4.3: Distribuição geométrica

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A função de densidade de probabilidade geométrica se baseia no que aprendemos com a distribuição binomial. Nesse caso, o experimento continua até que ocorra um sucesso ou uma falha, em vez de um determinado número de tentativas. Há três características principais de um experimento geométrico.

Há um ou mais testes de Bernoulli com todos os fracassos, exceto o último, que é um sucesso. Em outras palavras, você continua repetindo o que está fazendo até o primeiro sucesso. Então você para. Por exemplo, você joga um dardo em um alvo até atingir o alvo. A primeira vez que você acerta o alvo é um “sucesso”, então você para de jogar o dardo. Pode levar seis tentativas até você atingir o alvo. Você pode pensar nas provações como fracasso, fracasso, fracasso, fracasso, sucesso, STOP.
Em teoria, o número de testes poderia durar para sempre.
A probabilidade,\(p\), de um sucesso e a probabilidade,\(q\), de um fracasso são as mesmas para cada tentativa. \(p + q = 1\)\(q = 1 − p\)e. Por exemplo, a probabilidade de rolar um três quando você lança um dado justo é\(\frac{1}{6}\). Isso é verdade, não importa quantas vezes você lance o dado. Suponha que você queira saber a probabilidade de obter os três primeiros no quinto rolo. Nos rolos de um a quatro, você não tem um rosto com três. A probabilidade de cada um dos rolos é q =\(\frac{5}{6}\), a probabilidade de uma falha. A probabilidade de conseguir um três no quinto rolo é\(\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{5}{6}\right)\left(\frac{1}{6}\right) = 0.0804\)
\(X\)= o número de ensaios independentes até o primeiro sucesso.

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

Você joga um jogo de azar que pode ganhar ou perder (não há outras possibilidades) até perder. Sua probabilidade de perder é\(p = 0.57\). Qual é a probabilidade de levar cinco jogos até você perder? Seja\(X\) = o número de jogos que você joga até perder (inclui o jogo perdedor). Em seguida, X assume os valores 1, 2, 3,... (poderia continuar indefinidamente). A questão da probabilidade é\(P (x = 5)\).

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Você joga dardos em um tabuleiro até atingir a área central. Sua probabilidade de atingir a área central é\(p = 0.17\). Você quer descobrir a probabilidade de que sejam necessários oito arremessos até atingir o centro. Quais valores\(X\) assume?

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Uma engenheira de segurança acredita que 35% de todos os acidentes industriais em sua fábrica são causados pela falha dos funcionários em seguir as instruções. Ela decide examinar os relatórios de acidentes (selecionados aleatoriamente e substituídos na pilha após a leitura) até encontrar um que mostre um acidente causado pela falha dos funcionários em seguir as instruções. Em média, quantos relatórios a engenheira de segurança esperaria analisar até encontrar um relatório mostrando um acidente causado pela falha do funcionário em seguir as instruções? Qual é a probabilidade de a engenheira de segurança ter que examinar pelo menos três relatórios até encontrar um relatório mostrando um acidente causado pela falha do funcionário em seguir as instruções?

Seja\(X\) = o número de acidentes que o engenheiro de segurança deve examinar até encontrar um relatório mostrando um acidente causado pela falha do funcionário em seguir as instruções. X assume os valores 1, 2, 3,... A primeira pergunta pede que você encontre o valor esperado ou a média. A segunda pergunta pede que você encontre\(P (x \geq 3)\). (“Pelo menos” se traduz em um símbolo “maior ou igual a”).

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Um instrutor acha que 15% dos alunos obtêm menos de C no exame final. Ela decide examinar os exames finais (selecionados aleatoriamente e substituídos na pilha após a leitura) até encontrar um que mostre uma nota abaixo de C. Queremos saber a probabilidade de o instrutor ter que examinar pelo menos dez exames até encontrar um com uma nota abaixo de C. Qual é a pergunta de probabilidade declarado matematicamente?

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Suponha que você esteja procurando um estudante em sua faculdade que more a menos de cinco milhas de você. Você sabe que 55% dos 25.000 estudantes vivem a menos de cinco milhas de você. Você entra em contato aleatoriamente com estudantes da faculdade até que alguém diga que ele ou ela mora a menos de cinco milhas de você. Qual é a probabilidade de você precisar entrar em contato com quatro pessoas?

