9.4: Exemplos completos de testes de hipóteses

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Testes em meios

Exemplo$\PageIndex{8}$

Jeffrey, com oito anos de idade, estabeleceu um tempo médio de 16,43 segundos para nadar no estilo livre de 25 jardas, com um desvio padrão de 0,8 segundos. Seu pai, Frank, achava que Jeffrey poderia nadar no estilo livre de 25 jardas mais rápido usando óculos de proteção. Frank comprou um novo par de óculos caros para Jeffrey e cronometrou Jeffrey para 15 nadadas de 25 jardas em estilo livre. Para os 15 nados, o tempo médio de Jeffrey foi de 16 segundos. Frank achou que os óculos ajudaram Jeffrey a nadar mais rápido do que os 16,43 segundos. Faça um teste de hipótese usando uma predefinição$\alpha = 0.05$.

Responda

Configure o teste de hipótese:

Como o problema é sobre uma média, este é um teste de uma única média populacional.

Defina a hipótese nula e alternativa:

Nesse caso, há uma contestação ou reclamação implícita. Isso é que os óculos reduzirão o tempo de natação. O efeito disso é definir a hipótese como um teste unicaudal. A alegação sempre estará na hipótese alternativa porque o ônus da prova sempre recai sobre a alternativa. Lembre-se de que o status quo deve ser derrotado com um alto grau de confiança, neste caso, 95% de confiança. As hipóteses nula e alternativa são, portanto:

$H_0: \mu \geq 16.43$$H_a: \mu < 16.43$

Para Jeffrey nadar mais rápido, seu tempo será inferior a 16,43 segundos. O “<” diz que isso é de cauda esquerda.

Determine a distribuição necessária:

Variável aleatória:$\overline X$ = o tempo médio para nadar no estilo livre de 25 jardas.

Distribuição para a estatística de teste:

O tamanho da amostra é menor que 30 e não sabemos o desvio padrão da população, então este é um teste t. e a fórmula correta é:$t_{c}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}$

$\mu_ 0 = 16.43$vem de$H_0$ e não dos dados. $\overline X = 16$. $s = 0.8$,$n = 15$ e.

Nossa etapa 2, definindo o nível de significância, já foi determinada pelo problema, 0,05 para um nível de significância de 95%. Vale a pena pensar no significado dessa escolha. O erro Tipo I é concluir que Jeffrey nada no estilo livre de 25 jardas, em média, em menos de 16,43 segundos quando, na verdade, ele realmente nada no estilo livre de 25 jardas, em média, em 16,43 segundos. (Rejeite a hipótese nula quando a hipótese nula for verdadeira.) Nesse caso, a única preocupação com um erro do Tipo I parece ser que o pai de Jeffery pode deixar de apostar na vitória do filho porque ele não tem a devida confiança no efeito dos óculos.

Para encontrar o valor crítico, precisamos selecionar a estatística de teste apropriada. Concluímos que este é um teste t com base no tamanho da amostra e que estamos interessados em uma média populacional. Agora podemos desenhar o gráfico da distribuição t e marcar o valor crítico. Para esse problema, os graus de liberdade são n-1 ou 14. Observando 14 graus de liberdade na coluna de 0,05 da mesa t, encontramos 1,761. Esse é o valor crítico e podemos colocá-lo em nosso gráfico.

A etapa 3 é o cálculo da estatística de teste usando a fórmula que selecionamos. Descobrimos que a estatística de teste calculada é 2,08, o que significa que a média da amostra está a 2,08 desvios padrão da média hipotética de 16,43.

\[t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{16-16.43}{.8 / \sqrt{15}}=-2.08\nonumber\]

Curva de distribuição normal para o tempo médio de natação no estilo livre de 25 jardas com valores 16, como média da amostra, e 16,43 no eixo x. Uma linha vertical ascendente se estende de 16 no eixo x até a curva. Uma seta aponta para a cauda esquerda da curva.

