4.7: Itens principais do capítulo

Testes de Bernoulli

um experimento com as seguintes características:

1. Há apenas dois resultados possíveis chamados de “sucesso” e “fracasso” para cada tentativa.
2. A probabilidade\(p\) de sucesso é a mesma para qualquer tentativa (portanto, a probabilidade\(q = 1 − p\) de falha é a mesma para qualquer tentativa).

Experiência binomial

um experimento estatístico que satisfaz as três condições a seguir:

1. Há um número fixo de ensaios,\(n\).
2. Há apenas dois resultados possíveis, chamados de “sucesso” e “fracasso”, para cada tentativa. A letra\(p\) indica a probabilidade de sucesso em uma tentativa e\(q\) denota a probabilidade de falha em uma tentativa.
3. Os\(n\) ensaios são independentes e são repetidos usando condições idênticas.

Distribuição de probabilidade binomial

uma variável aleatória discreta (VR) que surge dos ensaios de Bernoulli; há um número fixo,\(n\), de ensaios independentes. “Independente” significa que o resultado de qualquer ensaio (por exemplo, o primeiro ensaio) não afeta os resultados dos ensaios a seguir, e todos os ensaios são conduzidos nas mesmas condições. Nessas circunstâncias, o binômio RV\(X\) é definido como o número de sucessos em n ensaios. A média é\(\mu=n p\) e o desvio padrão é\(\sigma=\sqrt{n p q}\). A probabilidade de exatamente x sucessos em\(n\) testes é\(P(X=x)=\left(\begin{array}{l}{n} \\ {x}\end{array}\right) p^{x} q^{n-x}\).

Distribuição geométrica

uma variável aleatória discreta (VR) que surge dos ensaios de Bernoulli; os ensaios são repetidos até o primeiro sucesso. A variável geométrica X é definida como o número de tentativas até o primeiro sucesso. A média é\(\mu=\frac{1}{p}\) e o desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{p}\left(\frac{1}{p}-1\right)}\). A probabilidade de exatamente x falhas antes do primeiro sucesso é dada pela fórmula:\(P(X=x)=p(1-p)^{x-1}\) onde se quer saber a probabilidade do número de tentativas até o primeiro sucesso: a trilha\(x\) th é o primeiro sucesso.
Uma formulação alternativa da distribuição geométrica faz a pergunta: qual é a probabilidade de\(x\) falhas até o primeiro sucesso? Nesta formulação, o ensaio que resultou no primeiro sucesso não é contado. A fórmula para esta apresentação da distribuição geométrica é:\(P(X=x)=p(1-p)^{x}\)
O valor esperado nesta forma da distribuição geométrica é\(\mu=\frac{1-p}{p}\)
A maneira mais fácil de manter essas duas formas da distribuição geométrica retas é lembrar que p é a probabilidade de sucesso e\((1−p)\) é a probabilidade de falha. Na fórmula, os expoentes simplesmente contam o número de sucessos e o número de falhas do resultado desejado do experimento. É claro que a soma desses dois números deve ser adicionada ao número de ensaios no experimento.

Experiência geométrica

um experimento estatístico com as seguintes propriedades:

1. Há um ou mais testes de Bernoulli com todos os fracassos, exceto o último, que é um sucesso.
2. Em teoria, o número de testes poderia durar para sempre. Deve haver pelo menos um teste.
3. A probabilidade,\(p\), de um sucesso e a probabilidade,\(q\), de um fracasso não mudam de tentativa para tentativa.

Experiência hipergeométrica

um experimento estatístico com as seguintes propriedades:

1. Você coleta amostras de dois grupos.
2. Você está preocupado com um grupo de interesse, chamado primeiro grupo.
3. Você coleta amostras sem substituição dos grupos combinados.
4. Cada escolha não é independente, pois a amostragem não é substituída.

Probabilidade hipergeométrica

uma variável aleatória discreta (RV) que é caracterizada por:

1. Um número fixo de testes.
2. A probabilidade de sucesso não é a mesma de uma tentativa para outra.

Coletamos amostras de dois grupos de itens quando estamos interessados em apenas um grupo. \(X\)é definido como o número de sucessos do número total de itens escolhidos.

Distribuição de probabilidade de Pois

uma variável aleatória discreta (RV) que conta o número de vezes que um determinado evento ocorrerá em um intervalo específico; características da variável:

• A probabilidade de que o evento ocorra em um determinado intervalo é a mesma para todos os intervalos.
• Os eventos ocorrem com uma média conhecida e independentemente do tempo decorrido desde o último evento.

A distribuição é definida pela média\(\mu\) do evento no intervalo. A média é\(\mu = np\). O desvio padrão é\(\sigma=\sqrt{\mu}\). A probabilidade de ter exatamente\(x\) sucesso nos\(r\) testes é\(P(x)=\frac{\mu^{x} e^{-\mu}}{x !}\). A distribuição de Poisson é frequentemente usada para aproximar a distribuição binomial, quando\(n\)\(p\) é “grande” e é “pequena” (uma regra geral é que\(np\) deve ser maior ou igual a 25 e\(p\) deve ser menor ou igual a 0,01).

Função de distribuição de probabilidade (PDF)

uma descrição matemática de uma variável aleatória discreta (RV), dada na forma de uma equação (fórmula) ou na forma de uma tabela listando todos os resultados possíveis de um experimento e a probabilidade associada a cada resultado.

Variável aleatória (RV)

uma característica de interesse em uma população que está sendo estudada; notação comum para variáveis são letras latinas maiúsculas\(X, Y, Z\),...; notação comum para um valor específico do domínio (conjunto de todos os valores possíveis de uma variável) são letras latinas minúsculas\(x, y\),\(z\) e. Por exemplo, se\(X\) for o número de filhos em uma família, então\(x\) representa um número inteiro específico 0, 1, 2, 3,... As variáveis na estatística diferem das variáveis da álgebra intermediária nas duas formas a seguir.

• O domínio da variável aleatória (VR) não é necessariamente um conjunto numérico; o domínio pode ser expresso em palavras; por exemplo, se a cor do\(X =\) cabelo, o domínio é {preto, loiro, cinza, verde, laranja}.
• Só podemos dizer qual valor específico x a variável aleatória\(X\) assume após realizar o experimento.