4.10: Revisão do capítulo

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Introdução

As características de uma distribuição de probabilidade ou função de densidade (PDF) são as seguintes:

Cada probabilidade está entre zero e um, inclusive (inclusive significa incluir zero e um).
A soma das probabilidades é uma.

4.1 Distribuição hipergeométrica

A fórmula combinatória pode fornecer o número de subconjuntos de tamanho exclusivos\(x\) que podem ser criados a partir de objetos\(n\) exclusivos para nos ajudar a calcular probabilidades. A fórmula combinatória é\(\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right)=_{n} C_{x}=\frac{n !}{x !(n-x) !}\)

Um experimento hipergeométrico é um experimento estatístico com as seguintes propriedades:

Você coleta amostras de dois grupos.
Você está preocupado com um grupo de interesse, chamado primeiro grupo.
Você coleta amostras sem substituição dos grupos combinados.
Cada escolha não é independente, pois a amostragem não é substituída.

Os resultados de um experimento hipergeométrico se ajustam a uma distribuição de probabilidade hipergeométrica. A variável aleatória\(X =\) é o número de itens do grupo de interesse. \(h(x)=\frac{\left(\begin{array}{l}{A} \\ {x}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{N-A} \\ {n-x}\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{l}{N} \\ {n}\end{array}\right)}\).

Distribuição binomial

Um experimento estatístico pode ser classificado como um experimento binomial se as seguintes condições forem atendidas:

Há um número fixo de ensaios,\(n\).
Existem apenas dois resultados possíveis, chamados de “sucesso” e “fracasso” para cada tentativa. A letra\(p\) indica a probabilidade de sucesso em uma tentativa e\(q\) denota a probabilidade de falha em uma tentativa.
Os\(n\) ensaios são independentes e são repetidos usando condições idênticas.

Os resultados de um experimento binomial se encaixam em uma distribuição de probabilidade binomial. A variável aleatória\(X =\) é o número de sucessos obtidos nos ensaios\(n\) independentes. A média de\(X\) pode ser calculada usando a fórmula\(\mu = np\), e o desvio padrão é dado pela fórmula\(\sigma=\sqrt{n p q}\).

A fórmula para a função de densidade de probabilidade binomial é

\[P(x)=\frac{n !}{x !(n-x) !} \cdot p^{x} q^{(n-x)}\nonumber\]

Distribuição geométrica

Há três características de um experimento geométrico:

Há um ou mais testes de Bernoulli com todos os fracassos, exceto o último, que é um sucesso.
Em teoria, o número de testes poderia durar para sempre. Deve haver pelo menos um teste.
A probabilidade,\(p\), de um sucesso e a probabilidade,\(q\), de um fracasso são as mesmas para cada tentativa.

Em um experimento geométrico, defina a variável aleatória discreta\(X\) como o número de ensaios independentes até o primeiro sucesso. Dizemos que\(X\) tem uma distribuição geométrica e escrevemos\(X \sim G(p)\) onde\(p\) está a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.

A média da distribuição geométrica\(X \sim G(p)\) é\(\mu = 1/p\) onde o\(x =\) número de ensaios até o primeiro sucesso para a fórmula em\(P(X=x)=(1-p)^{x-1} p\) que o número de ensaios aumenta e inclui o primeiro sucesso.

Uma formulação alternativa da distribuição geométrica faz a pergunta: qual é a probabilidade de x falhas até o primeiro sucesso? Nesta formulação, o ensaio que resultou no primeiro sucesso não é contado. A fórmula para essa apresentação do geométrico é:

\[P(X=x)=p(1-p)^{x}\nonumber\]

O valor esperado nesta forma da distribuição geométrica é

\[\mu=\frac{1-p}{p}\nonumber\]

A maneira mais fácil de manter essas duas formas de distribuição geométrica retas é lembrar que essa\(p\) é a probabilidade de sucesso e\((1−p)\) a probabilidade de falha. Na fórmula, os expoentes simplesmente contam o número de sucessos e o número de falhas do resultado desejado do experimento. É claro que a soma desses dois números deve ser adicionada ao número de ensaios no experimento.

Distribuição de Poisson

Uma distribuição de probabilidade de Poisson de uma variável aleatória discreta fornece a probabilidade de vários eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, se esses eventos acontecerem em uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar o binômio, se a probabilidade de sucesso for “pequena” (menor ou igual a 0,01) e o número de ensaios for “grande” (maior ou igual a 25). Outras regras práticas também são sugeridas por diferentes autores, mas todos reconhecem que a distribuição de Poisson é a distribuição limitante do binômio à medida que\(n\) aumenta e\(p\) se aproxima de zero.

A fórmula para calcular probabilidades que são de um processo de Poisson é:

\[P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\nonumber\]

onde\(P(X)\) é a probabilidade de sucesso,\(\mu\) (pronunciado mu) é o número esperado de sucessos,\(e\) é o logaritmo natural aproximadamente igual a\(2.718\), e\(X\) é o número de sucessos por unidade, geralmente por unidade de tempo.