A etapa 4 nos permite comparar a estatística de teste e o valor crítico e marcá-los no gráfico. Vemos que a estatística do teste está na cauda e, portanto, passamos para a etapa 4 e chegamos a uma conclusão. A probabilidade de que um tempo médio de 16 minutos possa vir de uma distribuição com uma média populacional de 16,43 minutos é muito improvável para aceitarmos a hipótese nula. Não podemos aceitar o nulo.

O passo 5 nos faz expor nossas conclusões primeiro formalmente e depois menos formalmente. Uma conclusão formal seria declarada como: “Com um nível de significância de 95%, não podemos aceitar a hipótese nula de que o tempo de natação com óculos vem de uma distribuição com um tempo médio populacional de 16,43 minutos”. Menos formalmente, “Com 95% de significância, acreditamos que os óculos melhoram a velocidade de natação”

Se quiséssemos usar o sistema$p$ -value para chegar a uma conclusão, calcularíamos a estatística e daríamos o passo adicional para encontrar a probabilidade de serem 2,08 desvios padrão da média em uma distribuição t. Esse valor é 0,0187. Comparando isso com o nível\ alfa de .05, vemos que não podemos aceitar o nulo. O$p$ valor -foi colocado no gráfico como a área sombreada além de -2,08 e mostra que é menor do que a área hachurada, que é o nível alfa de 0,05. Ambos os métodos chegam à mesma conclusão de que não podemos aceitar a hipótese nula.

Exercício$\PageIndex{8}$

A distância média de arremesso de uma bola de futebol para Marco, um quarterback calouro do ensino médio, é de 40 jardas, com um desvio padrão de duas jardas. O técnico da equipe diz a Marco que ajuste sua aderência para obter mais distância. O treinador registra as distâncias de 20 lances. Para os 20 arremessos, a distância média de Marco foi de 45 jardas. O treinador achou que a empunhadura diferente ajudou Marco a arremessar mais de 40 jardas. Faça um teste de hipótese usando uma predefinição$\alpha = 0.05$. Suponha que as distâncias de lançamento das bolas de futebol sejam normais.

Primeiro, determine que tipo de teste é esse, configure o teste de hipótese, encontre o$p$ valor -, esboce o gráfico e declare sua conclusão.

Exemplo$\PageIndex{9}$

Jane acaba de começar seu novo emprego como membro da equipe de vendas de uma empresa muito competitiva. Em uma amostra de 16 chamadas de vendas, verificou-se que ela fechou o contrato por um valor médio de 108 dólares com um desvio padrão de 12 dólares. Teste com 5% de significância se a média da população é de pelo menos 100 dólares contra a alternativa de que é inferior a 100 dólares. A política da empresa exige que os novos membros da equipe de vendas excedam uma média de $100 por contrato durante o período experimental de emprego. Podemos concluir que Jane atendeu a esse requisito no nível de significância de 95%?

Responda

$H_0: \mu \leq 100$
$H_a: \mu > 100$
As hipóteses nula e alternativa são para o parâmetro$\mu$ porque o número de dólares dos contratos é uma variável aleatória contínua. Além disso, esse é um teste unilateral porque a empresa só tem interesse se o número de dólares por contato estiver abaixo de um número específico e não “muito alto”. Isso pode ser considerado como uma alegação de que o requisito está sendo atendido e, portanto, a alegação está na hipótese alternativa.
Estatística do teste:$t_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{\frac{s}{\sqrt{n}}}=\frac{108-100}{\left(\frac{12}{\sqrt{16}}\right)}=2.67$
Valor crítico:$t_a=1.753$ com$n-1$ graus de liberdade = 15

A estatística de teste é um t de Student porque o tamanho da amostra está abaixo de 30; portanto, não podemos usar a distribuição normal. Comparando o valor calculado da estatística de teste e o valor crítico de tt (ta) (ta) em um nível de significância de 5%, vemos que o valor calculado está na cauda da distribuição. Assim, concluímos que 108 dólares por contrato são significativamente maiores do que o valor hipotético de 100 e, portanto, não podemos aceitar a hipótese nula. Há evidências de que o desempenho de Jane atende aos padrões da empresa.

