11.2: Teste de uma única variância

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Até agora, nosso interesse tem sido exclusivamente no parâmetro da população\(μ\) ou em sua contrapartida no binômio,\(p\). Certamente, a média de uma população é a informação mais importante, mas em alguns casos estamos interessados na variabilidade dos resultados de alguma distribuição. Em quase todos os processos de produção, a qualidade é medida não apenas pela proximidade da máquina com a meta, mas também pela variabilidade do processo. Se alguém estivesse enchendo sacolas com batatas fritas, não só haveria interesse no peso médio da sacola, mas também na variação que havia nos pesos. Ninguém quer ter certeza de que o peso médio é preciso quando a bolsa não tem lascas. A tensão elétrica pode atingir algum nível médio, mas uma grande variabilidade, picos, pode causar sérios danos às máquinas elétricas, especialmente aos computadores. Eu não gostaria apenas de ter uma nota média alta em minhas aulas, mas também uma baixa variação sobre essa média. Em resumo, os testes estatísticos relativos à variância de uma distribuição têm grande valor e muitas aplicações.

Um teste de uma única variância pressupõe que a distribuição subjacente seja normal. As hipóteses nula e alternativa são apresentadas em termos da variância da população. A estatística do teste é:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{0}^{2}}\nonumber\]

onde:

\(n\)= o número total de observações nos dados da amostra
\(s^2\)= variância da amostra
\(\sigma_{0}^{2}\)= valor hipotético da variância da população
\(H_{0} : \sigma^{2}=\sigma_{0}^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2} \neq \sigma_{0}^{2}\)

Você pode pensar em s como a variável aleatória neste teste. O número de graus de liberdade é\(df = n - 1\). Um teste de uma única variância pode ser de cauda direita, cauda esquerda ou bicaudal. \(\PageIndex{1}\)O exemplo mostrará como configurar as hipóteses nula e alternativa. As hipóteses nula e alternativa contêm declarações sobre a variância da população.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Os instrutores de matemática não estão interessados apenas em como seus alunos se saem nos exames, em média, mas em como as notas dos exames variam. Para muitos instrutores, a variância (ou desvio padrão) pode ser mais importante do que a média.

Suponha que um instrutor de matemática acredite que o desvio padrão para seu exame final seja de cinco pontos. Um de seus melhores alunos pensa o contrário. O aluno afirma que o desvio padrão é superior a cinco pontos. Se o aluno fizesse um teste de hipótese, quais seriam as hipóteses nula e alternativa?

Resposta

Embora tenhamos o desvio padrão da população, podemos configurar o teste usando a variância da população da seguinte forma.

\(H_{0} : \sigma^{2} \leq 5^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}>5^{2}\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Um instrutor de mergulho quer registrar as profundidades coletivas de cada um dos mergulhos de seus alunos durante o checkout. Ele está interessado em saber como as profundidades variam, mesmo que todos devessem estar na mesma profundidade. Ele acredita que o desvio padrão é de três pés. Seu assistente acha que o desvio padrão é menor que três pés. Se o instrutor fizesse um teste, quais seriam as hipóteses nula e alternativa?

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

Com linhas individuais em suas várias janelas, uma agência dos correios descobre que o desvio padrão dos tempos de espera dos clientes na tarde de sexta-feira é de 7,2 minutos. Os correios experimentam uma única fila de espera principal e descobrem que, para uma amostra aleatória de 25 clientes, os tempos de espera dos clientes têm um desvio padrão de 3,5 minutos em uma tarde de sexta-feira.

Com um nível de significância de 5%, teste a afirmação de que uma única linha causa menor variação entre os tempos de espera dos clientes.

Resposta

Como a afirmação é de que uma única linha causa menos variação, esse é um teste de uma única variância. O parâmetro é a variância da população,\(\sigma^2\).

Variável aleatória: O desvio padrão da amostra,\(s\), é a variável aleatória. Seja\(s\) = desvio padrão para os tempos de espera.

\(H_{0} : \sigma^{2} \geq 7.2^{2}\)
\(H_{a} : \sigma^{2}<7.2^{2}\)

Distribuição para o teste:\(\chi_{24}^{2}\), onde:

\(n\)= o número de clientes incluídos na amostra
\(df = n – 1 = 25 – 1 = 24\)

Calcule a estatística do teste:

\(\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma^{2}}=\frac{(25-1)(3.5)^{2}}{7.2^{2}}=5.67\)

onde\(n = 25\)\(s = 3.5\),\(\sigma = 7.2\) e.

