11.4: Teste de Independência

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Os testes de independência envolvem o uso de uma tabela de contingência de valores observados (dados). A estatística de teste para um teste de independência é semelhante à de um teste de adequação:

\[\sum_{(i \cdot j)} \frac{(O-E)^{2}}{E}\nonumber\]

onde:

\(O\)= valores observados
\(E\)= valores esperados
\(i\)= o número de linhas na tabela
\(j\)= o número de colunas na tabela

Existem\(i \cdot j\) termos do formulário\(\frac{(O-E)^{2}}{E}\).

Um teste de independência determina se dois fatores são independentes ou não. Você encontrou pela primeira vez o termo independência na Tabela 3.1 anteriormente. Como uma revisão, considere o exemplo a seguir.

Nota

O valor esperado dentro de cada célula precisa ser pelo menos cinco para que você possa usar esse teste.

Exemplo 11.8

Suponha\(A\) = uma violação de velocidade no último ano e\(B\) = um usuário de telefone celular enquanto dirige. Se\(A\) e\(B\) for independente,\(P(A \cap B)=P(A) P(B) . A \cap B\) é o caso de um motorista ter sofrido uma infração por excesso de velocidade no ano passado e também usar um telefone celular enquanto dirigia. Suponha, em um estudo com motoristas que sofreram violações de velocidade no último ano e que usaram telefone celular enquanto dirigiam, que 755 pessoas tenham sido pesquisadas. Dos 755, 70 tiveram uma violação de velocidade e 685 não; 305 usaram telefones celulares enquanto dirigiam e 450 não.

Seja y = número esperado de motoristas que usaram um telefone celular enquanto dirigiam e receberam violações por excesso de velocidade.

Se\(A\) e\(B\) forem independentes, então\(P(A \cap B)=P(A) P(B)\). Por substituição,

\[\frac{y}{755}=\left(\frac{70}{755}\right)\left(\frac{305}{755}\right)\nonumber\]

Resolver para\(y\):\(y=\frac{(70)(305)}{755}=28.3\)

Espera-se que cerca de 28 pessoas da amostra usem telefones celulares enquanto dirigem e recebam violações por excesso de velocidade.

Em um teste de independência, declaramos as hipóteses nulas e alternativas em palavras. Como a tabela de contingência consiste em dois fatores, a hipótese nula afirma que os fatores são independentes e a hipótese alternativa afirma que eles não são independentes (dependentes). Se fizermos um teste de independência usando o exemplo, a hipótese nula é:

\(H_0\): Ser usuário de telefone celular enquanto dirige e recebe uma violação de velocidade são eventos independentes; em outras palavras, eles não têm efeito um sobre o outro.

Se a hipótese nula fosse verdadeira, esperaríamos que cerca de 28 pessoas usassem telefones celulares enquanto dirigem e recebessem uma violação por excesso de velocidade.

O teste de independência é sempre de cauda direita devido ao cálculo da estatística do teste. Se os valores esperados e observados não estiverem próximos, a estatística de teste é muito grande e fica na extremidade direita da curva qui-quadrada, pois está em um ajuste adequado.

O número de graus de liberdade para o teste de independência é:

\(d f=(\text { number of columns }-1)(\text { number of rows }-1)\)

A fórmula a seguir calcula o número esperado (E):

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}\nonumber\]

Exercício 11.8

Uma amostra de 300 estudantes é coletada. Dos estudantes pesquisados, 50 eram estudantes de música, enquanto 250 não. Noventa e sete dos 300 entrevistados estavam no quadro de honra, enquanto 203 não estavam. Se assumirmos que ser estudante de música e estar no quadro de honra são eventos independentes, qual é o número esperado de estudantes de música que também estão no quadro de honra?

Exemplo 11.9

Um grupo de voluntários oferece de uma a nove horas por semana com idosos com deficiência. O programa recruta entre estudantes de faculdades comunitárias, estudantes universitários de quatro anos e não estudantes. Na Tabela 11.14 está uma amostra dos voluntários adultos e o número de horas que eles são voluntários por semana.

A tabela contém valores **(O) observados** (dados).
Tipo de voluntário	1—3 horas	4—6 horas	7—9 horas	Total da linha
Estudantes de faculdades comunitárias	111	96	48	255
Estudantes universitários de quatro anos	96	133	61	290
Não estudantes	91	150	53	294
Total da coluna	298	379	162	839

O número de horas de voluntariado é independente do tipo de voluntário?

Resposta

Solução 11.9

A tabela observada e a pergunta ao final do problema: “O número de horas de voluntariado é independente do tipo de voluntário?” Eu digo que isso é um teste de independência. Os dois fatores são o número de horas oferecidas como voluntário e o tipo de voluntário. Esse teste é sempre com cauda direita.

\(H_0\): O número de horas de voluntariado é independente do tipo de voluntário.

\(H_a\): O número de horas oferecidas como voluntário depende do tipo de voluntário.

Os resultados esperados estão na Tabela 11.15.