Exercício$\PageIndex{9}$

Acredita-se que o preço das ações de uma determinada empresa cresça a uma taxa de $5 por semana com um desvio padrão de $1. Um investidor acredita que as ações não crescerão tão rapidamente. As mudanças no preço das ações são registradas por dez semanas e são as seguintes: $4, $3, $2, $3, $1, $7, $2, $1, $1, $2. Faça um teste de hipótese usando um nível de significância de 5%. Declare as hipóteses nulas e alternativas, declare sua conclusão e identifique os erros do Tipo I.

Exemplo$\PageIndex{10}$

Um fabricante de molhos para salada usa máquinas para distribuir ingredientes líquidos em garrafas que se movem ao longo de uma linha de envase. A máquina que distribui molhos para salada está funcionando corretamente quando 8 onças são dispensadas. Suponha que a quantidade média dispensada em uma amostra específica de 35 garrafas seja de 7,91 onças com uma variação de 0,03 onças ao quadrado$s^2$. Há evidências de que a máquina deve ser parada e a produção aguardar reparos? A perda de produção devido a uma paralisação é potencialmente tão grande que a gerência acha que o nível de significância na análise deve ser de 99%.

Novamente, seguiremos as etapas em nossa análise desse problema.

Responda

ETAPA 1: Defina a hipótese nula e alternativa. A variável aleatória é a quantidade de fluido colocada nas garrafas. Essa é uma variável aleatória contínua e o parâmetro em que estamos interessados é a média. Nossa hipótese, portanto, é sobre a média. Nesse caso, estamos preocupados com o fato de a máquina não estar enchendo corretamente. Pelo que nos disseram, não importa se a máquina está enchendo demais ou mal, ambas parecem ser um erro igualmente grave. Isso nos diz que este é um teste bicaudal: se a máquina estiver com defeito, ela será desligada, independentemente de estar enchendo demais ou insuficiente. As hipóteses nula e alternativa são, portanto:

\[H_0:\mu=8\nonumber\]

\[Ha:\mu \neq 8\nonumber\]

ETAPA 2: Decida o nível de significância e desenhe o gráfico mostrando o valor crítico.

Esse problema já estabeleceu o nível de significância em 99%. A decisão parece apropriada e mostra o processo de pensamento ao definir o nível de significância. A gerência quer ter certeza, tanto quanto a probabilidade permitir, de que não está desligando uma máquina que não precisa ser reparada. Para desenhar a distribuição e o valor crítico, precisamos saber qual distribuição usar. Como essa é uma variável aleatória contínua e estamos interessados na média, e o tamanho da amostra é maior que 30, a distribuição apropriada é a distribuição normal e o valor crítico relevante é 2,575 da tabela normal ou da tabela t em 0,005 coluna e graus infinitos de liberdade. Nós desenhamos o gráfico e marcamos esses pontos.

ETAPA 3: Calcule os parâmetros da amostra e a estatística do teste. Os parâmetros da amostra são fornecidos, a média da amostra é 7,91 e a variância da amostra é 0,03 e o tamanho da amostra é 35. Precisamos observar que a variância da amostra foi fornecida e não o desvio padrão da amostra, que é o que precisamos para a fórmula. Lembrando que o desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância, sabemos, portanto, que o desvio padrão da amostra, s, é 0,173. Com essas informações, calculamos a estatística de teste como -3,07 e a marcamos no gráfico.

\[Z_{c}=\frac{\overline{x}-\mu_{0}}{s / \sqrt{n}}=\frac{7.91-8}{\cdot 173 / \sqrt{35}}=-3.07\nonumber\]

ETAPA 4: Compare a estatística de teste e os valores críticos Agora, comparamos a estatística de teste e o valor crítico colocando a estatística de teste no gráfico. Vemos que a estatística do teste está na cauda, decididamente maior do que o valor crítico de 2,575. Observamos que mesmo a diferença muito pequena entre o valor hipotético e o valor da amostra ainda é um grande número de desvios padrão. A média da amostra é de apenas 0,08 onças diferente do nível exigido de 8 onças, mas está a 3 mais os desvios padrão e, portanto, não podemos aceitar a hipótese nula.