Esta é uma curva qui-quadrada não simétrica com valores de 0 e 5,67 marcados no eixo horizontal. O ponto 5,67 fica à esquerda do pico da curva. Uma linha vertical ascendente se estende de 5,67 até a curva e a região à esquerda dessa linha está sombreada. A área sombreada é igual ao valor p.

O gráfico do Qui-quadrado mostra a distribuição e marca o valor crítico com 24 graus de liberdade no nível de confiança de 95%\(\alpha = 0.05\), 13,85. O valor crítico de 13,85 veio da tabela quadrada de Chi, que é lida de forma muito parecida com a tabela t dos alunos. A diferença é que a distribuição t dos estudantes é simétrica e a distribuição do Qui quadrado não. No topo da tabela de qui-quadrado, vemos não apenas os familiares 0,05, 0,10, etc. mas também 0,95, 0,975, etc. Essas são as colunas usadas para encontrar o valor crítico da mão esquerda. O gráfico também marca a estatística\(\chi^2\) de teste calculada de 5,67. Comparando a estatística do teste com o valor crítico, como fizemos com todos os outros testes de hipóteses, chegamos à conclusão.

A palavra “menos” diz que este é um teste com cauda esquerda.

Tome uma decisão: como a estatística de teste calculada está na cauda, não podemos aceitar\(H_0\). Isso significa que você rejeita\(\sigma^2 \geq 7.2^2\). Em outras palavras, você não acha que a variação nos tempos de espera seja de 7,2 minutos ou mais; você acha que a variação nos tempos de espera é menor.

Conclusão: Em um nível de significância de 5%, a partir dos dados, há evidências suficientes para concluir que uma única linha causa uma variação menor entre os tempos de espera ou, com uma única linha, os tempos de espera do cliente variam menos de 7,2 minutos.

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

O professor Hadley tem uma fraqueza por rosquinhas recheadas com creme, mas acredita que algumas padarias não estão enchendo adequadamente as rosquinhas. Uma amostra de 24 rosquinhas revela uma quantidade média de recheio igual a 0,04 xícaras, e o desvio padrão da amostra é de 0,11 xícaras. O professor Hadley tem interesse na quantidade média de recheio, é claro, mas fica particularmente angustiado se uma rosquinha for radicalmente diferente da outra. O professor Hadley não gosta de surpresas.

Teste em 95% a hipótese nula de que a variância populacional do recheio de rosquinha é significativamente diferente da quantidade média de recheio.

Resposta

Isso é claramente um problema de lidar com variações. Nesse caso, estamos testando uma única amostra em vez de comparar duas amostras de populações diferentes. As hipóteses nula e alternativa são, portanto:

\[H_{0} : \sigma^{2}=0.04\nonumber\]

\[H_{0} : \sigma^{2} \neq 0.04\nonumber\]

O teste é configurado como um teste bicaudal porque o professor Hadley demonstrou preocupação com muita variação no recheio, bem como com pouca: sua aversão a uma surpresa é qualquer nível de enchimento fora da média esperada de 0,04 xícaras. A estatística do teste é calculada para ser:

\[\chi_{c}^{2}=\frac{(n-1) s^{2}}{\sigma_{o}^{2}}=\frac{(24-1) 0 \cdot 11^{2}}{0.04^{2}}=6.9575\nonumber\]

A estatística de\(\chi^2\) teste calculada, 6,96, está na cauda, portanto, em um nível de significância de 0,05, não podemos aceitar a hipótese nula de que a variância no recheio da rosca é igual a 0,04 xícaras. Parece que o professor Hadley está destinado a enfrentar decepções com cada pedacinho.

Exercício\(\PageIndex{3}\)

A FCC realiza testes de velocidade de banda larga para medir a quantidade de dados que passam por segundo entre o computador do consumidor e a Internet. Em agosto de 2012, o desvio padrão das velocidades da Internet entre os provedores de serviços de Internet (ISPs) era de 12,2%. Suponha que uma amostra de 15 ISPs seja coletada e o desvio padrão seja 13,2. Um analista afirma que o desvio padrão das velocidades é maior do que o relatado. Declare as hipóteses nulas e alternativas, calcule os graus de liberdade, a estatística de teste, esboce o gráfico da distribuição e marque a área associada ao nível de confiança e tire uma conclusão. Teste no nível de significância de 1%.