3.3: Duas regras básicas de probabilidade
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Ao calcular a probabilidade, há duas regras a serem consideradas ao determinar se dois eventos são independentes ou dependentes e se são mutuamente exclusivos ou não.
A regra de multiplicação
Se A e B são dois eventos definidos em um espaço amostral, então:\(P(A \cap B)=P(B) P(A | B)\). Podemos pensar no símbolo de interseção como substituindo a palavra “e”.
Essa regra também pode ser escrita como:\(P(A | B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
Essa equação é lida como a probabilidade de A dado B é igual à probabilidade de A e B dividida pela probabilidade de B.
Se A e B são independentes, então\(P(A|B)=P(A)\). Então\(P(A\cap B)=P(A|B)P(B)\) se torna\(P(A\cap B)=P(A)(B)\) porque o\(P(A|B)=P(A)\) se A e B são independentes.
Uma maneira fácil de lembrar a regra de multiplicação é que a palavra “e” significa que o evento deve satisfazer duas condições. Por exemplo, o nome retirado da lista de turmas é ser tanto mulher quanto estudante do segundo ano. É mais difícil satisfazer duas condições do que apenas uma e, claro, quando multiplicamos frações, o resultado é sempre menor. Isso reflete a crescente dificuldade de satisfazer duas condições.
A regra de adição
Se A e B estiverem definidos em um espaço amostral, então:\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−P(A\cap B)\). Podemos pensar no símbolo da união substituindo a palavra “ou”. A razão pela qual subtraímos a interseção de A e B é para evitar a contagem dupla de elementos que estão em A e B.
Se A e B são mutuamente exclusivos, então\(P(A\cap B)=0\). Então\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)−P(A\cap B)\) se torna\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
Um estudante vai à biblioteca. Deixe que os eventos B = o aluno dê uma olhada em um livro e D = o aluno dê uma olhada em um DVD. Suponha que\(P(B) = 0.40\),\(P(D) = 0.30\)\(P(D|B) = 0.5\) e.
- Encontre\(P(B′)\).
- Encontre\(P(D \cap B)\).
- Encontre\(P(B|D)\).
- Encontre\(P(D \cap B′)\).
- Encontre\(P(D|B′)\).