ETAPA 5: Chegar a uma conclusão

Três desvios padrão de uma estatística de teste garantirão que o teste falhe. A probabilidade de que qualquer coisa esteja dentro de três desvios padrão é quase zero. Na verdade, é 0,0026 na distribuição normal, o que certamente é quase zero em um sentido prático. Nossa conclusão formal seria “Em um nível de significância de 99%, não podemos aceitar a hipótese de que a média da amostra veio de uma distribuição com uma média de 8 onças”. Ou menos formalmente, e chegando ao ponto: “Em um nível de significância de 99%, concluímos que a máquina está enchendo as garrafas e está em necessidade de reparo”.

Teste de hipótese para proporções

Assim como havia intervalos de confiança para proporções, ou mais formalmente, o parâmetro populacional$p$ da distribuição binomial, existe a capacidade de testar hipóteses a respeito$p$.

O parâmetro populacional para o binômio é$p$. O valor estimado (estimativa pontual) para$p$ é$p^{\prime}$ onde$p^{\prime} = x/n$,$x$ é o número de sucessos na amostra e$n$ é o tamanho da amostra.

Ao realizar um teste de hipótese de uma proporção da população$p$, você obtém uma amostra aleatória simples da população. As condições para uma distribuição binomial devem ser atendidas, que são: há um certo número n de ensaios independentes que significa amostragem aleatória, os resultados de qualquer tentativa são binários, bem-sucedidos ou fracassados, e cada tentativa tem a mesma probabilidade de sucesso$p$. A forma da distribuição binomial precisa ser semelhante à forma da distribuição normal. Para garantir isso, as quantidades$np^{\prime}$ e ambas$nq^{\prime}$ devem ser maiores que cinco ($np^{\prime} > 5$e$nq^{\prime} > 5$). Nesse caso, a distribuição binomial de uma proporção amostral (estimada) pode ser aproximada pela distribuição normal com$\mu=np$$\sigma=\sqrt{n p q}$ e. Lembre-se disso$q=1–p$. Não há distribuição que possa corrigir esse pequeno viés de amostra e, portanto, se essas condições não forem atendidas, simplesmente não podemos testar a hipótese com os dados disponíveis naquele momento. Atendemos a essa condição quando estivemos pela primeira vez os intervalos de confiança para$p$.

Novamente, começamos com a fórmula de padronização modificada porque essa é a distribuição de um binômio.

\[Z=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p}{\sqrt{\frac{\mathrm{pq}}{n}}}\nonumber\]

Substituindo$p_0$, o valor hipotético de$p$, temos:

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}\nonumber\]

Esta é a estatística de teste para testar valores hipotéticos de p, em que as hipóteses nula e alternativa assumem uma das seguintes formas:

\ (\ PageIndex {5}\) “>

Tabela$\PageIndex{5}$
Teste bicaudal	Teste unicaudal	Teste unicaudal
$H_0: p = p_0$	$H_0: p \leq p_0$	$H_0: p \geq p_0$
$H_a: p \neq p_0$	$H_a: p > p_0$	$H_a: p < p_0$

A regra de decisão declarada acima também se aplica aqui: se o valor calculado de$Z_c$ mostrar que a proporção da amostra é “muitos” desvios padrão da proporção hipotética, a hipótese nula não pode ser aceita. A decisão sobre o que é “demais” é pré-determinada pelo analista, dependendo do nível de significância exigido no teste.

Exemplo$\PageIndex{11}$

O departamento de hipotecas de um grande banco está interessado na natureza dos empréstimos dos mutuários iniciantes. Essas informações serão usadas para adaptar sua estratégia de marketing. Eles acreditam que 50% dos mutuários iniciantes contraem empréstimos menores do que outros mutuários. Eles realizam um teste de hipótese para determinar se a porcentagem é igual ou diferente de 50%. Eles fazem uma amostra de 100 mutuários iniciantes e descobrem que 53 desses empréstimos são menores do que os outros mutuários. Para o teste de hipótese, eles escolhem um nível de significância de 5%.

