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13.3: Equações lineares

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    A regressão linear para duas variáveis é baseada em uma equação linear com uma variável independente. A equação tem a forma:

    \[y=a+b x\nonumber\]

    onde\(a\) e\(b\) são números constantes.

    A variável\(\bf x\) é a variável independente e\(\bf y\) é a variável dependente. Outra forma de pensar sobre essa equação é uma declaração de causa e efeito. A\(X\) variável é a causa e a\(Y\) variável é o efeito hipotético. Normalmente, você escolhe um valor para substituir a variável independente e, em seguida, resolver a variável dependente.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Os exemplos a seguir são equações lineares.

    \(y=3+2x\)

    \(y=–0.01+1.2x\)

    O gráfico de uma equação linear da forma\(y = a + bx\) é uma linha reta. Qualquer linha que não seja vertical pode ser descrita por esta equação

    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Faça um gráfico da equação\(y = –1 + 2x\).

    Gráfico da equação y = -1 + 2x. Esta é uma linha reta que cruza o eixo y em -1 e é inclinada para cima e para a direita, subindo 2 unidades para cada unidade de corrida.

    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    O seguinte é um exemplo de uma equação linear? Por que ou por que não?

    Este é um gráfico de uma equação. O eixo x é rotulado em intervalos de 2 de 0 a 14; o eixo y é rotulado em intervalos de 2 de 0 a 12. O gráfico da equação é uma curva que cruza o eixo y em 2 e se curva para cima e para a direita.

    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    O Serviço de Processamento de Texto (AWPS) da Aaron faz processamento de texto. A tarifa dos serviços é de $32 por hora mais uma taxa única de $31,50. O custo total para um cliente depende do número de horas necessárias para concluir o trabalho.

    Encontre a equação que expressa o custo total em termos do número de horas necessárias para concluir o trabalho.

    Resposta

    Solução 13.3

    Seja\(x\) = o número de horas necessárias para concluir o trabalho.
    Seja\(y\) = o custo total para o cliente.

    O $31,50 é um custo fixo. Se levar\(x\) horas para concluir o trabalho, então (32) (\(x\)) é o custo somente do processamento de texto. O custo total é:\(y = 31.50 + 32x\)

    Inclinação e interceptação Y de uma equação linear

    Para a equação linear\(y = a + bx\),\(b\) = inclinação e\(a = y\) -intercepto. Da álgebra, lembre-se de que a inclinação é um número que descreve a inclinação de uma reta, e o\(y\) intercepto -é a\(y\) coordenada do\((0, a)\) ponto em que a linha cruza o eixo y. Do cálculo, a inclinação é a primeira derivada da função. Para uma função linear, a inclinação é\(dy / dx = b\) onde podemos ler a expressão matemática como “a mudança em y (dy) que resulta de uma mudança em\(x (dx) = b * dx\)”.

    Três gráficos possíveis da equação y = a + bx. Para o primeiro gráfico, (a), b0 e então a linha se inclina para cima para a direita. Para o segundo, b = 0 e o gráfico da equação é uma linha horizontal. No terceiro gráfico, (c), b < 0 and the line slopes downward to the right.” data-media-type="image/jpg” style="width: 856px; height: 203px;” width="856px” height="203px” src=”/@api /deki/files/8169/7096285f5e75a2c46961f54cfccefea4e79baaef “>
    Figura\(\PageIndex{5}\) Três gráficos possíveis de\(y = a + bx\). (a) Se\(b > 0\), a linha se inclina para cima, para a direita. (b) Se\(b = 0\), a linha é horizontal. (c) Se\(b < 0\), a linha se inclina para baixo para a direita.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    Svetlana ensina para ganhar dinheiro extra para a faculdade. Para cada sessão de tutoria, ela cobra uma taxa única de $25 mais $15 por hora de tutoria. Uma equação linear que expressa a quantidade total de dinheiro que Svetlana ganha por cada sessão que ela ensina é\(y = 25 + 15x\).

    Quais são as variáveis independentes e dependentes? O que é o intercepto y e qual é a inclinação? Interprete-os usando frases completas.

    Resposta

    Solução 13.4

    A variável independente (\(x\)) é o número de horas que Svetlana dá aulas em cada sessão. A variável dependente (\(y\)) é o valor, em dólares, que Svetlana ganha por cada sessão.

    O intercepto y é\(25 (a = 25\)). No início da sessão de tutoria, Svetlana cobra uma taxa única de $25 (é quando\(x= 0\)). A inclinação é\(15 (b = 15)\). Para cada sessão, Svetlana ganha $15 por cada hora que ela ensina.