A tabela contém os valores **esperados** (E) (dados).
Tipo de voluntário	1-3 horas	4-6 horas	7-9 horas
Estudantes de faculdades comunitárias	90,57	115,19	49,24
Estudantes universitários de quatro anos	103,00	131,00	56,00
Não estudantes	104,42	132,81	56,77

Por exemplo, o cálculo da frequência esperada para a célula superior esquerda é

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total number surveyed }}=\frac{(255)(298)}{839}=90.57\nonumber\]

Calcule a estatística do teste:\(\chi^2 = 12.99\) (calculadora ou computador)

Distribuição para o teste:\(\chi_4^2\)

\(d f=(3 \text { columns }-1)(3 \text { rows }-1)=(2)(2)=4\)

Gráfico:

Curva qui-quadrada não simétrica com valores de 0 e 12,99 no eixo x representando a estatística de teste do número de horas trabalhadas por voluntários de diferentes tipos. Uma linha vertical ascendente se estende de 12,99 até a curva e a área à direita dela é igual ao valor p.

O gráfico do Qui-quadrado mostra a distribuição e marca o valor crítico com quatro graus de liberdade no nível de confiança de 95%\(\alpha = 0.05\), 9,488. O gráfico também marca a estatística\(\chi_{c}^{2}\) de teste calculada de 12,99. Comparando a estatística do teste com o valor crítico, como fizemos com todos os outros testes de hipóteses, chegamos à conclusão.

Tome uma decisão: como a estatística de teste calculada está na cauda, não podemos aceitar H ₀. Isso significa que os fatores não são independentes.

Conclusão: Em um nível de significância de 5%, a partir dos dados, há evidências suficientes para concluir que o número de horas de voluntariado e o tipo de voluntário dependem um do outro.

Para o exemplo da Tabela 11.15, se houvesse outro tipo de voluntário, adolescentes, quais seriam os graus de liberdade?

Exercício 11.9

O Bureau of Labor Statistics reúne dados sobre empregos nos Estados Unidos. Uma amostra é coletada para calcular o número de cidadãos dos EUA trabalhando em um dos vários setores da indústria ao longo do tempo. A Tabela 11.16 mostra os resultados:

Tabela 11.16
Setor industrial	2000	2010	2020	Total
Salário e salário não agrícolas	13.243	13.044	15.018	41.305
Produção de bens, excluindo a agricultura	2.457	1.771	1.950	6.178
Prestação de serviços	10.786	1.273	13.068	35.127
Agricultura, silvicultura, pesca e caça	240	214	201	655
Trabalhador autônomo não agrícola e trabalhador familiar não remunerado	931	894	972	2.797
Empregos com salários e salários secundários na agricultura e nas indústrias domésticas privadas	14	11	11	36
Empregos secundários como trabalhador familiar autônomo ou não remunerado	196	144	152	492
Total	27.867	27.351	31.372	86.590

Queremos saber se a mudança no número de empregos é independente da mudança em anos. Declare as hipóteses nulas e alternativas e os graus de liberdade.

Exemplo 11.10

O De Anza College está interessado na relação entre o nível de ansiedade e a necessidade de ter sucesso na escola. Uma amostra aleatória de 400 estudantes fez um teste que mediu o nível de ansiedade e a necessidade de sucesso na escola. A Tabela 11.17 mostra os resultados. O De Anza College quer saber se o nível de ansiedade e a necessidade de ter sucesso na escola são eventos independentes.

Tabela 11.17 Necessidade de sucesso na escola versus nível de ansiedade
Necessidade de ter sucesso na escola	Alta ansiedade	Ansiedade médico-alta	Ansiedade média	Ansiedade med-low	Baixa ansiedade	Total da linha
Alta necessidade	35	42	53	15	10	155
Média necessidade	18	48	63	33	31	193
Baixa necessidade	4	5	11	15	17	52
Total da coluna	57	95	127	63	58	400

a. Quantos estudantes de alto nível de ansiedade devem ter uma grande necessidade de sucesso na escola?

Responda

Solução 11.10

a. O total da coluna para um alto nível de ansiedade é 57. O total de linhas de alta necessidade de sucesso na escola é 155. O tamanho da amostra ou total pesquisado é 400.

\[E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\frac{155 \cdot 57}{400}=22.09\nonumber\]

O número esperado de estudantes com alto nível de ansiedade e alta necessidade de sucesso na escola é de cerca de 22.

b. Se as duas variáveis forem independentes, quantos estudantes você espera que tenham uma baixa necessidade de sucesso na escola e um baixo nível de ansiedade?

Responda

Solução 11.10

b. O total da coluna para um nível de ansiedade médico-baixo é 63. O total de linhas para uma baixa necessidade de sucesso na escola é 52. O tamanho da amostra ou total pesquisado é 400.

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=\) ________

Responda

Solução 11.10

c.\(E=\frac{(\text { row total })(\text { column total })}{\text { total surveyed }}=8.19\)

d. O número esperado de estudantes que têm um nível de ansiedade médio-baixo e uma baixa necessidade de sucesso na escola é de cerca de ________.

Responda

Solução 11.10

d. 8