Responda

ETAPA 1: Defina a hipótese nula e alternativa.

$H_0: p = 0.50$$H_a: p \neq 0.50$

As palavras “é igual ou diferente de” indicam que este é um teste bicaudal. Os erros do Tipo I e do Tipo II são os seguintes: O erro do Tipo I é concluir que a proporção de mutuários é diferente de 50% quando, na verdade, a proporção é de 50%. (Rejeite a hipótese nula quando a hipótese nula for verdadeira). O erro do Tipo II é que não há evidências suficientes para concluir que a proporção de mutuários pela primeira vez difere de 50% quando, na verdade, a proporção difere de 50%. (Você não rejeita a hipótese nula quando a hipótese nula é falsa.)

ETAPA 2: Decida o nível de significância e desenhe o gráfico mostrando o valor crítico

O nível de significância foi definido pelo problema no nível de 95%. Como esse é um teste bicaudal, metade do valor alfa estará na cauda superior e metade na cauda inferior, conforme mostrado no gráfico. O valor crítico para a distribuição normal no nível de confiança de 95% é 1,96. Isso pode ser facilmente encontrado na mesa t do aluno, na parte inferior, em graus infinitos de liberdade, lembrando que no infinito a distribuição t é a distribuição normal. É claro que o valor também pode ser encontrado na tabela normal, mas você deve procurar metade de 95 (0,475) dentro do corpo da tabela e, em seguida, ler nas laterais e na parte superior o número de desvios padrão.

ETAPA 3: Calcule os parâmetros da amostra e o valor crítico da estatística de teste.

A estatística de teste é uma distribuição normal,$Z$, para testar proporções e é:

\[Z=\frac{p^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{.53-.50}{\sqrt{\frac{.5(.5)}{100}}}=0.60\nonumber\]

Para esse caso, a amostra de 100 descobriu que 53 mutuários iniciantes eram diferentes dos outros mutuários. A proporção da amostra,$p^{\prime} = 53/100= 0.53$ a pergunta do teste, portanto, é: “0,53 é significativamente diferente de 0,50?” Colocando esses valores na fórmula da estatística de teste, descobrimos que 0,53 está a apenas 0,60 desvios padrão de 0,50. Isso está pouco fora da média da distribuição normal padrão de zero. Praticamente não há diferença entre a proporção da amostra e a proporção hipotética em termos de desvios padrão.

ETAPA 4: Compare a estatística do teste e o valor crítico.

O valor calculado está bem dentro dos valores críticos dos desvios$\pm 1.96$ padrão e, portanto, não podemos rejeitar a hipótese nula. Para rejeitar a hipótese nula, precisamos de uma diferença significativa evidente entre o valor hipotético e o valor amostral. Nesse caso, o valor da amostra é quase o mesmo que o valor hipotético medido em termos de desvios padrão.

ETAPA 5: Chegar a uma conclusão

A conclusão formal seria “Em um nível de significância de 95%, não podemos rejeitar a hipótese nula de que 50% dos mutuários iniciantes têm empréstimos do mesmo tamanho que outros mutuários”. De forma menos formal, diríamos que “Não há evidências de que metade dos mutuários iniciantes sejam significativamente diferentes no tamanho do empréstimo de outros mutuários”. Observe até que ponto a conclusão inclui todas as condições anexadas à conclusão. Os estatísticos, apesar de todas as críticas que recebem, têm o cuidado de serem muito específicos, mesmo quando isso parece trivial. Os estatísticos não podem dizer mais do que sabem e os dados restringem a conclusão a estar dentro dos metros e limites dos dados.

Exercício$\PageIndex{11}$

Um professor acredita que 85% dos alunos da turma vão querer fazer uma excursão ao zoológico local. Ela realiza um teste de hipótese para determinar se a porcentagem é igual ou diferente de 85%. O professor faz uma amostra de 50 alunos e 39 respondem que gostariam de ir ao zoológico. Para o teste de hipótese, use um nível de significância de 1%.