Esse é um problema geométrico porque você pode ter várias falhas antes de ter o sucesso que deseja. Além disso, a probabilidade de sucesso permanece aproximadamente a mesma toda vez que você pergunta a um aluno se ele mora a menos de cinco milhas de você. Não há um número definido de testes (número de vezes que você pergunta a um aluno).

a. Seja\(X\) = o número de ____________ que você deve perguntar ____________ e alguém diz que sim.

Resposta: a. Seja\(X\) = o número de alunos que você deve perguntar até que um diga sim.

b. Quais valores\(X\) assume?

Resposta: b. 1, 2, 3,..., (número total de estudantes)

c. O que são\(p\) e\(q\)?

Resposta: c.\(p = 0.55; q = 0.45\)

d. A questão da probabilidade é\(P\) (_______).

Resposta: d.\(P (x = 4)\)

Notação para a Geometria: G = Função de Distribuição de Probabilidade Geométrica

\(X \sim G (p)\)

Leia isso como “\(X\)é uma variável aleatória com uma distribuição geométrica”. O parâmetro é\(p\);\(p\) = a probabilidade de sucesso de cada tentativa.

O Geometric Pdf nos diz a probabilidade de que a primeira ocorrência de sucesso exija um\(x\) número de ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p. Se a probabilidade de sucesso em cada tentativa for p, então a probabilidade de que a\(x\) décima tentativa (fora dos\(x\) ensaios) seja a primeira tentativa bem-sucedida é:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x-1} p\nonumber\]

para\(x = 1, 2, 3\),...
O valor esperado de\(X\), a média dessa distribuição, é\(1/p\). Isso nos diz quantos testes devemos esperar até obtermos o primeiro sucesso, incluindo na contagem o teste que resulta em sucesso. A forma acima da distribuição geométrica é usada para modelar o número de ensaios até o primeiro sucesso. O número de testes inclui aquele que é bem-sucedido:\(x\) = todos os testes, incluindo aquele que é bem-sucedido. Isso pode ser visto na forma da fórmula. Se\(X\) = número de tentativas incluindo o sucesso, então devemos multiplicar a probabilidade de falha,\((1-p)\), vezes o número de falhas, ou seja\(X-1\).

Por outro lado, a seguinte forma da distribuição geométrica é usada para modelar o número de falhas até o primeiro sucesso:

\[\mathrm{P}(X=x)=(1-p)^{x} p\nonumber\]

para\(x = 0, 1, 2, 3\),...
Nesse caso, o teste bem-sucedido não é contado como um teste na fórmula:\(x\) = número de falhas. O valor esperado, média, dessa distribuição é\(\mu=\frac{(1-p)}{p}\). Isso nos diz quantas falhas podemos esperar antes de termos sucesso. Em ambos os casos, a sequência de probabilidades é uma sequência geométrica.

Exemplo\(\PageIndex{8}\)

Suponha que a probabilidade de um componente de computador com defeito seja 0,02. Os componentes são selecionados aleatoriamente. Determine a probabilidade de que o primeiro defeito seja causado pelo sétimo componente testado. Quantos componentes você espera testar até que um deles esteja com defeito?

Seja\(X\) = o número de componentes do computador testados até que o primeiro defeito seja encontrado.

X assume os valores\(1, 2, 3\),... onde\(p = 0.02. X \sim G(0.02)\)

Encontre\(P (x = 7)\). Resposta:\(P (x = 7) = (1 - 0.02)7-1 \times 0.02 = 0.0177\).

A probabilidade de que o sétimo componente seja o primeiro defeito é 0,0177.

O gráfico de\(X \sim G(0.02)\) é:

Este gráfico mostra uma distribuição geométrica de probabilidade. Consiste em barras que atingem o pico à esquerda e se inclinam para baixo com cada barra sucessiva à direita. Os valores no eixo x contam o número de componentes do computador testados até que o defeito seja encontrado. O eixo y é escalado de 0 a 0,02 em incrementos de 0,005. — Figura\(\PageIndex{2}\)

O\(y\) eixo -contém a probabilidade de\(x\), onde\(X\) = o número de componentes do computador testados. Observe que as probabilidades diminuem em um incremento comum. Esse incremento é a mesma razão entre cada número e é chamado de progressão geométrica e, portanto, o nome dessa função de densidade de probabilidade.

