageIndex{20}\)
Tipo de inscrição aceito	Castanho	Columbia	Cornell	Dartmouth	Penn	Yale
Normal	2.115	1.792	5.306	1.734	2.685	1.245
Decisão antecipada	577	627	1.228	444	1.195	761

Queremos saber se o número de inscrições regulares aceitas segue a mesma distribuição do número de inscrições antecipadas aceitas. Indique as hipóteses nulas e alternativas, os graus de liberdade e a estatística de teste, esboce o gráfico da\(\chi^2\) distribuição e mostre o valor crítico e o valor calculado da estatística de teste e tire uma conclusão sobre o teste de homogeneidade.