Exemplo$\PageIndex{12}$

Suponha que um grupo de consumidores suspeite que a proporção de famílias que têm três ou mais telefones celulares é de 30%. Uma empresa de telefonia celular tem motivos para acreditar que a proporção não é de 30%. Antes de começarem uma grande campanha publicitária, eles realizam um teste de hipótese. Seus profissionais de marketing pesquisam 150 famílias com o resultado de que 43% das famílias têm três ou mais telefones celulares.

Responda

Aqui está uma versão abreviada do sistema para resolver testes de hipóteses aplicados a um teste em proporções.

\[H_0 : p = 0.3 \nonumber\]

\[H_a : p \neq 0.3 \nonumber\]

\[n = 150\nonumber\]

\[\mathrm{p}^{\prime}=\frac{x}{n}=\frac{43}{150}=0.287\nonumber\]

\[Z_{c}=\frac{\mathrm{p}^{\prime}-p_{0}}{\sqrt{\frac{p_{0} q_{0}}{n}}}=\frac{0.287-0.3}{\sqrt{\frac{3(7)}{150}}}=0.347\nonumber\]

Exemplo$\PageIndex{13}$

O Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia fornece dados exatos sobre as propriedades de condutividade dos materiais. A seguir estão as medições de condutividade para 11 peças selecionadas aleatoriamente de um determinado tipo de vidro.

1,11; 1,07; 1,11; 1,07; 1,12; 1,08; .98; 1,02; .95; .95; .95
Há evidências convincentes de que a condutividade média desse tipo de vidro seja maior que um? Use um nível de significância de 0,05.

Responda

Vamos seguir um processo de quatro etapas para responder a essa pergunta estatística.

Indique a pergunta: Precisamos determinar se, em um nível de significância de 0,05, a condutividade média do vidro selecionado é maior que um. Nossas hipóteses serão

$H_0: \mu \leq 1$
$H_a: \mu > 1$

Plano: Estamos testando uma média amostral sem um desvio padrão populacional conhecido com menos de 30 observações. Portanto, precisamos usar uma distribuição T de Student. Suponha que a população subjacente seja normal. Faça os cálculos e desenhe o gráfico. Declare as conclusões: Não podemos aceitar a hipótese nula. É razoável afirmar que os dados apoiam a afirmação de que o nível médio de condutividade é maior que um.

Exemplo$\PageIndex{14}$

Em um estudo com 420.019 usuários de telefones celulares, 172 dos indivíduos desenvolveram câncer no cérebro. Teste a alegação de que usuários de telefones celulares desenvolveram câncer cerebral em uma taxa maior do que a de usuários não celulares (a taxa de câncer cerebral para usuários que não usam telefones celulares é de 0,0340%). Como esse é um problema crítico, use um nível de significância de 0,005. Explique por que o nível de significância deve ser tão baixo em termos de um erro do Tipo I.

Responda

Precisamos realizar um teste de hipótese sobre a taxa de câncer alegada. Nossas hipóteses serão
1. $H_0: p \leq 0.00034$
2. $H_a: p > 0.00034$
Se cometermos um erro do Tipo I, estamos basicamente aceitando uma afirmação falsa. Como a alegação descreve ambientes causadores de câncer, queremos minimizar as chances de identificar incorretamente as causas do câncer.
Estaremos testando uma proporção de amostra com$x = 172$$n = 420,019$ e. A amostra é suficientemente grande porque temos$np^{\prime} = 420,019(0.00034) = 142.8$ dois resultados independentes e uma probabilidade fixa de sucesso$p^{\prime} = 0.00034$.$n q^{\prime}=420,019(0.99966)=419,876.2$ Assim, poderemos generalizar nossos resultados para a população.

Teste bicaudal	Teste unicaudal	Teste unicaudal
\(H_0: p = p_0\)	\(H_0: p \leq p_0\)	\(H_0: p \geq p_0\)
\(H_a: p \neq p_0\)	\(H_a: p > p_0\)	\(H_a: p < p_0\)