O número de componentes que você esperaria testar até encontrar o primeiro componente defeituoso é a média,\(\mu = 50\).

A fórmula para a média da variável aleatória definida como número de falhas até o primeiro sucesso é\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.02}=50\)

Veja o exemplo\(\PageIndex{9}\) para ver um exemplo em que a variável aleatória geométrica é definida como o número de tentativas até o primeiro sucesso. O valor esperado dessa fórmula para a geometria será diferente dessa versão da distribuição.

A fórmula para a variância é\(\sigma^2 =\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)=\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)= 2,450\)

O desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{\left(\frac{1}{p}\right)\left(\frac{1}{p}-1\right)}=\sqrt{\left(\frac{1}{0.02}\right)\left(\frac{1}{0.02}-1\right)} = 49.5\)

O risco vitalício de desenvolver câncer de pâncreas é de cerca de um em 78 (1,28%). Seja X = o número de pessoas a quem você pergunta antes que uma delas diga que tem câncer no pâncreas. A variável aleatória X neste caso inclui apenas o número de ensaios que foram fracassos e não conta o estudo que foi bem-sucedido em encontrar uma pessoa que tinha a doença. A fórmula apropriada para essa variável aleatória é a segunda apresentada acima. Então X é uma variável aleatória discreta com uma distribuição geométrica: X ~ G\(\left(\frac{1}{78}\right)\) ou X ~ G (0,0128).

Qual é a probabilidade de você perguntar a 9 pessoas antes que uma diga que tem câncer no pâncreas? Isso é perguntar: qual é a probabilidade de você perguntar a 9 pessoas sem sucesso e a décima pessoa ser bem-sucedida?
Qual é a probabilidade de você perguntar a 20 pessoas?
Encontre a média (i) e o desvio padrão (ii) de X.

Resposta

uma.\(P(x=9)=(1-0.0128)^{9} \cdot 0.0128=0.0114\)

b.\(P(x=20)=(1-0.0128)^{19} \cdot 0.0128=0.01\)

Média =\(\mu =\frac{(1-p)}{p}=\frac{(1-0.0128)}{0.0128}=77.12\)
Desvio padrão =\(\sigma =\sqrt{\frac{1-p}{p^{2}}}=\sqrt{\frac{1-0.0128}{0.0128^{2}}} \approx 77.62\)

Exercício\(\PageIndex{9}\)

A taxa de alfabetização de uma nação mede a proporção de pessoas com 15 anos ou mais que sabem ler e escrever. A taxa de alfabetização de mulheres nas Colônias Unidas da Independência é de 12%. Seja\(X\) = o número de mulheres que você pergunta até que uma diga que ela é alfabetizada.

Qual é a distribuição de probabilidade de\(X\)?
Qual é a probabilidade de você perguntar a cinco mulheres antes que uma diga que é alfabetizada?
Qual é a probabilidade de você perguntar a dez mulheres?

Exemplo\(\PageIndex{10}\)

Um jogador de beisebol tem uma média de rebatidas de 0,320. Essa é a probabilidade geral de que ele receba um golpe toda vez que está no bastão.

Qual é a probabilidade de ele conseguir seu primeiro golpe na terceira viagem para rebater?

Resposta: \(P(x=3)=(1-0.32)^{3-1} \times .32=0.1480\)

Nesse caso, a sequência é falha, falha, sucesso.

Quantas viagens para rebater você espera que o rebatedor precise antes de ser atingido?

Resposta

\(\mu=\frac{1}{p}=\frac{1}{0.320}=3.125 \approx 3\)

Esse é simplesmente o valor esperado dos sucessos e, portanto, a média da distribuição.

Exemplo\(\PageIndex{11}\)

Há 80% de chance de um cão dálmata ter 13 pontos negros. Você vai a uma exposição de cães e conta as manchas dos dálmatas. Qual é a probabilidade de você revisar as manchas em 3 cães antes de encontrar um que tenha 13 pontos pretos?

Resposta: \(P(x=3)=(1-0.80)^{3} \times 0.80=0.0064\)

Notas de pé

1” Prevalência do HIV, total (% da população de 15 a 49 anos)”, Banco Mundial, 2013. Disponível on-line em http://data.worldbank.org/indicator/...last&sort=desc (acessado em 15 de maio de 2013).